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Dirichlet Problems on Riemann Surfaces and Conformal Mappings

Published online by Cambridge University Press:  22 January 2016

Makoto Ohtsuka
Makoto Ohtsuka*
Affiliation:
Mathematical Institute, Nagoya University
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The object of this paper is an investigation of existence problems and Dirichlet problems on an abstract Riemann surface in the sense of Weyl-Radó or on a covering surface over it, and of boundary correspondence in the conformal mapping of the surface.

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Research Article
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Nagoya Mathematical Journal , Volume 3 , October 1951 , pp. 91 - 137
Copyright
Copyright © Editorial Board of Nagoya Mathematical Journal 1951

References

[1] Ahlfors, L.: Über die Anwendung differentialgeometrischer Methoden zur Untersuchung von Überiagerungsflâchen, Acta Soc. Sci. Fenn., N. s. A. 2 (1937), No. 6, 17 pp.Google Scholar
[2] Ahlfors, L.: Zur Uniformisierungstheorie, 9 Congrès Math. Scand. Helsingfors, (1939), pp. 235–248.Google Scholar
[3] Ahlfors, L.: Die Begründung des Dirichletschen Prinzips, Soc, Sci. Fenn. Comment. Phys.-math., 11 (1943), No. 15, 15 pp.Google Scholar
[4] Ahlfors, L.: Das Dirichletsche Prinzip, Math. Ann., 120 (1947), pp. 36–42.CrossRefGoogle Scholar
[1] Bader, R.: La théorie du potentiel sur une surface de Riemann, C. R. Acad. Sci. Paris, 228 (1949), pp. 2001–2002.Google Scholar
[1] Bieberbach, L.: Lehrbuch der Funktionentheorie, II, Leipzig and Berlin, 1 Aufl. (1927), 2 Aufl. (1931).Google Scholar
[1] Brelot, M.: Problème de Dirichlet et majorantes harmoniques, Bull. Sci. Math., (2), 63 (1939), pp. 79–96 and 115–128.Google Scholar
[2] Brelot, M.: Familles de Perron et problème de Dirichlet, Acta Univ. Szeged, 9 (1939), pp. 133–153.Google Scholar
[3] Brelot, M.: Sur l’allure à la frontière des fonctions harmoniques, sousharmoniques ou holomorphes, Bull. Soc. Roy. Liège, (1939), pp. 468–477.Google Scholar
[4] Brelot, M.: Sur la théorie autonome des fonctions sousharmoniques, Bull. Sci. Math., (2), 65 (1941), pp. 72–98.Google Scholar
[5] Brelot, M.: Le problème de Dirichlet “ramifié,” Ann. Grenoble, 22 (1946), pp. 167–200.Google Scholar
[1] Caratheodory, C.: Über die Begrenzung einfach zusammenhängender Gebiete, Math. Ann., 73 (1913), pp. 323–370.CrossRefGoogle Scholar
[2] Caratheodory, C.: Über das lineare Mass von Punktmengen—eine Verallgemeinerung des Längenbegriffs» Nachr. Gött., (1914), pp. 404–426.Google Scholar
[3] Caratheodory, C.: On Dirichlet’s problem, Amer. J. Math., 59 (1937), pp. 709–731.Google Scholar
[1] Evans, G. C.: Potentials and positively infinite singularities of harmonic functions, Monat. Math. Phys., 43 (1936), pp. 419–424.CrossRefGoogle Scholar
[1] Fédérer, H.: Surface area, I, Trans. Amer. Math. Soc, 55 (1944), pp. 420–437.Google Scholar
[1] Frostman, O.: Potentiel d’équilibre et capacité des ensembles avec quelques applications à la théorie des fonctions, Meddel. Lunds. Univ. Mat. Sem., 3 (1935), pp. 1–118.Google Scholar
[1] Heins, M. H.: The conformal mapping of simply-connected Reimann surfaces, Ann. of Math., 50 (1949), pp. 686–690.Google Scholar
[1] Iversen, F.: Sur quelques propriétés des fonctions monogènes au voisinage d’un point singulier, Õfv. af Finska Vet-Soc. Förh., A. 58 (1916), No.25, 17 pp.Google Scholar
