Gˇ
pMC∞
1. Introduction
Soit p un nombre premier, soient
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}:= \mathrm{Gal}(\bar{{\mathbb{Q}}}_p/{\mathbb{Q}}_p)$
le groupe de Galois absolu de
${\mathbb{Q}}_p$
,
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\subset {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
le groupe de Weil,
${\mathscr{W}}{\mathscr{D}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
le groupe de Weil-Deligne et
$G:= \mathrm{GL}_2({\mathbb{Q}}_p)$
. Soit L une extension finie de
${\mathbb{Q}}_p$
, que l’on suppose assez grandeFootnote
1
et qui sera notre corps des coefficients ; on parle d’une L-représentation pour désigner une représentation sur un L-espace vectoriel. La correspondance de Langlands locale p-adique fait correspondre les L-représentations continues de dimension 2 de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
et les L-représentations Banachiques de G. Cet article est consacré à la poursuite du programme de géométrisation de cette correspondance, initié par Colmez, Dospinescu et Niziol dans [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a], sur le modèle de la correspondance classique. Plus précisément, on étend les résultats de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a] aux représentations de de Rham de poids quelconque en utilisant des coefficients non triviaux.
1.1 Les revêtements du demi-plan de Drinfeld et son système local
On note C le complété d’une clôture algébrique de
${\mathbb{Q}}_p$
,
$\breve{{\mathbb{Q}}}_p$
le complété de l’extension maximale non ramifiée de
${\mathbb{Q}}_p$
et
$\breve{{\mathbb{Z}}}_p$
son anneau des entiers.
Soit
${{\mathrm{D}}}$
l’algèbre de quaternion non scindée sur
${\mathbb{Q}}_p$
, i.e. l’unique corps gauche tel que
$\mathrm{inv}_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{D}}}=\tfrac{1}{2}$
. On note
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}\subset {{\mathrm{D}}}$
l’unique ordre maximal de
${{\mathrm{D}}}$
,
$\varpi_{{{\mathrm{D}}}}\in {{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
une uniformisante et
$\check {G}:= {{\mathrm{D}}}^{\times }$
le groupe des éléments inversibles de
${{\mathrm{D}}}$
.
Le demi-plan p-adique de Drinfeld est défini comme
\begin{align*}{\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}:= {\mathbb{P}}^1_{{\mathbb{Q}}_p}\setminus {\mathbb{P}}^1({\mathbb{Q}}_p).\end{align*}
Cet espace admet naturellement une structure d’espace analytique rigide sur
${\mathbb{Q}}_p$
et une action de G par homographie, compatible avec cette structure. Le théorème de représentabilité de Drinfeld (cf. [Reference DrinfeldDri76]) donne une interprétation modulaire de cet espace. Plus précisément, il définit un espace formel
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
sur
$\breve{{\mathbb{Z}}}_p$
à partir d’un problème de modules de quasi-isogénies de certains
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-modules formels, les
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-modules formels spéciaux. On note
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}:= \breve{{{\mathrm{M}}}}_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}\otimes_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}C$
où
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}$
est la fibre générique de
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
. D’après le théorème de Drinfeld, les composantes connexes de
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}$
s’identifient alors à
${\mathbb{H}}_{C}:= {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}C$
; plus précisément,
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}\cong {\mathbb{H}}_{C}\times {\mathbb{Z}}$
en décomposant suivant la hauteur de la quasi-isogénie du problème de modules.
Le problème de modules fournit alors un
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-module formel spécial universel sur
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
dont le module de Tate définit un
${\mathbb{Z}}_p$
-système local étale de rang 4 sur
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}$
que l’on note
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}^+$
. Pour
$n\geqslant 1$
un entier, on définit
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^n$
, le n-ième étage de la tour de Drinfeld qui trivialise le système local de torsion
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}^+/\varpi_D^n$
. C’est un revêtement galoisien de
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^0:= \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}$
de groupe de Galois
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}^{\times }/(1+\varpi_D^n{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}})$
et donc en particulier c’est un C-espace analytique rigide qui est Stein. On note
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
le système projectif non complété des
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^n$
. L’espace
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^n$
est muni d’une action de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
compatible avec son action sur C ; il est donc muni d’une action de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G\times \check {G}$
. De plus, les flèches de transition
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n+1}\rightarrow \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}$
sont équivariantes sous l’action de ces trois groupes.
