PréliminairesFootnote *

Nous n'analyserons pas en détail ce qu'est un orbe pour Ibn al-Šāṭir. Qu'il suffise de le concevoir comme un corps à symétrie sphérique. Chaque orbe est doté d'un centre. Le centre de certains orbes est aussi centre du Monde. Enfin, et surtout, Ibn al-Šāṭir utilise chaque orbe comme un référentiel solide en mouvement. Pour qu'un corps solide à symétrie sphérique puisse faire office de référentiel spatial, il faut distinguer un plan attaché à l'orbe et passant par son centre, et une direction dans ce plan. Dans tout ce qui suit, on représentera plus commodément chaque orbe par une sphère, un cercle et un point: à savoir, une sphère dont le centre est le centre de l'orbe, un grand cercle section de cette sphère par son plan, et un point de ce cercle situé dans la direction distinguée par rapport au centre.

Chaque orbe est mobile par rapport à l'orbe qui le porte (c'est-à-dire au sein du référentiel constitué par l'orbe qui le porte). Un seul mouvement est admis pour chaque orbe: un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe passant par son centre. Autrement dit, le centre de chaque orbe est immobile au sein de l'orbe qui le porte. Il n'y a aucune restriction quant à l'inclinaison de l'axe par rapport au plan de l'orbe: tel orbe a son axe perpendiculaire à son plan, tel autre a son axe perpendiculaire au plan de l'orbe qui le porte. Mais tous ces mouvements sont relatifs, et chaque orbe hérite aussi “par accident” (au sens aristotélicien du terme) du mouvement de l'orbe qui le porte, qui hérite lui-même du mouvement de l'orbe qui le porte, et ainsi de suite. Le mouvement de chaque orbe est donc composé d'un mouvement propre de rotation uniforme par rapport à l'orbe qui le porte, et du mouvement absolu de l'orbe qui le porte. Seul le neuvième orbe, porté par aucun autre, n'est animé que de son mouvement propre de rotation uniforme.

Ce cadre conceptuel donne lieu à trois combinaisons possibles, toutes présentes dans le texte d'Ibn al-Šāṭir. Nous les décrirons au moyen des trois figures (i), (ii) et (iii). Dans chacune de ces trois figures il y a deux orbes représentés chacun par une sphère, un grand cercle de cette sphère et un point sur ce cercle. Le premier orbe dont le point est P porte le second dont le point est Q. Dans les figures (i) et (ii), le point P de l'orbe portant est choisi par commodité au centre de l'orbe porté. Au contraire, dans la figure (iii), les deux orbes ayant même centre O, il a fallu choisir un autre point: le point P est alors un point à l'intersection des plans des deux orbes. Dans tout ce paragraphe, on désignera chaque orbe par son point. L'orbe de P porte donc l'orbe de Q. Ainsi, le lieu occupé par l'orbe de Q est constant au sein du référentiel solide constitué par l'orbe de P. Mais l'orbe de Q est animé d'un mouvement de rotation uniforme sur lui-même, autour d'un axe représenté par un vecteur sur chaque figure. Peu importe ici le sens de cette rotation; seule importe la direction de son axe, perpendiculaire au plan de l'orbe de P dans la figure (i), mais perpendiculaire au plan de l'orbe de Q dans les figures (ii) et (iii). La figure (i) présente cette particularité que la trajectoire du point Q au sein du référentiel constitué par l'orbe de P n'est pas dans le plan de l'orbe de Q: le point Q décrit un petit cercle parallèle au plan de l'orbe de P. Enfin, dans chacune des trois figures, l'orbe de P est lui-même animé d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe représenté par un vecteur d'origine O. Peu importe que ce vecteur soit perpendiculaire au plan de l'orbe de P – comme il l'est dans ces figures – ou non. Ce dernier mouvement entraîne le point P et aussi l'orbe de Q.

Fig. 1.

