Démonstration. Par définition, il existe un voisinage ouvert $U_{x}$ de x isomorphe à un fermé de Zariski Z d’un ouvert U d’un espace affine $\mathbf {A}^{N,\mathrm {an}}_{\mathcal {A}}$ . Quitte à restreindre, on peut supposer qu’il existe dont les images dans $\mathcal {O}(U_{x})$ sont $f_{1},\dotsc ,f_{d}$ . On peut également supposer qu’il existe $g_{1},\dotsc ,g_{m} \in \mathcal {O}(U)$ tels que le faisceau d’idéaux de $\mathcal {O}_{U}$ définissant Z soit engendré par $g_{1},\dotsc ,g_{m}$ .

Notons $x'$ l’image de x dans U. Soit W un voisinage compact rationnel de $x'$ dans $\mathbf {A}^{n,\mathrm {an}}_{\mathcal {A}}$ contenu dans U (cf. [Reference Poineau24, définition 1.2.8]). Notons $\mathcal {B}(W)$ le complété de $\mathcal {K}(W)$ pour la norme uniforme sur W (cf. [Reference Poineau24, définition 1.2.1]). Quitte à restreindre W, on peut supposer que les et les $g_{j}$ appartiennent à $\mathcal {B}(W)$ . D’après [Reference Poineau24, théorème 1.2.11], le morphisme $\mathcal {A}[T_{1},\dotsc ,T_{N}] \to \mathcal {B}(W)$ induit un homéomorphisme $\varphi _{0} \colon \mathcal {M}(\mathcal {B}(W)) \xrightarrow []{\sim } W$ . Notons I l’idéal de $\mathcal {B}(W)$ engendré par $g_{1},\dotsc ,g_{m}$ . Le morphisme $\varphi _{0}$ induit alors un homéomorphisme entre les fermés de Zariski de $\mathcal {M}(\mathcal {B}(W))$ et W définis par l’idéal I. En outre, en notant $\mathcal {B}$ le séparé complété de $\mathcal {B}(W)/I$ muni de sa semi-norme résiduelle, le morphisme canonique $\mathcal {B}(W) \to \mathcal {B}$ induit un homéomorphisme entre $\mathcal {M}(\mathcal {B})$ et le fermé de Zariski de $\mathcal {M}(\mathcal {B}(W))$ défini par l’idéal I. Les propriétés i), ii) et iii) de l’énoncé sont alors vérifiées en définissant V comme l’image de W dans $U_{x}$ et, pour tout , $F_{i}$ comme l’image de $f_{i}$ dans $\mathcal {B}$ .

La propriété iv) pour $\mathbf {A}^{n,\mathrm {an}}_{}$ découle de [Reference Poineau24, proposition 1.2.15]. L’homéomorphisme est encore valable pour les ouverts de $\mathbf {A}^{n,\mathrm {an}}_{}$ complémentaires des hyperplans de coordonnées. Le cas de $\mathbf {P}^{n,\mathrm {an}}_{}$ s’en déduit par recollement.

Définition 3.1. Soit $\varphi \colon X \to X'$ une application continue entre espaces topologiques.

On dit que $\varphi $ est propre si, pour tout espace topologique $X"$ , l’application de changement de base $\varphi \times \mathrm {id}_{X"} \colon X\times X" \to X'\times X"$ est fermée.

On dit que $\varphi $ est finie si elle est séparée, fermée et à fibres finies.

Définition 3.5. Soit $\varphi \colon X \to X'$ une application propre entre espaces topologiques localement compacts. Supposons que X est topologiquement séparé. Soit $\mu $ une mesure de Radon sur X. L’application

est une mesure de Radon sur $X'$ appelée image de $\mu $ par $\varphi $ .

Définition 3.6. Soit $\mathcal {A}$ un anneau de Banach flottant. Soit X un espace $\mathcal {A}$ -analytique flottant et topologiquement séparé. Une mesure de Radon $\mu $ sur X est dite flottante si, pour tout $\varepsilon \in \left ] {0,1} \right ] $ , on a .

Définition 3.7. Un morphisme entre espaces $\mathcal {A}$ -analytiques est dit propre (resp. fini) si l’application induite entre les espaces topologiques sous-jacents est propre (resp. finie) au sens de la définition 3.1.

Définition 3.9. Soit $\varphi \colon X \to X'$ un morphisme fini et plat d’espaces $\mathcal {A}$ -analytiques. Alors, pour tout $x\in X'$ , $\mathcal {O}_{x}$ est un module libre de type fini sur $\mathcal {O}_{\varphi (x)}$ . Son rang est appelé degré de $\varphi $ en x et noté $\deg _x(\varphi )$ .

Définition 3.10. Soit $\varphi \colon X \to X'$ un morphisme fini et plat d’espaces $\mathcal {A}$ -analytiques. Supposons que $X'$ est connexe. On appelle degré de $\varphi $ la quantité

$$\begin{align*}\deg(\varphi) := \sum_{x\in \varphi^{-1}(x')} \deg_{x}(\varphi),\end{align*}$$

pour $x'\in X'$ .

Définition 3.11. Soit $\varphi \colon X \to X'$ un morphisme fini et plat d’espaces $\mathcal {A}$ -analytiques. Pour toute $f\in \mathcal {C}(X,\mathbf {R})$ et tout $x'\in X'$ , on pose

$$\begin{align*}(\varphi_{*} f)(x') := \sum_{x\in \varphi^{-1}(x')} \deg_{x}(\varphi)\, f(x).\end{align*}$$

Démonstration. Nous suivons fidèlement la preuve de [Reference Favre and Rivera-Letelier18, proposition 2.4]. Soit $f\in \mathcal {C}(X,\mathbf {R})$ . Soient $x'\in X'$ et $\varepsilon \in \mathbf {R}_{>0}$ . Pour tout $x\in \varphi ^{-1}(x')$ , il existe un voisinage $U_{x}$ de x dans X tel que, pour tout $y\in U_{x}$ , on ait $ \left \lvert {f(y)-f(x)} \right \rvert \le \varepsilon $ . On peut supposer que les $U_{x}$ , pour $x\in \varphi ^{-1}(x')$ , sont disjoints.

