Démonstration. Traitons d’abord le cas où $\lambda _{1}\ge \rho $ . Nous construisons $X_0$ par itération en commençant par $X_0=\emptyset $ . À chaque étape, nous ajoutons s’il en existe un point de X qui est à distance au moins $\rho $ de tous les points de $X_0$ . Après N étapes, $X_0$ est formé de N points deux à deux à distance au moins $\rho $ . Choisissons un ensemble $Y_0$ (de cardinal N) de représentants de $X_0$ dans $\Lambda \otimes \mathbb {R}$ . Considérons ensuite l’union des boules de rayon $\rho /2$ centrées aux points de $Y_{0}+\Lambda $ . Elles sont disjointes car, si deux centres viennent de translatés par deux points différents de $Y_{0}$ , ils sont à distance au moins $\rho $ puisque c’est le cas de leurs images (dans $X_{0}$ ) tandis que, s’ils viennent du même point de $Y_{0}$ , ils diffèrent par un élément non nul de $\Lambda $ de norme au moins $\lambda _{1}\ge \rho $ . Nous obtenons donc un empilement de sphères, de densité centrale $N(\rho /2)^{n}\operatorname {\mathrm {vol}}(\Lambda )^{-1}$ . Cette quantité est ainsi majorée par $d_{n}$ , ce qui montre à la fois que le procédé itératif s’arrête et que l’ensemble final $X_0$ vérifie bien les propriétés de l’énoncé. Traitons maintenant le cas général. Nous notons $\vert \cdot \vert $ la norme euclidienne donnée, $f_{1},\ldots ,f_{n}$ une famille libre de $\Lambda $ avec $\vert f_{i}\vert =\lambda _{i}$ pour $1\le i\le n$ puis $e_{1},\ldots ,e_{n}$ une base orthonormée de $(\Lambda \otimes \mathbb {R},\vert \cdot \vert )$ telle que $\operatorname {\mathrm {Vect}}_{\mathbb {R}}(e_{1},\ldots ,e_{i})=\operatorname {\mathrm {Vect}}_{\mathbb {R}}(f_{1},\ldots ,f_{i})$ pour $1\le i\le n$ . Introduisons une seconde norme euclidienne sur $\Lambda \otimes \mathbb {R}$ par la formule (pour $x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R}$ )

$$\begin{align*}\bigg\Vert\sum_{i=1}^{n}{x_{i}e_{i}}\bigg\Vert^{2}= \sum_{i=1}^{n}{x_{i}^{2}\max{\left(1,\frac{\rho}{\lambda_{i}}\right)^{2}}}.\end{align*}$$

Si $x\in \Lambda \setminus \{0\}$ il existe $1\le i\le n$ tel que $x\in \operatorname {\mathrm {Vect}}_{\mathbb {Q}}(f_{1},\ldots ,f_{i})\setminus \operatorname {\mathrm {Vect}}_{\mathbb {Q}}(f_{1},\ldots ,f_{i-1})$ . Par définition des minima successifs, ceci entraîne $\vert x\vert \ge \lambda _{i}$ donc $\Vert x\Vert \ge \vert x\vert \rho /\lambda _{i}\ge \rho $ . Ainsi le premier cas s’applique au réseau euclidien $(\Lambda ,\Vert \cdot \Vert )$ . Nous aboutissons au résultat souhaité puisque d’une part

$$\begin{align*}\operatorname{\mathrm{vol}}(\Lambda,\Vert\cdot\Vert)=\operatorname{\mathrm{vol}}(\Lambda,\vert\cdot\vert) \prod_{i=1}^{n}{\max{\left(1,\frac{\rho}{\lambda_{i}}\right)}}\end{align*}$$

et d’autre part la distance induite par $\Vert \cdot \Vert $ est supérieure à celle induite par $\vert \cdot \vert $ (car $\Vert x\Vert \ge \vert x\vert $ pour tout $x\in \Lambda \otimes \mathbb {R}$ ).

Démonstration. Nous choisissons une famille libre $e_1, \ldots ,e_m$ de $\Lambda $ avec $|e_i|=\lambda _i$ ( $1\le i\le m$ ) et $\langle e_i,e_{i+1}\rangle \ge 0$ ( $1\le i<m$ ). Notons $V=\operatorname {\mathrm {Vect}}(e_1, \ldots ,e_m) \subset \Lambda \otimes \mathbb {R}$ et définissons $\ell $ par les conditions $\ell (V^\bot )=\{0\}$ et $\ell (e_i)=N_{i+1} \cdots N_m\delta $ ( $1\le i\le m$ ) où $\delta $ est uniquement déterminé de sorte que $\ell $ soit unitaire. Posons

$$ \begin{align*}\mathcal{S}_0=\{x\in\mathbb{Z}\delta\mid\exists\, y\in\Lambda,\ |y|\le r,\ \ell(y)=x\}.\end{align*} $$

Nous avons $0\in \mathcal {S}_0$ et $-\mathcal {S}_0=\mathcal {S}_0$ . Il est donc possible de choisir pour chaque élément de $\mathcal {S}_0$ un antécédent par $\ell $ dans $\{y\in \Lambda \mid |y|\le r\}$ de sorte que leur ensemble $\mathcal {S}$ vérifie aussi $0\in \mathcal {S}$ et $-\mathcal {S}=\mathcal {S}$ . De cette façon, toutes les conditions de l’énoncé sont remplies sauf peut-être les deux minorations.

Remarquons que $\Lambda \cap \operatorname {\mathrm {Ker}}\ell \cap V$ est un réseau de $\operatorname {\mathrm {Ker}}\ell \cap V$ dont une famille libre (maximale) est formée par les éléments $e_i-N_{i+1}e_{i+1}$ ( $1\le i\le m-1$ ). Par suite, le rayon de recouvrement $\rho $ de ce réseau vérifie (voir le lemme 1 de [Reference Bantegnie3])

$$ \begin{align*}\begin{aligned} 4\rho^2\le \sum_{i=1}^{m-1}|e_i-N_{i+1}e_{i+1}|^2 &=\sum_{i=1}^{m-1}|e_i|^2+N_{i+1}^2|e_{i+1}|^2-2N_{i+1}\langle e_i,e_{i+1}\rangle\\ &\le\sum_{i=1}^{m-1}\lambda_i^2+N_{i+1}^2 \lambda_{i+1}^2\end{aligned}\end{align*} $$

et en particulier $\rho \le r$ par hypothèse. Tout ceci vaut même dans le cas dégénéré $m=1$ où $\rho =0$ est le rayon de recouvrement du réseau trivial.

Considérons maintenant $x\in \mathbb {Z}\delta $ et écrivons $(x/\delta )e_m=\mu +\xi $ où $\mu \in \operatorname {\mathrm {Ker}}\ell \cap V$ et $\xi \in (\operatorname {\mathrm {Ker}}\ell )^\bot $ . Puisque $\ell (e_m)=\delta $ , il vient $\ell (\xi )=x$ et, $\ell $ étant unitaire, $|\xi |=|x|$ . Par définition de $\rho $ , il existe $\lambda \in \Lambda \cap \operatorname {\mathrm {Ker}}\ell \cap V$ avec $|\mu -\lambda |\le \rho $ . Posons ensuite $y=(x/\delta )e_m-\lambda \in \Lambda $ . Nous avons $\ell (y)=x$ et $|y|^2= |\mu -\lambda |^2+|\xi |^2\le \rho ^2+|x|^2$ . Ceci permet de conclure

$$ \begin{align*}\{x\in\mathbb{Z}\delta\mid|x|^2\le r^2-\rho^2\}\subset\mathcal{S}_0.\end{align*} $$

L’ensemble de gauche est de cardinal $2\lfloor \sqrt {r^2-\rho ^2}/\delta \rfloor +1$ . Nous distinguons alors deux cas. Si l’inclusion ci-dessus est stricte alors $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}_0.\delta \ge 2\sqrt {r^2-\rho ^2}$ . Si en revanche c’est une égalité, nous pouvons seulement écrire $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}_0+1\ge 2\sqrt {r^2-\rho ^2}/\delta $ donc

$$\begin{align*}\operatorname{\mathrm{Card}}\mathcal{S}_0.\delta\ge\left(1-\frac{1}{\operatorname{\mathrm{Card}}\mathcal{S}_0+1}\right) 2\sqrt{r^2-\rho^2}\end{align*}$$

mais l’égalité et $\lfloor r/\lambda _1\rfloor N_2 \cdots N_m\delta \in \mathcal {S}_0$ (utiliser $y=\lfloor r/\lambda _1\rfloor e_1$ ) donnent $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}_0\ge 2\lfloor r/\lambda _1\rfloor N_2 \cdots N_m+1$ . Ainsi dans les deux cas nous trouvons

$$\begin{align*}\operatorname{\mathrm{Card}}\mathcal{S}_0.\delta\ge \left(1-\frac{1}{2\lfloor r/\lambda_1\rfloor N_2 \cdots N_m+2}\right)\sqrt{4r^2-4\rho^2}\end{align*}$$

puis, grâce à la borne obtenue pour $4\rho ^2$ , la minoration souhaitée de $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}.\delta =\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}_0.\delta $ .