Un orbe est un référentiel solide en mouvement

Chacune des planètes supérieures (Mars, Jupiter, Saturne) est portée par un système d'orbes: un “orbe parécliptique”, un “orbe incliné”, un “orbe déférent”, un “orbe rotateur” et un “orbe de l’épicycle”. La figure (i) représente alors la relation entre l'orbe incliné (orbe de P) et l'orbe déférent (orbe de Q), ainsi que la relation entre l'orbe déférent (orbe de P) et l'orbe rotateur (orbe de Q). Pour Vénus, les orbes portent les mêmes noms, mais la figure (ii) représente alors la relation entre l'orbe déférent (orbe de P) et l'orbe rotateur (orbe de Q), ainsi que la relation entre l'orbe rotateur (orbe de P) et l'orbe de l’épicycle (orbe de Q). Mercure compte davantage d'orbes sans toutefois introduire de combinaison nouvelle.

Pour chaque planète, la figure (iii) représente la relation entre l'orbe parécliptique (orbe de P) et l'orbe incliné (orbe de Q): le point P est alors l'un des nœuds. Mais cette figure représente aussi la relation entre le neuvième orbe (orbe de P) et le huitième, dit de l’écliptique (orbe de Q): le point P est alors le point vernal.

Précession des équinoxes

Observons à nouveau la figure (iii). Chez Ptolémée, les étoiles fixes sont attachées au dernier orbe et le mouvement relatif de cet orbe par rapport aux orbes inférieurs rend compte du mouvement de précession des équinoxes. Pour les astronomes arabes, depuis le Traité sur l'année solaire certainement dû aux Banū Mūsā (IX^e siècle),Footnote ¹ il existe un neuvième orbe au delà des étoiles fixes situées sur le huitième orbe, et c'est le mouvement relatif du huitième orbe par rapport au neuvième qui rend alors compte de la précession. Tous les orbes inférieurs des planètes, du Soleil et de la Lune héritent de ce mouvement comme les étoiles fixes (tandis que chez Ptolémée, le Soleil en était exemptFootnote ² ).

Chez Ibn al-Šāṭir, l'orbe parécliptique de chaque planète est un orbe dont le centre coïncide avec le centre du Monde, comme l’écliptique. L'orbe parécliptique reproduit, en plus petit, l'orbe de l’écliptique et y est attaché en son centre. Le parécliptique est animé d'un petit mouvement de rotation sur lui-même, par rapport au référentiel constitué par l'orbe de l’écliptique; mais comme l'axe de rotation du parécliptique coïncide avec l'axe de l’écliptique, et que la composée de deux rotations de même axe en est encore une, le parécliptique est aussi en rotation uniforme autour de son axe au sein du référentiel constitué par le neuvième orbe. Le mouvement de l'orbe de l’écliptique par rapport au neuvième est d'un degré toutes les soixante-dix années persanes. Le mouvement de l'orbe parécliptique par rapport au neuvième orbe est un peu plus rapide, comme l'avait vérifié al-Zarqālluh (XI^e siècle): il est d'un degré toutes les soixante années persanes, c'est-à-dire 0°1′ par année persane.Footnote ³

Figure initiale

Soit (i, j, k) la base canonique de ℝ³. Dans la figure initiale, les plans des orbes sont tous rabattus dans le plan de l’écliptique (i, j) par des rotations, les centres des orbes sont tous alignés dans la direction du vecteur j elle-même confondue avec la direction du point vernal; enfin, la ligne des nœuds, à l'intersection des plans de l'orbe incliné et du parécliptique, est orientée dans la direction du vecteur i, la tête étant du même côté que i. Le point O est le centre du Monde, P ₁ le centre du parécliptique de Vénus, et P ₂ le centre de son orbe incliné. Ces trois points sont confondus O = P ₁ = P ₂. Le point P ₃ est le centre de l'orbe déférent, P ₄ le centre de l'orbe rotateur, P ₅ le centre de l'orbe de l’épicycle, P est le centre de Vénus, cette planète étant elle-même un corps sphérique. La figure 2 précise la position de ces points: bien qu'ils soient alignés, on remarque que les rayons vecteurs $\overrightarrow {{P_n}{P_{n + 1}}} $ ne sont pas tous dans le même sens. Posons $\overrightarrow {O{P_3}} = 60\,{\bf j}$ , alors