On a un morphisme
$\nu\colon {\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G\times \check {G}\rightarrow {\mathbb{Q}}_p^{\times }$
donné par
${\mathrm{rec}}\otimes{\det}^{-1}\otimes \mathrm{nrd} $
où
$\det$
est le déterminant de G, nrd la norme réduite de
$\check {G}$
et
${\mathrm{rec}} \colon {\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\rightarrow {\mathbb{Q}}_p^{\times }$
le morphisme de réciprocité donné par le quotient
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\rightarrow {\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\mathrm{ab}}$
et l’isomorphisme du corps de classe
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\mathrm{ab}}\cong {\mathbb{Q}}_p^{\times }$
normalisé de sorte que le frobenius arithmétique soit envoyé sur p. Rappelons que l’ensemble prodiscret
$\pi_0(\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty})=\varprojlim_n \pi_0(\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n})$
des composantes connexes de la tour est un espace homogène principal sous l’action de
${\mathbb{Q}}_p^{\times }$
et que l’action de
$ {\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G\times \check {G}$
sur ces composantes connexes est donnée par
$\nu$
(cf. le numéro 7.3.2).
Pour
${{\mathrm{H}}}^{\bullet}$
une théorie cohomologique (i.e. contravariante) raisonnable, en particulier celle de de Rham ou de Hyodo-Kato, on pose
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^{\bullet}(\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}):= \varinjlim_n {{\mathrm{H}}}^{\bullet}(\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}).\end{align*}
En inversant p, on définit un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local étale sur
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}$
et ses revêtements, par
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}:= {\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}^+\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Q}}_p$
. Ce système local est
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G\times \check {G}$
-équivariant. Le système local qui nous intéresse est la
${\mathbb{Q}}_p$
-algèbre symétrique associée à ce système local, soit
\begin{align*}\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}:= \bigoplus_{k\geqslant 0}\operatorname{Sym}^k_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}.\end{align*}
Notons qu’il admet un réseau
$\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}^+_{\mathrm{Dr}}$
défini de façon similaire, mais qui n’est pas stable sous l’action de G et
$\check {G}$
. On définit finalement
${\mathbb{V}}$
, puis sa L-algèbre symétrique
$\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}$
, en appliquant
$L\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\cdot$
à
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}$
puis en tordant par un L-caractère lisse approprié pour rendre l’action de
$p\in \check {G}$
triviale. Ces systèmes locaux ont naturellement des réseaux que l’on note
${\mathbb{V}}^+$
et
$\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}^+$
respectivement. On peut alors définir la cohomologie (pro)étale de
$\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}$
, qui est naturellement un L-espace vectoriel muni d’une action de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G\times \check {G}$
.
1.2 Cohomologie étale du système local p-adique et correspondance de Langlands p-adique
1.2.1 Représentations de de Rham et objets associés
Rappelons que l’on note L notre corps des coefficients, qui est une extension finie de
${\mathbb{Q}}_p$
. On suppose que L est assez gros, en particulier, qu’il contient l’extension quadratique non ramifiée de
${\mathbb{Q}}_p$
et on fixe une injection