Pour finir, montrons $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}=\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}_0\ge N_1 \cdots N_m$ . Notons pour cela $\epsilon _1, \ldots ,\epsilon _m$ une base orthonormée de $\operatorname {\mathrm {Hom}}_{\mathbb {R}}(V,\mathbb {R})$ telle que $\epsilon _i(e_j)=0$ si $1\le i<j\le m$ puis

$$ \begin{align*}\mathcal{S}_1=\Big\{x\in\bigoplus_{i=1}^m\mathbb{Z} e_i\mid-\frac{N_i}{2} |\epsilon_i(e_i)|\le\epsilon_i(x)<\frac{N_i}{2}|\epsilon_i(e_i)|\Big\}.\end{align*} $$

Puisque $|\epsilon _i(e_i)|\le |e_i|=\lambda _i$ , la condition $\sum _{i=1}^mN_i^2\lambda _i^2\le 4r^2$ montre $\mathcal {S}_1\subset \{x\in \Lambda \mid |x|\le r\}$ d’où $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}_0\ge \operatorname {\mathrm {Card}}\ell (\mathcal {S}_1)$ . Soient x et y deux éléments distincts de $\mathcal {S}_1$ que nous écrivons $x=\sum _{i=1}^mx_ie_i$ et $y=\sum _{i=1}^my_ie_i$ . Notons encore j le plus grand entier tel que $x_j\ne y_j$ . Nous avons $\epsilon _j(x-y)=(x_j-y_j)\epsilon _j(e_j)$ d’où $|x_j-y_j|<N_j$ puis $x_j-y_j\in \mathbb {Z}\setminus N_j\mathbb {Z}$ . Par suite

$$ \begin{align*}\ell(x-y)=\left(x_j-y_j+\sum_{i=1}^{j-1}(x_i-y_i)N_{i+1} \cdots N_j\right) N_{j+1} \cdots N_m\delta\not\in N_j \cdots N_m\delta\mathbb{Z}\end{align*} $$

est non nul. Cet argument entraîne $\operatorname {\mathrm {Card}}\ell (\mathcal {S}_1)=\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}_1$ . Finalement, le même calcul montre aussi $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}_1=N_1 \cdots N_m$ car, si $x_{j+1}, \ldots ,x_m$ sont fixés, il y a exactement $N_j$ choix de $x_j$ compatibles avec la condition $\sum _{i=1}^mx_ie_i\in \mathcal {S}_1$ .

Démonstration. Posons $a=|\tau |^2$ et $b=\operatorname {\mathrm {Re}}\tau $ . En élevant au carré chaque inégalité et en développant, nous devons montrer (pour $a\ge 1$ et $0\le b\le 1/2$ ) : $4a-4b+1\le 5(a-b^2)$ , $5(4a-4b+1) \min (9,4a+8b+4)\le 216(a-b^2)$ et, si $6a\le a+4b+4$ , alors $5(4a-4b+1)(a+4b+4)\le 144(a-b^2)$ . En séparant selon la valeur du minimum, nous obtenons quatre inégalités polynomiales (de degré 2) assez faciles à vérifier. Par exemple, dans le cas où $4a+8b+4\le 9$ , nous devons voir que $P=80a^2+80ab-116a+56b^2-40b+20$ est négatif ; cette expression est croissante en b donc avec $b\le (5-4a)/8$ il vient $P\le 54a^2-81a+135/8=54(a-1/4)(a-5/4)\le 0$ puisqu’ici $1\le a\le 5/4$ . De manière analogue, dans le cas où $5a\le 4b+4$ , nous utilisons successivement la croissance en b, $b\le 1/2$ puis $1\le a\le 6/5$ pour avoir $20a^2+60ab-59a+64b^2-60b+20 \le 20a^2-29a+6=20(a-1/4)(a-6/5)\le 0$ . Les deux cas restants sont encore plus simples (car linéaires en a) et donc omis.

Démonstration. Par homogénéité, nous pouvons supposer $\lambda _1=1$ et même identifier $\Lambda $ au réseau $\mathbb {Z}\oplus \mathbb {Z}\tau $ de $\mathbb {C}$ où $\tau $ est comme dans le lemme précédent (donc $\lambda _2=|\tau |$ ). Posons alors $\delta =|\operatorname {\mathrm {Im}}\tau |/|2\tau -1|$ et définissons $\ell $ par $\ell (1)=2\delta $ et $\ell (\tau )=\delta $ . La valeur de $\delta $ assure que $\ell $ est unitaire. D’autre part, les 13 points $0$ , $\pm 1$ , $\pm \tau $ , $\pm (1+\tau )$ , $\pm 2$ , $\pm (2+\tau )$ , $\pm (2+2\tau )$ ont des images distinctes par $\ell $ . Nous définissons $\mathcal {S}$ comme l’ensemble des éléments de norme $\le r$ parmi ces treize points. L’hypothèse $\sqrt 6\le r/|\tau |\le r\le 3$ montre $|\tau |\le r/\sqrt 6$ et $1\le r/\sqrt 6$ donc les neuf premiers points sont toujours de norme $\le r$ . Ceci entraîne $\operatorname {\mathrm {Card}}\ell (\mathcal {S})=\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}\ge 9$ . Pour minorer $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}.\delta /r$ distinguons trois cas. Si $r<|2+\tau |<|2+2\tau |$ alors $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}=9$ et, puisque $|\tau |\sqrt 6\le r<|2+\tau |$ , le lemme précédent donne

$$ \begin{align*}{\operatorname{\mathrm{Card}}\mathcal{S}.\delta\over r}\ge\frac{9\delta}{|2+\tau|}\ge\frac{9\sqrt5}{12}.\end{align*} $$

Si $|2+\tau |\le r<|2+2\tau |$ alors $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}=11$ et (avec $r\le 3$ )

$$ \begin{align*}{\operatorname{\mathrm{Card}}\mathcal{S}.\delta\over r}\ge{11\delta\over\min(3,|2+2\tau|)} \ge{11\sqrt5\over6\sqrt6}\end{align*} $$

par le lemme. Enfin, si $r\ge |2+2\tau |>|2+\tau |$ alors $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}=13$ et

$$ \begin{align*}{\operatorname{\mathrm{Card}}\mathcal{S}.\delta\over r}\ge\frac{13\delta}{3}\ge\frac{13}{3\sqrt5}.\end{align*} $$

Il reste à constater $13/3\sqrt 5\ge 3\sqrt 5/4\ge 11\sqrt 5/6\sqrt 6\ge 5/3$ .

Démonstration. Posons $M_i=\lceil r/\lambda _i\sqrt {6(n-2)}\rceil $ pour $1\le i\le n$ . Nous avons $1\le M_n\le \cdots \le M_2\le M_1$ . Lorsque $M_1=1$ , les choix $\mathcal {S}=\{0\}$ et $\delta =5r/3$ conviennent (pour tout $\ell $ ). Sinon notons $\nu $ ( $1\le \nu \le n$ ) le plus grand entier tel que $M_\nu \ge 2$ . Par définition de la partie entière supérieure, nous avons pour $1\le i\le \nu $

$$ \begin{align*}M_i \lambda_i\le{M_i\over M_i-1}{r\over\sqrt{6(n-2)}}\le{2r\over\sqrt{6(n-2)}}.\end{align*} $$

Dans le cas particulier où $\nu \in \{2,3\}$ et $r\le 3\lambda _1$ , il vient $M_1=M_2=M_\nu =2$ et $\sqrt 6\le r/\lambda _2\le r/\lambda _1\le 3$  ; ainsi le lemme 2.4 s’applique à un sous-réseau de rang 2 de $\Lambda $ de minima $\lambda _1$ et $\lambda _2$ et donne donc le résultat (en étendant $\ell $ par $0$ sur l’orthogonal de ce sous-réseau) puisque $M_1 \cdots M_n= 2^\nu \le 9$ . Dans tous les autres cas, nous employons le théorème 2.2 avec les choix $N_1=2M_1$ et $N_i=M_i$ pour $2\le i\le m$ où l’entier m est défini par : $m=\nu -1$ si $\nu \ge 3$ et $M_\nu =2$  ; $m=\nu $ sinon. Ceci assure $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}\ge N_1 \cdots N_m\ge M_1 \cdots M_\nu =M_1 \cdots M_n$ tandis que la première hypothèse du théorème est satisfaite puisque (avec $n\ge 3$ )

$$ \begin{align*}\sum_{i=1}^mN_i^2\lambda_i^2=3M_1^2\lambda_1^2+\sum_{i=1}^mM_i^2\lambda_i^2 \le(m+3)\frac{4r^2}{6(n-2)}\le\frac{n+3}{6(n-2)}4r^2\le4r^2.\end{align*} $$