$$\overrightarrow {{P_3}{P_4}} = 1; 41\,{\bf j},\;\overrightarrow {{P_4}{P_5}} = - 0; 26\,{\bf j},\;\overrightarrow {{P_5}P} = 43; 33\,{\bf j}$$

où le point-virgule sépare partie entière et partie fractionnaire.Footnote ⁴ La figure 2 est à l’échelle, mais il a fallu, pour ce faire, omettre le point O. Par souci de lisibilité, on préfèrera utiliser la figure 3, analogue mais pas à l’échelle.

Fig. 2.

Figure initiale à l’échelle

Fig. 3.

Figure initiale

Remarquons d'emblée que la figure initiale ne représente la position des orbes à aucun instant de l'histoire passée ou future du Monde: il faut appliquer au point P une suite de transformations géométriques pour obtenir la position de Vénus prédite ou observée à un instant donné.

Transformations géométriques

Dans les modèles d'Ibn al-Šāṭir, on chercherait en vain une description mathématique du mouvement en termes de transformations ou de différences entre deux instants. L'objet de la description mathématique est ici l'opération transformant une figure initiale (qui n'a d'existence qu'imaginaire) en une autre figure représentant la configuration des astres à un instant donné. Les transformations appliquées à Vénus P sont des rotations paramétrées par trois angles θ _a , θ_c, θ_p . Voici la liste de ces transformations:

$$R({P_5},\,{\bf k},\,{\theta _p}-{\theta _c}),\quad R\left( {{P_5},\,{\bf j},\,0^{circ} 30^{\prime}} \right),\quad R\left( {{P_5},\,{\bf i},\,0^{\circ} 5^{\prime}} \right),$$

$$R({P_4},\,{\bf k},\,2{\theta _c}),\quad R({P_4},\,{\bf j},\,3^{\circ} ),\quad R({P_4},\,{\bf i},-0^{\circ} 5^{\prime}),$$

$$R({P_3},\,{\bf k},-{\theta _c}),\quad R\left( {{P_2},\,{\bf k},\,{\theta _c}} \right),\quad R\left( {{P_2},\,{\bf i},\,0^{\circ} 10^{\prime}} \right),\quad R\left( {{P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}} \right).$$

Une rotation dont l'axe est dans la direction du vecteur i ou j a pour effet d'incliner le plan d'un orbe par rapport au plan de l'orbe qui le porte. La description d'Ibn al-Šāṭir ne laisse aucun doute quant à l'ordre dans lequel appliquer toutes ces transformations.

Pour obtenir la configuration des orbes à un instant donné, il faut donc appliquer toutes ces rotations aux points P ₃, P ₄, P ₅, P. L'image du point P ₃ entraîné par les mouvements de l'orbe parécliptique et de l'orbe incliné est:

$$R\left( {{P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}} \right) \,{\circ}\, R\left( {{P_2},\,{\bf i},\,0^{\circ} 10^{\prime}} \right) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf k},\,{\theta _c}){\rm (}{P_3}).$$

Quant au point P ₄, il est aussi entraîné par le mouvement de l'orbe déférent et devient:

$$R({P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf i},\,0^{\circ} 10^{\prime}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf k},\,{\theta _c}) \,{\circ}\, R({P_3},\,{\bf k}, -{\theta _c}){\rm (}{P_4}).$$

Le point P ₅ est aussi entraîné par le mouvement de l'orbe rotateur et devient:

$$\hskip -.3pc R({P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf i}, 0^{\circ} 10^{\prime}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf k},\,{\theta _c}) \,{\circ}\, R({P_3},\,{\bf k}, -{\theta _c})$$

$${\circ} R({P_4},\,{\bf i},-0^{\circ} 5^{\prime}) \,{\circ}\, R({P_4},\,{\bf j}, 3^{\circ} ) \,{\circ}\, R({P_4},\,{\bf k},\,2{\theta _c}){\rm (}{P_5}).$$