D’après le lemme 3.2, il existe un voisinage $U'$ de $x'$ dans $X'$ tel que $\varphi ^{-1}(U')\subset \bigcup _{x\in \varphi ^{-1}(x')}U_{x}$ . Quitte à restreindre $U'$ , on peut supposer qu’il est connexe. Pour $x\in \varphi ^{-1}(x')$ , posons . Le morphisme induit par $\varphi $ est fini et de degré $\deg _{x}(\varphi )$ . Pour tout $y'\in U'$ , on a donc

$$ \begin{align*} {\Big\lvert}{\Big(\sum_{y\in V_{x}\cap \varphi^{-1}(y')} \deg_{y}(\varphi) f(y)\Big) - \deg_{x}(\varphi) f(x)} {\Big\rvert} &= {\Big\lvert} {\sum_{y\in V_{x}\cap \varphi^{-1}(y')} \deg_{y}(\varphi) (f(y) - f(x))} {\Big\rvert}\\ & \le \deg_{x}(\varphi)\, \varepsilon. \end{align*} $$

On en déduit que, pour tout $y'\in U'$ , on a $ \left \lvert {(\varphi _{*}f)(y') - (\varphi _{*}f)(x')} \right \rvert \le \deg (\varphi )\, \varepsilon $ . Par conséquent, la fonction $\varphi _{*}f$ est continue. Les autres résultats découlent directement des définitions.

Définition 3.13. Soit $\varphi \colon X \to X'$ un morphisme fini et plat d’espaces $\mathcal {A}$ -analytiques. Soit $\mu '$ une mesure de Radon sur $X'$ . L’application

est une mesure de Radon sur X appelée image réciproque de $\mu '$ par $\varphi $ .

Remarque 3.14. Plaçons-nous dans le cadre de la définition 3.13 et supposons, en outre, que $X'$ est compact et connexe. On vérifie alors que, si $\mu '$ est une mesure de probabilité sur $X'$ , alors $\frac 1{\deg (\varphi )}\, \varphi ^*\mu '$ est une mesure de probabilité sur X.

Remarque 3.15. Nous avons choisi de travailler au-dessus d’un bon anneau de Banach. Cette hypothèse utilisée à deux endroits : pour disposer d’une part du théorème 3.8, qui permet de définir le degré local d’un morphisme fini (cf. définition 3.9), et d’autre part de la connexité locale, qui est utilisée dans la preuve de la proposition 3.12.

Définition 3.16. Une -famille de mesures est une famille $\mu = (\mu _{y})_{y\in Y}$ où, pour tout $y\in Y$ , $\mu _{y}$ est une mesure de Radon sur . On identifiera $\mu _{y}$ à sa mesure image sur X.

La famille de mesures $\mu $ est dite continue si, pour toute $f\in \mathcal {C}_{c}(X,\mathbf {R})$ , l’application

$$\begin{align*}y \in Y \longmapsto \mu_{y}(f) = \int f \mathop{}\!\mathrm{d} \mu_{y} \in \mathbf{R}\end{align*}$$

est continue.

Définition 3.17. Supposons que $\mathcal {A}$ est flottant et que X, Y et sont flottants. Une -famille de mesures $\mu = (\mu _{y})_{y\in Y}$ est dite flottante si, pour tout $y\in Y$ et tout $\varepsilon \in \left ] {0,1} \right ] $ , on a .

Définition 3.18. Supposons que $\varphi $ est propre et que X est topologiquement séparé. Pour toute -famille de mesures $\mu $ , on définit une -famille de mesures $\varphi _{*}\mu $ en posant, pour tout $y\in Y$ ,

$$\begin{align*}(\varphi_{*}\mu)_{y} := \varphi_*\mu_{y}.\end{align*}$$

Supposons que $\varphi $ est fini et plat. Alors, pour toute -famille de mesures $\mu '$ , on définit une -famille de mesures $\varphi ^{*}\mu '$ en posant, pour tout $y\in Y$ ,

Démonstration. Supposons que $\varphi $ est propre. Soit $\mu $ une -famille de mesures continue. Soit $f \in \mathcal {C}_{c}(X',\mathbf {R})$ . La fonction $f \circ \varphi $ est alors continue sur X, car $\varphi $ est continue, et à support compact, car $\varphi $ est propre. Puisque la famille $\mu $ est continue, la fonction

$$\begin{align*}y \in Y \longmapsto \int f \mathop{}\!\mathrm{d} (\varphi_{*}\mu_{y}) = \int (f \circ \varphi) \mathop{}\!\mathrm{d} \mu_{y}\end{align*}$$

est continue. Le résultat s’ensuit.

Supposons que $\varphi $ est fini et plat. Le résultat se démontre de la même manière, en faisant appel à la proposition 3.12.

Définition 4.1. Soit L un fibré en droites sur X. Une métrique $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert $ sur L est une famille $( \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{x})_{x\in X}$ où, pour tout $x\in X$ ,

$$\begin{align*}\left\lVert {{\mkern 2mu\cdot\mkern 2mu}} \right\rVert _{x} \colon L(x) \longrightarrow \mathbf{R}_{\ge 0} \end{align*}$$

est une norme sur $L(x)$ vérifiant la propriété suivante :

$$\begin{align*}\forall \lambda \in \mathcal{H}(x), \forall s \in L(x),\ \left\lVert {\lambda s} \right\rVert _{x} = \left\lvert {\lambda} \right\rvert \, \left\lVert {s} \right\rVert _{x}.\end{align*}$$

La métrique $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert $ est dite continue si, pour tout ouvert U de X et toute section globale $s\in L(U)$ , la fonction

$$\begin{align*}x \in U \longmapsto \left\lVert {s(x)} \right\rVert _{x} \in \mathbf{R}_{\ge0}\end{align*}$$

est continue.

