I. L'HÉRITAGE GREC EN ARABE: EUCLIDE, SIMPLICIUS ET JEAN PHILOPON

Les mathématiciens et les philosophes arabes ont rencontré la notion d'angle et celle d'angle de contingence dans la traduction au ix^e siècle des Éléments d'Euclide et dans certains commentaires de ces derniers, transmis d'une manière ou d'une autre en arabe. C'est à partir de ce fonds qu'ils ont entamé leur propre recherche. Il s'agit de deux définitions du premier livre des Éléments et de deux autres du troisième livre, en plus de la proposition III.16 dans l'édition Heiberg du texte grec (III.15 dans la traduction arabe de Isḥāq-Thābit). Ils ont également eu accès au commentaire de Simplicius des Éléments, au commentaire de Jean Philopon à la Physique d'Aristote (partiellement perdu en grec) et, peut-être, à son commentaire des Seconds Analytiques. Quant au commentaire de Proclus, rien n'indique, autant que je sache, qu'il ait été transmis en arabe.

2. L'angle corniculaire d'Euclide à Jean Philopon

Simplicius, non plus qu'Avicenne dans son Traité sur l'angle, ne s'arrête à l'angle corniculaire, que tous deux avaient évoqué. Celui-ci a été connu par la proposition III.16 des Éléments:

Si une droite est menée selon des angles droits à partir de l'extrémité d'un diamètre du cercle, alors elle sera à l'extérieur du cercle et aucune autre droite ne tombera entre elle et la circonférence; l'angle du demi-cercle sera plus grand que tout angle aigu rectiligne, et l'angle qu'entourent cette droite et la circonférence sera plus petit que tout angle aigu rectiligne.Footnote ²²

On observe, ce qu'Ibn al-Haytham avait déjà fait, qu'Euclide ne définit, ni ne nomme, cet angle qui “sera plus petit que tout angle aigu rectiligne”, que d'ailleurs il n'évoque dans les Éléments qu'une seule fois. Proclus le baptisera plus tard l'angle “corniculaire (ϰερατοειδής)” et Ibn al-Haytham “l'angle de tangence (al-tamāss)”.Footnote ²³

Or, avec l'énoncé de cette proposition, on constate que la notion de tangence est essentielle à la définition de cet angle, ce qui explique le choix terminologique d'Ibn al-Haytham – “tangence”– et celui d'“angle de contingence” plus tard. Il est tout aussi évident que la notion d'angle “plus petit que tout angle aigu rectiligne” dépend, implicitement au moins, de celle de l'angle en tant que grandeur, ou en tant que quantité, puisqu'elle suppose la comparabilité et la mesure. Ces deux questions seront présentes dans toutes les discussions ultérieures.

Euclide démontre l'existence et l'unicité de la tangente, avant d'établir le dernier point de l'énoncé. Mais, pour saisir la difficulté que soulève ce point, procédons d'abord intuitivement. On constate alors qu'il est assez aisé d'ordonner les angles rectilignes, quelle que soit la définition qu'on en donne. On dira que l'angle (OA, OB) est inférieur à l'angle (OA, OC) si le côté OB est à l'intérieur de ce dernier angle (en procédant éventuellement par superposition). On pourra faire de même pour une classe restreinte d'angles mixtilignes qui ont des rectilignes égaux, dont les côtés sont concaves simples, tous orientés dans la même direction. Or une telle démarche n'est pas possible pour des angles quelconques, pour ne pas parler de l'angle de contingence.

Ainsi, aux questions de tangence et de grandeur s'ajoutent celles de la comparaison entre les angles – rectiligne, mixtiligne et de contingence –, et de l'existence de l'ordre total et de la continuité. Autant de questions que soulèveront les lecteurs d'Euclide. L'histoire a conservé certaines de leurs lectures. La première, qui est aussi la plus importante, est celle de Proclus, qui s'attaque de front à la question de la grandeur, et aussi à celle de la définition de la notion d'angle. Il écrit:

Mais, si l'angle est une grandeur et que toutes les grandeurs homogènes finies ont un rapport l'une avec l'autre, alors tous les angles homogènes, au moins ceux dans les plans, auront un rapport l'un avec l'autre; ainsi, un angle corniculaire aura un rapport avec un angle rectiligne. Or, les grandeurs qui ont un rapport entre elles peuvent se dépasser l'une l'autre si elles sont multipliées; donc, l'angle corniculaire pourra finalement dépasser l'angle rectiligne; ce qui est impossible, car il est démontré que l'angle corniculaire est plus petit que tout angle rectiligne.Footnote ²⁴

C'est ainsi que Proclus règle la question de la grandeur en posant rigoureusement le problème qui sera débattu par ses successeurs.

Jean Philopon, pour sa part, soulève la question de la continuité par un argument souvent repris plus tard, mais de manière différente. La discussion alors engagée portait sur la comparabilité de la droite et de l'arc de cercle, et la question était de savoir si “le plus grand passe au plus petit sans passer par l'égal”.

Jean Philopon reconnaît la validité de ce principe et la nécessité de passer par l'égal pour les grandeurs homogènes. Quant aux grandeurs non homogènes, c'est-à-dire celles auxquelles on ne peut pas appliquer la théorie des proportions, il s'explique dans son Commentaire de la Physique:

Il n'est pas nécessaire, écrit-il, que, s'il existe le plus grand et le plus petit, entre les choses l'égal existe. En effet, l'angle aigu entouré par une droite et la convexité de l'arc est plus grand que tout angle aigu, <et l'angle aigu entouré par une droite> et la concavité de l'arc est plus petit que tout angle aigu. Et il n'existe aucun angle entouré par une ligne droite et une ligne circulaire égal à un angle aigu rectiligne; car, si cela existait, alors la ligne droite se superposerait à la ligne circulaire. En effet, si nous faisons mouvoir une droite sur le diamètre, nous formons un angle entouré par la droite et le demi-cercle, qui est le plus grand, et un angle entouré par une droite et la concavité, qui est le plus petit. L'un des deux angles se forme après l'autre sans qu'il se forme <l'angle> égal à l'angle aigu rectiligne.Footnote ²⁵

De même, mais plus longuement, dans son Commentaire des Seconds Analytiques:

Si quelqu'un accorde que Bryson a ainsi mené à bien sa construction, il est loisible de lui répondre que le propos selon lequel là où il y a du plus grand et du plus petit que quelque chose, il y en a aussi de l'égal, est vrai dans le cas des choses de même genre, mais que cela n'est plus vrai dans le cas des choses qui ne sont pas de même genre. Car le géomètre montre que, dans le cas du demi-cercle CDB, la droite AC menée perpendiculairement à partir de l'extrémité du diamètre CB tombe nécessairement en dehors du cercle; et que des deux angles produits (i) par la circonférence et le diamètre et (ii) par la droite menée perpendiculairement et la circonférence, je veux dire de l'angle extérieur ACD et de l'angle intérieur DCB, l'angle extérieur est plus petit que tout angle rectiligne aigu et l'angle intérieur plus grand que tout angle rectiligne aigu. Ainsi donc, dans ce cas, bien qu'ayant montré que des angles sont plus grand et plus petit que le même angle rectiligne aigu, nous ne pourrions cependant pas en découvrir d'égal, du fait que les grandeurs ne sont pas de même genre. Car les angles considérés sont supposés provenir d'une droite et d'une circonférence – on les appelle d'ailleurs corniculaires. Et le paradoxe est que, alors que l'angle extérieur peut être augmenté à l'infini et l'intérieur diminué, et que, à rebours, l'angle intérieur peut être augmenté à l'infini et l'extérieur diminué, ni l'angle extérieur, augmenté à l'infini, ne deviendra jamais égal à l'angle rectiligne aigu – mais il sera toujours plus petit que n'importe lequel – ni l'angle intérieur augmenté à l'infini ne sera jamais égal à un angle droit.

Nous augmentons l'angle extérieur en traçant des cercles plus petits. Ainsi, si je coupe le diamètre CB au point E, que je coupe la droite CE en deux moitiés au point G et que, avec G pour centre et GC pour intervalle, je trace un cercle dont le demi-cercle est CHE, l'angle extérieur ACH augmente et, derechef, en vertu de ce qu'on a déjà dit, il n'en est pas moins plus petit que tout angle aigu. Ce théorème a en effet été prouvé par le géomètre pour tout cercle (voir

Fig. 1

).

