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Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī et le polygone de Newton

Published online by Cambridge University Press:  24 October 2008

Christian Houzel
Christian Houzel
Affiliation:
Université Paris 7, Tour centrale, 2 place Jussieu, 75257 Paris Cédex 05, France
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Abstract

The Treatise on Equations of Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (2nd half of the 12th century) is in the tradition of ‛Umar al-Khayyām (d. 1131). However, it has two special features. First, it contains a full discussion of the existence of a solution for third-degree equations, which al-Ṭūsī establishes by proving that the conic curves that represent this solution effectively intersect – a proof based on an intuitive notion of connexity. Secondly, al-Ṭūsī develops algorithms for the numerical resolution of these third-degree equations. The first stage of one of these algorithms follows a procedure which is akin to the so-called method of Newton's polygon.

Le Traité des équations de Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī (2e moitié du XIIe siècle) se situe dans le prolongement de l'œuvre de ‛Umar al-Khayyām (m. 1131). Il s'en distingue toutefois par deux traits. 1) II contient une discussion complète de I'existence de la solution d'une équation du 3e degré, existence qu'al-Ṭūsī établit en démontrant que les deux courbes coniques destinées à construire cette solution se rencontrent effectivement. Cette démonstration se fonde sur une idée intuitive de la connexité. 2) Il présente des algorithmes pour la résolution numérique des mêmes équations. La première étape de l'un de ces algorithmes suit une procédure qui s'apparente à la méthode dite du polygone de Newton.

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Type
Research Article
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Arabic Sciences and Philosophy , Volume 5 , Issue 2 , September 1995, pp. 239 - 262
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Copyright © Cambridge University Press 1995

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References

1 Entre arithmétique et algèbre: Recherches sur l'histoire des mathématiques arabes (Paris, 1984).Google Scholar

2 Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques. Algèbre et géométrie au XIIe siècle, éd. Rashed, R., Collection Sciences et Philosophie Arabes. Textes et Études, 2 vol. (Paris, 1986).Google Scholar

3 Pappi Alexandrini Collectionis quae supersunt etc., éd. Hultsch, F., 3 vol. (Berlin, 1876–1878); trad. française Eecke, P. Ver, 2 vol. (Paris, 1933).Google Scholar

4 Knorr, W., The Ancient Tradition of Geometric Problems (Boston, 1986).Google Scholar

5 Archimède, , Œuvres, texte établi et traduit par Ch. Mugler, 4 vol. (Paris, 1970–1972), vol. II.Google Scholar

6 Apollonius, Opera, éd. Heiberg, J.L., 3 vol. (Leipzig, 1891–1893); trad. française P. Ver Eecke (Bruges, 1924).Google Scholar

7 Anbouba, A., “Tasbīʻ al-dāʻira (Construction of the heptagone),” Journal for the History of Arabic Science, 1.2 (1977): 352–84.Google ScholarRashed, R., “La construction de l'heptagone régulier par Ibn al-Haytham,” Journal for the History of Arabic Science, 3.2 (1979): 309–87;Google Scholarid., Géométrie et dioptrique au siècle: Ibn Sahl, al-Qūhī et Ibn al-Haytham (Paris, 1993), pp. XCIV–CIII.

8 al-Khayyām, ʻUmar, L'œuvre algébrique d'al-Khayyām, établi, traduit et analysé par Rashed, R. et Djebbar, A., Sources and Studies in the History of Arabic mathematics 3 (Alep, 1981).Google Scholar

9 Ibid., p.11.

10 Rashed, Entre arithmétique et algèbre, p. 54.Google Scholar

11 Al-Khayyām, L'œuvre algébrique, p. 68.Google Scholar

12 Al-Khayyām, L'œuvre algébrique, pp. 95 sqq et al-Ṭūsū, Œuvres mathématiques, I, pp. CXXXV sqq.Google Scholar

13 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I.Google Scholar

14 Ibid., p. CXXXVI.

15 Gauss utilisera encore le même genre d'argument, dans un cas beaucoup plus général, pour sa première démonstration (1799) du théorème fondamental de l'algèbre [Gauss, C.F., Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse (Helmstadt, 1799) = Werke, III, Herausgegeben von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (Göttingen, 1866), pp. 3–30].Google Scholar

16 Rashed, R., “La philosophie des mathématiques d'Ibn al-Haytham. I: L'analyse et la synthèse,” Mélanges de l'Institut dominicain d'études orientales du Caire (M.I.D.E.O.), 20 (1991): 31–231 etGoogle Scholar“La philosophie des mathématiques d'Ibn al-Haytham. II: Les connus,” M.I.D.E.O., 21 (1993): 87–275.Google Scholarauteur, Voir aussi du même, “L'analyse et la synthèse selon Ibn al-Haytham,” dana Rashed, R. (éd), Mathématiques et philosophie (Paris, 1991), pp. 131–62Google Scholar, et Les mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle. Vol. II: Ibn al-Haytham (London, 1993).Google Scholar

17 Anbouba, Voir, “Tasbī‘ al-dā’ira”; Rashed, “La construction de l'heptagone régulier par Ibn al-Haytham,” et id., Géométrie et dioptrique.Google Scholar

18 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I, p. 23, fig. 13.Google Scholar

19 Ibid., p. 41, fig. 20.

20 Ibid., p. 49, fig. 21.

21 Ibid., p. 57, fig. 22.

22 Ibid., pp. 68–9, fig. 23–1, 23–2, 23–3.

23 Ibid., p. 77, fig. 24.

24 Ibid., p. 88, fig. 25.

25 Ibid., p. 109, fig. 26–1; p. 110, fig. 26–2; p. 111, fig. 26–3.

26 Rashed, Voir, “L'analyse et la synthèse selon Ibn al-Haytham.”Google Scholar

27 Une reconstitution comme celle que propose Hogendijk, J.P. [“Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī on the number of positive roots of cubic equations,” Historia Mathematica, 16 (1989): 69–85] sur la base du livre II des Éléments d'Euclide nous paraît assez forcée.CrossRefGoogle Scholar

28 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, II, pp. 1 sqq.Google Scholar

29 Paraissant dans ce même numéro, pp. 219–37. La reconstitution proposée par N. Farès, bien que fidèle au texte de Ṭūsī et plus convaincante que celle mentionnée dans la note précédente, a l'inconvénient d'ignorer le lien entre cette discussion et la résolution algorithmique de Ṭūsī ainsi que sa justification comme nous allons le voir plus loin.Google Scholar

30 Al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I, pp. LIX sqq.Google Scholar

31 Newton, Voir I., La méthode des fluxions et des suites infinies, trad. Buffon (Paris, 1966).Google Scholar

32 Rashed, R. s'est donné la peine de reconstituer ces tableaux dans le commentaire mathématique de son édition (al-Ṭūsī, Œuvres mathématiques, I, chap. I).Google Scholar

33 On est étonné de l'absence totale de référence à Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī dans le chapitre 4, consacré à l'algèbre arabe, d'une Geschichte der Algebra collective (sous la direction d'E. Scholz [Mannheim, 1990]) qui contient par ailleurs de bons exposés.Google Scholar