On note ${M\acute {e}t}(L)$ l’ensemble des métriques continues sur L.

Remarque 4.2. Soit $x\in X$ . La condition d’homogénéité entraîne que la connaissance de $ \left \lVert {s} \right \rVert _{x}$ pour un seul $s \in L(x) \setminus \{0\}$ suffit à déterminer la norme $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{x}$ .

Dans le cas du fibré trivial $L = \mathcal {O}_{X}$ , on peut choisir la section $s=1$ . On obtient ainsi une bijection entre ${M\acute {e}t}(\mathcal {O}_{X})$ et $\mathcal {C}(X,\mathbf {R}_{> 0})$ . Nous identifierons désormais ces deux ensembles.

Exemple 4.3. Soit $(k, \left \lvert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rvert )$ un corps valué complet. Plaçons-nous sur la droite projective $\mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{k}$ munie des coordonnées homogènes $T_{0},T_{1}$ . Le fibré $\mathcal {O}(1)$ peut être muni de la métrique standard $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{\mathrm {st}}$ caractérisée par la propriété suivante: pour toute $s\in \Gamma (\mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{k},\mathcal {O}(1))$ , représentée par $P_{s}(T_{0},T_{1}) \in k[T_{0},T_{1}]$ homogène de degré 1, on a

$$\begin{align*}\forall x\in \mathbf{P}^{1,\mathrm{an}}_{k},\ \left\lVert {s} \right\rVert _{\mathrm{st},x} := \frac{ \left\lvert {P_{s}(T_{0},T_{1})(x)} \right\rvert }{\max( \left\lvert {T_{0}(x)} \right\rvert , \left\lvert {T_{1}(x)} \right\rvert )}.\end{align*}$$

Notation 4.4. Soient L un fibré en droites sur X et $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{1}$ et $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{2}$ des métriques continues sur L. Alors $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{1} \otimes \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{2}^{\otimes -1}$ est une métrique continue sur $\mathcal {O}_{X}$ et, pour toute partie compacte K de X, on pose

$$\begin{align*}d_{K}( \left\lVert {{\mkern 2mu\cdot\mkern 2mu}} \right\rVert _{1}, \left\lVert {{\mkern 2mu\cdot\mkern 2mu}} \right\rVert _{2}) := \max_{x\in K} \big( |\log( ( \left\lVert {{\mkern 2mu\cdot\mkern 2mu}} \right\rVert _{1} \otimes \left\lVert {{\mkern 2mu\cdot\mkern 2mu}} \right\rVert _{2}^{\otimes -1})_{x}(1))| \big) \in \mathbf{R}_{\ge 0}.\end{align*}$$

Démonstration. Si ${M\acute {e}t}(L)$ est vide, l’énoncé est satisfait. Sinon, d’après le lemme 4.6, il suffit de démontrer que l’espace $\mathcal {C}(X,\mathbf {R})$ , muni de la structure uniforme de la convergence compacte est complet. Puisque X est localement compact, le résultat découle de [Reference Bourbaki9, IX, §1, n ${}^{\circ }$ 6, cor. 3 du th. 2].

Remarque 4.9. Soit $s_{1} \in L(\varphi (x))$ . Alors, $(\varphi ^*s_{1})^{\otimes e}$ induit un élément de $(\varphi ^* L)^{\otimes e}(x)$ , que nous noterons identiquement. En outre, si $s_{1} \ne 0$ , alors $(\varphi ^*s_{1})^{\otimes e} \ne 0$ et, pour tout $s \in (\varphi ^* L)^{\otimes e}(x)$ , $s/(\varphi ^*s_{1})^{\otimes e}$ fait sens et s’identifie à un élément de $\mathcal {H}(x)$ . On peut donc écrire $ \left \lvert {s/(\varphi ^*s_{1})^{\otimes e}} \right \rvert $ sans ambiguïté.

Soit $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert \in {M\acute {e}t}(L)$ et posons . Avec les notations précédentes, pour tout $s_{2} \in L(x)$ , on a

Démonstration. Posons $c := \left \lvert {e} \right \rvert / \left \lvert {d} \right \rvert \in \left ] {0,1} \right [ $ . Soit $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{0} \in {M\acute {e}t}(L)$ . D’après le lemme 4.8, pour tout compact K de X et tout $n\in \mathbf {N}$ , on a

On en déduit que la suite est de Cauchy, et donc convergente, d’après la proposition 4.7. Notons $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{\varphi }$ sa limite.

Par construction, on a , et $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{\varphi }$ satisfait donc l’égalité de l’énoncé. Nous avons déjà démontré la seconde partie. La propriété d’unicité de la mesure en découle.

Démonstration. Par un argument classique d’approximation, il suffit de prouver le résultat lorsque $u \in \mathcal {C}^\infty (U,\mathbf {R})$ . Dans ce cas, il suffit de montrer que

Pour $s \in \left ] {0,R} \right [ $ , posons

D’après la formule de Jensen, on a

Pour $s \in \left ] {0,R} \right [ $ , on a

$$\begin{align*}\int_{0}^R \frac{n(s)}{s} \mathop{}\!\mathrm{d} s \ge \int_{r}^R \frac{n(s)}{s} \mathop{}\!\mathrm{d} s \ge n(r) \int_{r}^R \frac{1}{s} \mathop{}\!\mathrm{d} s\ge n(r) \log\Big(\frac R r\Big).\end{align*}$$

Le résultat s’ensuit.