Fig. 1

Derechef, de la même manière, ayant coupé le diamètre du cercle intérieur, ayant inscrit un cercle plus petit et ayant fait cela à l'infini, j'augmente toujours l'angle extérieur et je diminue l'angle intérieur, mais ni l'angle extérieur, ni l'angle intérieur, ne seront jamais égaux à un angle rectiligne aigu: l'extérieur sera toujours plus petit, l'intérieur toujours plus grand. C'est ainsi que j'augmente l'angle extérieur et que je diminue l'angle intérieur. À l'inverse, j'augmente l'angle intérieur et je diminue l'angle extérieur en circonscrivant des cercles plus grands, de la manière suivante. Je prolonge le diamètre CB en ligne droite jusqu'à E et, avec B comme centre et BC comme intervalle, je trace un cercle, dont le demi-cercle est CGE (voir

Fig. 2

). Il est clair que le demi-cercle CGE tombera à l'intérieur de la droite AC, du fait qu'il a été prouvé que la droite menée perpendiculairement de l'extrémité du diamètre tombe nécessairement à l'extérieur du cercle. Or, que pas la moindre partie du demi-cercle extérieur CGE ne soit en contact avec une partie du demi-cercle intérieur CDB, c'est clair à partir de ceci: s'il y a contact, menons, à partir du point où ils coïncident, disons H, vers les centres des cercles B et J, les droites HB et HJ. Puis donc que le point J est le centre du demi-cercle intérieur, JH est égale à JC. Derechef, puisque B est le centre du demi-cercle extérieur CGE, BH est égale à BC. Mais BJ et CJ sont égales à JH. Donc HB est égale à BJ et à JH. Par conséquent, du triangle HJB, les deux côtés HJ, BJ sont égaux au côté unique HB, ce qui est impossible. Par conséquent, aucune partie du cercle extérieur ne coïncide avec une partie du cercle intérieur. Donc le cercle extérieur coupe l'angle ACH. Ainsi, en traçant, à l'infini, de la même manière, des cercles extérieurs, je diminue à l'infini l'angle extérieur et j'augmente l'angle intérieur. Mais jamais l'angle intérieur, augmenté, ne deviendra égal à un droit, et toujours, il devient plus grand que tout angle rectiligne aigu.Footnote ²⁶

Fig. 2

Fig. 3

Si donc il a été montré qu'il est possible qu'il y ait du plus grand et du plus petit que la même chose sans qu'il y ait de l'égal à elle, du fait de la dissemblance des grandeurs, c'est ainsi à tort que Bryson a soutenu que, si le polygone circonscrit est plus grand que le cercle et le polygone inscrit plus petit, l'intermédiaire entre l'inscrit et le circonscrit est égal au cercle. Car là encore, les grandeurs sont dissemblables, je veux dire le polygone par rapport au cercle. En sorte qu'ils ne seront pas égaux.Footnote ²⁷

Dans le premier commentaire, celui de la Physique, il donne l'exemple de l'angle du demi-cercle et de l'angle de contingence. Il affirme que, si l'on déplace une droite sur le diamètre du cercle, elle forme d'abord avec la circonférence l'angle du demi-cercle, qui est plus grand que tout angle rectiligne aigu, et forme ensuite l'angle de contingence, qui est plus petit que tout angle rectiligne aigu, sans former au cours de son mouvement un angle égal à un angle rectiligne aigu.

Dans le Commentaire des Seconds Analytiques, il explicite sa pensée et donne un exposé détaillé où il procède à la division de l'angle de contingence par des cercles, à défaut de la division par des droites. Il commence par relever le caractère paradoxal du phénomène, qui tient au fait que l'angle de contingence peut croître à l'infini et celui du demi-cercle peut décroître à l'infini, et inversement, sans qu'aucun des deux ne devienne un angle rectiligne aigu.

Pour illustrer ce fait, il trace successivement deux figures des cercles emboîtés et tangents en un même point.

Soit d'abord le cercle CDB, de diamètre CB, tangent au point C à la perpendiculaire AC. On a l'angle de contingence ACD et l'angle du demi-cercle BCD, et on peut appliquer la proposition III.16 des Éléments. Soit un point E sur le diamètre BC; partageons EC en deux moitiés au point G. Traçons le cercle CHE, de centre G et de demi-diamètre GC. Il est tangent au point C à AC. On a ainsi augmenté l'angle de contingence et diminué l'angle du demi-cercle. On réitère le procédé indéfiniment et on trace des cercles emboîtés comme ECH, sans que l'angle de contingence soit égal à un angle rectiligne aigu, et sans que l'angle du demi-cercle soit égal à un angle droit (Fig. 1).

Ce phénomène paradoxal s'explique, selon Philopon, parce que l'on peut appliquer la proposition III.16 d'Euclide à chacun des cercles.

Jean Philopon procède ensuite par l'inverse, en augmentant indéfiniment l'angle du demi-cercle et en diminuant indéfiniment l'angle de contingence. Il aboutit au même résultat.

L'inverse de cette argumentation, à savoir qu'il n'est pas nécessaire qu'il y ait l'égal entre le plus grand et le plus petit, sera invoqué de manière récurrente dans les rédactions sur l'angle de contingence, précisément pour nier la continuité. Ainsi Avicenne, au troisième livre du Shifāʾ, écrit:

Quant à ce que l'on dit à propos de l'angle mentionné, qu'il est indivisible – alors qu'il est bien divisible – il y a en fait en puissance infiniment d'angles plus petits que lui. La démonstration a été établie qu'il n'y a aucun angle rectiligne plus petit que lui. Mais quand on dit qu'une chose qui n'a pas telle propriété est plus petite que telle chose, cela ne signifie pas qu'il n'y a aucune autre chose plus petite qu'elle. Celui qui a acquis la connaissance des fondements de la géométrie sait que cet angle est divisible à l'infini par les arcs.Footnote ²⁸

Un autre argument, non moins important et tout aussi diffusé, qui remonte, semble-t-il, à Pappus, était connu des mathématiciens arabes. Proclus nous apprend en effet que Pappus, dans son Commentaire des Éléments, a montré que les angles égaux à un angle droit ne sont pas tous droits, et qu'un angle curviligne est égal à un angle droit.Footnote ²⁹ Le texte grec de Pappus est perdu, et il ne reste de la traduction arabe que la partie du commentaire du livre X des Éléments.

Nous ne savons rien de certain sur la connaissance qu'on pouvait avoir des commentaires de Pappus des autres livres des Éléments. Cet argument figure cependant dans le commentaire de Simplicius, lequel était connu en arabe. On y lit la démonstration suivante:

Supposons l'angle droit AB Γ, et marquons au centre B et avec une distance à volonté deux points sur les lignes AB et B Γ, soit les deux points Δ et E. Traçons à partir des deux centres Δ et E et avec les distances EB et Δ B le demi-cercle AZB et le demi-cercle B ΘΓ. Alors, l'angle ABZ est égal à l'angle Γ B Θ, car, si les demi-cercles sont égaux, leurs angles sont égaux. Faisons l'angle AB Θ commun, on a l'angle AZB Θ tout entier égal à l'angle AB Γ. Mais l'angle AB Γ est droit, et l'angle AZB Θ est en forme de croissant; donc un angle en forme de croissant est égal à un angle droit (Fig. 4).Footnote ³⁰

Fig. 4

Al-Nayrīzī écrit à son tour, avant de donner la démonstration rapportée par Simplicius:

Les angles égaux à un droit ne sont pas nécessairement droits, à moins que l'on transpose le nom de l'angle aux arcs également; alors les angles entourés par des arcs sont dits droits par voie de métaphore.Footnote ³¹

II. LES COMMENCEMENTS ARABES DE LA RÉFLEXION SUR L'ANGLE DE CONTINGENCE: AL-NAYRĪZĪ ET L' ANONYME DE LAHORE

À partir du ix^e siècle, les mathématiciens non seulement connaissaient les Éléments, mais étaient au courant de ces discussions sur l'angle de contingence et, plus généralement, sur la notion d'angle. C'est dans ces conditions qu'ils ont repris à leur compte ces thèmes de recherche et de discussion, jusqu'à ce que l'ensemble fût à nouveau étudié par Ibn al-Haytham et ses successeurs.

Le premier de ces mathématiciens, semble-t-il, est al-Nayrīzī (c. 865–c. 922). Dans son Commentaire de la traduction (probablement d'al-Ḥajjāj) des Éléments, il soutient, à propos de la proposition III.15, que l'angle entouré par la perpendiculaire tangente à la circonférence du cercle et celle-ci n'est ni une grandeur, ni un angle rectiligne. Il établit ainsi cette double négation (

):

Fig. 5

Ce commentaire d'al-Nayrīzī, accompagné des nombreuses citations qu'il a empruntées aux commentaires de Simplicius et d'Aghānīs, a constitué le fonds à partir duquel les mathématiciens arabes et latins ont élaboré leur recherche.

Témoin de cette dépendance, l'écrit d'un anonyme, un opuscule intitulé Sur l'angle, qui fait partie d'une collection manuscrite copiée à Bagdad en 1159–1162, et donc rédigé avant cette date.Footnote ³⁴ Cet auteur examine presque tous les thèmes, déjà rencontrés, relatifs à l'angle de contingence. Il part d'un fait paradoxal: alors que l'on applique aux angles les opérations que l'on applique à la quantité – égalité, inégalité, rapport, division, multiplication, etc. – et qu'on peut donc définir l'angle comme “une quantité ayant une position” (fa-al-zāwiya idhan kammiyya dhāt waḍʿ), l'angle n'appartient pas pour autant au nombre des grandeurs énumérées par Aristote.Footnote ³⁵ Le paradoxe est flagrant: voici un objet géométrique auquel on applique les opérations qu'on applique aux grandeurs, sans qu'il soit compté parmi les grandeurs. Une question s'impose: l'angle est-il une grandeur?

L'auteur commence par rappeler les réponses des anciens, Euclide, Simplicius, Aghānīs, telles que les a rapportées al-Nayrīzī. Selon lui, Euclide ne considérait pas l'angle, dans sa définition par inclinaison, comme une grandeur; alors que, dans la proposition VI.33 des Éléments, il démontre que “dans les cercles égaux, les angles au centre et les angles inscrits sont dans le rapport des arcs interceptés”, et considère par conséquent l'angle comme une grandeur, puisqu'il procède à l'aide de la théorie des proportions. Toujours selon l'auteur, Simplicius voit dans l'angle une grandeur, de même qu'Aghānīs pour qui c'est une grandeur ayant deux dimensions qui aboutissent toutes les deux au même point.

