Définition 2.1 Soit L un anneau de Lie.

1. (1) Un sous-groupe H est un sous-anneau si pour tous $x,y\in H$ , $[x,y]\in H$ . C’est un idéal si de plus, $[x,H]\subseteq H$ pour tout $x\in L$ .

2. (2) Pour $X\subset L$ , on définit $[X,X]=X'$ comme le sous-groupe additif engendré par les commutateurs $[x,y]$ . On définit par récurrence la suite centrale descendante et la suite dérivée: $L^1=L'$ , $L^{n+1}=[L,L^n]$ et $L^{(1)}=L'$ , $L^{(n+1)}=[L^{(n)},L^{(n)}]$ .

3. (3) On définit par récurrence les centralisateurs itérés de $A/H$ , où A est un sous-anneau et H un idéal de A:

   $$\begin{align*}C_L^0(A/H)&=H\\C_L^{n+1}(A/H)&=\left\{x\in \bigcap_{1\leq i\leq n}N_L(C_L^i(A/H)) : [x,A]\leq_{gr} C_L^n(A/H)\right\}. \end{align*}$$
   Dans le cas où $A=L$ et $H=\{0\}$ , on parlera de centres itérés, notés $Z_i(L)$ .

Définition 2.2 Soit L un anneau de Lie. On dit qu’un élément x est ad-nilpotent si $\operatorname {ad}_x^n(L)=0$ pour un certain entier n. L’anneau de Lie L est ad-nilpotent si tous ses éléments sont ad-nilpotents.

Définition 2.3 Soit $I\leq L$ un sous-anneau. On dit qu’il est caractéristique s’il est stable sous toute dérivation de L.

Démonstration Il suffit de montrer que le sous-groupe additif $H+N$ est un sous-anneau. Soient $h_1,h_2\in H$ et $n_1,n_2\in N$ ; on a que $[h_1+n_1,h_2+n_2]=[h_1, h_2]+[h_1, n_2]+[n_1, h_2]+[n_1, n_2]\in H+N$ , car H et N sont des sous-anneaux et N normalise H.

Définition 2.4 Soit L un anneau de Lie. Pour un sous-groupe A, $[A,_n x]$ désigne le sous-groupe engendré par les éléments de la forme $\operatorname {ad}_{a_1}\circ \dots \circ \operatorname {ad}_{a_n}(x) $ pour $a_1,\dots , a_n\in A$ .

Démonstration On procède par récurrence. Pour $n=1$ , $C_L(A/H)=\{x\in N_L(H) : [x,A]\leq _{gr} H\}$ , c’est un sous-anneau car pour tous $x,y\in C_L(A/H)$ et $z\in A$ , on a: $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]\in H$ et $[[x,y],z]=([[x,z],y]+[x,[y,z]])\in H$ , car H est un sous-groupe et $y,x\in N_L(H)$ . Supposons la propriété vérifiée pour n. Comme les normalisateurs sont des sous-anneaux, par hypothèse de récurrence, les mêmes calculs nous donnent que $C_L^{n+1}(A/H)$ est un sous-anneau. On procède de même pour montrer que les centralisateurs de la forme $C_L^n(I)$ , où I est un idéal, sont des idéaux

On montre par récurrence que $C_L^n(I)=\{ x\in L : [I,_n x]=0\}$ . C’est évident pour $n=1$ . Supposons la propriété démontrée pour n. Comme les centralisateurs itérés sont des idéaux, $x\in C_L^{n+1}(I)$ ssi $[x,I]\leq _{gr} C_L^n(I)$ . Si $[I,_{n+1} x]=0$ , alors pour tous $y_1,\dots ,y_{n},y_{n+1}\in I$ , $(\operatorname {ad}_{y_1}\circ ...\circ \operatorname {ad}_{y_n})(\operatorname {ad}_{y_{n+1}}(x))=0$ et donc par hypothèse de récurrence $\operatorname {ad}_{y_{n+1}}(x)\in C_L^n(I)$ . Réciproquement, si $[I,x]\leq _{gr} C_L^n(I)$ , alors par hypothèse de récurrence, $[I,_{n+1} x]=0$ .

Démonstration On procède par récurrence. Pour $n=1$ , soient $y\in N_L(A)$ , $x\in C_L(A)$ et $a\in A$ ; alors $[[y,x],a]=[[y,a],x]+[y,[x,a]]=0$ car $[y,a]\in A$ et $[x,a]=0$ .