Il nous reste simplement à minorer $N=2\lfloor r/\lambda _1\rfloor N_2 \cdots N_m$ et à majorer $\alpha =\sum _{i=1}^{m-1}\lambda _{i}^2+N_{i+1}^2\lambda _{i+1}^2$ . Nous avons toujours $r\ge \lambda _1\sqrt 6$ donc $N\ge 2^{m+1}$ . Si $m=1$ , nous utilisons $N\ge 4$ et $\alpha =0$ . Si $m=2$ , nous avons $\nu \in \{2,3\}$ donc, puisque le cas $r\le 3\lambda _1$ a déjà été traité, nous supposons $r\ge 3\lambda _1$ ce qui donne $N\ge 12$ et

$$ \begin{align*}\alpha=\lambda_1^2+M_2^2\lambda_2^2 \le{r^2\over9}+{4r^2\over6(n-2)}\le{7\over9}r^2.\end{align*} $$

Lorsque $m\ge 3$ , nous retenons $N\ge 16$ et écrivons

$$ \begin{align*}\alpha\le\sum_{i=2}^m(1+M_i^2)\lambda_i^2\le{r^2\over6(n-2)}\sum_{i=2}^m {M_i^2+1\over(M_i-1)^2}\le{r^2\over6(n-2)}(m-1){M_m^2+1\over(M_m-1)^2}.\end{align*} $$

Par définition de m, ou bien $m\le n-1$ et $M_m\ge 2$ ou bien $m=n$ et $M_m\ge 3$ . Dans les deux situations, le majorant précédent entraîne $\alpha \le 5r^2/6$ . Ainsi la condition $\alpha \le 4r^2$ est toujours remplie et, grâce à

$$ \begin{align*}\begin{aligned} \left(1-{1\over16+2}\right) \sqrt{4-{5\over6}}={5\over3}\sqrt{5491\over5400}&>\left(1-\frac{1}{12+2} \right)\sqrt{4-\frac{7}{9}}=\frac{5}{3}\sqrt{\frac{4901}{4900}}\\ & > \left(1-\frac{1}{4+2}\right)\sqrt{4}={5\over3}, \end{aligned} \end{align*} $$

le théorème implique bien $\operatorname {\mathrm {Card}}\mathcal {S}.\delta \ge (1-1/(N+2))\sqrt {4r^2-\alpha }\ge 5r/3$ dans tous les cas.

Démonstration. Nous supposons $|\tau |\ne 0$ (sinon les deux formules se réduisent à l’inégalité tautologique $|f(w)|\le |f|_R$ ). Posons $\rho _i= (\tau _i/|\tau |)^{1/2}(R-|w|)$ puis notons $\mathcal {D}$ le polydisque défini par $|z_i|\le \rho _i$ pour tout i. L’inégalité de Cauchy dans $\mathcal {D}$ donne la majoration

$$\begin{align*}\left|\frac{1}{\tau !}D^{\tau}f(w)\right|\le \frac{1}{\rho_{1}^{\tau_{1}}\cdots\rho_{g}^{\tau_{g}}}\sup{\left\{|f(w+z)| \mid z\in\mathcal{D}\right\}}\end{align*}$$

qui entraîne immédiatement la première estimation de l’énoncé puisque $|w+z|\le R$ si $z\in \mathcal {D}$ . Pour la seconde, supposons dans un premier temps $g=1$ et définissons $v\colon \{z\in \mathbb {C}\mid |z|\le R\}\to \mathbb {C}$ par

$$\begin{align*}v(z)=f(z)\left(\frac{R^{2}-z\overline{w}}{R(z-w)}\right)^{\tau}.\end{align*}$$

L’hypothèse d’annulation de f en w montre que v est holomorphe et

$$\begin{align*}v(w)=\frac{1}{\tau !}f^{(\tau)}(w)\left(\frac{R^{2}-\vert w\vert^{2}}{R}\right)^{\tau}.\end{align*}$$

En outre, $\vert v\vert $ coïncide avec $\vert f\vert $ sur le cercle $\vert z\vert =R$ donc le principe du maximum donne $\vert v(w)\vert \le \vert v\vert _{R}=\vert f\vert _{R}$ , qui est le résultat recherché. En dimension g quelconque, notons P le polynôme de Taylor de f d’ordre $\vert \tau \vert $ en w

$$\begin{align*}P(t)=\sum_{\vert\tau'\vert=\vert\tau\vert}{\frac{1}{\tau'!} D^{\tau'}\!\!f(w)t_{1}^{\tau_{1}^{\prime}}\cdots t_{g}^{\tau_{g}^{\prime}}}\end{align*}$$

pour $t\in \mathbb {C}^{g}$ . En vertu de la première assertion (dans la boule unité), nous avons

$$\begin{align*}\left\vert\frac{\zeta_{\tau}}{\tau!}D^{\tau}\!f(w)\right\vert=\left\vert\frac{\zeta_{\tau}}{\tau!}D^{\tau}\!P(0)\right\vert\le\vert P\vert_{1}.\end{align*}$$

Il nous suffit donc de majorer $\vert P(t)\vert $ pour $\vert t\vert =1$ . Or, par la formule de Leibniz, $P(t)$ est la dérivée divisée à l’ordre $\vert \tau \vert $ en $0$ de la fonction d’une variable $z\mapsto f(w+zt)$ . Son domaine $\{z\in \mathbb {C}\mid \vert w+zt\vert \le R\}$ est un disque contenant $0$ dont nous notons $a\in \mathbb {C}$ le centre et $R_{1}$ le rayon. Le cas $g=1$ donne donc

$$\begin{align*}|P(t)|\le\left(\frac{R_{1}}{R_{1}^{2}-\vert a\vert^{2}}\right)^{\vert\tau\vert}\vert f\vert_{R}.\end{align*}$$

Il reste simplement à constater $R_{1}\le R$ et $R_{1}^{2}-\vert a\vert ^{2}=R^{2}-\vert w\vert ^{2}$ (qui découle par exemple de $\vert w+(a+R_{1})t\vert =\vert w+(a-R_{1})t\vert =R$ ).

Démonstration. (1) Le membre de gauche décroît avec S (impair). En effet, si on le note $\alpha _{S}$ , on a $\log (\alpha _{S}/\alpha _{S+2})=(S+1)\log (1+2/S)-2=(S+1)f(S)$ où $f(x)=\log (1+2/x)-2/(x+1)$ vérifie $f'(x)=-2/x(x+1)^2(x+2)<0$ pour $x>0$ . La fonction f est donc décroissante sur $]0,+\infty [$ . Ainsi $f(S)\ge \lim \limits _{x\to +\infty }{f(x)}=0$ puis $\alpha _{S}\ge \alpha _{S+2}$ . L’égalité

$$\begin{align*}\prod_{n=1}^{\frac{S-1}{2}}{\left(n^2-\frac1{4}\right)}=\frac{S!(S-1)!}{4^{S-1}(\frac{S-1}{2})!^2}\end{align*}$$

et la formule de Stirling montrent alors $\lim \limits _{S\to +\infty }{\alpha _{S}}=4$ , ce qui permet de conclure.

(2) La fonction $a\mapsto \frac {(a+\delta )^2+r^2}{a^2+r^2}$ est croissante sur $[0,r-\delta /2]$ donc

$$\begin{align*}\frac{b^2+r^2}{a^2+r^2}\le\frac{(r+\delta/2)^2+r^2}{(r-\delta/2)^2+r^2}\end{align*}$$

et l’expression à majorer est plus petite que

$$\begin{align*}\left(\frac{\delta}{2r}\right)^2\left(1+\frac{\delta}{2r}\right)^2\left(2+\frac{\delta}{2r}\right)^2\left(\frac{1+\left(1+\frac{\delta}{2r}\right)^2}{1+\left(1-\frac{\delta}{2r}\right)^2}\right)^{S-3}r^{6}(a^2+r^2)^{S-3}.\end{align*}$$

Cette borne est une fonction croissante de $\delta /2r$ , que nous pouvons donc remplacer par $1/(S-1)$ . Elle est ainsi inférieure à

$$\begin{align*}\frac{S^2(2S-1)^2}{(S-1)^{6}}\left(\frac{S^2+(S-1)^2}{(S-1)^2+(S-2)^2}\right)^{S-3}r^{6}(a^2+r^2)^{S-3}.\end{align*}$$

On conclut par un calcul direct si $S\in \{3,4\}$ tandis que les estimations $S^2(2S-1)^2\le (S-1)^{6}/2$ et

$$ \begin{align*}\begin{aligned}\left(\frac{S^2+(S-1)^2}{(S-1)^2+(S-2)^2}\right)^{S-3}&=\left(1+\frac{4(S-1)}{(S-1)^2+(S-2)^2}\right)^{S-3}\\ &\le\exp{\left(\frac{4(S-1)(S-3)}{(S-1)^2+(S-2)^2}\right)}\le e^2\end{aligned}\end{align*} $$

donnent le résultat pour $S\ge 5$ .