L'auteur relève dès le début de l'opuscule la difficulté que soulève la définition de l'angle comme grandeur. D'abord, si on double l'angle droit, la somme n'est pas un angle, d'après la définition I.8 des Éléments; et de même pour l'angle solide, s'il devient égal à quatre droits. Or une grandeur ne s'annule pas si on la double. D'autre part, l'angle ne vérifie pas la définition 4 du livre V des Éléments. Enfin, l'angle ne satisfait pas non plus la proposition X.1 des Éléments, que vérifient toutes les grandeurs (archimédiennes). Pour établir cela, l'auteur invoque le contre-exemple de l'angle de contingence. Il considère l'angle de contingence ABC et l'angle rectiligne D. Si l'on retranche de D plus que sa moitié, et si du reste on retranche plus que sa moitié, si on réitère continûment cette opération, on ne pourra pas aboutir à un angle plus petit que l'angle ABC mais on aura toujours un reste plus grand que celui-ci. Inversement, si on double ABC autant de fois que l'on veut, le résultat sera toujours plus petit que l'angle D. On en conclut que l'ensemble des angles ne vérifie pas la proposition X.1 des Éléments.

Mais, à défaut de pouvoir diviser l'angle de contingence par une droite, l'auteur propose de le diviser par une “ligne circulaire” de la même concavité que le cercle initial, procédé que nous avons rencontré chez Jean Philopon et que nous rencontrons dans un corollaire à la proposition III.15, dans certains commentaires des Éléments, comme celui d'al-Abharī (mort en 663/1265 environ).Footnote ³⁶

L'auteur anonyme conclut alors: “Il ressort clairement de cela que cette espèce d'angle est qualifiée de la propriété de la quantité”.

L'auteur propose d'établir par une autre méthode que l'on peut retrancher autant de fois que l'on veut l'angle de contingence de l'angle rectiligne, sans pour autant épuiser ce dernier; il en conclut que ces deux angles n'appartiennent pas au même genre puisqu'ils ne vérifient pas la proposition X.1 des Éléments. Sur ce point également, les angles diffèrent des grandeurs, puisqu'une partie d'une grandeur est une grandeur de même genre. Ils en diffèrent encore sur un autre point, qu'avait déjà noté Jean Philopon: on peut passer du plus petit au plus grand sans passer par tous les intermédiaires. Ainsi, l'angle limité par un arc de cercle et une droite, s'il est dans un demi-cercle ou moins qu'un demi-cercle, il est aigu; et s'il est dans plus d'un demi-cercle, il est obtus.Footnote ³⁷ On passe donc d'un angle aigu à un angle obtus sans passer par l'angle droit.

L'auteur anonyme utilise donc la définition V.4 ainsi que la proposition X.1 des Éléments pour montrer à la fois que l'angle rectiligne et l'angle de contingence ne sont pas homogènes, et que l'angle diffère de toutes les grandeurs géométriques. Il poursuit encore plus loin cette comparaison: il compare l'angle à la ligne, à la surface et au solide, en considérant le nombre des dimensions, et en montrant à chaque fois en quoi l'angle ressemble à une grandeur et, surtout, en quoi il en diffère. Il conclut en se demandant si l'angle relève de la catégorie de la quantité. Comme il n'existe pas une unité angulaire – comme l'unité pour les nombres – et comme, en plus, l'angle a une position, il ne peut être considéré comme une quantité discrète. Mais, comme il ne vérifie pas non plus la propriété de l'intersection – à savoir que l'intersection de deux grandeurs homogènes, deux lignes par exemple, est d'une dimension moindre que la grandeur – l'angle ne relève pas non plus de la quantité continue. Tout cela mène l'auteur à conclure dans la perplexité et dans l'indécision: “certains états (de l'angle) entraînent nécessairement qu'il est une grandeur, et d'autres le nient”.

Ce texte indique donc que, bien avant le xii^e siècle, l'étude sur l'angle et l'angle de contingence portait principalement sur la notion de grandeur, et reposait sur la notion de grandeur et sur l'axiome d'Archimède. C'est à cette étude que contribuera Ibn al-Haytham, au xi^e siècle.

L'étude de l'angle et de l'angle de contingence s'est sans doute poursuivie depuis la fin du ix^e siècle. Cependant, l'état de la recherche sur la littérature scientifique arabe pendant cette période, ainsi que la perte d'un nombre considérable de manuscrits, ne nous permettent pas de connaître de manière précise et détaillée les différentes contributions. Un grand mathématicien comme Thābit ibn Qurra (826–901) aurait discuté de l'angle – on a vu que c'est ce qu'affirme plus tard Avicenne dans son Traité sur l'angle. D'ailleurs, la rédaction d'un tel traité par le philosophe comme réponse à ses interlocuteurs témoigne de l'attraction exercée par ces thèmes. Le mathématicien al-Sijzī a, pour sa part, écrit brièvement sur l'angle de contingence. Il affirme en effet dans son Introduction à la science de la géométrie Footnote ³⁸ que les angles curvilignes et l'angle de contingence ne sont pas “mesurables”, c'est-à-dire que l'on ne peut pas les étudier à l'aide de la théorie des proportions. Dans un autre traité, Pour aplanir les voies en vue de déterminer les propositions géométriques, il rappelle que l'angle de contingence n'est comparable à aucun angle rectiligne.Footnote ³⁹ Mais c'est le successeur d'al-Sijzī, Ibn al-Haytham, qui reprendra cette étude de l'angle de contingence.

III. IBN AL-HAYTHAM: LA COMPARAISON DES INFINIMENT PETITS

Dans son Livre sur la solution des doutes du livre d'Euclide sur les Éléments et l'explication de ses notions, Ibn al-Haytham s'arrête à la proposition III.15 de la traduction arabe, qu'il considère comme une des difficultés (mushkilāt) de la géométrie. Après en avoir cité l'énoncé, il propose une nouvelle démonstration de l'existence et de l'unicité de la tangente menée à l'extrémité du diamètre du cercle. Il discute ensuite plus longuement de l'angle de contingence et de l'angle mixtiligne. Puisque nous venons d'examiner ce qui nous est parvenu des prédécesseurs d'Ibn al-Haytham à ce sujet (et qu'il a sans doute connu), il nous faut à présent dégager les points saillants de sa géométrie, nécessaires à la compréhension de son étude de l'angle de contingence et de l'angle mixtiligne.

Le premier point touche à sa conception de la géométrie: nous avons montré ailleursFootnote ⁴⁰ qu'il fut le premier à introduire systématiquement le mouvement comme notion primitive de la géométrie, afin de pouvoir étudier les transformations des figures géométriques et les relations entre elles. À ce projet il a consacré deux livres, Les connus et L'analyse et la synthèse, ainsi que son Explication des postulats du livre d'Euclide, où il reprend les notions des Éléments d'Euclide pour les fonder à partir de la notion de mouvement. On verra plus loin que, dans son étude sur l'angle de contingence, il procède par rotation et par superposition.

Le second point est relatif aux notions de tangente et de tangence. Ibn al-Haytham considère, et cette fois encore personne ne l'avait fait avant lui, le point de contact comme un seul point selon la catégorie de la position, mais comme un point double selon la catégorie de la relation. Il écrit:

Or, pour que ces deux points s'identifient en un seul selon la catégorie de la position, ils doivent se rapprocher indéfiniment. C'est dans ce rapprochement que l'infiniment petit intervient tout naturellement. Mais, pour expliquer techniquement cette idée, il a fallu attendre l'invention du calcul différentiel.

Le troisième point, tout aussi important, est la conception qu'Ibn al-Haytham se faisait de l'angle. Or il n'ignorait sûrement pas que la définition de l'angle avait fait couler beaucoup d'encre depuis l'antiquité, et que la définition euclidienne n'était pas unanimement admise.Footnote ⁴² À la suite de Thābit ibn Qurra, Ibn al-Haytham développe toute une théorie pour montrer que l'angle appartient bien à la catégorie de la position et non à celle de la quantité. Ses motivations, on le verra, sont directement liées à son désir d'élaborer un discours général sur toutes les espèces d'angle plan. Il commence par définir l'angle plan comme une forme d'une position de surface. Il écrit:

Pour comprendre ce qu'Ibn al-Haytham entend par “forme d'une position”, il faudrait se référer à sa conception du “lieu”.Footnote ⁴⁴ Selon cette conception, en effet, l'angle est une forme invariable définie par les distances entre les points de la surface d'une région de l'espace limitée par deux lignes qui se rencontrent en un point; c'est la forme d'une étendue.

L'usage délibéré de ce langage aristotélicien obéit à une intention précise: l'angle-forme n'est plus l'angle-grandeur, c'est l'angle-étendue. Pour montrer que l'angle n'est pas une grandeur au sens archimédien du terme, Ibn al-Haytham évoque le contre-exemple déjà rencontré: l'angle droit une fois doublé, il s'annule; et l'angle aigu infiniment petit une fois multiplié, le produit dépassera l'angle droit et ne sera pas un angle. Or une grandeur telle que la ligne, la surface, le solide, …, une fois multipliée, le produit sera une grandeur du même genre. Pour expliquer l'existence, la croissance et la décroissance de l'angle rectiligne, Ibn al-Haytham fait appel à un modèle cinématique: il se donne un segment de droite et prend un point quelconque sur ce segment; à partir de ce point, il élève une droite inclinée qu'il meut d'un mouvement continu dans l'une des deux directions (le premier segment restant fixe), et constate la décroissance monotone d'un côté et la croissance monotone de l'autre.

Voici ce qu'il écrit:

Ibn al-Haytham poursuit ainsi pour montrer l'existence de l'angle droit lorsque les deux angles deviennent égaux.

Quant à l'étude des angles mixtilignes, on verra plus loin qu'Ibn al-Haytham y procède par rotation.