Supposons la propriété vérifiée pour n. Soient $y\in N_L(A)$ et $x\in C_L^{n+1}(A)$ ; alors $x\in \bigcap _{i\leq n} N_L(C^i(A))$ , mais par hypothèse de récurrence, y est aussi contenu dans $\bigcap _{i\leq n} N_L(C_L^i(A))$ , et ainsi $[y,x]\in \bigcap _{i\leq n} N_L(C_L^i(A))$ . De plus, pour $a\in A$ , un calcul analogue à celui du paragraphe précédent et l’hypothèse de récurrence nous donnent que $[[y,x],a]\in C_L^n(A)$ .

Démonstration On procède par récurrence sur $i+j$ . Pour $i+j=1$ , on a $i=0$ et $j=1$ , le lemme est vrai. Supposons que la propriété est vérifiée pour $i+j\leq n$ , et considérons $i,j$ tels que $i+j=n+1$ . Alors, par récurrence:

$$\begin{align*}[[H^{i-1},C_L^{j}(H)], H]\leq_{gr} [C_L^{j-i},H]\leq_{gr} C_L^{j-i-1}(H)\end{align*}$$

et également,

$$\begin{align*}[[H, C_L^{j}(H)], H^{i-1}]\leq_{gr} [C_L^{j-1}(H), H^{i-1}]\leq_{gr} C_L^{j-i-1}(H).\end{align*}$$

Par conséquent, en vertu de l’identité de Jacobi, on a:

$$\begin{align*}[H^i, C_L^j(H)]=[[H^{i-1},H],C_L^{j}(L)]\leq_{gr} C_L^{j-i-1}(H).\\[-34pt] \end{align*}$$

Démonstration Par récurrence sur j. C’est évident pour $j=0,1$ . Supposons que la propriété est vraie pour $j-1$ .

Démonstration Par récurrence sur i. Pour $i=0$ , on doit montrer que $[H^{j-1},C_L^j(K)]=0$ , i.e. $C_L^j(K)\leq C_L(H^{j-1})=C_L(K^{j-1})$ , ce qui est vrai par le Lemme 2.7. Supposons que l’affirmation est vraie pour $i-1$ . On a

$$\begin{align*}[[H^{j-i-1},K],C_L^j(K)]\leq_{gr} [H^{j-i},C_L^j(K)]\leq_{gr} C_L^{i-1}(H).\end{align*}$$

De plus, par le Lemme 2.7 et par récurrence, on obtient:

$$\begin{align*}[[K, C_L^j(K)], H^{j-i-1}]\leq_{gr} [C_L^{j-1}(K), H^{j-i-1}]=[C_L^{j-1}(H),H^{j-i-1}]\leq_{gr} C_L^{i-1}(H).\end{align*}$$

D’après l’identité de Jacobi,

$$\begin{align*}[[H^{j-i-1}, C_L^j(K)],K]\leq_{gr} C_L^{i-1}(K).\end{align*}$$

Mais $H^{j-i-1}$ et $C_L^j(K)$ normalisent $C_L^k(K)=C_L^k(H)$ pour tout $k<i$ , par conséquent

$$\begin{align*}[H^{j-i-1},C_L^j(K)]\leq_{gr} C_L^i(K)=C_L^i(H).\\[-34pt]\end{align*}$$

En particulier, $[H, C_L^j(K)]\leq _{gr} C_L^{j-1}(H)$ , et $C_L^j(K)$ normalise $C_L^i(H)=C_L^i(K)$ pour tout $i<j$ . Ainsi, $C_L^j(K)\leq C_L^j(H)$ . D’autre part, $[K,C_L^j(H)]\leq _{gr} C_L^{j-1}(H)=C_L^{j-1}(K)$ , et $C_L^j(H)$ normalise $C_L^i(K)=C_L^i(H)$ pour tout $i<j$ . Par conséquent, $C_L^j(H)\leq C_L^j(K)$ .

Définition 3.1 On dit que L est $\mathfrak {Z}_f$ si pour chaque centre itéré $Z_i(L)$ , le centre de $L/Z_i(L)$ est le centralisateur d’un nombre fini d’éléments.