${{\mathrm{D}}}\hookrightarrow M_2(L)$
donnant
$\check {G}\hookrightarrow \mathrm{GL}_2(L)$
. On définit
\begin{align*}P_+:= \{(\lambda_1,\lambda_2)\in {\mathbb{N}}^2\mid \lambda_2\gt \lambda_1\geqslant 0\},\end{align*}
que l’on appelle, dans notre contexte, l’ensemble des poids réguliers positifs. À
$\lambda \in P_+$
on associe
$\lvert \lambda\rvert = \lambda_1+\lambda_2\in {\mathbb{N}}$
et
$w(\lambda)=\lambda_2-\lambda_1\in {\mathbb{N}}$
. Si V est une L-représentation de de Rham de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
de dimension 2, dont les poids de Hodge-Tate
$\lambda_1$
et
$\lambda_2$
sont tels que
$\lambda =(\lambda_1,\lambda_2)\in P_+$
, on dit simplement que V est à poids
$\lambda$
et on lui associe les objets suivants :
-
– Un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
module de rang 2 sur
$L\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}$
, défini par
\begin{align*}{\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V):=\varinjlim_{{ [K:{\mathbb{Q}}_p]\lt \infty }}( {V\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}} )^{{\mathscr{G}}_K}.\end{align*}
-
– Une L-représentation
$\mathrm{WD}(V):= \mathrm{WD}({\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V)[1])$
de
${\mathscr{W}}{\mathscr{D}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
obtenue par la recette de Fontaine (cf. [Reference FontaineFon94]), où [k] signifie que l’on multiplie l’action du frobenius
$\varphi$
par
$p^{k}$
. -
– Une L-représentation localement algébrique irréductible
$\mathrm{LL}^{\mathrm{lalg}}(V)$
de G définie de la façon suivante : par la correspondance de Langlands locale, on associe à
$\mathrm{WD}(V)$
une L-représentation lisse (de dimension infinie) de G notée
$\mathrm{LL}^{\infty}(V):= \mathrm{LL}(\mathrm{WD}(V))$
puis, à partir du poids
$\lambda$
, on pose où
\begin{align*}W_{\lambda}^*:=\operatorname{Sym}_L^{w(\lambda)-1}\otimes_L{\det}^{\lambda_1}\!,\quad \mathrm{LL}^{\mathrm{lalg}}(V):= \mathrm{LL}^{\infty}(V)\otimes_L W_{\lambda}^*,\end{align*}
$\operatorname{Sym}_L^{k}$
est la puissance symétrique k-ième de la L-représentation régulière de G, i.e. celle obtenue en faisant agir naturellement G sur
$L^2$
.
-
– Une L-représentation localement algébrique irréductible
$\mathrm{JL}^{\mathrm{lalg}}(V)$
de
$\check {G}$
définie de la façon suivante : par la correspondance de Jacquet-Langlands locale, on associe à
$\mathrm{LL}^{\infty}(V)$
une L-représentation lisse irréductible (de dimension finie) de
$\check {G}$
notée
$\mathrm{JL}^{\infty}(V):= \mathrm{JL}(\mathrm{LL}^{\infty}(V))$
puis, à partir du poids
$\lambda$
, on pose où
\begin{align*}{\check{W}}_{\lambda}:=\operatorname{Sym}_L^{w(\lambda)-1}\otimes_L{\mathrm{nrd}}^{\lambda_1}\!,\quad \mathrm{JL}^{\mathrm{lalg}}(V):= \mathrm{JL}^{\infty}(V)\otimes_{L} {\check{W}}_{\lambda},\end{align*}
$\operatorname{Sym}_L^{k}$
est la puissance symétrique k-ième de la L-représentation régulière de
$\check {G}$
, identifiée à un sous-groupe de
$\mathrm{GL}_2(L)$
.
-
– Une L-représentation unitaire continue
${\boldsymbol{\Pi}}(V)$
de G obtenue par la correspondance de Langlands p-adique dont on note
${\boldsymbol{\Pi}}(V)'$
le dual stéréotypique, i.e. le dual continu muni de la topologie de la convergence uniforme sur les compacts.
Notons que les représentations
$\mathrm{LL}^{\mathrm{lalg}}(V)$
et
$\mathrm{JL}^{\mathrm{lalg}}(V)$
ne dépendent que du L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module
${\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V)$
et du poids
$\lambda$
. Un point fondamental est la relation entre
${\boldsymbol{\Pi}}(V)$
et
$\mathrm{LL}^{\mathrm{lalg}}(V)$
: les vecteurs localement algébriques de
${\boldsymbol{\Pi}}(V)$
sont précisément
$\mathrm{LL}^{\mathrm{lalg}}(V)$
, i.e.
