On considère l'espace {\mathcal B}_2 des homéomorphismes du plan obtenus en recollant deux translations, muni de la topologie compacte-ouverte. On construit une famille dans {\mathcal B}_2, continûment indexée par les éléments du Cantor \{0,1\}^\mathbb{Z}, pour laquelle les classes de conjugaison correspondent aux orbites du décalage (ou “ shift ”) sur \{0,1\}^\mathbb{Z}. Ceci permet de montrer qu'il n'y a pas de classification borélienne de la relation de conjugaison sur {\mathcal B}_2.