Démonstration Pour chaque n, la condition de chaîne sur les centralisateurs nous donne l’existence d’un ensemble fini $\overline {x}_n\in L^n$ tel que $C_L(L^n)=C_L(\overline {x}_n)$ . De plus, il existe un sous-ensemble fini $\overline {k}_n\in L$ tel que $\overline {x}_n\in \left \langle \overline {k}_n\right \rangle ^n$ . On considère le sous-anneau $K=\left \langle \overline {k}_0,\dots ,\overline {k}_n\right \rangle $ ; alors $K\leq L$ , et pour $i\leq n$ , on a $\overline {x}_i\in K^i$ , i.e., $C_L(K^i)=C_L(L^i)$ . Donc, d’après le Lemme 2.8, $C_L^n(K)=C_L^n(L)=Z_n(L)$ . Pour $\overline {L}=L/Z_{n-1}(L)$ , on a $Z(\overline {L})=C_{\overline {L}}(K)=C_{\overline {L}}(\overline {k})$ , où $\overline {k}$ est l’image de l’ensemble engendrant K.

Démonstration On peut supposer que tout centralisateur de la forme $C_L(x)$ qui est un sous-anneau propre est résoluble. On peut également supposer que L n’est pas abélien.

Il existe $x\in Z_2(L)-Z(L)$ : en effet, $Z_2(L)/Z(L)=Z(L/Z(L))=Z(A)= C_A(a_1,\dots ,a_n)$ car L est $\mathfrak {Z}_f$ , mais A est localement nilpotent, et donc $Z(\left \langle a_1,...,a_n\right \rangle )\neq \{0\}$ . L’homomorphisme $\operatorname {ad}_x$ définit un homomorphisme d’anneau de L vers $Z(L)$ : $[x,[y,z]]=[[x,y],z]+[y,[x,z]]=0=[[x,y],[x,z]]$ , car $[x,y],[x,z]\in Z(L)$ . Par conséquent, $C_L(x)$ est un idéal propre de L et donc par induction, c’est un idéal résoluble. On a $L/C_L(x)\simeq Z(L)$ , et on obtient finalement que L est résoluble.

Définition 3.2 On définit l’idéal de Fitting par:

Démonstration Soient $x_1, \dots , x_n\in F(L)$ , le sous-anneau $\left \langle x_1,\dots x_n\right \rangle $ est contenue dans $I_1+\dots +I_n$ , où $I_1,\dots ,I_n$ sont des idéaux nilpotents; mais $I_1+\dots +I_n$ est un idéal nilpotent, d’après [Reference Stewart11, Lemma 0.2].

Définition 3.3

• — On définit une représentation d’un anneau de Lie L sur un groupe abélien V, comme la donnée d’un homomorphisme d’anneaux de Lie $\phi : L \rightarrow \mbox {End}(V) $ , où le crochet de $\mbox {End}(V)$ est donné par $[f,g]=f\circ g - g\circ f$ . On dit que V est un L-module.

• — Soit V un L-module. On définit une structure d’anneau de Lie sur le produit $L\times V$ , on parlera du produit semi-direct $L\rtimes V$ , par l’opération: $[(g,v),(g',v')]=([g,g'], \phi (g)(v')-\phi (g')(v))$ .

Démonstration On prend $m=1+\sum _{i=1}^{k} (n_i-1)$ . En tant que module de Lie, la condition sur les commutateurs se traduit par $\phi (x_i)^{n_i}(v)=0$ . Par conséquent, pour tout choix de m indices $i_1,\dots ,i_m$ parmi $\{1,\dots ,k\}$ , au moins un indice doit apparaitre $n_i$ fois, mais comme L est abélien, les endomorphismes $\phi (x_i)$ commutent entre eux. Ainsi,

$$\begin{align*}\phi(x_{i_1})\circ\dots\circ \phi(x_{i_m})(v)=0.\end{align*}$$

Par conséquent, $\phi (x_i)\circ \phi (x_{i_2})\circ \dots \circ \phi (x_{i_m})(v)=0$ pour tout $i\in \{1,\dots ,k\}$ . Donc pour tout $x^{\prime }_1\in L$ , on obtient:

$$\begin{align*}\phi(x_1')\circ \phi(x_{i_2})\circ \dots \phi(x_{i_m})(v)=0.\end{align*}$$

En utilisant la commutativité du module de Lie et en répétant m fois l’opération, on obtient pour tous éléments $x^{\prime }_1,...,x^{\prime }_m\in L$ :

$$\begin{align*}\phi(x^{\prime}_1)\circ\dots\circ \phi(x^{\prime}_m)(v)=0.\end{align*}$$

Par conséquent, $[L,_m v]=0$ .