On peut se demander comment, par une telle conception, Ibn al-Haytham justifie les opérations appliquées à l'angle rectiligne, et ensuite aux autres angles plans. Pour répondre à cette question, Ibn al-Haytham a recours cette fois encore au langage aristotélicien et à la distinction commune à l'époque entre le “par soi” et le “par accident”, langage dans les termes duquel il formule à nouveau la notion de la divisibilité à l'infini qui caractérise toute quantité et lui permettra d'étudier l'angle de contingence. Il distingue entre deux espèces de divisibilité: “par soi”, et “par accident”. Les grandeurs divisibles par soi sont celles qui sont divisées directement, sans qu'il soit besoin de passer par d'autres grandeurs. Elles ne sont autres que les grandeurs “mesurables”, au sens de l'époque,Footnote ⁴⁶ c'est-à-dire soumises à la théorie des proportions; ainsi la ligne, la surface, le solide, etc. Ce sont les grandeurs archimédiennes. Les grandeurs divisibles par accident sont celles dont la division est effectuée par l'intermédiaire d'autres. Ainsi, écrit Ibn al-Haytham:

Pour étudier toutes les espèces de l'angle – rectiligne, curviligne, mixtiligne, de contingence – Ibn al-Haytham s'efforce de trouver une définition qui les englobe, d'où son recours à la forme de position. Mais sachant pertinemment que les trois dernières espèces ne sont pas “mesurables”, et ne sont donc pas des “grandeurs” selon la géométrie euclidienne, il a élaboré une théorie de l'angle qui lui autorise certains calculs, sans passer par la théorie des grandeurs archimédiennes, ni donc s'engager sur la nature de l'angle comme “quantité”. Nous avons là un exemple de solution philosophique d'un problème mathématique, lorsque les moyens mathématiques de solution font encore défaut.

À l'aide de cette conception de l'angle, Ibn al-Haytham aborde l'angle de contingence et commence par montrer qu'il n'est pas du même genre que l'angle rectiligne. Il écrit que ces deux angles “ne sont pas de même genre et qu'il n'y a pas de rapport entre eux”. Notons qu'il ne présente pas cette non-homogénéité comme une simple constatation ou comme un postulat, mais qu'il l'établit en montrant que les angles de contingence forment une suite croissante d'infiniment petits, alors que les angles rectilignes forment une suite décroissante d'infiniment petits, et que les termes de la première sont tous inférieurs aux termes de la seconde.

Soit l'angle rectiligne EAB = α. Par division successive en deux moitiés, selon la définition précédente, il forme une suite d'angles rectilignes aigus infiniment petits, soit la suite . Il forme ensuite une autre suite décroissante des cercles, tous tangents au point A à la perpendiculaire AE. Il prend pour cela sur le demi-diamètre DA une suite de points successifs comme centres, et trace des cercles de plus en plus petits; soit la suite des cercles . À partir de cette suite décroissante de cercles, il forme une suite croissante d'angles de contingence, soit (C _n)_n≥1. Il montre enfin que, quel que soit le terme de cette suite croissante, il est plus petit que tout élément de la suite décroissante des angles rectilignes aigus.

En effet, soit B un point quelconque de la circonférence du cercle ABC, la droite AB coupe tous les cercles et engendre une suite décroissante d'angles rectilignes, chacun étant plus grand que tout angle de contingence, puisque celui-ci est inclus dans celui-là, et dans l'ordre.

Ibn al-Haytham montre ensuite que, quel que soit l'angle de contingence C, il est plus petit que tout angle rectiligne α; ou, en d'autres termes: pour tout n ∈ N, si C < α, on a nC < α.

Lue un peu trop rapidement, la démarche d'Ibn al-Haytham pourrait être assimilée à celle de Philopon. Il n'en est cependant rien.

1. 1. Le contexte, tout d'abord, est différent. Philopon s'interroge dans le Commentaire de la Physique aussi bien que dans celui des Seconds Analytiques sur la possibilité pour les grandeurs non-homogènes de passer du plus grand au plus petit sans passer par l'égal. L'angle de contingence et l'angle du demi-cercle sont évoqués à titre d'exemple pour illustrer ce problème, et non pas pour eux-mêmes.

   Ibn al-Haytham s'interroge en mathématicien sur le concept d'angle en général et celui d'angle de contingence en particulier pour, écrit-il, “découvrir la cause (ʿilla)” de ce qui a été établi dans III.16, à savoir pourquoi tout angle rectiligne aigu formé par la perpendiculaire à l'extrémité du diamètre du cercle et une droite quelconque menée du point de contact est plus grand que l'angle de contingence. Philopon et Ibn al-Haytham n'étudient pas le même problème et ne poursuivent pas le même but.

2. 2. Le traitement de la notion d'homogénéité diffère lui aussi. Philopon se borne au cadre aristotélicien selon lequel la non-homogénéité des lignes simples que sont la droite et le cercle relève d'une ontologie physique, tout au plus physico-mathématique. Philopon ne démontre pas la non-homogénéité de l'angle rectiligne aigu et de l'angle de contingence. Or, tel est précisément le but d'Ibn al-Haytham: établir cette non-homogénéité. Lecteur d'Euclide, il savait que ce dernier a établi dans III.16 l'inégalité entre l'angle de contingence, l'angle rectiligne aigu et l'angle du demi-cercle, sans se préoccuper de la question de l'homogénéité. C'est précisément à cette question qu'Ibn al-Haytham a voulu répondre. La stratégie qu'il conçoit délibérément consiste à comparer les infiniment petits et à montrer rigoureusement que ces deux “grandeurs” (angle de contingence et angle rectiligne) ne vérifient pas la proposition X.1 des Éléments.

3. 3. Cette stratégie, on l'a vu, passe par deux suites, l'une décroissante et l'autre croissante, qu'il manie en même temps en montrant que la première majore toujours la seconde. Il procède ainsi par la formation de ces suites d'infiniment petits pour après les comparer entre elles. Plus précisément encore, il compare deux approximations. La première est l'approximation de la tangente par des sécantes, et la deuxième est l'approximation du cercle initial par des cercles qui sont eux-mêmes une approximation du cercle osculateur. Philopon, quant à lui, forme une suite d'angles de contingence et une suite d'angles de demi-cercles complémentaires, et souligne que, lorsque l'une croît indéfiniment, l'autre décroît indéfiniment, mais sans que les termes de l'une ou de l'autre soient égaux à un angle rectiligne aigu, c'est-à-dire sans passer par l'égal.

Ces différences entre le philosophe et le mathématicien sont, à l'évidence, la contrepartie opératoire, si l'on veut, de leur conception radicalement différente de la notion de non-homogénéité.

Ibn al-Haytham ne s'arrête pas là; il se demande s'il est possible de diviser l'angle de contingence, pour pouvoir comparer entre eux les angles de contingence. L'idée, déjà rencontrée chez Philopon et dans le corollaire de III.15 du Commentaire des Éléments d'al-Abhārī, est la suivante: l'unicité de la tangente à l'extrémité A du diamètre du cercle, qui définit avec la circonférence du cercle l'angle de contingence, n'empêche pas de faire passer par le point A une suite décroissante de cercles, tous tangents en ce point, et dont chacun définit avec la tangente un angle de contingence. C'est alors qu'Ibn al-Haytham étend le résultat précédemment obtenu: les angles de contingence ne sont pas seulement non homogènes avec les angles rectilignes, mais le sont également entre eux et, de ce fait, incomparables. Il écrit: “ainsi, il n'y a pas de rapport entre les angles entourés par des arcs inégaux”.

Notons que, au cours de cette démarche, Ibn al-Haytham procède par division des angles, dans le sens déjà précisé de la divisibilité par accident. Celle-ci assure pourtant que, pour les angles comme pour les grandeurs quelles qu'elles soient, chaque partie d'un angle est un angle de même genre, par accident pour ainsi dire, que ces parties soient ou non comparables.

Ensuite, Ibn al-Haytham restreint en quelque sorte la question et se demande si l'on peut déterminer un rapport entre une sous-classe d'angles mixtilignes et les angles rectilignes, à défaut d'un rapport entre tous les angles mixtilignes et ces derniers. Il montre que cela est possible, et que l'on peut même avoir un rapport d'égalité, “si chacun des angles est entouré par deux lignes de même genre et deux lignes égales aux deux lignes de l'autre angle”. On peut dans ce cas réduire la mesure de l'angle mixtiligne à celle de l'angle rectiligne.

Pour établir ce résultat, Ibn al-Haytham développe l'exemple déjà rencontré chez al-Nayrīzī. Mais, à la différence de ce dernier, il procède par une rotation, et ensuite par une superposition.

Il considère deux angles mixtilignes ayant deux rectilignes égaux et ayant leur concavité dans la même direction, et telles que les rectilignes forment un angle aigu.

Soit AB = AC les deux rectilignes, cordes des segments ADB et AEC. On a l'angle rectiligne aigu BAC et les deux angles mixtilignes DAB et EAC égaux, puisque les deux segments sont superposables après une rotation (A, BÂC); d'où, si on ôte communément l'angle BAE des deux angles DAB et EAC, on a CÂE = EÂD (

).

Fig. 6

Ainsi, on a un angle mixtiligne égal à un angle rectiligne.

Ibn al-Haytham parle ensuite, plus généralement, d'un rapport de proportionnalité entre ces angles lors de leur division et de leur multiplication. C'est dire que, même si les angles mixtilignes ne forment pas une “grandeur mesurable”, on peut, pour cette sous-classe d'angles mixtilignes, les “mesurer” à l'aide de l'angle rectiligne aigu formé par les rectilignes de ces deux angles mixtilignes.