Démonstration. Le cas $T=0$ découle de $\vert f\vert _{a}\le \vert f\vert _{R}$ . On suppose maintenant $T\ge 1$ et on pose $\varepsilon =\delta /4T$ . Quitte à remplacer R par $R-\eta $ on suppose que f est holomorphe sur un voisinage de $\{z\in \mathbb {C}\mid \vert z\vert \le R\}$ . On note D la réunion du disque $D_{a}\subset \mathbb {C}$ de centre $0$ et de rayon a et de l’ensemble des disques de centre dans $\mathcal {S}$ et de rayon $\delta /2$ qui rencontrent $D_{a}$ . Par le principe du maximum, on a $\vert f\vert _{a}\le \sup {\{\vert f(z)\vert \mid z\in \partial D\}}$ . Considérons donc $z\in \partial D$ . Par construction $\vert z-x\vert \ge \delta /2$ pour tout $x\in \mathcal {S}$ . De plus ou bien $\vert z\vert =a$ ou bien il existe $y\in \mathcal {S}$ avec $\vert z-y\vert =\delta /2$ (ce second cas n’arrive que si $a\le r+\delta /2$ ). Enfin $\vert z\vert \le b$ où $b=a$ si $a\ge r+\delta /2$ , $b=r+\delta /2$ si $r-\delta /2\le a\le r+\delta /2$ et $b=a+\delta $ si $0\le a\le r-\delta /2$ . Appliquons la formule d’Hermite (voir par exemple [Reference Bosser and Gaudron5, p. 250]) au point z, aux chemins $\Gamma =\{\xi \in \mathbb {C}\mid \vert \xi \vert =R\}$ et $\Gamma _{x}=\{\xi \in \mathbb {C}\mid \vert \xi -x\vert =\delta /2-\varepsilon \}$ ainsi qu’au poids $\omega (\xi )=\prod _{x\in \mathcal {S}}{(\xi -x)^{T}}$ . Notons que par symétrie on a $\vert \omega (\xi )\vert =\prod _{x\in \mathcal {S}}{\vert \xi ^2-x^2\vert ^{T/2}}$ . Nous devons minorer $\vert \omega \vert $ sur $\Gamma $ et $\Gamma _{y}$ ( $y\in \mathcal {S}$ ) et majorer $\vert \omega (z)\vert $ . Si $\xi \in \Gamma $ on a simplement $\vert \omega (\xi )\vert \ge (R^2-r^2)^{ST/2}$ . Pour $\xi \in \Gamma _{y}$ , on minore

$$\begin{align*}\vert\omega(\xi)\vert\ge\vert\xi-y\vert^{T}\prod_{x\in\mathcal{S}\setminus\{y\}}{\vert\operatorname{\mathrm{Re}}(\xi-x)\vert^{T}}=\left(\frac{\delta}{2}-\varepsilon\right)^{T}\prod_{x\in\mathcal{S}\setminus\{y\}}{\vert\operatorname{\mathrm{Re}}(\xi)-\operatorname{\mathrm{Re}}(x)\vert^{T}}.\end{align*}$$

L’ensemble E de cardinal $S-1$ inclus dans $\mathbb {Z}\delta \setminus \{\operatorname {\mathrm {Re}}(y)\}$ qui minimise le produit $\prod _{u\in E}{\vert \operatorname {\mathrm {Re}}(\xi )-u\vert }$ est $\{\operatorname {\mathrm {Re}}(y)\pm n\delta \mid 1\le n\le (S-1)/2\}$ . Ainsi

$$\begin{align*}\prod_{x\in\mathcal{S}\setminus\{y\}}{\vert\operatorname{\mathrm{Re}}(\xi)-\operatorname{\mathrm{Re}}(x)\vert}\ge\prod_{n=1}^{(S-1)/2}{(\delta^2n^2-\lambda^2)}\quad \text{o{\`u} } \lambda=\operatorname{\mathrm{Re}}(\xi)-\operatorname{\mathrm{Re}}(y)\in\Big[-\frac{\delta}{2},\frac{\delta}{2}\Big]. \end{align*}$$

En particulier $\lambda ^2\le \delta ^2/4$ et, par l’assertion (1) du lemme préliminaire, nous trouvons

$$\begin{align*}\vert\omega(\xi)\vert\ge\left(\frac1{2}-\frac1{4T}\right)^{T}4^{T}\left(\frac{\delta S}{2e}\right)^{ST}\ge 2^{T-1}\left(\frac{\delta S}{2e}\right)^{ST}.\end{align*}$$

Montrons maintenant que $\vert \omega (z)\vert \le 2^{T}(a^2+r^2)^{ST/2}$ . Si $\vert z\vert =a$ on a directement $\vert \omega (z)\vert \le (a^2+r^2)^{ST/2}$ donc nous pouvons supposer qu’il existe $y\in \mathcal {S}$ avec $\vert z-y\vert =\delta /2$ . Lorsque $y\ne 0$ , nous majorons $\vert z^2-x^2\vert $ par $b^2+r^2$ si $x\not \in \{-y,0,y\}$ , par $b^2$ si $x=0$ et par $\delta (b+r)/2$ si $x\in \{-y,y\}$ de sorte que $\vert \omega (z)\vert ^{2/T}\le (\delta ^2/4)b^2(b+r)^2(b^2+r^2)^{S-3}$ . Par l’assertion (2) du lemme, cette borne est plus petite que $4(a^2+r^2)^{S}$ si $0\le a\le r-\delta /2$ . On notera que l’hypothèse $\delta \le 2r/(S-1)$ de ce lemme est satisfaite car $\operatorname {\mathrm {Re}}(\mathcal {S})$ est composé de S multiples entiers de $\delta $ , tous inclus dans l’intervalle $[-r,r]$ . Lorsque $r-\delta /2\le a\le r+\delta /2$ et donc $b=r+\delta /2$ , le cas $a=r-\delta /2$ de cette même assertion donne $\vert \omega (z)\vert ^{2/T}\le 4r^{6}((r-\delta /2)^2+r^2)^{S-3}\le 4(a^2+r^2)^{S}$ . Lorsque $y=0$ (donc $\vert z\vert =\delta /2$ ) nous majorons $\vert \omega (z)\vert ^{2/T}\le (\delta ^2/4)\left (\delta ^2/4+r^2\right )^{S-1}$ puis, avec $\delta \le 2r/(S-1)$ , on a

$$\begin{align*}\vert\omega(z)\vert^{2/T}\le \frac{r^{2S}}{(S-1)^2}\left(1+\frac1{(S-1)^2}\right)^{S-1}\le \frac{r^{2S}}{4}e^{1/(S-1)}\le r^{2S}\le(a^2+r^2)^{S}.\end{align*}$$

On reporte ces trois estimations pour $\omega $ dans la formule d’Hermite et l’on conclut avec $\vert \xi -z\vert \ge R-b\ge R-\max {(a,r+\delta /2)}$ pour $\xi \in \Gamma $ et $\vert \xi -z\vert \ge \varepsilon $ si $\xi \in \Gamma _{x}$ ce qui donne $\frac 1{2\pi }\vert \int _{\Gamma _{x}}{\mathrm {d}\xi /(\xi -x)}\vert \le \delta /2\varepsilon =2T$ . Dans le cas où $a=r$ , nous montrons $\vert \omega (z)\vert \le 2^{-T/2}(2r^2)^{ST/2}$ . Si $\vert z\vert =r$ cela découle de $\vert \omega (z)\vert \le r^{T}(a^2+r^2)^{(S-1)T/2}$ (on met à part le facteur correspondant à $x=0$ dans la définition de $\omega (z)$ ). S’il existe $y\in \mathcal {S}$ avec $\vert z-y\vert =\delta /2$ , cela suit des calculs ci-dessus puisque $\vert \omega (z)\vert ^{2/T}\le 4r^{6}(a^2+r^2)^{S-3}=(2r^2)^{S}/2$ (aussi bien si $y\ne 0$ que si $y=0$ ). Par conséquent, nous gagnons un facteur $8^{-T/2}$ par rapport au cas général. Dans le premier terme, nous utilisons $2^{-T/2}\le 1$ tandis que dans le second terme nous employons $8^{-1/2}\le e^{-1}\le (S/(S+1))^S$ .

Démonstration. Si $R\le 2\vert w\vert +r$ alors le terme devant $\vert F\vert _{R}$ est plus grand que $1$ et le résultat découle de $\vert F\vert _{r}\le \vert F\vert _{R}$ . Supposons maintenant $R>2\vert w\vert +r$ . Soit $x=(x_1,\ldots ,x_{g})\in \mathbb {C}^{g}$ tel que $\vert x\vert =1$ . Considérons la fonction holomorphe en la variable $z\in \mathbb {C}$ de module $\le R-\vert w\vert $

$$\begin{align*}u_{x}(z)=z^{-T}\left(F(w+zx)-\sum_{\vert\tau\vert<T}{\frac{D^{\tau}\!F(w)}{\tau!}x_1^{\tau_1}\cdots x_{g}^{\tau_{g}}z^{\vert\tau\vert}}\right)\end{align*}$$

à laquelle on applique $\vert u_{x}\vert _{r+\vert w\vert }\le \vert u_{x}\vert _{R-\vert w\vert }$ . On choisit alors z (de module $\le r+\vert w\vert $ ) et x de sorte que $\vert F(w+zx)\vert =\vert F\vert _{r}$ puis l’on majore $\vert x_1^{\tau _1}\cdots x_{g}^{\tau _{g}}\vert $ par $\zeta _{\tau }$ .