Enfin le point P, aussi entraîné par l'orbe de l’épicycle, devient:

$$\hskip -5.8pc R({P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf i}, 0^{\circ} 10^{\prime}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf k},\,{\theta _c})$$

$$\hskip 3.8pc{\circ} R({P_3},\,{\bf k}, -{\theta _c}) \,{\circ}\, R({P_4},\,{\bf i},-0^{\circ} 5^{\prime}) \,{\circ}\, R({P_4},\,{\bf j}, 3^{\circ} ) \,{\circ}\, R({P_4},\,{\bf k},\,2{\theta _c})$$

$$\hskip 1.5pc{\circ} R({P_5},\,{\bf i}, 0^{\circ} 5^{\prime}) \,{\circ}\, R({P_5},\,{\bf j}, 0^{\circ} 30^{\prime}) \,{\circ}\, R({P_5},\,{\bf k},\,{\theta _p}-{\theta _c}){\rm (}P).$$

Trajectoire

Dans le cadre théorique que l'on vient de décrire, l'on ne peut guère parler de trajectoire dans l'espace. Il y a bien toutefois une trajectoire dans l'ensemble des valeurs des paramètres:

$${\theta _a} = {\omega _a}t + {\phi _a}$$

$${\theta _c} = (\omega _m^ \odot -{\omega _a})t + (\phi _m^ \odot -{\phi _a})$$

$${\theta _p} = {\omega _p}t + {\phi _p}$$

où l'on a distingué par un exposant les grandeurs $\omega _m^ \odot , \,\phi _m^ \odot $ en rapport avec le modèle du Soleil.Footnote ⁵ On a:

$$\phi _m^{\odot} = 280; 9, 0,\quad \omega _m^{\odot} = 359; 45, 40 \hbox{par ann\'{e}e persane}$$

$${\phi _a} = 77;\,52,\,10,\,\quad {\omega _a} = 0;\,1 \hbox{par ann\'{e}e persane}$$

$${\phi _p} = 320;\,50,\,19,\,\quad {\omega _p} = 225; 1,\,48,\,41 \hbox{par ann\'{e}e persane}$$

Unité de temps

Le temps absolu est mesuré par le mouvement du neuvième orbe, seul orbe dont le mouvement propre est absolu (les mouvements propres des autres orbes sont relatifs à l'orbe qui les porte).

En un lieu donné, la durée entre deux culminations du Soleil (de midi à midi du lendemain) est approximativement constante.

Considérons deux unités possibles pour la mesure du temps:

• • le jour sidéral: durée d'une rotation complète du ciel visible autour du pôle nord (temps de retour d'une étoile fixe en son lieu par rapport au pôle nord et à l'horizon);

• • le jour solaire: durée entre deux culminations du Soleil (de midi à midi du lendemain).

Le neuvième orbe étant supposé mû d'un mouvement uniforme, le jour sidéral est de durée constante (sauf à tenir compte du mouvement de précession, le mouvement propre du huitième orbe qui est infime). En revanche, la durée du jour solaire varie au fil des saisons, ce n'est donc pas une bonne unité. En effet, soit midi au Soleil. Un jour sidéral plus tard, le Soleil aura presque effectué une rotation complète d'Est en Ouest à cause du mouvement du neuvième orbe; pas tout à fait cependant, à cause du mouvement du parécliptique du Soleil qui l'aura légèrement entraîné vers l'Est, d'un peu moins qu'un degré. Il ne sera donc pas encore midi au Soleil: le jour sidéral est plus court que le jour solaire. Cet effet se fera sentir d'autant plus que l'angle entre le parécliptique et la trajectoire diurne du Soleil sera faible (ainsi la différence sera plus importante lors des solstices que lors des équinoxes). De toute façon, le mouvement du Soleil le long de son parécliptique n'est pas uniforme.