Dans cette étude, Ibn al-Haytham a transformé plusieurs résultats connus de ses prédécesseurs pour donner une nouvelle analyse du problème de l'angle de contingence, analyse qui ne sera égalée que longtemps après. Bien sûr, les successeurs vont s'en inspirer, et les thèmes abordés par le mathématicien du xi^e siècle seront repris çà et là, que ce soit dans son sillage ou indépendamment. Pour l'heure, nous pouvons évoquer quelques mathématiciens, en commençant par al-Samawʾal (mort en 1175), al-Shīrāzī (1236–1311), Kamāl al-Dīn al-Fārisī (mort en 1319) et ʿAlāʾ al-Dīn al-Qūshjī (1403–1474).

IV. AL-SAMAWʾAL, Al-ṬŪSĪ ET AL-SHĪRĀZĪ: LA COMPARABILITÉ DES GRANDEURS ET DES FIGURES GÉOMÉTRIQUES

1) Parmi les successeurs d'Ibn al-Haytham qui ont repris l'étude de l'angle de contingence figurent l'algébriste al-Samawʾal ibn Yaḥyā al-Maghribī et Kamāl al-Dīn al-Fārisī. Ce dernier a eu la bonne idée, on le verra plus loin, de réunir plusieurs études sur l'angle, celles d'Ibn al-Haytham, d'Avicenne, d'al-Samawʾal, ainsi qu'un long essai de sa main. L'épître d'al-Samawʾal nous est parvenue annotée par al-Fārisī. Ces annotations, parfois critiques, nous transmettent, si l'on peut dire, une polémique post mortem: des réponses à al-Samawʾal formulées à un siècle et demi de distance environ.

Dans cette épître, al-Samawʾal répond lui-même à un correspondant, qui s'adresse à lui pour qu'il veuille bien arbitrer une discussion agitée à propos de l'angle de contingence. Toute la question est de savoir si cet angle est, ou non, du même genre que l'angle rectiligne. Le correspondant rapporte que l'un des mathématiciens de l'Ouest islamique, un certain Abū Sharīf al-Maghribī, a cru avoir démontré que ces deux angles sont homogènes. Or celui-ci ne fait que reprendre la démonstration d'al-Nayrīzī pour en tirer une conclusion erronée. En effet, après avoir établi l'égalité des deux angles, il obtient comme al-Nayrīzī l'égalité d'un angle curviligne et d'un angle droit; ce qui est exact. Mais il ajoute: “Si donc un angle curviligne est du même genre qu'un angle rectiligne, alors l'angle entouré par une droite et un arc est, à plus forte raison, du même genre qu'un angle rectiligne”. Faute logique grave qui attire les foudres d'al-Samawʾal et l'incite à rejeter toute la démonstration, y compris la première partie – ce qu'al-Fārisī ne manquera pas de lui reprocher.

Or Abū Sharīf al-Maghribī ne considère pas un angle rectiligne quelconque, mais un angle droit. Cette restriction, qu'al-Samawʾal n'a pas notée, a été relevée par al-Fārisī. Le problème sera examiné au siècle suivant par l'astronome et mathématicien Quṭb al-Dīn al-Shīrāzī (voir plus loin).

Al-Samawʾal reprend le problème et commence par discuter de la comparabilité de l'angle de contingence et de l'angle rectiligne. Pour entamer cette discussion, il explique d'abord ce qu'il entend par “homogène” ou “comparable”. En se référant au cinquième livre des Éléments, il écrit: “La définition de l'homogène selon eux (les géomètres), ce sont les deux dont le plus petit excède le plus grand par duplication”; c'est-à-dire, soit A et B deux grandeurs telles que A < B, A et B sont homogènes si, lorsqu'on double A autant de fois que nécessaire, le résultat excède B. C'est ainsi qu'al-Samawʾal interprète la quatrième définition du livre V des Éléments, la définition du rapport.

Mais cette définition ne semble pas convenir à al-Fārisī, qui propose de recourir à la proposition X.1 des Éléments, telle qu'Isḥāq-Thābit l'ont rendue dans la traduction de l'ouvrage d'Euclide, à savoir:

Rappelons que cette définition a été discutée par des mathématiciens comme Thābit ibn Qurra, al-Qūhī, Ibn al-Haytham, Ibn al-Sarī,Footnote ⁴⁹ et que al-Samawʾal aussi bien qu'al-Fārisī connaissaient sans aucun doute ces débats.

Quoi qu'il en soit, de cette définition de l'homogénéité al-Samawʾal tire une conclusion négative: si A est un angle de contingence et B un angle rectiligne, A et B ne vérifient pas cette définition, et par conséquent ces deux angles ne peuvent pas être d'un même genre, ni donc comparables. Il examine plus loin la raison qui fait qu'il en est ainsi.

Si donc la démonstration de l'homogénéité énoncée par Abū Sharīf al-Maghribī est fausse, al-Samawʾal se tourne vers la démonstration par Ibn al-Haytham de la non-homogénéité, qu'il trouve insatisfaisante. Mais la connaissance qu'il avait de la solution d'Ibn al-Haytham est indirecte; ce n'est pas, en effet, le livre même d'Ibn al-Haytham qu'il avait lu, mais un exposé donné précisément par Abū Sharīf al-Maghribī. L'attaque qu'il porte contre Ibn al-Haytham a donc manqué son but, ce qui lui a valu de recevoir à son tour les critiques sévères d'al-Fārisī, qui lui reproche d'ignorer le texte d'Ibn al-Haytham. Cependant, cette discussion à distance nous permet de confirmer notre compréhension de la solution d'Ibn al-Haytham.

Al-Samawʾal a donc cru à tort qu'Ibn al-Haytham a établi la non-homogénéité de l'angle de contingence et de l'angle rectiligne à l'aide de la seule suite croissante (C _n)_n≥1, et que la croissance s'est opérée par simple duplication des termes. Or nous avons vu qu'Ibn al-Haytham forme cette dernière suite à partir des cercles tangents à la perpendiculaire, la suite , sans procéder aucunement par duplication. De plus, pour établir la non-homogénéité, Ibn al-Haytham s'appuie sur la croissance de la suite (C _n)_n≥1 et la décroissance de la suite des angles rectilignes (U _n)_n≥1. Ce sont ces erreurs d'interprétation du texte que relève al-Fārisī.

Mais, comme al-Samawʾal croyait qu'Ibn al-Haytham avait doublé autant que nécessaire l'angle de contingence, il examine à son tour cette possibilité. Il considère le cas particulier de deux demi-cercles égaux.

Mais al-Samawʾal savait qu'il ne pouvait aller plus loin et généraliser un tel résultat, et n'ignorait pas que le problème de la multiplication de l'angle de contingence et de la comparaison de celui-ci avec l'angle rectiligne reste entier.

Confronté à cette difficulté et faute des moyens géométriques de la résoudre, il se pose la question de la comparabilité de deux figures géométriques. Notons d'abord que, par “figure”, il entend, tout comme les anciens géomètres, le sens donné par Euclide: la figure “est ce qui est compris par une seule ou plusieurs limites”. Pour al-Samawʾal, ce qui caractérise la figure est moins ses propriétés métriques, que sa forme et sa position. Ainsi, une figure polygonale est caractérisée par sa forme, laquelle est à son tour caractérisée par les angles et non pas par la longueur des côtés ni par l'aire. Deux figures polygonales sont comparables si elles ont des angles égaux et semblablement placés. Elles ont donc la même forme, sans que celle-ci soit relative à l'aire. Comparer deux figures, c'est donc examiner l'égalité de la forme et la similitude de la position. Sans le dire explicitement, à la suite d'Ibn al-Haytham, al-Samawʾal pense l'angle comme appartenant à la catégorie de la position.

Deux angles sont égaux s'ils ont la même forme et des positions semblables: les figures qui entourent l'un ont les mêmes positions que les figures qui entourent l'autre. Ainsi, pour ajouter un angle communément à deux angles rectilignes, il faut s'assurer que l'angle ajouté a bien la même position dans les deux cas, la forme étant identique. C'est là que réside la raison de la non-comparabilité entre l'angle de contingence et l'angle rectiligne. C'est là aussi qu'il faut, selon al-Samawʾal, voir la raison de la non-additivité des angles mixtilignes aussi bien que des angles de contingence. On a vu précédemment qu'on ne peut doubler un angle de contingence qu'une fois.

C'est par cette réflexion sur la comparabilité des figures qu'al-Samawʾal pouvait répondre à la question initiale de la non-homogénéité des deux genres d'angle.

2) Si al-Samawʾal avait posé le problème de la comparabilité des figures géométriques à partir de celui de l'angle de contingence, Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī (1201–1274) et son élève Quṭb al-Dīn al-Shīrāzī avaient en revanche rencontré le problème de l'angle et de l'angle de contingence alors qu'ils s'interrogeaient sur la comparabilité entre les figures. À la fin de son Astronomie (Nihāyat al-idrāk), al-Shīrāzī soulève la question classique de la comparabilité entre le cercle et la droite, et propose une méthode pour établir cette comparaison: faire rouler un cercle le long d'une droite, sans glissement, de sorte qu'il reste tangent à la droite pendant le mouvement, jusqu'à ce qu'il revienne à sa position initiale. Cette méthode lui permet d'une part de montrer que la circonférence du cercle est égale au segment de droite parcouru et, d'autre part, de comparer une ligne courbe à une droite. Son maître Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī engage la discussion sur la portée et la validité de cette méthode, dans un écrit aujourd'hui perdu mais cité par al-Shīrāzī dans la réponse qu'il lui adresse, réponse intitulée Sur le mouvement de roulement et les rapports entre la <figure> plane et la courbe.Footnote ⁵⁰ La discussion porte sur la comparaison d'une courbe et d'une droite, des courbes entre elles, sur la rectification de la courbe, sur les propriétés qui demeurent après rectification, sur la méthode pour établir la comparaison, etc. C'est au sein de ce débat qu'une bonne place est consacrée à l'angle et à l'angle de contingence. Ce dernier problème se trouve donc intégré à titre d'exemple dans une recherche plus générale.