Démonstration. Par un argument d’approximation, il suffit de prouver le résultat pour une fonction u lisse sur U. Dans ce cas, il suffit de montrer que

$$\begin{align*}\int \mathop{}\!\mathrm{d} \Delta u_{\vert D(t,r)} \le \frac{1}{\log(R/r)}\, (u(\eta_{t,R}) - u(\eta_{t,r})).\end{align*}$$

La fonction u étant lisse, il existe un sous-arbre fini non vide $\Gamma $ de $\overline {D}(t,R)$ et une fonction continue linéaire par morceaux $u_{\Gamma } \colon \Gamma \to \mathbf {R}$ telle que $u_{\vert \overline {D}(t,R)} = u_{\Gamma } \circ r_{\Gamma }$ , où $r_{\Gamma } \colon \overline {D}(t,R) \to \Gamma $ désigne la rétraction sur $\Gamma $ . Quitte à agrandir $\Gamma $ , on peut supposer qu’il contient le segment $ \left [ {\eta _{t,r},\eta _{t,R}} \right ] $ reliant le bord de $\overline {D}(t,r)$ à celui de $\overline {D}(t,R)$ .

Pour tout point x de $\Gamma $ , notons $\Gamma _{x}$ l’ensemble des germes d’arêtes de $\Gamma $ d’origine x (autrement dit, l’ensemble des directions sortantes en x). Pour tout $a \in A_{x}$ , la pente de la fonction u le long de a en x est bien définie. Notons-la . Par définition, pour tout ouvert V de U contenu dans $\overline {D}(t,R)$ , on a (cf. [Reference Thuillier29, sections 1.2.1 et 3.2.4])

où $\delta _{x}$ désigne la masse de Dirac en x. La fonction u étant linéaire par morceaux, la quantié est nulle pour presque tout x, et $\Delta u_{\vert V}$ est bien définie.

Puisque u est sous-harmonique, $\Delta u$ est une mesure positive et on a

$$\begin{align*}\int \Delta u_{\vert D(t,r)} \le \int \Delta u_{\vert \overline{D}(t,r) \setminus \{\eta_{t,r}\} }.\end{align*}$$

Puisque $\overline {D}(t,r)$ est compact, $\Gamma \cap \overline {D}(t,r)$ est un arbre fini et on a

d’où

Parmi les germes d’arêtes d’origine $\eta _{t,r}$ , un seul n’est pas contenu dans $\overline {D}(t,r)$ , celui représenté par $ \left [ {\eta _{t,r},\eta _{t,R}} \right ] $ . Notons-le $a_{r,R}$ . Puisque u est sous-harmonique, on a

La sous-harmonicité de u entraîne également que la restriction de u à $ \left [ {\eta _{t,r},\eta _{t,R}} \right ] $ est convexe, donc sa pente au point $\eta _{t,r}$ est inférieure à la pente totale:

En combinant les différentes inégalités, on obtient le résultat voulu.

Notation 5.11. Pour toute fonction , on définit une fonction $u_{\varepsilon }$ sur $U_{\varepsilon }$ par

Notation 6.1. Soit $(k, \left \lvert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rvert )$ un corps valué complet. Pour $z \in k$ et $r\in \mathbf {R}_{> 0}$ , on pose

$$\begin{align*}C_{k}(z,r) := \{x\in \mathbf{A}^{1,\mathrm{an}}_{k} : |(T-z)(x)| = r \}.\end{align*}$$

Pour $r \in \mathbf {R}_{>0}$ , on pose

$$\begin{align*}C_{k}(\infty,r) := C_{k}(0,r^{-1}).\end{align*}$$

Notation 6.2. $\bullet $ Soit $\varepsilon \in \left ] {0,1} \right ] $ et considérons le corps valué $\mathbf {C}_{\varepsilon } := (\mathbf {C}, \left \lvert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rvert _{\infty }^\varepsilon )$ . Pour et $r\in \mathbf {R}_{>0}$ , on note $\chi _{\mathbf {C}_{\varepsilon },z,r}$ la mesure de Haar de masse totale 1 sur le cercle $C_{\mathbf {C}_{\varepsilon }}(z,r)$ .

On note $\chi _{\mathbf {C}_{\varepsilon },z,0}$ la mesure de Dirac $\delta _{z}$ sur $\mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathbf {C}_{\varepsilon }}$ .

$\bullet $ Soit $\varepsilon \in \left ] {0,1} \right ] $ et considérons le corps valué $\mathbf {R}_{\varepsilon } := (\mathbf {R}, \left \lvert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rvert _{\infty }^\varepsilon )$ . Soient et $r\in \mathbf {R}_{>0}$ . Soit $z'$ l’unique antécédent de z par le morphisme canonique $\mathrm {pr}_{\mathbf {C},\mathbf {R}} \colon \mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathbf {C}_{\varepsilon }} \to \mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathbf {R}_{\varepsilon }}$ . On pose $\mu _{\mathbf {R}_{\varepsilon },z,r} := (\mathrm {pr}_{\mathbf {C},\mathbf {R}})_{*} \mu _{\mathbf {C}_{\varepsilon },z',r}$ . C’est une mesure positive de masse totale 1 sur $C_{\mathbf {R}_{\varepsilon }}(z,r)$ .

On note $\chi _{\mathbf {R}_{\varepsilon },z,0}$ la mesure de Dirac $\delta _{z}$ sur $\mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathbf {R}_{\varepsilon }}$ .

$\bullet $ Soit $(k, \left \lvert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rvert )$ un corps valué ultramétrique complet. Soient $z\in k$ et $r\in \mathbf {R}_{> 0}$ . Rappelons que nous avons défini à la section 2.2.2 un point $\eta _{z,r}$ de $\mathbf {A}^{1,\mathrm {an}}_{k}$ (qui n’est autre que l’unique point du bord de Shilov de la couronne $C_{k}(z,r)$ ).

On pose $\chi _{k,z,r} := \delta _{k,\eta _{z,r}}$ .

On pose également $\chi _{k,\infty ,r} := \chi _{k,0,r^{-1}}$ .

On note $\chi _{k,z,0}$ (resp. $\chi _{k,\infty ,0}$ ) la mesure de Dirac $\delta _{z}$ (resp. $\delta _{\infty }$ ) sur $\mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{k}$ .

On sous-entendra parfois le corps k si cela ne peut prêter à confusion.

