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Descente fidèlement plate pour les n-champs d’Artin

Part of:Algebraic geometry: Foundations

Published online by Cambridge University Press:  25 July 2011

Bertrand Toën
Bertrand Toën*
Affiliation:
Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier, UMR CNRS 5149, Université de Montpellier 2, Case Courrier 051, Place Eugène Bataillon, 34095 Montpellier Cedex, France (email: btoen@math.univ-montp2.fr)
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Abstract

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We prove two flat descent results in the setting of Artin n-stacks. First of all, a stack for the etale topology which is an Artin n-stack (in the sense of Simpson and Toën–Vezzosi) is also a stack for the flat (fppf) topology. Moreover, an n-stack, for the fppf topology, which admits a flat (fppf) n-atlas is an Artin n-stack (i.e. possesses a smooth n-atlas). We deduce from these two results a comparison between etale and fppf cohomologies (with coefficients in non-smooth group schemes and also non-abelian). This work is written in the setting of the derived stacks of Toën and Vezzosi, and all of these results are therefore also valid for derived Artin n-stacks.

Résumé

Nous montrons deux résultats de descente fidèlement plate de présentation finie dans le cadre des n-champs d’Artin. Tout d’abord, un champ pour la topologie étale et qui est un n-champ d’Artin (au sens de Simpson et de Toën et Vezzosi) est aussi un champ pour la topologie plate (fppf). De plus, un n-champ pour la topologie fppf et qui possède un n-atlas plat (fppf) est un n-champ d’Artin (i.e. possède aussi un n-atlas lisse). Nous déduisons de ces deux résultats un théorème de comparaison entre cohomologies étale et fppf (à coefficients dans des schémas en groupes non nécessairement lisses ou encore non-abéliennes). Ce travail est écrit dans le contexte des champs dérivés de Toën et Vezzosi, et ces résultats vallent donc aussi pour des n-champs d’Artin dérivés.

Keywords

n-Champs d’Artindescente fidèlement platecohomologie non-abélienne

MSC classification

Secondary:14A20: Generalizations (algebraic spaces, stacks)

Information

Type
Research Article
Information
Compositio Mathematica , Volume 147 , Issue 5 , September 2011, pp. 1382 - 1412
Copyright
Copyright © Foundation Compositio Mathematica 2011

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