Bien qu'il présente un grand intérêt, nous ne reprendrons pas ici cet échange entre les deux mathématiciens, de nature topologique avant la lettre, sur la comparabilité des courbes; nous nous en tiendrons à ce qui concerne l'angle. Deux questions sont posées, qui touchent directement les méthodes de comparaison:

1° La superposition de deux grandeurs, ou de deux figures, géométriques est-elle une condition nécessaire et suffisante pour établir qu'elles sont proportionnelles, éventuellement égales, ou n'est-ce qu'une condition suffisante?

2° La similitude entre deux grandeurs – ou deux figures – est-elle une condition nécessaire et suffisante pour établir qu'elles sont proportionnelles, éventuellement égales, ou n'est-ce qu'une condition suffisante?

Pour prouver qu'il s'agit seulement d'une condition suffisante, il suffit d'exhiber deux grandeurs – ou figures – égales sans être superposables (première question), ou sans être semblables (seconde question). Al-Ṭūsī avait donné bien des exemples, et al-Shīrāzī a puisé dans l'étude de l'angle. Tout au long de sa discussion, il se réfère au traité, déjà évoqué, d'Ibn al-Haytham, dont il reconnaît volontiers l'influence.

Pour répondre à la première question, il reprend l'exemple classique: l'existence d'un angle curviligne égal à un angle droit. Mais il va plus loin et montre, plus généralement, qu'il existe des angles curvilignes égaux à des angles rectilignes non droits. Il écrit que cette égalité entre angles rectilignes et angles curvilignes “n'est pas propre à l'angle droit, ni aux deux demi-cercles, mais est plus générale”.Footnote ⁵¹ Voici comment il démontre cette généralité:

Soit une droite AB et le segment de cercle AHB. Du point B on mène la droite BD = AB suivant un angle quelconque. Deux cas se présentent: BD ne coupe pas l'arc AHB (

), DB coupe l'arc AHB (

). On a encore plusieurs cas de figure selon la grandeur de l'arc AHB:

• • est un demi-cercle; alors l'angle ABD est bien un droit si BD est tangente au cercle (Fig. 7); et si BD n'est pas tangente au cercle, alors l'angle ABD est un angle obtus. Cet angle est aigu dans la figure 8.

• • est plus petit qu'un demi-cercle; alors l'angle ABD est aigu dans la figure 8, et il peut être aussi bien aigu qu'obtus ou droit dans la figure 7.

• • est plus grand qu'un demi-cercle; alors l'angle ABD est obtus dans la figure 7 et aigu, obtus ou droit dans la figure 8.

Fig. 7

Fig. 8

Traçons BED un segment de cercle semblable au segment AHB, et qui lui soit opposé. Ces deux segments semblables sont égaux puisque AB = BD. Les deux angles ABH et DBE sont donc égaux. Ajoutons dans 7 et retranchons dans 8 communément l'angle DBH. On a immédiatement A D = H E (Fig. 7, Fig. 8).

Al-Shīrāzī montre ainsi qu'un angle curviligne est égal aussi bien à un angle droit qu'à un angle rectiligne non droit, et que la superposition n'est pas une condition nécessaire pour établir l'égalité des angles et, plus généralement, des figures géométriques; ou, comme il écrit: “les deux grandeurs peuvent être égales alors que la superposition est écartée.”Footnote ⁵²

Al-Shīrāzī tire une première conséquence de ce résultat: l'égalité entre grandeurs ne dépend pas de l'égalité de leurs positions respectives. Conséquence immédiate de la précédente: l'angle ne peut pas relever de la catégorie de la position – ce qui incite al-Shīrāzī à reprendre sa définition. L'angle ne relève pas non plus de la catégorie de la quantité puisqu'il ne vérifie ni la définition V.4 ni la proposition X.1 des Éléments, mais il ne relève pas non plus de la catégorie de la relation. Après ces trois négations – et probablement sous l'influence d'Avicenne – al-Shīrāzī propose de définir l'angle comme une configuration (hayʾa) qui se forme pour la grandeur auprès de l'un de ses points ou de l'une de ses lignes en tant que cette grandeur a une ou plusieurs limites jointes en ce point ou en cette ligne sans se prolonger. Tout indique que cette définition a inspiré l'élève d'al-Shīrāzī, Kamāl al-Dīn al-Fārisī, comme on le verra plus loin.

Pour répondre à la seconde question, celle de la similitude, al-Shīrāzī revient à l'examen des Éléments d'Euclide qu'effectue Ibn al-Haytham dans ses deux livres: la Solution des doutes et l'Explication des postulats du livre d'Euclide. Au cours de cet examen, Ibn al-Haytham montre en effet que la similitude entre deux grandeurs n'est pas une condition nécessaire (elle est seulement suffisante) de l'existence de rapports entre elles. Il évoque l'exemple qu'il a lui-même étudié dans plusieurs écrits sur les lunules et sur la quadrature du cercle, à savoir l'égalité des lunules à des triangles: ces figures ne sont pas semblables, et pourtant il existe un rapport entre elles, et même un rapport d'égalité. Pour confirmer cette conclusion d'Ibn al-Haytham, al-Shīrāzī discute de l'angle de contingence et de l'angle rectiligne, en suivant, pour l'essentiel, l'exposé de son prédécesseur. Il examine ainsi les conditions pour que deux angles mixtilignes soient égaux, puis il étudie l'angle de contingence à l'aide de deux suites définies par Ibn al-Haytham, afin de montrer que cet angle et l'angle rectiligne aigu ne sont pas de même genre. Il montre ensuite, cette fois encore de la même manière qu'Ibn al-Haytham, que la division de l'angle de contingence par des cercles tangents au même point donne des angles de contingence non homogènes (la raison en est qu'il n'y a pas de rapport entre les lignes qui les entourent). Il conclut ainsi:

Al-Shīrāzī rapporte en outre une démonstration de la non- homogénéité proposée par son maître al-Ṭūsī,Footnote ⁵⁴ ainsi qu'une critique de ce dernier des expressions d'Euclide concernant l'angle. La démonstration est “formelle” et combine les propositions I.9, I.16 et X.1 des Éléments. Pour établir que l'angle de contingence et l'angle rectiligne aigu ne sont pas du même genre, al-Ṭūsī procède par réduction à l'absurde:

Supposons en effet que les deux angles sont du même genre et supposons que les propositions d'Euclide sont toutes les trois vraies. L'angle rectiligne ou bien n'est pas divisible en deux parties égales indéfiniment, ou bien il l'est. S'il ne l'est pas, alors on contredit I.9 (couper un angle rectiligne donné en deux parties égales). S'il l'est, on a encore l'alternative suivante: ou bien au terme de la division infinie on aboutit à un angle rectiligne plus petit que l'angle de contingence, ce qui contredit III.16; ou bien on n'y aboutit pas, ce qui contredit X.1, puisqu'on a supposé que les deux grandeurs sont homogènes. De tout cela on conclut que les deux angles ne sont pas homogènes.

Quant à la critique, elle porte sur l'usage – dans III.16 – de “plus petit” et “plus grand” pour les angles qui ne sont pas des grandeurs auxquelles s'appliquent ces termes, sans que soit explicitement proposé un sens de “plus petit” et “plus grand” qui soit approprié aux angles. L'usage que fait Euclide de ces expressions est “impropre”.Footnote ⁵⁵

V. AL-FĀRISĪ: UNE PREMIÈRE SYNTHÈSE

Les écrits sur l'angle et l'angle de contingence que nous avons rencontrés jusqu'à présent, à l'exception de ceux d'al-Ṭūsī et d'al-Shīrāzī, que ce soit en grec ou en arabe, font partie ou bien des commentaires des Éléments d'Euclide, ou bien de ceux d'un des traités d'Aristote. À cela viennent s'ajouter quelques explications au fil des écrits de philosophes, comme dans al-Shifāʾ d'Avicenne, et même de philosophes-théologiens. La seule rédaction indépendante et entièrement consacrée à l'angle que nous connaissions est le traité d'Avicenne, d'ailleurs intitulé Sur l'angle. Avicenne souligne qu'il s'y est inspiré des discussions qu'il a entretenues sur ce thème avec son contemporain Abū Sahl al-Masīḥī. Nous avons déjà noté que, dans ce traité, Avicenne n'étudie pas l'angle de contingence, qu'il évoque plus d'une fois dans al-Shifāʾ ainsi que dans son autre livre, al-Mubāḥathāt. Mais, tandis qu'Avicenne écrivait ces pages en Iran, son éminent contemporain Ibn al-Haytham discutait en Égypte de ce même sujet, l'angle, dans ses deux livres consacrés aux Éléments d'Euclide – l'Explication des postulats et la Solution des doutes.