Notation 6.6. Soient $c\in \mathcal {O}(Y)$ et $\varrho \colon Y \to \mathbf {R}_{\ge 0}$ une fonction continue. On note $\chi _{c,\varrho }$ la -famille de mesures définie par

$$\begin{align*}\forall y\in Y,\ \chi_{c,\varrho,y} := \chi_{\mathcal{H}(y),c(y),\varrho(y)} \textrm{ dans } \operatorname{\mathrm{Mes}}^1(X_{y}).\end{align*}$$

Démonstration. Le lemme 6.4 permet de se ramener au cas où $\varepsilon = 1$ . L’intersection du disque $\overline {D}(z_{1},r_{1})$ et du cercle $C(z_{2},r_{2})$ est un arc de longueur inférieure à . On en déduit que

Démonstration. Il suffit de montrer que la famille est continue au voisinage de tout point de Y. Soit $y\in Y$ . D’après le lemme 2.1, on peut supposer que $Y = \mathcal {M}(\mathcal {A})$ et que $c\in \mathcal {A}$ . Quitte à effectuer le changement de variable $T \mapsto T -c$ , on peut supposer que, pour tout $y\in Y$ , on a $c(y)=0$ .

$\bullet $ Supposons que y est ultramétrique.

Soit $\mathfrak {F}$ un filtre sur Y convergeant vers y. Il suffit de montrer que son image $\mathfrak {F}_{\chi }$ par $z \mapsto \chi _{0,\varrho (z)}$ converge vers $\chi _{0,\varrho (y)}$ . Par compacité de l’espace des mesures de probabilité, il suffit de montrer que toute valeur d’adhérence de $\mathfrak {F}_{\chi }$ coïncide avec $ \chi _{0,\varrho (y)}$ . Soit $\mu $ une telle valeur d’adhérence.

Pour montrer que $\mu = \chi _{0,\varrho (y)}$ , il suffit de montrer que son support est réduit à $\{\eta _{0,\varrho (y)}\}$ . Puisque, pour tout $z \in Y$ , le support de $\chi _{0,\varrho (z)}$ est contenu dans $X_{z}$ , on a $\operatorname {\mathrm {Supp}}(\mu ) \subset X_{y}$ . Soit $x \in X_{y} \setminus \{\eta _{0,\varrho (y)}\}$ . Nous allons distinguer deux cas.

$\bullet \bullet $ Supposons que $ \left \lvert {T(x)} \right \rvert> \varrho (y)$ .

Soit $s \in \left ] {\varrho (y), \left \lvert {T(x)} \right \rvert } \right [ $ . Par continuité de $\varrho $ , quitte à remplacer Y par un voisinage de y, on peut supposer que, pour tout $z\in Y$ , on $\varrho (z) < s$ . Dans ce cas, $D^\infty _{Y}(s^{-1})$ est un voisinage de x et, pour tout $z\in Y$ , on a

$$\begin{align*}\operatorname{\mathrm{Supp}}(\chi_{0,\varrho(z),z}) \cap D^\infty_{Y}(s^{-1}) = \emptyset.\end{align*}$$

On en déduit que, pour tout $f \in \mathcal {C}(X,\mathbf {R})$ à support dans $D^\infty _{Y}(s^{-1})$ , on a

$$\begin{align*}\int f \mathop{}\!\mathrm{d} \mu = 0,\end{align*}$$

et donc que $x \notin \operatorname {\mathrm {Supp}}(\mu )$ .

$\bullet \bullet $ Supposons que $ \left \lvert {T(x)} \right \rvert \le \varrho (y)$ .

Soit $\alpha $ un point rigide de $X_{y} \simeq \mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathcal {H}(y)}$ appartenant à la composante connexe de $X_{y} \setminus \{\eta _{0,\varrho (y)}\}$ contenant x.Footnote ⁴ Remarquons que $\alpha \in \overline {D}_{y}(0,\varrho (y))$ . Notons $P \in \mathcal {H}(y)[T]$ le polynôme minimal de $\alpha $ et $d\in \mathbf {N}_{\ge 1}$ son degré. On a alors

$$\begin{align*}\left\lvert {P(x)} \right\rvert < \left\lvert {P(\eta_{0,\varrho(y)})} \right\rvert = \varrho(y)^d.\end{align*}$$

Grâce aux propriétés ultramétriques du corps $\mathcal {H}(y)$ , la relation précédente reste satisfaite après une petite perturbation des coefficients de P. On peut donc supposer que P appartient à $\kappa (y)[T]$ , et même à $\mathcal {O}(Y)[T]$ , quitte à remplacer Y par un voisinage de y.

Soient $s, t\in \left ] { \left \lvert {P(x)} \right \rvert ,\varrho (y)^d} \right [ $ avec $s<t$ . Quitte à restreindre Y, on peut supposer que, pour tout $z\in Y$ , on a $t \le \varrho (z)^d$ . Posons

$$\begin{align*}U := \{ u \in X : \left\lvert {P(u)} \right\rvert < s\}.\end{align*}$$

C’est un voisinage ouvert de x. Soit $f\in \mathcal {C}_{c}(X,\mathbf {R})$ à support dans U. Soit $z\in Y$ .

Supposons que z est ultramétrique. Puisque P est unitaire de degré d, on a

$$\begin{align*}\left\lvert {P(\eta_{0,\varrho(z)})} \right\rvert \ge \varrho(z)^d \ge t> s,\end{align*}$$

donc $\eta _{0,\varrho (z)} \notin U$ et

$$\begin{align*}\int f \mathop{}\!\mathrm{d} \chi_{0,\varrho(z),z} = 0.\end{align*}$$

Supposons que z est archimédien. Il existe $\varepsilon (z) \in \left ] {0,1} \right ] $ tel que le corps résiduel $\mathcal {H}(z)$ soit isomorphe à $\mathbf {R}$ ou $\mathbf {C}$ muni de la valeur absolue $ \left \lvert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rvert _{\infty }^{\varepsilon (z)}$ . Notons $K_{z}$ le corps valué $\mathbf {C}$ muni de la valeur absolue $ \left \lvert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rvert _{\infty }^{\varepsilon (z)}$ . C’est une extension de $\mathcal {H}(z)$ . Notons $\mathrm {pr}_{z} \colon \mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{K_{z}} \to \mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathcal {H}(z)}$ le morphisme naturel. Notons $P_{z}(T)$ l’image de $P(T)$ dans $K_{z}[T]$ et $\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{d} \in K_{z}$ ses racines.