Tout calendrier civil adoptant pourtant le jour solaire comme unité, il est commode de choisir comme unité astronomique un “jour solaire moyen”: durée entre deux culminations, non plus du Soleil, mais d'un point imaginaire mû d'un mouvement uniforme le long de l’équateur et faisant le tour du ciel exactement en même temps que le Soleil.Footnote ⁶ C'est l'unité adoptée par Ibn al-Šāṭir: al-yawm bi-laylatihi. Quand une date est donnée en temps civil (c'est-à-dire un certain nombre d'heures à compter de midi au Soleil), il faut la corriger en lui ajoutant une certaine “équation du temps”, ta‘dīl al-ayām, qui s'annule lors de l’équinoxe de printemps quand le Soleil et le point imaginaire coïncident sur l’équateur.Footnote ⁷ L'heure est un vingt-quatrième de jour solaire moyen.

Soit t ₀ la date d'un équinoxe de printemps, et t un instant donné quelconque, dates exprimées en jours solaires moyens. Les mêmes dates exprimées en temps civil (jours solaires, et heures comptées à partir de midi au soleil) seront notées τ ₀ et τ, et en jours sidéraux T ₀ et T.

Le point imaginaire se déplace le long de l’équateur à la vitesse du Soleil moyen; son ascension droite varie donc comme la longitude λ _m du Soleil moyen. À l'instant t, elle vaut λ _m (t) – λ _m (t ₀).

De combien le Soleil s'est-il déplacé vers l'Est depuis le dernier équinoxe de printemps? C'est précisément son ascension droite α(t).

Le jour sidéral est plus court que le jour solaire, d'autant qu'il faut au mouvement diurne pour récupérer le déplacement du Soleil vers l'Est. La vitesse du mouvement diurne est d'environ 15° par heure (elle est de 360° par jour sidéral, mais le jour sidéral compte un peu moins que 24 heures). On a donc:

$$(T-{T_0})-(\tau -{\tau _0}) \simeq \displaystyle{{\alpha (t)} \over {15^{\circ}}} \,{\rm heures}.$$

Il ne s'agit que d'une approximation, puisque pendant cette durée, le Soleil se déplace légèrement davantage vers l'Est…

De même, le jour sidéral est plus court que le jour solaire moyen, d'autant qu'il faut au mouvement diurne pour récupérer le déplacement du point imaginaire vers l'Est le long de l’équateur:

$$(T-{T_0})-(t-{t_0}) \simeq \displaystyle{{{\lambda _m}(t) - {\lambda _m}({t_0})} \over {15^{\circ}}} \,{\rm heures}.$$

Ibn al-Šāṭir donne λ _m (t ₀) = –2°1′7′′. L’équation du temps est doncFootnote ⁸ :

$$E = (t-{t_0})-(\tau -{\tau _0}) \simeq \displaystyle{{ - {\lambda _m}(t) - 2^{\circ} 1^{\prime}7^{\prime \prime} + \alpha (t)} \over {15^{\circ}}} \,{\rm heures}.$$

Chez Ibn al-Šāṭir, l'unité de temps est le jour solaire moyen, ou l'année persane de 365 jours solaires moyens. L’“époque” (c'est-à-dire l'instant t = 0) est à midi du 24 décembre 1331. Il s'agit probablement d'une date en temps solaire moyen (les valeurs des paramètres à cette date ayant été obtenus par le calcul à partir d'une observation antérieure,Footnote ⁹ un jour d’équinoxe de printemps). Le temps GMT (Greenwich Mean Time) est un temps solaire moyen mesurant comme précédemment le déplacement uniforme d'un point imaginaire le long de l’équateur, mais ce point ne coïncide pas avec le Soleil lors de l’équinoxe de printemps: l’équation du temps n'a donc pas la même origine que chez Ibn al-Šāṭir, elle est d'environ 8 min à l’équinoxe de printemps et elle s'annule vers le 15 avril. Il faut aussi tenir compte du décalage horaire à la longitude de Damas, 36°18′23′′. L’époque d'Ibn al-Šāṭir est donc, en temps GMT, le 24 décembre 1331 à 12 h 8 min –(36°18′23′′)/15° ≃ 9 h 43 min.