L'épître d'al-Samawʾal et le texte anonyme de Lahore, ainsi sans doute que d'autres travaux encore à découvrir, montrent la vitalité du sujet au xii^e siècle encore. Plus tard, le mathématicien et physicien Kamāl al-Dīn al-Fārisī rédige le premier traité indépendant et entièrement consacré à l'angle jamais écrit par aucun mathématicien. Il confirme et, si l'on peut dire, amplifie une tradition déjà établie par l'écrit anonyme de Lahore. L'importance historique et philosophique de l'événement est patente, mais, pour des raisons de forme, nous nous contenterons dans cette étude de souligner les traits saillants du livre d'al-Fārisī.

Le but d'al-Fārisī est clair: reprendre la notion d'angle, dont il dit dans le prologue de son Traité que “rien n'est plus difficile à la compréhension”, et celles qui lui sont associées, pour les fonder sur des bases plus solides. Héritier d'Ibn al-Haytham dont il avait commenté certains travaux, mais aussi d'Avicenne, al-Fārisī a élaboré à partir de ces deux traditions une première synthèse sur l'angle et l'angle de contingence. S'il s'est engagé dans un tel chemin, c'est qu'il était porté par une autre tradition, florissante au xiii^e siècle, celle des grands mathématiciens comme Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī et Quṭb al-Dīn al-Shīrāzī, qui s'occupaient aussi de philosophie, et notamment de celle d'Avicenne. Élève d'al-Shīrāzī, al-Fārisī se réfère souvent dans ses écrits au maître de son maître: Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī.

Le traité d'al-Fārisī se compose de deux parties; dans la première, al-Fārisī transcrit le traité d'Avicenne, l'écrit d'Ibn al-Haytham qui figure dans la Solution des doutes, l'épître d'al-Samawʾal, qu'il commente, et annonce qu'il ajoute un texte du mathématicien Ibn al-Sarī. La seconde partie est constituée de son propre traité sur l'angle. Tout se passe donc comme si al-Fārisī voulait présenter à son lecteur les matériaux à partir desquels il a élaboré sa propre synthèse.

Son traité s'ouvre, comme il se doit, sur la définition de l'angle (il y reviendra plus d'une fois). Il part de la propriété sur laquelle s'accordent tous les géomètres: la divisibilité de l'angle. Mais, conscient des difficultés qui se présentent, il opte pour la distinction déjà opérée par Ibn al-Haytham, mais aussi par Avicenne, entre la divisibilité “par soi” et la divisibilité “par accident”, celle dont relève l'angle. C'est la divisibilité de la surface contenue par les deux lignes qui se rencontrent en un point – sans être dans le prolongement l'une de l'autre – et qui forment l'angle. Cette divisibilité est selon une seule dimension: la longueur. L'angle n'est donc pas une quantité, puisqu'il n'est pas divisible “par soi”. Il n'est pas non plus une relation, puisqu'il est divisible “par accident”. Trois notions semblent donc nécessaires à la définition de l'angle: deux lignes qui se rencontrent en un point; la position de ces deux lignes l'une par rapport à l'autre dans la surface; la configuration spatiale (hayʾa) formée par les deux lignes et la position. Al-Fārisī écrit:

Cette conception d'al-Fārisī témoigne bien d'une synthèse de l'angle comme “forme de position” (Ibn al-Haytham) et de l'idée de “configuration” (Avicenne), et prolonge ainsi celle d'al-Shīrāzī. Avicenne écrit en effet dans son traité Sur l'angle que le nom d'angle désigne quatre notions: deux lignes, qui ont une configuration (hayʾa) dans leur union, comme les configurations de la forme du triangle, du quadrilatère, de la rectitude, de la courbure; cette même configuration et la surface contenue par les deux lignes en tant que contenue par elles et en tant qu'elles lui sont extérieures; et une surface et deux lignes en tant qu'une chose réunie de la surface et des lignes.Footnote ⁵⁷ Trois de ces notions se retrouvent dans la définition d'al-Fārisī, articulées à la définition d'Ibn al-Haytham.

Al-Fārisī procède ensuite à la classification de ces configurations selon deux critères à la fois. Le premier vaut pour toutes les figures géométriques: les lignes qui les forment. On a alors les angles rectilignes, curvilignes, les lunules, les mixtilignes, les coniques. Le second critère est particulier aux angles: il porte sur la manière dont les deux lignes limitent la surface – segments du cercle, angle de contingence.

Après avoir défini l'angle et opéré ce classement, al-Fārisī engage l'examen de notions associées à l'angle: homogénéité, mesure, continuité, etc. La première question posée par la notion d'homogénéité est celle de la distinction entre angle rectiligne et angle curviligne, presque aussitôt suivie par la distinction entre angle rectiligne et angle mixtiligne, et particulièrement l'angle de contingence. Al-Fārisī admet avec les mathématiciens qu'angle rectiligne et angle curviligne sont deux genres différents, mais cette différence ne préjuge pas, selon lui, de l'homogénéité entre ces deux angles. L'argument général qu'il invoque, avant de spécifier la question pour les angles, est qu'entre deux figures de différents genres il peut exister un rapport, même si nous ne le connaissons que de manière approchée. Or c'est précisément le cas du rapport entre le diamètre et la circonférence du cercle, qu'il évoque.

Peut-être al-Fārisī pensait-il à ce qu'affirme Ibn al-Haytham, que le rapport peut exister même si nous ne pouvons pas le construire. Toujours est-il qu'il insiste sur l'idée selon laquelle il n'est pas nécessaire, pour que deux grandeurs aient un rapport, qu'elles appartiennent au même genre; inversement, que deux objets peuvent appartenir à un même genre sans qu'il y ait un rapport entre eux: par exemple, l'angle droit et l'angle de contingence appartiennent tous deux au genre “angle plan”, mais il n'y a pas de rapport entre eux.

Si al-Fārisī réfléchit d'entrée de jeu à cette notion de rapport entre les angles, c'est parce que, d'une part, l'étude de l'angle mène directement à celle de la comparabilité des angles, et donc à celle de l'homogénéité des angles, et que, d'autre part, la définition euclidienne du rapport ne convient pas aux grandeurs non homogènes, et notamment à l'angle de contingence. Il lui faut donc aménager un ensemble de notions qui lui permettent de traiter les questions évoquées en contournant la définition euclidienne. Or c'est précisément ce qu'il va entreprendre.

Al-Fārisī commence par observer que la définition euclidienne du rapport entre les grandeurs homogènes, celles qui excèdent les unes les autres par duplication continue, ne s'applique pas aux angles. Cette définition doit en effet vérifier deux conditions: les grandeurs doivent admettre la duplication continue et d'autre part accepter que l'une excède l'autre par duplication; sinon elles ne seront pas homogènes, comme l'angle de contingence et l'angle rectiligne aigu (ne respectent pas la première condition), et la ligne et la surface (seconde condition). Quant aux surfaces, pour qu'il y ait un rapport entre elles, il faut qu'elles soient limitées et finies de tous les côtés. Les angles ne peuvent donc pas avoir de rapport euclidien en ce sens. Al-Fārisī va alors introduire plusieurs notions nouvelles, dont certaines lui sont suggérées par l'algèbre, sur laquelle il a composé un livre substantiel.Footnote ⁵⁸

Il définit d'abord ce qu'il appelle rapport “conventionnel” (iṣṭilāḥiyya), c'est-à-dire rapport établi par convention entre les angles. C'est le rapport entre les arcs des cercles dont les centres sont les sommets des angles. Ce rapport n'est ni “par soi”, puisqu'il ne relie pas deux quantités, ni “par accident”, puisque les “lieux” – les régions des surfaces déterminées par les configurations – ne se superposent pas.

La perspective qui est la sienne dans ce traité est de se placer dans le cercle pour pouvoir comparer les angles rectilignes, considérés comme sections du cercle, entre eux et avec certains angles curvilignes et d'autres angles mixtilignes, comme l'angle de contingence. Pour ce dernier, même si une de ses parties se superpose à un angle droit, il n'y a pas de rapport entre les deux. En effet, et c'est une conséquence de la proposition V.8 des Éléments rappelée par al-Fārisī, une partie d'une grandeur est de même genre que celle-ci. Or tel n'est pas le cas pour l'angle de contingence et l'angle droit: l'angle de contingence n'est angle que par métaphore. C'est la conclusion d'al-Fārisī.

Qu'en est-il du rapport conventionnel entre les angles rectilignes aigus? La question est vite réglée, puisque la comparaison est entre cordes, c'est-à-dire entre segments de droite.

Cette définition du rapport conventionnel permet à al-Fārisī de montrer comment mesurer l'angle rectiligne. Peut-elle opérer plus loin, pour d'autres angles, curvilignes par exemple? Al-Fārisī montre que c'est possible pour les angles formés par l'intersection d'arcs de cercles égaux, et ceux formés par des sections égales et semblables. Au cours de cette étude, il introduit une nouvelle distinction, entre grandeurs déterminées et grandeurs indéterminées (sayyāla); distinction empruntée au langage de l'algèbre. Il conclut ainsi son examen:

Al-Fārisī donne, pour la première fois, à l'angle de contingence ainsi qu'à d'autres angles mixtilignes et rectilignes le statut de grandeur, afin de répondre à la question de l'homogénéité et à celle de la mesure des angles.Footnote ⁶⁰ Il y a deux genres de grandeur: déterminées et indéterminées. Les angles rectilignes appartiennent au premier genre, alors que l'angle de contingence, ainsi que bien d'autres angles mixtilignes et curvilignes, appartient au second. Les angles qui ont des grandeurs déterminées – disons les angles déterminés – ont tous un rapport entre eux. Quant aux angles qui ont des grandeurs indéterminées – disons angles indéterminés – ils n'ont en général pas de rapports entre eux, et ne sont donc pas homogènes aux angles qui ont des grandeurs déterminées, si toutefois par “rapport” on se réfère à la définition d'Euclide. Il arrive cependant que l'on trouve des angles indéterminés égaux, et que l'on puisse doubler un angle indéterminé. Al-Fārisī rappelle alors ces deux cas évoqués auparavant.