[1] Julia, G.: Leçons sur la représentation conforme des aires multiplement connexes, Paris (1934).Google Scholar
[1] Kaila, E.: Über die Ränderzuordnung bei konformer Abbilding von mehrfachzusammenhàn-genden Gebieten, Ann. Acad. Sci. Fenn., (A) 55 (1940), No. 9, 63 pp.Google Scholar
[1] Kametani, S. and Ugaheri, T.: A remark on Kawakami’s extension of Löwner’s lemma, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 18 (1942), pp. 14–15.Google Scholar
[1] Kawakami, Y.: On an extension of Löwner’s lemma, Jap. J. Math., 17 (1941), pp. 569–572.Google Scholar
[1] Kerékjártó, B. v.: Vorlesungen über Topologie, Berlin (1923).Google Scholar
[1] Kodaira, K.: Theory of Riemann surfaces, Kôsû Kenkyu, 7–8(1943), (in Japanese).Google Scholar
[2] Kodaira, K.: Harmonic fields in Riemannian manifolds, Ann. of Math., 50 (1949), pp. 587–665.CrossRefGoogle Scholar
[1] Koebe, P.: Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven, III, Nachr. Gött., (1908), pp. 337–358.Google Scholar
[1] Kunugui, K.: Sur un théorème de M. M. Seidel-Beurling, Proc. Imp. Acad. Tokyo, 15 (1939), pp. 27–32.Google Scholar
[1] Löwner, K.: Untersuchungen über schlichte konforme Abbildungen des Einheitskreises, Math. Z., 3 (1919), pp. 103–121.Google Scholar
[1] Lusin, N. and Priwaloff, J.: Sur l’unicité et la multiplicité des fonctions analytiques, Ann. Ecole Norm., 42 (1925), pp. 143–191.Google Scholar
[1] Morse, A. P. and Randolph, J. P.: The 0-rectifiable subsets of the plane, Trans. Amer. Math. Soc, 55 (1944), pp. 236–305.Google Scholar
[1] Morse, M.: Functional topology and abstract variational theory, Paris (1938).Google Scholar
[1] Myers, S. E.: Arc length in metric and Finsler manifolds, Ann. of Math., 39 (1938), pp. 463–472.Google Scholar
[1] Myrberg, P. J.: Über die Existenz der Greenschen Funktionen auf einer gegebenen Riemannschen Fläche, Acta Math., 61 (1933), pp. 39–79.Google Scholar
[2] Myrberg, P. J.: Über den Fundamentalbereich der automorphen Funktionen, Ann. Acad. Sci. Fenn., A. I, (1941), No.2, 25 pp.Google Scholar
[1] Neumann, C.: Vorlesungen über Riemanns Théorie der Abelschen Integrale, 2 Aufl. Leipzig (1884).Google Scholar
[1] Nevanlinna, R.: Das harmonische Mass von Punktmengen und seine Anwendung in der Funktionen- theorie, 8 Congrès Scand. Stockholm, (1934), pp. 116–133.Google Scholar
[2] Nevanlinna, R.: Eindeutige analytische Funktionen, Berlin (1936).Google Scholar
[3] Nevanlinna, R.: Über die Lösbarkeit des Dirichletschen Problems für eine Riemannsche Fláche, Nachr. Gõtt., 1 (1938), pp. 181–193.Google Scholar
[4] Nevanlinna, R.: Ein Satz über offene Riemannsche Flächen, Ann. Acad. Sci. Fenn., (A) 54 (1940), No. 3, 16 pp.Google Scholar
[5] Nevanlinna, R.: Quadratisch integrierbare Differentiate auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit, Ann. Acad. Sci. Fenn., A. I, (1941), No. 1, 34 pp.Google Scholar
[6] Nevanlinna, R.: Über das Anwachsen des Dirichletintegrals einer analytischen Funktion auf einer offenen Riemannschen Flache, ibid., (1948), No. 45, 9 pp.Google Scholar
[7] Nevanlinna, R.: Über die Neumannsche Methode zur Konstruktion von Abelschen Integrale, Comment. Math. Helv., 22 (1949), pp. 302–316.CrossRefGoogle Scholar