Démonstration. Comme dans la démonstration du lemme 4.2, les hypothèses entraînent $\delta \le 2r/(S-1)\le r$ . Soit $z\in \mathbb {C}^{g-1}$ avec $\vert z\vert \le a$ . Appliquons le lemme 4.2 avec les paramètres $(\widetilde R,\widetilde a,r,\delta )$ où $\widetilde R=\sqrt {R^2-|z|^2}$ et $\widetilde a=\sqrt {a^2-|z|^2}$ à l’ensemble $p_1(\mathcal {S})$ de cardinal S et à la fonction holomorphe d’une variable $f_{z}\colon u\mapsto f(u,z)$ . Remarquons

$$\begin{align*}\frac{\widetilde a^2+r^2}{\widetilde R^2-r^2}= \frac{a^2+r^2-|z|^2}{R^2-r^2-|z|^2}\le\frac{a^2+r^2}{R^2-r^2}\end{align*}$$

(car $R^2\ge a^2+2r^2$ ) et de même $\widetilde a/\widetilde R\le a/R$ . Puisque cette dernière quantité est majorée par $1/c$ tout comme $(r+\delta /2)/\widetilde R\le 3r/2\sqrt {R^2-a^2}$ , nous avons

$$\begin{align*}\widetilde R-\max\left(\widetilde a,r+\frac\delta2\right) \ge\left(1-\frac1c\right)\widetilde R>0.\end{align*}$$

Nos paramètres satisfont donc les hypothèses du lemme qui, avec les inégalités ci-dessus ainsi que $|f_{z}|_{\widetilde R}\le |f|_{R}$ , fournit

$$ \begin{align*}\begin{aligned} |f_z|_{\widetilde a}&\le\frac{c}{c-1}\left(\frac{a^2+r^2}{R^2-r^2} \right)^{ST/2}2^T|f|_R\\ &\qquad +4T\left(\frac{2e}{\delta S}\right)^{ST}(\widetilde a^2+r^2)^{ST/2}\sum_{x_1\in p_1(\mathcal{S})}{\sum_{\tau_1=0}^{T-1} {\frac{|f_z^{(\tau_1)}(x_1)|}{\tau_1!}\left(\frac\delta2\right)^{\tau_1}}}. \end{aligned}\end{align*} $$

Comme $|f|_a=\sup \{|f_z|_{\widetilde a}\mid z\in \mathbb {C}^{g-1},\ |z|\le a\}$ , il reste à évaluer $f_{z}^{(\tau _1)}(x_1)$ pour faire apparaître $\Delta _1+\Delta _2$ . Fixons donc $\tau _1$ et $x_1$ (en plus de z) et notons x l’unique élément de $\mathcal {S}$ tel que $x_1=p_1(x)$ puis $w\in \mathbb {C}^{g-1}$ vérifiant $x=(x_1,w)$ . Posons encore $R_1=\sqrt {R^2-(|x_1|+\delta /2)^2}$ et définissons une fonction holomorphe $F\colon \{y\in \mathbb {C}^{g-1}\mid |y|\le R_1\}\to \mathbb {C}$ par $F(y)=f^{(\tau _1)}_y(x_1)=D^{(\tau _1,0)}\!f(x_1,y)$ . Nous lui appliquons le lemme 4.3 où l’on remplace $(T,R,r)$ par $(ST,R_1,|z|)$ , l’hypothèse sur R assurant $R_1>\max (|z|,|w|)$ . Puisque $|F(z)|\le |F|_{|z|}$ , il vient

$$\begin{align*}|f_z^{(\tau_1)}(x_1)|\le\left( \frac{|z|+|w|}{R_1-|w|}\right)^{ST}|F|_{R_1}+2\sum_{ \genfrac{}{}{0pt}1{\widehat{\tau}\in\mathbb{N}^{g-1}}{|\widehat{\tau}|<ST}} \zeta_{\widehat{\tau}}\Big|\frac{D^{\widehat{\tau}}\!F(w)} {\widehat{\tau}!}\Big|(|z|+|w|)^{|\widehat{\tau}|}.\end{align*}$$

Lorsque nous injectons ceci dans la formule précédente, la somme sur $\widehat \tau $ donne naissance à $\Delta _2$ car $D^{\widehat {\tau }}\!F(w)=D^{\tau }\!f(x)$ si $\tau =(\tau _1,\widehat \tau )$ tandis que $|z|+|w|$ et $\delta /2$ sont tous deux majorés par $a+r$ (et $\widetilde a^2+r^2$ par $a^2+r^2$ ). Dans le terme restant, pour évaluer $|F|_{R_1}$ , fixons $y\in \mathbb {C}^{g-1}$ tel que $|y|=R_1$ et $|F(y)|=|F|_{R_1}$ . L’inégalité de Cauchy (en une variable) conduit à

$$\begin{align*}|F|_{R_1}=\Big|f_y^{(\tau_1)}(x_1)\Big|\le \tau_1!\left(\frac2\delta\right)^{\tau_1}|f_{y}|_{\vert x_1\vert+\delta/2} \le\tau_1!\left(\frac2\delta\right)^{\tau_1}|f|_{R}\end{align*}$$

puisque $(|x_1|+\delta /2)^2+|y|^2=R^2$ . Nous utilisons ensuite $|z|+|w|\le |z|+r$ et $(|z|+r)^2(\widetilde a^2+r^2)\le \kappa $ . Pour reconnaître $\Delta _1$ , il reste simplement à vérifier $\sqrt {(R-r/2)(R-3r/2)}+|w|\le R_1$ . Or le premier membre s’écrit

$$ \begin{align*}\begin{aligned} &\sqrt{(R-r/2)(R-3r/2)}+\sqrt{(|x|+|x_1|)(|x|-|x_1|)}\\ &\quad \le\sqrt{(R-r/2+|x|+|x_1|)(R-3r/2+|x|-|x_1|)} \end{aligned}\end{align*} $$

que l’on majore en effet par $R_1$ en employant successivement $|x|\le r$ et $\delta \le r$ .

Définition 4.5. Lorsqu’un entier $g\ge 1$ , un réseau euclidien $\Lambda $ de rang $2g$ de minima successifs $\lambda _1\le \cdots \le \lambda _{2g}$ et des nombres réels $E>3/2$ , $r>0$ et $x\ge 0$ sont donnés, nous disons qu’un quintuplet $(\beta ,\gamma ,E',Q,S')\in \mathbb {R}^4\times \mathbb {N}$ est associé à $(\Lambda ,E,r,x)$ si l’une des conditions suivantes est remplie :

1. (P0) $g=1$ , $E'=E$ et $\beta =\gamma =Q=S'=1$ ;

2. (P1) $g=1$ , $\beta =1/2$ , $\gamma =3/2$ , $E'=\sqrt {(E^2-1)/2}$ , $Q=e\sqrt 2$ et $S'=1+2\lfloor r/\lambda _1\rfloor $ ;

3. (P2) $g\ge 2$ , $\beta =1+x$ , $\gamma =1+\sqrt 2(1+x)$ ,

   $$ \begin{align*}E'={5\over6e}\sqrt{(E-1/2)(E-3/2)\over\kappa'(x)},\qquad Q={6e\over5}\sqrt{1+x^2}\end{align*} $$
   $$ \begin{align*}\mathrm{et}\qquad S'=\prod_{i=1}^{2g-1}\left\lceil r\over\lambda_i\sqrt{6(2g-3)}\right\rceil. \end{align*} $$

Démonstration. Nous supposons dans un premier temps $S'\ge 2$ . Ceci exclut le cas (P0). Dans le cas (P1), nous considérons $\omega \in \Lambda $ avec $|\omega |=\lambda _1$ . Nous choisissons $\mathcal {S}=\{z\in \mathbb {Z}\omega \mid |z|\le r\}$ de cardinal impair $S=S'\ge 3$ et $e_1=\omega /\lambda _1$ . Nous appliquons alors la deuxième partie du lemme 4.2 avec $R=Er$ , $a=r$ , $\delta =\lambda _1$ à la fonction $z\mapsto f(ze_1)$ . La définition de $S'$ entraîne $(S+1)\delta>2r$ d’où la formule voulue (avec $\zeta _{\widehat \tau }=1$ et $4ST^2\le T^{c_0}$ ). Dans le cas (P2), nous commençons par appliquer la proposition 2.5 à un sous-réseau $\Lambda '$ de $\Lambda $ de rang $n=2g-1\ge 3$ dont les minima successifs sont $\lambda _1\le \cdots \le \lambda _{2g-1}$ . Ceci nous fournit un ensemble $\mathcal {S}$ de cardinal $S\ge S'$ . Nous étendons $\ell \in (\Lambda '\otimes \mathbb {R})^\vee $ en un élément unitaire $\ell '\in \operatorname {\mathrm {Hom}}_{\mathbb {R}}(V,\mathbb {R})$ puis nous choisissons une base orthonormée $\mathsf {e}=(e_{1},\ldots ,e_{g})$ de V de sorte que $\ell '(z_{1}e_1+ \cdots +z_ge_g)=\operatorname {\mathrm {Re}}(z_1)$ pour tout $(z_{1},\ldots ,z_{g})\in \mathbb {C}^g$ . Puisque $S'\ge 2$ entraîne $S\ge 3$ , nous pouvons alors appliquer le théorème 4.4 avec $R=Er$ , $a=xr$ , $c=E/\sqrt {x^2+9/4}$ à la fonction $(z_{1},\ldots ,z_{g})\mapsto f(z_1e_1+\cdots +z_ge_g)$ . Les hypothèses sur $\delta $ sont satisfaites par la proposition 2.5 et nous avons $\delta S\ge 5r/3$ . Pour voir apparaître la majoration cherchée, il faut rassembler les deux termes multiples de $|f|_{Er}$ grâce à

$$\begin{align*}2^T\left(1+x^2\over E^2-1\right)^{ST/2}\le\left(6e\over5 \right)^{ST}\left(\kappa'(x)\over(E-1/2)(E-3/2)\right)^{ST/2} =(E')^{-ST}\end{align*}$$