Si l'on utilise la méthode d'Ibn al-Šāṭir décrite dans cet article pour calculer la longitude de Vénus à cette date, en négligeant l'effet de l'opérateur M (cf. paragraphe suivant) et en appliquant la méthode d'interpolation de Ptolémée (voir plus loin), on trouve 264°23′. L'Institut de Mécanique Céleste et de Calcul des Éphémérides de l'Observatoire de ParisFootnote ¹⁰ donne 264°21′.

Transformations planes

Si R et S sont deux rotations dans l'espace, il existe une rotation T telle que R ∘ S = T ∘ R, à savoir, la rotation de même angle que S et dont l'axe est l'image par R de l'axe de S. Appliquons cette relation de commutation à toutes les composées de rotations décrites ci-dessus, de sorte à réécrire à droite toutes les rotations dont l'axe est dans la direction du vecteur k. Par exemple

$$R({P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf i}, 0^{\circ} 10^{\prime}) = R({P_2},\,{\bf u}, 0^{\circ} 10^{\prime}) \,{\circ}\, R({P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a})$$

où le vecteur u est l'image de i par R(P ₁, k, θ _a ). On fait de même avec les inclinaisons des plans des petits orbes. Il existe donc une composée de rotations M telle que l'image du point P soit

$$M \,{\circ}\, R\left( {{P_2},\,{\bf u}, 0^{\circ} 10^{\prime}} \right) \left( {P^{\prime}} \right)$$

où

$$P^{\prime} = R({P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf k},\,{\theta _c}) \,{\circ}\, R({P_3},\,{\bf k}, -{\theta _c})$$

$${\circ} R({P_4},\,{\bf k}, 2{\theta _c}) \,{\circ}\, R({P_5},\,{\bf k},\,{\theta _p}-{\theta _c}){\rm (}P).$$

On introduit de même les points P′₃, P′₄, P′₅ suivants (voir Fig. 4):

$${P^{\prime}_3} = R({P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf k},\,{\theta _c}){\rm (}{P_3})$$

$${P^{\prime}_4} = R({P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf k},\,{\theta _c}) \,{\circ}\, R({P_3},\,{\bf k}, -{\theta _c}){\rm (}{P_4})$$

$${P^{\prime}_5} = R({P_1},\,{\bf k},\,{\theta _a}) \,{\circ}\, R({P_2},\,{\bf k},\,{\theta _c}) \,{\circ}\, R({P_3},\,{\bf k}, -{\theta _c}) \,{\circ}\, R({P_4},\,{\bf k}, 2{\theta _c}){\rm (}{P_5}).$$

Fig. 4.

Transformation planes

Tous ces points sont dans le plan de la figure initiale: calculer leurs positions relève entièrement de la géométrie plane.

Les équations de Vénus

Le calcul de la position du point P′ revient à résoudre trois triangles rectangles (voir Fig. 4). Ceci est expliqué dans le chapitre 23 de la Nihāyat al-Sūl. On calcule d'abord l'angle e _c (θ _c ) = (OP′₃ ,OP′₅) appelé “équation du centre”:

$${e_c}\left( {{\theta _c}} \right) = - \arcsin \left( {\displaystyle{{{P_3}{P_4}\sin {\theta _c} + {P_4}{P_5}\sin {\theta _c}} \over {O{P_5^{\prime}}}}} \right)$$

où

$$O{P^{\prime}_5} = \sqrt {{{\left( {{P_3}{P_4}\sin {\theta _c} + {P_4}{P_5}\sin {\theta _c}} \right)}^2} + {{\left( {O{P_3} + {P_3}{P_4}\cos {\theta _c} - {P_4}{P_5}\cos {\theta _c}} \right)}^2}}. $$