[8] Nevanlinna, R.: Über die Anwendung einer Klasse von Integralgleichungen für Existenzbeweise in der Potentialtheorie, Acta Univ. Szeged, 12, A, (1950), pp. 146–160.Google Scholar
[1] Ohtsuka, M.: A theorem on the Poisson integral, Proc. Japan Acad., 22 (1946), pp. 195–197.Google Scholar
[1] Osgood, W. F.: Lehrbuch der Funktionentheorie, II, 2, Leipzig and Berlin (1932).Google Scholar
[1] Parreau, M.: Comportement à la frontière de la fonction de Green d’une surface de Riemann, C. R. Acad. Sic. Paris, 230 (1950), pp. 709–711.Google Scholar
[2] Parreau, M.: La théorie du potentiel sur les surfaces de Riemann à frontière positive, ibid., pp. 914–916.Google Scholar
[3] Parreau, M.: Sur les moyennes des fonctions harmoniques et- la classification des surfaces de Riemann, ibid., 231 (1950), pp. 679–681.Google Scholar
[1] Perron, O.: Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Aw = 0, Math. Z., 18 (1923), pp. 42–54.Google Scholar
[1] Rado, T.: Über den Begriff der Riemannschen Fläche, Acta Univ. Szeged, 2 (1925), pp. 101–121.Google Scholar
[2] Rado, T.: Length and area, New York (1948).Google Scholar
[1] Rado, T. and Riesz, F.: Über erste Randwertaufgabe für A«=0, Math. Z., 22 (1925), pp. 41–44.Google Scholar
[1] Remak, R.: Über potentialkonvexe Funktionen, Math. Z., 20 (1924), pp. 126–130.Google Scholar
[1] Riesz, F.: Über die Randwerte einer analytischen Funktion, Math. Z., 18 (1923), pp. 87–95.Google Scholar
[1] , F. and Riesz, M.: Über die Randwerte einer analytischen Funktion, 4 Congrès Scand. Stockholm, (1916), pp. 27–44 Google Scholar
[1] Saks, S.: Theory of the integral, Warsaw (1937).Google Scholar
[1] Sario, L.: Existence des fonctions d’allure donnée sur une surface de Riemann arbitraire, C. R. Acad. Sci. Paris, 229 (1949), pp. 1293–1295.Google Scholar
[2] Sario, L.: Quelques propriétés à la frontière se rattachant à la classification des surfaces de Riemann, ibid., 230 (1950), pp. 42–44.Google Scholar
[1] Seidel, W.: Über die Ränderzuordnung bei konformer Abbildung, Math. Ann., 104 (1931), pp. 182–243.CrossRefGoogle Scholar
[2] Seidel, W.: On the distribution of values of bounded analytic functions, Trans. Amer. Math. Soc, 36 (1934), pp. 201–226.Google Scholar
[1] Stoïlow, S.: Leçons sur les principes topologiques de la théorie des fonctions analytiques, Paris (1938).Google Scholar
[1] Tamura, J.: On the existence of automorphic functions, Math, Report of Todai-Kyoyogakubu, 1 (1950), pp. 157–164, (in Japanese).Google Scholar
[1] Teichmüller, O.: Erreichbare Randpunkte, Deut. Math., 4 (1939), pp. 455–461.Google Scholar
[1] Tsuji, M.: A theorem on conformal mapping, Jap. J, Math., 17 (1940), pp. 97–108.Google Scholar
[2] Tsuji, M.: On an extension of Löwner’s theorem, Proc. Imp, Acad. Tokyo, 18 (1942), pp. 220–221.Google Scholar
[3] Tsuji, M.: Theory of meromorphic function in a neighbourhood of a closed set of capacity zero, Jap. J, Math., 19 (1944), pp. 139–154.Google Scholar
[4] Tsuji, M.: Some metrical theorems on Fuchsian groups, Jap. J. Math., 19 (1947), pp. 483–516.Google Scholar
[1] Virtanen, K. L: Über die Existenz von beschränkten harmonischen Funktionen auf offenen Rie-mannschen Flachen, Ann. Acad. Sci. Fenn., A. L, (1950), No. 75, 7 pp.Google Scholar
[1] Weyl, H.: Die Idee der Riemannschen Fläche, Leipzig and Berlin (1913).Google Scholar
[2] Weyl, H.: The method of orthogonal projection in potential theory, Duke Math. J., 7 (1940), pp. 411–444.Google Scholar