\begin{align*}{\boldsymbol{\Pi}}(V)^{\mathrm{lalg}}=\mathrm{LL}^{\mathrm{lalg}}(V).\end{align*}
On continue à supposer que V est à poids réguliers positifs. On dit que :
-
– V est cuspidale si
$\mathrm{WD}(V)$
est absolument irréductible ou, de manière équivalente, si
$\mathrm{LL}^{\infty}(V)$
est cuspidale en tant que L-représentation lisse. Dans ce cas,
$N=0$
sur
${\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V)$
, ce qui signifie que V est potentiellement cristalline, -
– V est exceptionnelle si
$\mathrm{WD}(V)\cong \chi_1\oplus \chi_2$
où
$\chi_1,\chi_2\colon {\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\rightarrow L^{\times }$
sont deux caractères tels que
$\chi_1\chi_2^{-1}=\lvert {\mathrm{rec}} \rvert_p^{\pm 1}$
ou, de manière équivalente,
$\mathrm{LL}^{\infty}(V)$
est le tordue par un caractère lisse de l’unique extension de la L-représentation triviale de G par la L-représentation de Steinberg lisse de G. Dans ce cas,
$N=0$
sur
${\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V)$
, V est cristalline et
$\mathrm{JL}^{\infty}(V)$
est un caractère lisse, -
– V est spéciale si V est exceptionnel ou bien si
$N\neq 0$
(ce qui signifie que N est d’ordre maximal puisque
${\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V)$
est de rang 2). De manière équivalente, V est spéciale non exceptionnelle si
$\mathrm{LL}^{\infty}(V)$
est le tordue par un caractère lisse de la L-représentation de Steinberg lisse de G et dans ce cas, V est semi-stable à torsion près, non cristabéline et
$\mathrm{JL}^{\infty}(V)$
est un caractère lisse : ces dernières propriétés impliquent elles aussi que V est spéciale.
–Notons que si V est cuspidale ou spéciale, alors V est absolument irréductible sauf si V est spéciale et
$w(\lambda)=1$
.
1.2.2 Résultat principal
On peut maintenant énoncer le résultat principal.
Théorème 1.1.
Soit V une L-représentation absolument irréductible de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} $
de dimension
$\geqslant 2$
.
-
(1) Si V est de dimension 2 et spéciale ou cuspidale alors, en tant que L-représentation de
$G\times \check {G}$
, on a un isomorphisme topologique
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{{\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}} ( V\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) \cong {\boldsymbol{\Pi}}(V)'\otimes_{L}\mathrm{JL}^{\mathrm{lalg}}(V).\end{align*}
-
(2) Dans tous les autres cas
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{{\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}} ( V\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) = 0.\end{align*}
Remarque 1.2.
-
– On définit
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) := \bigoplus_{k\in {\mathbb{N}}}\varinjlim_n{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, \operatorname{Sym}^k_L{\mathbb{V}}(1) ) $
plutôt que la cohomologie étale prise directement dans
$\operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1)$
. De plus, on se restreint ici aux poids positifs mais en considérant
$\varinjlim_m{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1-m) ) $
, on pourrait supprimer cette hypothèse. -
– Pour
$\operatorname{Sym}^0_{L}{\mathbb{V}}(1)\cong {\mathbb{Q}}_p(1)$
(i.e pour des coefficients constants) ce résultat a été démontré dans [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a]. Le théorème 1.1 répond à la question posée dans [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Remarque 0.3(ii)] ; une différence importante est ce qui se passe en niveau 0 où l’on voit apparatre des représentations spéciales irréductibles au lieu de caractères. Le traitement de ce cas utilise des techniques dérivées comme on l’explique au paragraphe 1.2.3. -
– On retrouve le fait frappant de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Remarque 0.3(i)] que la cohomologie étale du système local
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) $
est de Hodge-Tate avec les poids attendus, comme si
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
était une courbe algébrique. -
– En suivant [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN23], il est probablement possible de déterminer la structure complète du
$ {\mathscr{W}}{\mathscr{D}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G\times \check {G}$
-module
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{\bar{{\mathbb{Q}}}_p}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) $
sous la forme d’une décomposition factorisée à la Emerton (cf. [Reference EmertonEme06]). Nous espérons y revenir dans un travail ultérieur.Footnote
2
La structure de la preuve est similaire à celle de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a] sauf dans le cas spécial (cf. la section 12) ; une différence essentielle est que l’on doit remplacer les théorèmes de comparaison pour les coefficients triviaux par des théorèmes de comparaison pour les systèmes locaux (nos systèmes locaux sont très particuliers, ce qui nous permet de nous rattacher au cas des coefficients triviaux plutôt que de prouver un théorème de comparaison à partir de zéro). Les étapes sont les suivantes :
-
– La flèche naturelle
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) \hookrightarrow{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) $
identifie la cohomologie étale au sous-espace des vecteurs G-bornés ; en particulier, cette flèche est injective. Symboliquement, on écrira (1.1)L’argument est très similaire à celui pour les coefficients triviaux (cf. [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Proposition 2.12]), sur lequel il repose, mais une petite différence est que
\begin{equation}{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) \cong {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ^{G\text{-}{{\mathrm{b}}}}.\end{equation}
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}^+(1) ) $
contient de la torsion.