On calcule ensuite une autre “équation” e(θ _c ,θ_p ) = (OP′₅ ,OP′):

$$e\left( {{\theta _c},{\theta _p}} \right) = \arcsin \left( {\displaystyle{{{P_5}P\sin \left( {{\theta _p} - {e_c}\left( {{\theta _c}} \right)} \right)} \over {OP^{\prime}}}} \right)$$

où

$$OP^{\prime} = \sqrt {{{\left( {{P_5}P\sin \left( {{\theta _p} - {e_c}\left( {{\theta _c}} \right)} \right)} \right)}^2} + {{\left( {O{{P^{\prime}}_5} + {P_5}P\cos \left( {{\theta _p} - {e_c}\left( {{\theta _c}} \right)} \right)} \right)}^2}}. $$

La position de P′ est alors donnée par OP′ et par l'angle suivant:

$$({\bf j},\overrightarrow {OP^{\prime}} ) = {\theta _a} + {\theta _c} + {e_c}({\theta _c}) + e({\theta _c},\,{\theta _p}).$$

On remarque que:

$${e_c}(360^{\circ} -{\theta _c}) = -{e_c}({\theta _c})$$

$$e(360^{\circ} -{\theta _c}, 360^{\circ} -{\theta _p}) = -e({\theta _c},\,{\theta _p}).$$

Fonction de deux variables et interpolation

Les valeurs de e _c (θ _c ) et e(θ _c ,θ_p ) devront être reportées dans des tables; mais e(θ _c ,θ_p ) est fonction de deux variables, et il faudrait donc construire une table pour chaque valeur de θ _c . Les astronomes, à partir de PtoléméeFootnote ¹¹ utilisaient dans ce contexte une méthode d'interpolation visant à calculer une valeur approchée de e(θ _c , θ_p ) au moyen d'un produit d'une fonction de θ _c par une fonction de θ _p . À θ _p donné, Ibn al-Šāṭir interpole les valeurs de e entre e(0, θ _p ) et e(180°, θ _p ) au moyen de la formule suivante (qui n'est pas linéaire en θ _c ):

$$e({\theta _c},\,{\theta _p}) \simeq e(0,\,{\theta _p}) + \chi \,({\theta _c}) (e(180^{\circ}, \,{\theta _p})-e(0,\,{\theta _p})).$$

Le coefficient d'interpolation χ est défini par:

$$\chi \left( {{\theta _c}} \right) = \displaystyle{{\max \left \vert {e\left( {{\theta _c}, \cdot} \right)} \right \vert - \max \left \vert {e\left( {0, \cdot} \right)} \right \vert} \over {\max \left \vert {e\left( {180^{\circ}, \cdot} \right)} \right \vert - \max \left \vert {e\left( {0, \cdot} \right)} \right \vert}}.$$

Ce coefficient est fonction d'une seule variable, on peut donc le calculer pour une série de valeurs de θ _c et en faire une table. Pour ce faire, on remarque que le maximum max |e(θ _c ,⋅)| est atteint quand la droite (O,P′) est tangente au cercle de l'orbe de l’épicycle. On a alorsFootnote ¹²

$$\max \left \vert {e\left( {{\theta _c}, \cdot} \right)} \right \vert = \arcsin \displaystyle{{{P_5}P} \over {O{{P^{\prime}}_5}}}$$

(pour mieux comprendre l'effet de cette méthode d'interpolation, voir les figures 5 et 6 où l'on a tracé les surfaces représentatives de e(θ _c ,θ_p ) et de l'erreur commise en appliquant la formule approchée ci-dessus – les axes sont gradués en degrés).

Fig. 5.

Surface représentative de la fonction $\left( {{\theta _c},{\theta _p}} \right) \mapsto e\left( {{\theta _c},{\theta _p}} \right)$

Fig. 6.

$\left( {{\theta _c},{\theta _p}} \right) \mapsto \left( {e\left( {0,{\theta _p}} \right) + \chi \left( {{\theta _c}} \right)\left( {e\left( {180^{\circ}, {\theta _p}} \right) - e\left( {0,{\theta _p}} \right)} \right)} \right) - e\left( {{\theta _c},{\theta _p}} \right)$ .