Soit $u \in \mathrm {pr}_{z}^{-1}(U \cap X_{z})$ . Soit tel que $ \left \lvert {u-\alpha _{j_{u}}} \right \rvert = \min _{1\le i\le d} ( \left \lvert {u-\alpha _{i}} \right \rvert )$ . On a alors $ \left \lvert {u-\alpha _{j_{u}}} \right \rvert ^d \le \left \lvert {P(u)} \right \rvert < s$ . On en déduit que

$$\begin{align*}\mathrm{pr}_{z}^{-1}(U \cap X_{z}) \subset \bigcup_{1\le i\le d} D_{K_{z}}(\alpha_{i},s^{1/d}).\end{align*}$$

D’après les lemmes 6.3 et 6.7, on a donc

$$\begin{align*}\int f \mathop{}\!\mathrm{d} \chi_{0,\varrho(z),z} \le d \Big(\frac{s^{1/d}}{\varrho(z)}\Big)^{\frac1{\varepsilon(z)}}\, \|f\|_{\infty} \le d \Big(\frac{s}{t}\Big)^{\frac1{d\varepsilon(z)}}\, \|f\|_{\infty}.\end{align*}$$

D’après la remarque 2.2, on a $\varepsilon (z) = \frac {\log ( \left \lvert {2(z)} \right \rvert )}{\log (2)} \in \left ] {0,1} \right ] $ . Puisque y est ultramétrique, cette quantité tend vers 0 lorsque z tend vers y selon $\mathfrak {F}$ . On en déduit que

$$\begin{align*}\int f \mathop{}\!\mathrm{d} \mu = 0,\end{align*}$$

et donc que $x \notin \operatorname {\mathrm {Supp}}(\mu )$ .

$\bullet $ Supposons que y est archimédien.

Quitte à remplacer Y par un voisinage de y, on peut supposer que tout point de Y est archimédien. L’injection canonique $j_{\mathbf {Z}} \colon \mathbf {Z} \hookrightarrow \mathcal {O}(Y)$ s’étend alors en une injection $j_{\mathbf {Q}} \colon \mathbf {Q} \hookrightarrow \mathcal {O}(Y)$ puis $j_{\mathbf {R}} \colon \mathbf {R} \hookrightarrow \mathcal {O}(Y)$ .

D’après [Reference Poineau24, lemme 5.2.2], on peut munir l’anneau $\mathcal {A}' := \mathcal {A}[t]/(t^2+1)$ d’une norme de $\mathcal {A}$ -algèbre de Banach. Considérons le morphisme canonique $\mathrm {pr}_{\mathcal {A}',\mathcal {A}} \colon \mathcal {M}(\mathcal {A}') \to \mathcal {M}(\mathcal {A})$ et posons $\varrho ' := \varrho \circ \mathrm {pr}_{\mathcal {A}',\mathcal {A}}$ . D’après le lemme 6.3, il suffit de montrer que la famille de mesures $\chi _{0,\varrho '}$ sur $\mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathcal {A}'}$ est continue en un point de $\mathrm {pr}_{\mathcal {A}',\mathcal {A}}^{-1}(y)$ . On peut donc remplacer $\mathcal {A}$ par $\mathcal {A}'$ . Désormais, pour $y\in Y$ , on a $\mathcal {H}(y) \simeq \mathbf {C}$ et l’injection $j_{\mathbf {R}}$ se prolonge donc en une injection $j_{\mathbf {C}} \colon \mathbf {C} \hookrightarrow \mathcal {O}(Y)$ envoyant i sur t.

Soit $\mathfrak {F}$ un filtre sur Y convergeant vers y. Par le même argument que dans le cas ultramétrique, il suffit de montrer que toute valeur d’adhérence de l’image $\mathfrak {F}$ par $z \mapsto \chi _{0,\varrho (z)}$ coïncide avec $ \chi _{0,\varrho (y)}$ . Soit $\mu $ une telle valeur d’adhérence.

Pour tout $z \in Y$ , le support de $\chi _{0,\varrho (z)}$ est contenu dans $C_{\mathcal {H}(z)}(0,\varrho (z)) \subset X_{z}$ . On en déduit que $\operatorname {\mathrm {Supp}}(\mu ) \subset C_{\mathcal {H}(y)}(0,\varrho (y)) \subset X_{y}$ . En outre, $\mu $ est positive et de masse totale 1.

Pour tout $\alpha \in \mathbf {C}$ , on note $m_{Y,\alpha } \colon \mathcal {O}(Y) \to \mathcal {O}(Y)$ l’application induite par la multiplication par $\alpha $ via $j_{\mathbf {C}}$ et $m_{X,\alpha } \colon \mathcal {O}(X) \to \mathcal {O}(X)$ l’application induite par $m_{X,\alpha }$ en tirant en arrière par .

Pour tout $z \in Y$ , la mesure $\chi _{0,\varrho (z)}$ est invariante par rotation, au sens où, pour tout $\alpha \in \mathbf {C}$ avec $ \left \lvert {\alpha } \right \rvert =1$ et tout $f\in \mathcal {C}_{c}(X,\mathbf {R})$ , on a

$$\begin{align*}\int f \circ m_{X,\alpha} \mathop{}\!\mathrm{d} \chi_{0,\varrho(z)} = \int f \mathop{}\!\mathrm{d} \chi_{0,\varrho(z)}.\end{align*}$$

On en déduit que $\mu $ est également invariante par rotation. On conclut que $\mu = \chi _{0,\varrho (y)}$ en utilisant la caractérisation de la mesure de Haar sur le cercle $C_{\mathcal {H}(y)}(0,\varrho (y))$ .