Démonstration On procède par récurrence sur la classe de résolubilité, le cas abélien étant trivial. On peut donc supposer que $L'$ est nilpotent. Il suffit de montrer par récurrence que tout centre itéré de $L'$ est contenu dans un centre itéré de L: il existera alors un indice i tel que $L'=Z_n(L')\leq Z_i(L)$ et donc $L/Z_i(L)$ est abélien et $L=Z_{i+1}(L)$ . Evidemment, $\{0\}=Z_0(L')$ est contenu dans $Z_0(L)$ . Supposons que $Z_i(L')\leq Z_k(L)$ ; les sous-anneaux $Z_{i+1}(L')$ et $Z_i(L')$ sont des idéaux de L. On considère $A=Z_{i+1}(L')/Z_i(L')$ ; c’est un anneau de Lie abélien sur lequel L agit de façon adjointe, de sorte que A est un L-module. L’anneau de Lie A est centralisé par $L'$ et on obtient donc une structure de $L/L'$ -module.

Comme L est $\mathfrak {Z}_f$ et $A\leq L/Z_i(L)$ , il existe $x_1,\dots ,x_n$ dans L tels que $C_A(L)=C_A(x_1,\dots ,x_n)$ . Pour tout $x_i$ , il existe un entier $n_i$ tel que $\operatorname {ad}_{x_i}^{n_i}(y)=0$ pour tout $y\in L'$ . De plus, pour tout $y\in L'$ et $a\in A$ , on a bien $\operatorname {ad}_{x_i+y}(a)=0$ ssi $\operatorname {ad}_{x_i}(a)=0$ , et donc $C_A(L/L')=C_A(\overline {x_1},\dots ,\overline {x_n})$ .

D’après le Lemme 3.4, pour $m=1+\sum _{i=1}^{k} (n_i-1)$ , on obtient pour tout $a\in A$ , $[L/L',_ma]=[L,_m a]=0$ ; par conséquent, pour tout $y\in Z_{i+1}(L')$ , on a $[L,_m y]\leq Z_i(L')\leq Z_k(L)$ . Par conséquent, d’après la Proposition 2.3, $y\in Z_{k+m}(L)$ . Finalement, $Z_{i+1}(L')\leq Z_{k+m}(L)$ .

Démonstration L’idéal $F=F(L)$ est localement nilpotent et donc résoluble d’après la Proposition 3.2. Soit $x\in F$ ; cet élément appartient à un idéal nilpotent I de L, de classe de nilpotence r disons. Par conséquent, pour tout élément y de $F'$ , $[x,y]\in I$ et donc $\operatorname {ad}^r_{x}(y)=0$ . On conclut d’après la Proposition 3.5.

Définition 4.1 Soit L une algèbre de Lie. On dit que H est un sous-idéal de L s’il existe une suite finie de sous-algèbres telle que:

$$\begin{align*}H_0=H\lhd H_1 \lhd\dots\lhd H_n=L.\end{align*}$$

L’indice d’un sous-idéal désigne la longueur minimale d’une suite de la forme précédente.

Démonstration Toute famille d’idéaux nilpotents est contenue dans l’idéal de Fitting qui est nilpotent, donc engendre nécessairement un idéal nilpotent.

Pour la deuxième assertion, on procède par récurrence sur la classe du sous-idéal; soit $I=I_0\lhd \dots \lhd I_n=L$ . Si $n=1$ , I est un idéal nilpotent. Supposons que l’affirmation est vraie pour $n-1$ . Alors I est un sous-idéal de $I_{n-1}$ de longueur $n-1$ et par récurrence, il est contenu dans $F(I_{n-1})$ qui est un idéal caractéristique dans $I_{n-1}$ ; c’est donc un idéal nilpotent de L.

Démonstration Dans un souci d’exhaustivité, nous reproduisons la démonstration de la deuxième assertion donnée dans [Reference Hartley6].

Soit d une dérivation k-nilpotente; pour tout $m\in \mathbb {N}$ , on a que $\exp (md)(x)=\sum _{0\leq i \leq k-1}\frac {m^i}{i!}d^i(x)$ . On considère la matrice $\begin {pmatrix} 1 & 1 & \dots & 1\\ 1 & 2 & \dots & k \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ 1 & 2^{k-1} &\dots & k^{k-1} \\ \end {pmatrix}$ .