Trigonométrie sphérique

On va à présent calculer les coordonnées sphériques du point R(P ₂,u, 0°10′)(P′) par rapport à l’écliptique. L'angle θ _ℓ formé entre le vecteur u et la direction du point P′ vaut

$$\theta_\ell= \theta_c + e_c(\theta_c) + e(\theta_c\comma\, \theta_p)+ 90^{\circ}.$$

L’étude du triangle sphérique ABC (voir Fig. 7) donne:

$${\rm tan}(\overrightarrow {OC}, \,\overrightarrow {OA} ) = {\rm cos}(0^{\circ} 10^{\prime}) \times {\rm tan}\,{\theta _\ell}. $$

Fig. 7.

Coordonnées de R(P ₂,u, 0°10′)(P′)

La longitude du point R(P ₂,u, 0°10′)(P′) par rapport à l’écliptique, en prenant la direction du point vernal, c'est-à-dire j, comme origine, est donc (au moins quand |θ _ℓ | < 90°)

$${\rm \arctan}\; (\rm cos(0 ^{\circ} 10^\prime) \times \tan {\theta}_\ell)- 90^{\circ} + {\theta_a}$$

et sa latitude est:

$$\hskip-6pt (\hskip2pt \overrightarrow {\hskip-4pt OA}, \overrightarrow {\hskip-4pt OB} ) = {\rm arcsin}({\rm sin}(0^{\circ} 10^{\prime}) \times {\rm sin}\,{\theta _\ell} ).$$

Les inclinaisons des petits orbes

Les rotations qui composent M ont leurs axes contenus dans le plan de l'orbe incliné OCB et sont d'angles petits (3° au plus). Elles auront peu d'effet sur la longitude de R(P ₂,u, 0°10′)(P′). Nous avons tracé la surface représentative de l'erreur Δλ(θ _c ,θ_p ) commise si l'on néglige M (voir Fig. 8).

Fig. 8.

Erreur en longitude si l'on néglige M

En revanche, l'effet de M et les inclinaisons des plans des petits orbes ont justement été introduits dans ce modèle afin de rendre compte des variations en latitude de Vénus. Hélas, les axes des rotations qui composent M ne passent pas par le point O, et de telles rotations sont difficiles à étudier en coordonnées sphériques.Footnote ¹³ Ibn al-Šāṭir se contente ici d'une description qualitative de l'effet en latitude de M. Nous donnons, figure 9, la surface représentative de la latitude de Vénus comme fonction des deux variables θ _c et θ _p .

Fig. 9.

Latitude de Vénus

Comparaisons

Le modèle que nous avons restitué dans le commentaire mathématique ci-dessus est le premier modèle décrit par Ibn al-Šāṭir dans le chapitre vingt-cinq de la Nihāyat al-Sūl dont nous donnons l’édition critique. On voit que les inclinaisons des plans des orbes sont conçues dans l'idée de reproduire les effets décrits dans l’Almageste. L'inclinaison de l'orbe incliné, variable dans l’Almageste mais constante chez Ibn al-Šāṭir, minime, n'a que peu d'influence sur le résultat final. Ibn al-Šāṭir envisage ensuite une variante plus proche de la théorie des Hypothèses planétaires.Footnote ¹⁴ À la figure 10, nous donnons les latitudes de Vénus pendant cinq ans, à partir de l’“époque” choisie par Ibn al-Šāṭir, calculées de quatre manières différentes: (1) par l'IMCCE de l'Observatoire de Paris, (2) en suivant la méthode strictement ptoléméenne de l’Almageste mais avec les paramètres d'Ibn al-Šāṭir à l’époque,Footnote ¹⁵ (3) au moyen du premier modèle d'Ibn al-Šāṭir censé reproduire la théorie de l’Almageste, et (4) au moyen du second modèle d'Ibn al-Šāṭir censé reproduire les Hypothèses planétaires.

Fig. 10.

Comparaisons