Soit AD = DE et traçons les deux demi-cercles AGD et DHE. Séparons DC = DB et traçons les deux demi-cercles CID et DKB. Les angles ADG et EDH sont égaux. Ôtons-en les angles égaux CDI et BDK; il reste les angles IDG = KDH, qui sont indéterminés (

).

Fig. 9

Dans le second exemple, on double l'angle. Soit les deux arcs de deux cercles égaux; on a l'angle BCD égal au double de chacun des angles BCA et DCA.

Al-Fārisī évoque aussi l'exemple donné par al-Samawʾal, pour obtenir le rapport de double entre deux angles indéterminés.

Dans ces derniers cas, même si l'on ne dispose pas de “termes” pour désigner ces rapports, on ne peut pas interdire de parler de “rapports” en un certain sens – qui bien entendu n'est pas le sens euclidien – dans la mesure où il y a superposition des configurations.

Al-Fārisī est à présent en mesure de donner la raison générale pour laquelle l'angle de contingence n'a de rapport ni à l'angle droit ni à l'angle rectiligne aigu. Il est en effet indéterminé, alors que les deux derniers sont déterminés: dans le premier cas, on a une grandeur indéterminée, tandis que, dans les deux autres, ce sont des grandeurs déterminées. Ainsi, à la fin du xiii^e siècle et au début du xiv^e siècle, puisque les seules grandeurs reconnues comme telles sont archimédiennes, on ne pouvait que taxer les autres d'indéterminées. Ibn al-Haytham avait établi que ces deux classes d'angles ne sont pas homogènes. Al-Fārisī le rappelle et s'efforce d'en donner la raison en revenant à la nature des grandeurs.

Al-Fārisī soulève ensuite la question des angles congruents (al-mumāthala): deux angles mixtilignes peuvent-ils être égaux sans être congruents? Cette question avait déjà été évoquée par son maître lors de l'étude du mouvement de roulement.

La “vérité” (ḥaqīqa), de l'angle est, pour al-Fārisī, la configuration et le lieu qu'elle détermine dans la surface. La congruence de deux angles dépend donc de l'union de leurs configurations et de celles des lieux. Deux angles non congruents peuvent cependant être égaux. En voici la preuve.

Soit AB = BC et AB ⊥ BC. Traçons deux demi-cercles ADB et BEC, de sorte que l'angle DBE soit égal à un droit. Prolongeons AB jusqu'à G telle que AB = BG, et traçons le demi-cercle BHG de sorte que l'angle EBH soit égal à un droit.

Imaginons ensuite que l'arc BEC se déplace d'un mouvement de rotation autour du point de contact B. Au début de son mouvement, il produit un angle contenu par les deux arcs BDA et BEC. Cet angle continue à croître à mesure que le mouvement se poursuit, jusqu'à ce qu'il devienne égal à un angle droit. Il continue à croître par ce mouvement jusqu'à ce que l'angle EBH soit lui aussi égal à un droit, ce qui implique qu'il existe un angle égal à deux droits – E D + E H = 2 droits (

).

Fig. 10

Pour al-Fārisī, il y a congruence lorsqu'il y a superposition des configurations et des lieux. Mais il se peut que des angles soient égaux sans être congruents. C'est dire que la superposition est seulement une condition suffisante de l'égalité des angles, et non pas une condition nécessaire. Si Quṭb al-Dīn al-Shīrāzī pouvait soutenir une telle idée pour les grandeurs, dans le cas des angles, qui n'en sont pas, al-Fārisī se trouve devant l'alternative suivante: qu'il y ait un angle égal à deux droits sans qu'il y ait l'inclinaison – ou la convexité – nécessaire à la conception de l'angle, impose d'admettre que cette inclinaison n'est pas une condition de l'existence de l'angle, ou bien qu'il n'y a pas d'angle. C'est cette dernière branche de l'alternative que choisit al-Fārisī, pour éviter l'inconsistance.

Il propose alors de considérer la situation suivante. Soit l'angle de contingence ABE et supposons l'arc qui l'entoure en rotation autour du point de contact en s'éloignant du rectiligne AB et en s'approchant du rectiligne BC. L'angle EBC est plus grand au début du mouvement et décroît ensuite, alors que l'angle ABE croît, jusqu'à ce que l'arc devienne tangent au rectiligne dans la position BHG. Ainsi, l'angle qui initialement était plus petit qu'un droit croît continûment pour être égal à un droit, puis, par saut (ṭafra), devient plus grand qu'un droit; ce qui est impossible.

Al-Fārisī explique que l'angle ne subit pas de “saut” en lui-même lors de sa croissance, mais seulement lorsqu'on le compare à ce qui n'est pas de son genre. La croissance continue des choses, écrit-il, “nécessite qu'elles deviennent égales à toutes les grandeurs qui leur sont homogènes, et qu'il y ait des intermédiaires numériques entre leurs grandeurs au commencement du mouvement et lors de son achèvement selon l'ordre naturel”.Footnote ⁶¹

Ici, al-Fārisī recourt au terme saut (ṭafra) qui a connu une longue histoire lors de la discussion du mouvement chez les philosophes-théologiens, les Muʿtazilites. Introduite dans la problématique de l'angle, cette notion déclenchera une discussion animée chez les successeurs d'al-Fārisī.

Il poursuit cette étude par celle de l'angle solide, et il est amené à discuter des formes des solides, de leurs surfaces latérales, de leurs courbures, etc. C'est à cette occasion qu'il examine, par exemple, la différence entre l'angle et le sommet du cône, d'une part, et les coupoles, d'autre part. Mais n'allons pas plus loin, pour ne pas allonger cette étude, et aussi pour conclure.

Partant des travaux d'Ibn al-Haytham et admettant leurs résultats, al-Fārisī a conçu, à l'exemple d'Avicenne, un traité autonome, intégralement consacré à l'angle. Mais, à la différence du philosophe, le mathématicien a voulu que sa théorie englobe aussi l'angle de contingence, et que son exposé soit démonstratif. Il s'est donc efforcé de forger de nouvelles notions, telles que “angle à grandeur déterminée” et “angle à grandeur indéterminée”, et de les agencer en une théorie qu'il pensait apte à éviter les paradoxes rencontrés lors de l'étude de ce thème.

VI. LA NÉGATION DE LA CONTINUITÉ: AL-QŪSHJĪ ET SES PRÉDÉCESSEURS

Parmi les arguments invoqués lors de la discussion de l'angle de contingence figure celui de la négation de la continuité. On se demande alors si l'on peut passer du plus petit au plus grand sans passer par tous les intermédiaires, et notamment l'égal; ou, dans le présent contexte, si l'on peut passer directement de l'angle aigu à l'angle obtus sans passer par l'angle droit. Plusieurs témoignages indiquent que cette question a été posée assez tôt: ceux de Jean Philopon, de l'auteur anonyme, d'Avicenne dans al-Shifāʾ, et d'al-Fārisī, entre autres.

Ainsi, dans un commentaire de Naṣīr al-Dīn al-Ṭūsī des Éléments d'Euclide, un anonyme a intercalé un folio supplémentaire à propos de la proposition III.16. Voici ce qu'on peut y lire:

Fig. 11

Dans un autre traité, anonyme, de nature philosophique et consacré à l'angle, on lit:

Ces textes – dont le dernier est certainement tardif – attestent la présence récurrente de cet argument invoqué pour nier la continuité, et ceci pendant bien des siècles. Et, de fait, l'astronome et mathématicien du xv^e siècle, ʿAlāʾ al-Dīn al-Qūshjī (1403–1474), reprend cet argument alors largement diffusé parmi les mathématiciens et les philosophes. Il propose la preuve suivante:

Soit ABC un cercle de diamètre CD et DG une perpendiculaire à l'extrémité D, tangente à la circonférence en ce point. L'angle ADG est un angle de contingence, et, d'après la proposition III.16 des Éléments, il est plus petit que tout angle rectiligne.

Par une rotation de centre D et d'angle CDP dans la direction de B, on mène CD sur PD. L'angle PDA est obtus puisqu'il intercepte un arc plus grand qu'un demi-cercle. On est ainsi passé d'un angle aigu à un angle obtus, sans passer par un angle droit (

).

Fig. 12

Pour expliciter son raisonnement, al-Qūshjī rappelle que la tangente est unique, et que toute droite entre celle-ci et la circonférence coupe cette dernière. Il imagine un angle aigu en D et une droite superposée à CD. Il fait se déplacer cette droite sur la circonférence dans la direction de B et forme l'angle CDP. Cet angle, aussi petit soit-il, est toujours plus grand que l'angle de contingence ADG; ce qui implique que l'angle PDA est obtus.

On comprend que la négation de la continuité ne puisse que susciter un débat philosophique, dont on trouve déjà les traces dans le traité d'al-Fārisī ainsi que dans les deux textes précédemment cités qui évoquent l'idée de “saut” (ṭafra) souvent maniée par les philosophes-théologiens, les Muʿtazilites, dans leurs discussions à propos de l'atomisme. Certains, comme al-Naẓẓām (m. 849), affirmaient qu'un corps peut passer d'un lieu à un autre sans passer par le lieu intermédiaire, par saut. Le débat sur l'angle de contingence a remis à l'ordre du jour celui de la continuité et de la discontinuité, comme en témoigne ce traité anonyme sur l'angle que nous venons de citer.