Définition 6.9. Soit U un ouvert de X. Une fonction $f \colon U \to \mathbf {R}$ est dite positivement macologue basique s’il existe $n \in \mathbf {N}_{\ge 1}$ , $p_{1},q_{1},\dotsc ,p_{n},q_{n} \in \mathbf {Q}$ , avec $q_{1},\dotsc ,q_{n}\ge 0$ , et $g_{1},\dotsc ,g_{n} \in \mathcal {O}(U)$ tels que

$$\begin{align*}f = \max_{1\le i \le n}(p_{i} + q_{i}\log( \left\lvert {g_{i}} \right\rvert )).\end{align*}$$

Une fonction $f \colon U \to \mathbf {R}$ est dite macologue basique si elle est différence de deux fonctions positivement macologues basiques.

On note $\operatorname {\mathrm {MCL}}_{pb}(U,\mathbf {R})$ (resp. $\operatorname {\mathrm {MCL}}_{b}(U,\mathbf {R})$ ) l’ensemble des fonctions positivement macologues basiques (resp. macologues basiques) sur U.

Démonstration. Les points i) et ii) découlent directement des définitions.

iii) Soient $p,q,p',q' \in \mathbf {Q}$ , avec $q,q'\ge 0$ , et $g,g' \in \mathcal {O}(U)$ . Écrivons $q=\frac a b$ et $q' = \frac {a'}{b'}$ , avec $a,a'\in \mathbf {N}$ et $b,b' \in \mathbf {N}_{\ge 1}$ . On a

$$ \begin{align*} p+q\log( \left\lvert {g} \right\rvert ) + p'+q'\log( \left\lvert {g'} \right\rvert ) &= p+p' + \frac1b \log( \left\lvert {g^a} \right\rvert ) + \frac1{b'} \log( \left\lvert {{g'}^{a'}} \right\rvert )\\ & = p+p' + \frac1{bb'} \log( \left\lvert {g^{ab'}{g'}^{a'b}} \right\rvert ). \end{align*} $$

La stabilité de $\operatorname {\mathrm {MCL}}_{pb}(U,\mathbf {R})$ par $+$ s’en déduit. La stabilité par $\max $ est évidente.

iv) L’ensemble $\operatorname {\mathrm {MCL}}_{b}(U,\mathbf {R})$ est stable par multiplication par un élément de $\mathbf {Q}$ . D’après ii), il est stable par somme et on en déduit qu’il forme un sous- $\mathbf {Q}$ -espace vectoriel de $\mathcal {C}(U,\mathbf {R})$ .

Montrons la stabilité par $\max $ . Soient $u,v \in \operatorname {\mathrm {MCL}}_{b}(U,\mathbf {R})$ . Il existe $u^+,u^-, v^+,v^-\in \operatorname {\mathrm {MCL}}_{pb}(U,\mathbf {R})$ telles que $u = u^+-u^-$ et $v=v^+-v^-$ . On a

$$ \begin{align*} \max(u,v) &= \max(u^+ - u^-, v^+ - v^-)\\ & = \max(u^+ + v^-, v^+ + u^-) - (u^- + v^-), \end{align*} $$

et le résultat découle maintenant de iii).

La stabilité par $\min $ se déduit de la stabilité par $\max $ en passant à l’opposé.

Définition 6.11. Soit V un ouvert de Y. Une fonction $f \colon X_{V} \to \mathbf {R}$ est dite macologue si ses restrictions à et sont macologues basiques. On note $\operatorname {\mathrm {MCL}}(X_{V},\mathbf {R})$ l’ensemble des fonctions macologues sur $X_{V}$ .

Démonstration. Cela découle directement du point iv) du lemme 6.10.

Démonstration. Par définition, il existe et tels que et .

Soit K une partie compacte de V et soit $y\in K$ . Soient $h_{0},h_{\infty } \in \mathcal {C}(X_{y}, \left [ {0,1} \right ] )$ telles que $\operatorname {\mathrm {Supp}}(h_{0}) \subset D_{y}(2)$ , $\operatorname {\mathrm {Supp}}(h_{\infty }) \subset D^\infty _{y}(2)$ et

$$\begin{align*}\forall x\in X_{y},\ h_{0}(x) + h_{\infty}(x) = 1.\end{align*}$$

D’après la proposition 5.3, avec les adaptations des sections 5.2.1 et 5.2.2, si y est archimédien, ou la proposition 5.10, si y est ultramétrique, on a

$$ \begin{align*} \int h_{0} \mathop{}\!\mathrm{d} \left\lvert {\Delta f_{\vert y}} \right\rvert & = \int h_{0} \mathop{}\!\mathrm{d} \left\lvert {\Delta (f^+_{0,\vert y}-f^-_{0,\vert y})} \right\rvert \\ & \le \int h_{0} \mathop{}\!\mathrm{d}\Delta f^+_{0,\vert y} + \int h_{0} \mathop{}\!\mathrm{d} \Delta f^-_{0,\vert y}\\ & \le \frac{2}{\log(2)}\, \big( \left\lVert {f^+_{0}} \right\rVert _{\overline{D}_{y}(4)} + \left\lVert {f^-_{0}} \right\rVert _{\overline{D}_{y}(4)}\big)\\ & \le \frac{2}{\log(2)}\, \big( \left\lVert {f^+_{0}} \right\rVert _{\overline{D}_{K}(4)} + \left\lVert {f^-_{0}} \right\rVert _{\overline{D}_{K}(4)}\big). \end{align*} $$

et, par un raisonnement similaire,

$$\begin{align*}\int h_{\infty} \mathop{}\!\mathrm{d} \left\lvert {\Delta f_{\vert y}} \right\rvert \le \frac{2}{\log(2)}\, \big( \left\lVert {f^+_{\infty}} \right\rVert _{\overline{D}^\infty_{K}(4)} + \left\lVert {f^-_{\infty}} \right\rVert _{\overline{D}^\infty_{K}(4)}\big).\end{align*}$$

Le résultat s’ensuit.