(par $2\le 6e/5$ , $(E-1/2)(E-3/2)\le E^2-1$ et $1+x^2\le \kappa '(x)$ ). On conclut en majorant $c/(c-1)+4ST^2$ et $8S^gT^{g+1}$ par $T^{c_0}$ . Il reste seulement à traiter le cas $S'=1$ . Nous choisissons $\mathcal {S}=\{0\}$ (et donc $S=1$ ) et une base orthonormée $\mathsf {e}$ quelconque. Nous utilisons ici le lemme 4.3 avec $w=0$ . Il vient

$$\begin{align*}|f|_{xr}\le T^{c_0}\left({|f|_{Er}\over(E/x)^{ST}}+\max_{z\in\mathcal{S},\ \tau} \zeta_\tau\Big\vert{D^\tau_{\mathsf e}f(z)\over\tau!}\Big\vert(xr)^{|\tau|}\right)\end{align*}$$

où $\tau $ parcourt les éléments de $\mathbb {N}^g$ tels que $|\tau |<T$ . Nous pouvons bien sûr ajouter les éléments $\tau $ tels que $|\tau |\ge T$ , $\tau _1<T$ et $\tau _2+\cdots +\tau _g<T=ST$ et nous retrouvons donc la formule de l’énoncé avec $\beta \ge x$ , $Q\ge 1$ , $E/x\ge E'$ et $\zeta _\tau \le \zeta _{\widehat \tau }$ dans les cas (P0) et (P2). Pour (P1), nous constatons $1\le (Q/2)^{T}\le Q^{T}\beta ^{\vert \tau \vert }$ .

Démonstration. $(1)$ Fixons un corps de nombres K et une variété abélienne semi-stable B sur K de sorte qu’il existe un isomorphisme $B_{\overline {\mathbb {Q}}}\simeq A$ . Pour toute extension finie L de K, nous notons $\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L})\to \operatorname {\mathrm {Spec}}\mathcal {O}_{L}$ le modèle de Néron de $B_{L}$ puis $U(L)$ l’extension $\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L})\times \operatorname {\mathrm {Spec}}\overline {\mathbb {Z}}$ , dont la fibre générique s’identifie à A. Si $L\subset L'$ sont deux extensions finies de K, nous désignons par $U(L,L')$ le schéma $\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L})\times \operatorname {\mathrm {Spec}}\mathcal {O}_{L'}$ . Par semi-stabilité, il s’identifie canoniquement à un ouvert de $\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L'})$ . Nous voyons donc $U(L)$ comme un ouvert de $U(L')$ et, si $L\subset L'\subset L"$ , le diagramme

montre que les inclusions associées $U(L)\subset U(L')\subset U(L")$ et $U(L)\subset U(L")$ coïncident. Nous pouvons donc recoller la collection de tous les $U(L)$ suivant ces inclusions pour obtenir un schéma $\mathcal {A}\to \operatorname {\mathrm {Spec}}\overline {\mathbb {Z}}$ qui est lisse puisque les $\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L})$ le sont.

Vérifions maintenant la propriété de Néron en commençant par le cas où $\mathcal {X}$ est de présentation finie sur $\operatorname {\mathrm {Spec}}\overline {\mathbb {Z}}$ . Ceci entraîne l’existence d’un corps de nombres $L_{0}$ contenant K, d’un schéma lisse $\mathcal {Y}\to \operatorname {\mathrm {Spec}}\mathcal {O}_{L_{0}}$ avec $\mathcal {Y}\times \operatorname {\mathrm {Spec}}\overline {\mathbb {Z}}\simeq \mathcal {X}$ et d’un morphisme $\psi \colon \mathcal {Y}_{L_{0}}\to B_{L_{0}}$ dont l’extension est le morphisme initial $\mathcal {X}_{\overline {\mathbb {Q}}}\to A$ . La propriété de Néron sur $L_{0}$ montre que $\psi $ s’étend en $\mathcal {Y}\to \operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L_{0}})$ sur $\mathcal {O}_{L_{0}}$ donc en $\mathcal {X}\to U(L_{0})\subset \mathcal {A}$ dont la fibre générique est toujours $\psi _{\overline {\mathbb {Q}}}$ . Si nous avions un autre morphisme $\varsigma \colon \mathcal {X}\to \mathcal {A}$ avec la même propriété, l’image quasi-compacte $\varsigma (\mathcal {X})$ serait contenue dans une union finie de $U(L_{i})$ donc dans $U(L)$ où L est le compositum des $L_{i}$ . Quitte à augmenter L, $\varsigma $ proviendrait alors d’un morphisme $\mathcal {Y}\times \operatorname {\mathrm {Spec}}\mathcal {O}_{L}\to \operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L})$ de fibre générique $\psi _{L}$ . L’unicité de l’extension à $\mathcal {O}_{L}$ (propriété de Néron sur L) permet de conclure que $\varsigma $ coïncide avec le morphisme précédemment obtenu. Nous avons donc établi le résultat si $\mathcal {X}$ est de présentation finie.

Dans le cas général, $\mathcal {X}$ est lisse donc localement de présentation finie. Nous le recouvrons donc par une famille d’ouverts $\mathcal {X}_{i}$ de présentation finie. Le cas précédent permet d’étendre notre morphisme en $\mathcal {X}_{i}\to \mathcal {A}$ et l’unicité de l’extension $\mathcal {X}_{i}\cap \mathcal {X}_{j}\to \mathcal {A}$ montre que tous ces morphismes se recollent en $\mathcal {X}\to \mathcal {A}$ , également unique.

L’unicité du couple $(\mathcal {A},f)$ découle très usuellement de la propriété universelle que nous venons d’établir : si un autre couple $(\mathcal {A}',f')$ la vérifie, elle permet d’étendre f et $f'$ en $\mathcal {A}\to \mathcal {A}'$ et $\mathcal {A}'\to \mathcal {A}$ et l’unicité montre que les composées de ces deux morphismes sont $\mathrm {id}_{\mathcal {A}}$ et $\mathrm {id}_{\mathcal {A}'}$ . De son côté, l’égalité $\mathcal {A}(\overline {\mathbb {Z}})=A(\overline {\mathbb {Q}})$ correspond simplement au cas $\mathcal {X}=\operatorname {\mathrm {Spec}}\overline {\mathbb {Z}}$ .

$(2)$ Nous pouvons supposer que le couple $(K,B)$ ci-dessus est choisi de sorte qu’il existe un faisceau inversible rigidifié $\mathcal {N}$ sur B tel que $\mathcal {N}_{\overline {\mathbb {Q}}}\simeq \mathcal {L}$ . Rappelons qu’une structure cubiste sur un faisceau inversible le munit d’une rigidification [Reference Moret-Bailly29, I.2.5.3] et que dans le cas d’un schéma abélien comme $B\to \operatorname {\mathrm {Spec}} K$ les deux données sont équivalentes [Reference Moret-Bailly29, I.2.6. (i)]. Nous voyons donc $\mathcal {N}$ comme un faisceau inversible cubiste et cherchons à l’étendre à un modèle entier de B, quitte à faire un changement de base.

Nous sommes ainsi dans le cadre du chapitre II de [Reference Moret-Bailly29]. Considérons une extension finie L de K. Le faisceau cubiste $\mathcal {N}_{L}$ s’étend au plus grand sous-groupe ouvert de $\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L})$ à fibres connexes puisqu’il suffit ici de l’étendre comme faisceau rigidifié [Reference Moret-Bailly29, I.2.6.(ii)]. Il reste donc à le prolonger aux fibres non connexes correspondant aux places de mauvaises réduction. La situation est alors décrite par [Reference Moret-Bailly29, II.1.1] : le prolongement n’est pas possible en général mais est unique s’il existe. Heureusement l’obstruction disparaît après un changement de base suffisamment ramifié [Reference Moret-Bailly29, II.1.2.2]. Ceci entraîne que l’on peut trouver un corps de nombres $L'$ contenant L et un (unique) prolongement cubiste de $\mathcal {N}_{L'}$ à $\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L})\times \operatorname {\mathrm {Spec}}\mathcal {O}_{L'}$ . Par suite, nous avons prolongé $\mathcal {L}$ à $U(L)$ . Si $L\subset L_{1}\subset L_{1}^{\prime }$ sont des extensions finies telles que $\mathcal {N}_{L_{1}^{\prime }}$ s’étend à $\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L_{1}})\times \operatorname {\mathrm {Spec}}\mathcal {O}_{L_{1}^{\prime }}$ , les deux prolongements ainsi définis de $\mathcal {L}$ à $U(L)$ et $U(L_{1})$ coïncident sur $U(L)\subset U(L_{1})$ : en effet, nous pouvons librement supposer $L'\subset L^{\prime }_{1}$ puis, dans le diagramme

où nous avons encadré les schémas sur lesquels existe un prolongement, invoquer l’unicité de celui-ci sur $U(L,L_{1}^{\prime })$ . Le faisceau cubiste $\mathcal {L}$ s’étend donc de manière compatible à tous les $U(L)$ , ce qui définit bien un prolongement cubiste $\mathcal {M}$ sur $\mathcal {A}$ . Pour montrer son unicité, il suffit de travailler sur un $U(L)$ fixé. Or, si nous avions deux prolongements sur ce schéma de présentation finie, ils descendraient à $\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L})\times \operatorname {\mathrm {Spec}}\mathcal {O}_{L_{2}}$ (pour une extension finie $L_{2}/L$ ) où l’unicité est acquise.