-
– On a une décomposition du L-système local
(1.2)obtenue à partir de la combinatoire des foncteurs de Schur. Dans cette décomposition, les
\begin{equation}\operatorname{Sym}{\mathbb{V}}=\bigoplus_{\lambda\in P^+}{\mathbb{V}}_{\lambda}\otimes_L {\check{W}}_{\lambda},\end{equation}
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
sont des L-systèmes locaux G-équivariants sur lesquels
$\check {G}$
opère trivialement. On obtient donc une décomposition similaire de la cohomologie proétale.
-
– Les L-systèmes locaux
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
sont des opers p-adiques isotriviaux, ce qui permet de décrire leur cohomologie proétale en termes de formes différentielles et de la relier aux cohomologies de de Rham et de Hyodo-Kato de l’espace. Ce diagramme fondamental reliant les différentes cohomologies sera décrit plus en détail dans la section 1.4.1 de l’introduction.
Le premier point nous ramène à calculer
$\mathrm{Hom}_{{\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}} ( V\, , \,{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} (\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \,\operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) $
dont on considère ensuite les vecteurs G-bornés pour obtenir le premier point du théorème 1.1. Le calcul de cette multiplicité dans la cohomologie proétale est extrêmement différent dans le cas spécial et cuspidal. Pour le second point du théorème 1.1, on suit l’argument de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN23, Théorème 5.10] qui est un peu moins technique que la preuve de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Théorème 2.15]. Cet argument repose sur une variante du théorème 1.1 où on calcule une multiplicité G-équivariante plutôt que galoisienne (théorème 1.3 ci-dessous). De plus, ce théorème est une étape essentielle dans le calcul de la multiplicité d’une représentation spéciale dans la cohomologie proétale. Si
$\Pi$
est une L-représentation unitaire de Banach de G de longueur finie, on note
${\mathbf{V}}(\Pi)$
la représentation de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
qui lui est associée par le foncteur
${\mathbf{V}}$
de Colmez (cf. [Reference ColmezCol10]). Supposons que
$\Pi$
est telle que ses vecteurs localement algébriques s’écrivent
\begin{align*}\Pi^{\mathrm{lalg}}\cong W\otimes_L\Pi^{\infty},\end{align*}
où W est une L-représentation algébrique de G et
$\Pi^{\infty}$
une L-représentation lisse de G, alors on dit que
-
–
$\Pi$
est cuspidale (ou cuspidale) si
$\Pi^{\infty}$
n’est pas nul et cuspidale ; ceci est équivalent à ce que
${\mathbf{V}}(\Pi)$
soit cuspidale, -
–
$\Pi$
est exceptionnelle si
$\Pi^{\infty}$
est l’unique extension d’un caractère lisse par la représentation de Steinberg lisse tordue par ce même caractère, -
–
$\Pi$
est spéciale si
$\Pi$
si
$\Pi$
est exceptionnelle ou bien si
$\Pi^{\infty}$
est la représentation de Steinberg lisse tordue par un caractère lisse.
En particulier, si
$\Pi$
est spéciale ou cuspidale, alors
$\Pi^{\mathrm{lalg}}\neq 0$
et donc
${\mathbf{V}}(\Pi)$
est de Rham à poids de Hodge-Tate distincts.
Théorème 1.3.
Soit
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire admissible absolument irréductible de G.