Elle est inversible comme matrice de Vandermonde. Ainsi, il existe $a_1,\dots a_k\in K$ tels que:

$$\begin{align*}\sum_{1\leq n \leq k} a_n\cdot n^i=\delta_{1,i},~(i=0,1,\dots, k-1).\end{align*}$$

Finalement, on en déduit que $d(x)=\sum _{1\leq n \leq k}a_n\cdot \exp (nd)(x) $

Démonstration Soit $b\in N_L(A)$ ; A est stable sous l’action de $\operatorname {ad}_b$ et de $\operatorname {ad}_{-b}$ . Par conséquent, $\exp (b)$ et $\exp (-b)$ définissent sur A des applications linéaires injectives inverses l’une de l’autre; ainsi, $A^{\exp (b)}=A$ . Réciproquement, d’après le Fait 4.4, $\operatorname {ad}_b$ stablise A.

Définition 4.2 Soit L une algèbre de Lie de caractéristique nulle. On appelle groupe d’automorphismes intérieurs, noté $\operatorname {Int}(L)$ , le sous-groupe de $\mbox {Aut}(L)$ engendré par les éléments de la forme $\exp (x)$ , où x est un élément ad-nilpotent de L. Pour marquer l’analogie avec les groupes, étant donné un sous-espace A, on notera $A^f$ pour $f(A)$ , où $f\in \operatorname {Int}(L)$ .

Démonstration Soit $I=(x_0,x_1,\dots )$ une suite d’éléments dans $\bigcup _{\operatorname {Int}(H)} S^h$ . Posons $y_0=x_0$ et $y_{i+1}=[y_i,x_{i+1}]$ pour $i\geq 0$ . Remarquons que $C_L^i(S^h)=C_L^i(S)^h=C_L^i(S)$ (on obtient la dernière égalité en utilisant le Lemme 4.5).

Puisque S est c-nilpotente, on a $S\leq C_L^c(S)$ , et donc $y_0\in C_L^c(S)$ . De plus, si $y_i\in C_L^{c-i}(S)$ et $x_{i+1}\in S^h$ pour un certain $h\in \operatorname {Int}(H)$ , alors $y_i\in C_L^{c-i}(S^h)$ , ainsi $y_{i+1}\in C_L^{c-i-1}(S^h)=C_L^{c-i-1}(S)$ pour tout $i\leq c-1$ . Par conséquent, $y_c=0$ . Or, par anti-commutativité du crochet, tout commutateur de longueur $c+1$ à éléments dans $\bigcup _{\operatorname {Int}(H)} S^h$ est nul, et donc N est nilpotente (car tout commutateur de N est la somme de commutateurs à éléments dans $\bigcup _H S^h$ ).

Démonstration Supposons que L n’est pas nilpotente. Remarquons que d’après le Théorème 3.2 et le Corollaire 3.6, une sous-algèbre est localement nilpotente ssi elle est résoluble ssi elle est nilpotente. Soit S une sous-algèbre localement nilpotente maximale (qui existe d’après le Lemme de Zorn); il s’agit également d’une sous-algèbre résoluble maximale. Alors $N_L(S)=S$ : en effet, si $x\in N_L(S)$ , alors la sous-algèbre $\left \langle S,x\right \rangle =S+\left \langle x\right \rangle $ est résoluble, donc égale à S par maximalité.

Il existe au moins une sous-algèbre nilpotente maximale T distincte de S, car autrement, S serait invariante sous l’action de $\operatorname {Int}(L)$ . Par conséquent, d’après le Lemme 4.5, $L=N_L(S)=S$ , contradiction.

On considère $I=\{ S\cap T : T$ est une sous-algèbre (localement) nilpotente maximale distincte de $S\}$ .