$(3)$ Il n’y a pas de restriction à supposer que les données précédentes $(K,B,\mathcal {N})$ sont choisies de sorte que tous les points fermés du groupe de Mumford $\operatorname {\mathrm {K}}(\mathcal {N}^{\otimes 2})$ (noyau de la polarisation associée à $\mathcal {N}^{\otimes 2}$ [Reference Moret-Bailly29, I.4.2]) sont rationnels sur K. Notons que $\mathcal {N}$ est ample et symétrique puisque $\mathcal {N}_{\overline {\mathbb {Q}}}\simeq \mathcal {L}$ l’est et donc $\operatorname {\mathrm {K}}(\mathcal {N}^{\otimes 2})$ est fini. Fixons deux corps de nombres $L\subset L'$ contenant K puis une extension finie $L"$ de $L'$ telle que $\mathcal {N}_{L"}$ admet un prolongement cubiste, noté $\mathcal {P}$ , au modèle $U(L',L")=\operatorname {\mathrm {N{\acute e}r}}(B_{L'})\times \operatorname {\mathrm {Spec}}\mathcal {O}_{L"}$ . Puisque $[-1]^{*}\mathcal {P}$ étend $[-1]^{*}\mathcal {N}_{L"}\simeq \mathcal {N}_{L"}$ , l’unicité du prolongement fournit un isomorphisme cubiste $\mathcal {P}\simeq [-1]^{*}\mathcal {P}$ qui rend $\mathcal {P}$ symétrique [Reference Moret-Bailly29, II.1.2.4].

L’hypothèse de rationalité montre que l’adhérence schématique de $\operatorname {\mathrm {K}}(\mathcal {N}^{\otimes 2}_{L"})$ dans $U(L',L")$ est finie sur $\mathcal {O}_{L"}$ (il suffit d’étendre chacun de ses points par la propriété de Néron sur $L'$ ). Cette adhérence coïncide avec le groupe $\operatorname {\mathrm {K}}(\mathcal {P}^{\otimes 2})$ [Reference Moret-Bailly29, IV.2.4]. Parce que nous pouvons aussi utiliser la propriété de Néron sur L, la même chose vaut sur l’ouvert $U(L,L")$ de $U(L',L")$ . En d’autres termes $\operatorname {\mathrm {K}}(\mathcal {P}^{\otimes 2})=\operatorname {\mathrm {K}}(\mathcal {P}_{\mid U(L,L")}^{\otimes 2})$ est contenu dans $U(L,L")$ . Par suite, le théorème [Reference Moret-Bailly29, VI.3.4. (i)] s’applique sur $U(L,L")$ et $U(L',L")$ et entraîne que le morphisme de restriction $H^{0}(U(L',L"),\mathcal {P})\to H^{0}(U(L,L"),\mathcal {P})$ est un isomorphisme. Nous savons de plus que $H^{0}(U(L,L"),\mathcal {P})$ est un $\mathcal {O}_{L"}$ -module localement libre [Reference Moret-Bailly29, VI.3.5].

Étendons maintenant ceci à $\overline {\mathbb {Z}}$ . Nous obtenons que la restriction

$$\begin{align*}H^{0}(U(L'),\mathcal{M})\longrightarrow H^{0}(U(L),\mathcal{M}) \end{align*}$$

est un isomorphisme ( $\overline {\mathbb {Z}}$ est plat sur $\mathcal {O}_{L"}$ ) et que ces deux modules sont libres sur $\overline {\mathbb {Z}}$ (les idéaux de $\mathcal {O}_{L"}$ capitulent dans $\overline {\mathbb {Z}}$ ). Comme ceci vaut pour tous $K\subset L\subset L'$ , nous voyons que $H^{0}(\mathcal {A},\mathcal {M})\to H^{0}(U(L),\mathcal {M})$ est un isomorphisme pour tout L. Le $\overline {\mathbb {Z}}$ -module $H^{0}(\mathcal {A},\mathcal {M})$ est donc bien libre et le calcul de son rang suit de $H^{0}(A,\mathcal {L})=H^{0}(\mathcal {A},\mathcal {M})\otimes \overline {\mathbb {Q}}$ ( $\overline {\mathbb {Q}}$ est plat sur $\overline {\mathbb {Z}}$ ).

Démonstration. Fixons une base du $\overline {\mathbb {Z}}$ -module libre $H^{0}(\mathcal {A},\mathcal {M})$ . Dans celle-ci, toutes les normes ultramétriques de H sont définies par la matrice identité tandis qu’à l’infini les normes sont hermitiennes donc données par des matrices complexes. Ceci montre que la structure adélique sur H est définie par une matrice adélique sur $\overline {\mathbb {Q}}$ au sens de [Reference Gaudron, Peyre and Rémond.15, § $2.2$ ] donc est rigide. Le même argument vaut dans les deux autres cas car la structure entière est également donnée par un $\overline {\mathbb {Z}}$ -module libre : $P^{*}\mathcal {M}$ et $t_{\mathcal {A}}$ proviennent de modules localement libres sur l’anneau des entiers d’un corps de nombres (il suffit de choisir ce corps pour que A y ait un modèle semi-stable de sorte que $\mathcal {M}$ et P proviennent de ce modèle). En d’autres termes, ces structures coïncident avec les extensions à $\overline {\mathbb {Q}}$ de celles induites sur un corps de nombres par un MB-modèle et le calcul des pentes découle alors du théorème $4.10$ de [Reference Bost6], assertions (ii) et (v), et du lemme 3.7 de [Reference Gaudron and Rémond16], à ceci près que nous utilisons la normalisation de Faltings de $h_{F}(A)$ (voir [Reference Gaudron and Rémond16, § $2.3$ ]).

Démonstration. Notons $y_{\overline K}\le y$ le minimum de l’énoncé. Choisissons une sous-variété abélienne stricte $B_0$ de $A_{\overline K}$ telle que $y_{\overline K}=y(B_0)$ et de dimension minimale pour cette propriété. Si $B_0$ s’écrit $B_{\overline K}$ pour une sous-variété abélienne B de A, nous avons terminé. Sinon il existe $\sigma \in \operatorname {\mathrm {Gal}}(\overline {K}/K)$ tel que $\sigma (B_0)\ne B_0$ . Notons $G=B_0\cap \sigma (B_0)$ , $B_1=G^0$ sa composante neutre et $B_2=B_0+\sigma (B_0)$ . D’après la proposition 3.1 de [Reference Rémond32], nous avons

$$ \begin{align*}[G:B_1]h^0(B_1,\mathcal{L})h^0(B_2,\mathcal{L})\le h^0(B_0,\mathcal{L})h^0(\sigma(B_0),\mathcal{L})=h^0(B_0,\mathcal{L})^2\end{align*} $$

tandis que

$$\begin{align*}[G:B_1]^{-1}\operatorname{\mathrm{Card}}\Big(\frac{\Sigma+B_{1}}{B_{1}}\Big) \le\operatorname{\mathrm{Card}}\Big(\frac{\Sigma+G}{G}\Big) =\operatorname{\mathrm{Card}}\Big(\frac{\Sigma+B_{0}}{B_{0}}\Big)\end{align*}$$

(parce que $P\in B_{0}$ équivaut à $P\in G$ pour $P\in A(K)$ ) et

$$\begin{align*}\operatorname{\mathrm{Card}}\Big(\frac{\Sigma+B_{2}}{B_{2}}\Big)\le \operatorname{\mathrm{Card}}\Big(\frac{\Sigma+B_{0}}{B_{0}}\Big)\end{align*}$$

(car $B_{0}\subset B_{2}$ ). En combinant, nous trouvons

$$ \begin{align*}y(B_1)^{g-\dim B_1}y(B_2)^{g-\dim B_2}\le y(B_0)^{2(g-\dim B_0)}\end{align*} $$

où, pour couvrir le cas $B_2=A$ , nous posons $y(A)=y_{\overline K}$ . En utilisant $y(B_0)=y_{\overline K}\le y(B_2)$ , $\dim B_1+\dim B_2=2\dim B_0$ et $g-\dim B_1>0$ , il vient $y(B_1)\le y_{\overline K}$ donc $y(B_1)=y_{\overline K}$ . Mais $\dim B_1<\dim B_0$ contredit le choix de $B_0$ : cette absurdité donne le lemme.