Démonstration. Il suffit de démontrer que, pour toute partie compacte K de $X_{V}$ , $\operatorname {\mathrm {MCL}}(X_{V},\mathbf {R})$ est dense dans $\mathcal {C}(K,\mathbf {R})$ . Supposons avoir démontré que $\operatorname {\mathrm {MCL}}(X_{V},\mathbf {R})$ sépare les points de $X_{V}$ . Soit $\varphi \in \mathcal {C}(K,\mathbf {R})$ et soient $x_{1} \ne x_{2} \in K$ . Par hypothèse, il existe $f \in \operatorname {\mathrm {MCL}}(X_{V},\mathbf {R})$ telle que $f(x_{1})\ne f(x_{2})$ . Pour tout $\varepsilon \in \mathbf {R}_{>0}$ , on peut trouver $a,b \in \mathbf {Q}$ tels que

$$\begin{align*}\left\lvert {af(x_{1})+b - \varphi(x_{1})} \right\rvert < \varepsilon \textrm{ et } \left\lvert {af(x_{2})+b - \varphi(x_{2})} \right\rvert < \varepsilon.\end{align*}$$

D’après le lemme 6.12, $af+b \in \operatorname {\mathrm {MCL}}(X_{V},\mathbf {R})$ . La version treillis du théorème de Stone-Weierstraß permet alors de conclure que $\operatorname {\mathrm {MCL}}(X_{V},\mathbf {R})$ est dense dans $\mathcal {C}(K,\mathbf {R})$ .

Il suffit donc de démontrer que $\operatorname {\mathrm {MCL}}(X_{V},\mathbf {R})$ sépare les points de $X_{V}$ . Soient $x_{1} \ne x_{2} \in X_{V}$ . Distinguons deux cas.

$\bullet $ Supposons que .

Puisque V peut se plonger dans un espace affine analytique sur $\mathcal {A}$ , il existe $g \in \mathcal {O}(V)$ tel que . On peut supposer que . Soit . Alors la fonction

est une fonction macologue sur $X_{V}$ qui sépare $x_{1}$ et $x_{2}$ .

$\bullet $ Supposons que . Notons y ce point.

$\bullet \bullet $ Supposons que $x_{1}$ et $x_{2}$ appartiennent à $\overline {D}_{V}(1)$ .

Puisque V peut se plonger dans un espace affine analytique sur $\mathcal {A}$ , il existe $g \in \mathcal {O}(V)[T]$ tel que $ \left \lvert {g(x_{1})} \right \rvert \ne \left \lvert {g(x_{2})} \right \rvert $ . Notons d le degré de g. Quitte à échanger $x_{1}$ et $x_{2}$ , on peut supposer que $ \left \lvert {g(x_{1})} \right \rvert> \left \lvert {g(x_{2})} \right \rvert $ et, quitte à multiplier g par une puissance suffisamment grande de $\alpha _{y}$ , on peut supposer que $ \left \lvert {g(x_{1})} \right \rvert> 1$ .

Posons $G := T_1^d g(T_{0}/T_{1}) \in \mathcal {O}(V)[T_{0},T_{1}]$ . C’est un polynôme homogène de degré d. Posons

$$\begin{align*}F := \max( d \log( \left\lvert {T_{0}} \right\rvert ) , d \log( \left\lvert {T_{1}} \right\rvert ), \log( \left\lvert {G} \right\rvert )) - \max(d \log( \left\lvert {T_{0}} \right\rvert ), d \log( \left\lvert {T_{1}} \right\rvert )).\end{align*}$$

C’est une fonction bien définie sur $X_{V}$ , macologue par construction, et qui coïncide avec $\max (0,\log ( \left \lvert {g} \right \rvert ))$ sur $\overline {D}_{V}(1)$ . Elle sépare donc les points $x_{1}$ et $x_{2}$ .

$\bullet \bullet $ Supposons que $x_{1}$ et $x_{2}$ appartiennent à $\overline {D}^\infty _{V}(1)$ .

On se ramène au cas précédent en échangeant les coordonnées projectives $T_{0}$ et $T_{1}$ .

$\bullet \bullet $ . Supposons que les points $x_{1}$ et $x_{2}$ appartiennent l’un à $D_{V}(1)$ et l’autre à $D^\infty _{V}(1)$ .

La fonction

$$\begin{align*}F := \max(\log( \left\lvert {T_{0}} \right\rvert ) , \log( \left\lvert {T_{1}} \right\rvert ), \log( \left\lvert {T_{0}+\alpha_{y}T_{1}} \right\rvert )) - \max(\log( \left\lvert {T_{0}} \right\rvert ), \log( \left\lvert {T_{1}} \right\rvert ))\end{align*}$$

est alors une fonction macologue sur $X_{V}$ qui sépare $x_{1}$ et $x_{2}$ .

Notation 6.15. Soit $d\in \mathbf {Z}$ . Le fibré en droites $\mathcal {O}(d)$ sur induit un fibré en droite sur $\mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathcal {A}}$ par analytification, puis un fibré en droites sur X en tirant en arrière par la projection $X \to \mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathcal {A}}$ . Notons $\mathcal {O}_{X}(d)$ ce fibré.

Définition 6.16. On appelle métrique standard sur le fibré $\mathcal {O}_{X}(1)$ la métrique dont la restriction à toute fibre $X_{y} \simeq \mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathcal {H}(y)}$ , pour $y\in Y$ , est la métrique standard sur $\mathbf {P}^{1,\mathrm {an}}_{\mathcal {H}(y)}$ , comme définie dans l’exemple 4.3. On la note encore $ \left \lVert {{\mkern 2mu\cdot \mkern 2mu}} \right \rVert _{\mathrm {st}}$ . C’est une métrique continue.