Soit $(K_i)$ une chaine ordonnée par l’inclusion et on note $K=\bigcup _i K_i$ ; c’est une sous-algèbre (localement) nilpotente de S, de classe c disons. Soit $i_0$ tel que $C_L(K_{i_0}^j)$ soit minimal pour $j=1,\dots ,c$ (et donc $C_L(K_i^j)=C_L(K_{i_0}^j)$ pour $i\geq i_0$ ). Soit T une sous-algèbre nilpotente distincte de S telle que $K_{i_0}=T\cap S$ . D’après la condition du normalisateur pour les algèbres de Lie nilpotentes, il existe $y\in N_T(K_{i_0})-K_{i_0}$ . On considère la sous-algèbre $F=\left \langle K_{i_0},y\right \rangle =K_{i_0}+\left \langle y\right \rangle $ qui est résoluble et normalise $K_{i_0}$ et $C_L^j(K_{i_0})$ pour $j\leq c$ . Mais pour $j=1,\dots ,c$ ,

$$\begin{align*}C_L(K^j)=C_L((\bigcup_i K_i)^j)=C_L\left(\bigcup_i K_i^j\right)=\bigcap_i C_L(K_i^j)=C_L(K_{i_0}^j).\end{align*}$$

Par conséquent, $C_L^j(K)=C_L^j(K_{i_0})$ pour tout $j\leq c$ , d’après le Fait 2.8; ainsi, $F\leq \bigcap _{j\leq c} N_L(C_L^j(K))$ .

D’après le Lemme 4.6, la sous-algèbre $N=\left \langle K^f : f\in \operatorname {Int}(F)\right \rangle $ est nilpotente (et contient K). Comme F est résoluble et normalise N, on obtient que $\left \langle N,F\right \rangle =N+F$ est une sous-algèbre résoluble contenant K et y. Donc $\left \langle K,y\right \rangle $ est résoluble (et localement nilpotente); elle est contenue dans une sous-algèbre localement nilpotente maximale $T_1\neq S$ . Il suffit désormais de prendre $T_1\cap S$ pour majorant de la chaîne.

Soit I une intersection maximale de la forme $S\cap T$ (qui existe d’après le Lemme de Zorn); c’est une sous-algèbre nilpotente de S et T. En vertu de la condition du normalisateur, on trouve $x\in N_S(I)-I$ et $y\in N_T(I)-I$ . Il existe un élément u de la forme $u=\operatorname {ad}_x^n(y) \in T$ qui n’est pas dans $T\cap S$ de longueur n maximale (car x est ad-nilpotent). Par conséquent, $\operatorname {ad}_x^{n+1}(y)=\operatorname {ad}_x(u)=-\operatorname {ad}_u(x)\in I=T\cap S$ , et donc $\operatorname {ad}^k_u(x)\in I$ pour tout entier k (puisque u normalise I); en particulier, $x^{\exp (u)}\in S^{\exp (u)}\cap S$ . Ainsi, on déduit du Lemme 4.5 que $S\cap S^{\exp (u)}>I$ et par maximalité $S=S^{\exp (u)}$ . De même, on vérifie que pour tout $n\in \mathbb {Z}$ , $S=S^{\exp (nu)}$ . D’après le Lemme 4.5, on obtient que $u\in N_L(S)=S$ , contradiction.

Démonstration 1) Par récurrence sur la classe de nilpotence, si N est abélien, on considère $Z(C_L(N))$ , qui est un idéal définissable abélien.

On considère $Z(N)$ , qui est contenu dans l’idéal définissable $A=Z(C_L(Z(N))$ (on remarque que $C_L(Z(N))$ contient N). On a que $N\leq C_L(A)$ et $Z(N)=A\cap N$ ; par conséquent, $N/Z(N)=N/A\cap N\simeq N+A/A$ est une sous-algèbre d’indice de nilpotence plus petit contenu dans $C_L(A)/A$ . Par récurrence, il existe un idéal définissable $C/A$ de $C_L(A)/A$ contenant $N+A/A$ , son image réciproque par le morphisme de projection est un idéal de $C_L(A)$ nilpotent définissable contenant N. Comme $C_L(A)$ est un idéal, il s’agit d’un sous-idéal.

2) Si N est résoluble, on prend le dernier terme de la série dérivée A (qui est un idéal dans L) et on considère $B=Z(C_L(A))$ qui est un idéal définissable abélien contenant A. Or, $N\leq N_L(B)$ et donc $N+B/B\leq N_L(B)/B$ et on conclut par récurrence ( $N_L(B)$ est un idéal de L).

Démonstration On sait que l’idéal de Fitting est nilpotent, et il est donc contenu dans un sous-idéal définissable nilpotent. Mais d’après le Lemme 4.2, un tel sous-idéal est contenu dans un idéal nilpotent, et lui est donc égal par maximalité.