Démonstration. Nous appliquons la formule de Leibniz à l’égalité de quasi-périodicité $\vartheta (z+\omega )= a_{\mathcal {L}_{\sigma }}(\omega ,z)^{n}\vartheta (z)$ des fonctions thêta vis-à-vis du réseau $\Omega _{A_{\sigma }}$ pour constater que le noyau de $\Phi _{\sigma }$ coïncide avec celui de l’application définie de manière similaire en ne considérant que $\omega =0$ . Le rang de cette dernière est inférieur à la dimension de son but, soit $\binom {S_\sigma T_{\sigma }+g-2}{g-1}T_{\sigma }$ , dont le développement asymptotique en l’infini est celui annoncé.

Démonstration. Nous identifions $t_{A_\sigma }$ à $\mathbb {C}^g$ au moyen de la base $\mathsf {e}$ puis appliquons la proposition 3.1 avec $w=z$ et $R=\Vert z\Vert _{\mathcal {L},\sigma }+r$ . Il reste à majorer $\vert \vartheta \vert _{R}$ par $\Vert s\Vert _{\infty ,\sigma } \exp {\left (\frac {\pi }{2}nR^{2}\right )}$ .

Démonstration. Le nombre de composantes de $\Phi _{\sigma }(s)$ est au plus $(S_{\sigma }T_{\sigma })^{g}$ donc $\vert \Phi _{\sigma }(s)\vert \le \sup _{\omega ,\tau } {\vert \Phi _{\sigma }(s)_{\omega ,\tau }\vert }\exp {\mathrm {o}(T)}$ . Notons $r_{\sigma }^{\prime }=\beta _{\sigma }r_{\sigma }$ si $g=1$ et $r_{\sigma }^{\prime } =\sqrt {2} \beta _{\sigma }r_{\sigma }$ si $g\ge 2$ . Appliquons alors le lemme précédent avec $z=\omega $ (de norme au plus $\varrho _\sigma $ ) et $r=r^{\prime }_{\sigma }$ à la fonction $\vartheta $ associée à s. Nous trouvons

$$\begin{align*}\vert\Phi_{\sigma}(s)_{\omega,\tau}\vert\le\frac{\zeta_{\widehat \tau}} {\zeta_\tau}\left(\frac{\beta_\sigma r_\sigma}{r^{\prime}_\sigma}\right)^{|\tau|} \exp{\left(\frac{\pi}{2}n((r_{\sigma}^{\prime})^{2}+2\varrho_{\sigma}r_{\sigma}^{\prime})\right)} \alpha_{\sigma}\|s\|_{\infty,\sigma}.\end{align*}$$

La quantité qui précède l’exponentielle vaut 1 si $g=1$ et est majorée par 1 si $g\ge 2$ puisque $\zeta _{\widehat \tau }\le \zeta _\tau \sqrt 2^{|\tau |}$ . L’énoncé s’en déduit grâce au choix de $\alpha _{\sigma }$ et à $r^{\prime }_{\sigma }+\varrho _{\sigma }=\gamma _{\sigma }r_{\sigma }$ .

Démonstration. Puisque $\Vert \cdot \Vert _{\infty ,\sigma }\le \|\cdot \|_{H_n,\sigma }e^{\mathrm {o}(T)}$ (voir [Reference Gaudron14, remarque 3.2.4] avec $\ell =0$ ), la proposition 6.5 fournit une majoration de $\|\Phi _\sigma \|_{\mathrm {op}}$ . De son côté, la proposition 5.2 montre $\mu (H_n)=\mathrm {o}(T)$ donc le lemme de Siegel [Reference Gaudron13, p. 21] pour $H_{n,\Phi }$ donne la conclusion.

Démonstration. Dans le cas contraire, le lemme de multiplicités de Nakamaye [Reference Nakamaye30] assure l’existence d’une sous-variété abélienne stricte B de $A_{\overline {K}}$ telle que

$$\begin{align*}T^{g-\dim B}\operatorname{\mathrm{Card}}\Big(\frac{\Sigma+B}{B}\Big)\deg_{\mathcal{L}}B\le (\deg_{\mathcal{L}}A)n^{g-\dim B}.\end{align*}$$

Par amplitude de $\mathcal {L}$ , on a $\deg _{\mathcal {L}}B=h^{0}(B,\mathcal {L})(\dim B)!$ (et de même pour A) ; l’inégalité se récrit alors sous la forme $(Ty(B)/n)^{g-\dim B}\le g!/(\dim B)!$ . Or le choix des paramètres implique $Ty>gn$ si bien qu’une contradiction advient lorsqu’on minore $y(B)$ par y (lemme 6.1) et majore le quotient des factorielles par $g^{g-\dim B}$ .

Démonstration. On applique la remarque 3.2.4 de [Reference Gaudron14] qui donne (lorsque $T\to +\infty $ ) :

$$\begin{align*}\Vert\mathrm{jet}^{\ell}s(P)\Vert_{J,v}\le\left(\frac{e\pi n}{\ell}\right)^{\ell/2}\Vert s\Vert_{H_{n},v}\times e^{\mathrm{o}(T)}.\end{align*}$$

La fonction $\mathsf {x}\mapsto (e\pi n/\mathsf {x})^{\mathsf {x}}$ est croissante jusqu’à $\pi n$ puis décroissante. Comme $\ell \le gT$ , on en déduit la majoration $(e\pi n/\ell )^{\ell }\le \max {(e,e\pi n/gT)}^{gT}$ qui permet de conclure.

Démonstration. Notons $\vartheta $ la fonction holomorphe associée à $s\in H^{0}(A_{\sigma },\mathcal {L}_{\sigma }^{\otimes n})$ . D’après [Reference Gaudron14, § 2.2], nous avons

$$\begin{align*}\Vert\mathrm{jet}^{\ell}s(P)\Vert_{J,\sigma}^{2}=\sum_{\tau\in\mathbb{N}^{g}, \vert\tau\vert=\ell}\frac{\tau!}{\ell!}{\left\vert\frac{1}{\tau !} D_{{\mathsf e}_\sigma}^{\tau}\vartheta(u_\sigma)\exp{\left(-\frac{\pi}{2}n \Vert u_\sigma\Vert_{\mathcal{L},\sigma}^{2}\right)}\right\vert{}^{2}}.\end{align*}$$

Nous écrivons par la proposition 3.1

$$\begin{align*}\zeta_{\tau}\left\vert\frac{1}{\tau !}D_{{\mathsf e}_\sigma}^{\tau} \vartheta(u_{\sigma})\right\vert\le\left(\frac{x_{\sigma}r_\sigma} {x_{\sigma}^{2}r_\sigma^2-\Vert u_{\sigma}\Vert_{\mathcal{L},\sigma}^{2}} \right)^{\ell}\vert\vartheta\vert_{ x_{\sigma}r_\sigma}\end{align*}$$

puisque $\Vert u_{\sigma }\Vert _{\mathcal {L},\sigma }\le z_\sigma r_\sigma <x_{\sigma }r_{\sigma }$ . Le supremum de $\vartheta $ sur la boule de rayon $x_\sigma r_{\sigma }$ est majoré au moyen du théorème d’interpolation 4.6 avec les paramètres introduits au début de cette partie. Dans cet énoncé se trouve $\vert \vartheta \vert _{E_{\sigma }r_{\sigma }}$ qui est plus petit que $\Vert s\Vert _{\infty ,\sigma }\exp {\left (\frac {\pi }{2}nE_{\sigma }^2 r_{\sigma }^{2}\right )}$ . Quant au maximum dans l’inégalité d’interpolation, par construction de la section auxiliaire, il est majoré par $\alpha _{\sigma }^{-1}\exp {\left (\frac {\pi }{2}n \varrho _{\sigma }^{2}\right )}\Vert s\Vert _{H_{n,\Phi },\sigma }$ . Le choix de $\alpha _{\sigma }$ et la majoration déjà utilisée $\Vert s\Vert _{\infty ,\sigma }\le \Vert s\Vert _{H_{n,\Phi },\sigma } \exp {(\mathrm {o}(T))}$ conduisent à

$$\begin{align*}\vert\vartheta \vert_{x_{\sigma}r_{\sigma}}\le\frac{\exp{\left(\frac{\pi}{2}nE_{\sigma}^2 r_{\sigma}^{2}+\mathrm{o}(T)\right)}}{(E_{\sigma}^{\prime})^{S_{\sigma} T_{\sigma}}}\Vert s\Vert_{H_{n,\Phi},\sigma}.\end{align*}$$

En reportant cette estimation dans les formules ci-dessus et en notant, grâce à la formule de Stirling,

$$\begin{align*}\frac{\tau!}{\ell!}\zeta_{\tau}^{-2}= \frac{\ell^{\ell}}{\ell!}\frac{\tau!}{\tau^{\tau}}=\frac{(\ell/e)^\ell}{\ell!} \prod_{i=1}^{g}\frac{\tau_{i}!}{(\tau_i/e)^{\tau_i}}=e^{\mathrm{o}(T)}\end{align*}$$