-
(1) Si
$\Pi$
est spéciale ou cuspidale, on a un isomorphisme de L-représentations de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times \check {G}$
,
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{G} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ) \cong {\mathbf{V}}(\Pi)\otimes_{L}\mathrm{JL}^{\mathrm{lalg}}({\mathbf{V}}(\Pi)).\end{align*}
-
(2) Dans tous les autres cas,
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{G} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ) =0.\end{align*}
Le calcul dans le cas cuspidal est à peu de choses près le même que celui de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a]. Premièrement, la cohomologie de Hyodo-Kato de la tour est décrite dans [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a]. À partir de [Reference Dospinescu and Le BrasDlB17], on utilise un argument de changement de poids expliqué dans [Reference ColmezCol19] pour obtenir la conjecture de Breuil-Strauch en poids supérieurs, ce qui permet de décrire le complexe de de Rham associé à
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
en tant que représentation de
$G\times \check {G}$
. Le calcul se fait ensuite à partir du diagramme fondamental.
1.2.3 Le cas spécial
Le calcul dans le cas spécial est très différent.
Tout d’abord, on utilise le résultat de la thèse de Schraen (cf. [Reference SchraenSch10]) pour obtenir la multiplicité dérivée du dual des vecteurs localement analytiques d’une représentation de la forme
${\boldsymbol{\Pi}}(V)$
, pour V une représentation spéciale, dans le complexe de de Rham. Définissons cette catégorie dérivée. On note
${\mathscr{D}}(G,L)$
l’anneau des distributions localement analytiques sur G à coefficients dans L et on considère la catégorie dérivée des
${\mathscr{D}}(G,L)$
-modules à caractère central fixé ; on note alors
${\mathbf{Hom}}$
les homorphismes dans cette catégorie dérivée.
Pour
$\Pi$
une L-représentation de G on note
$\Pi^{\mathrm{lan}}$
la sous-représentation des vecteurs localement analytiques et
$(\Pi^{\mathrm{lan}})'$
son dual stéréotypique, qui est un
${\mathscr{D}}(G,L)$
-module. On note
$(\Pi^{\mathrm{lan}})'[-1]$
l’objet de cette catégorie dérivée concentré en degré 1 et on note
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} (\breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) $
le complexe de de Rham de la tour de Drinfeld associé au système local ; ce complexe définit un élément de la catégorie dérivée en question. La version du résultat de Schraen que l’on démontre est la suivante.
Proposition 1.4.
Soit V une L-représentation spéciale de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
. Alors, on a un isomorphisme de
$(\varphi,N)$
-modules filtrés munis d’une action de
${\mathscr{W}}{\mathscr{D}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times \check {G}$
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( ({\boldsymbol{\Pi}}(V)^{\mathrm{lan}})'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ) \cong {\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V)\otimes_L \mathrm{JL}^{\mathrm{lalg}}(V).\end{align*}
Remarque 1.5.
-
– La structure de
$(\varphi,N)$
-module filtré sur l’entrelacement dérivé provient du complexe de de Rham. L’isomorphisme de Hyodo-Kato munit le complexe de de Rham d’une structure de
$(\varphi,N)$
-module filtré (dérivé) et la filtration est la filtration de de Rham. -
– L’action de
$\check {G}$
apparat ici naturellement contrairement à [Reference SchraenSch10]. Par ailleurs, la partie algébrique provient du système local, et considérer la tour
$\breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}$
plutôt que le demi-plan permet d’obtenir les torsions par les caractères lisses de
$\check {G}$
. -
– En réalité, ce ne sont pas vraiment les vecteurs localement analytiques de
${\boldsymbol{\Pi}}(V)$
qui apparaissent dans les calculs de Schraen, mais une représentation plus petite. Lorsque V est spéciale,
${\boldsymbol{\Pi}}(V)^{\mathrm{lan}}$
a 4 composantes de Jordan-Hölder. Schraen considère une L-représentation de G faisant intervenir 3 de ces 4 composantes et on montre que la dernière composante (une série principale localement analytique) n’intervient pas dans la cohomologie, ce qui permet d’adapter le résultat comme déjà annoncé dans [Reference SchraenSch10, Remarque 5.5].
On utilise le théorème de comparaison proétale-syntomique à coefficients isotriviaux pour se ramener à un calcul syntomique (le complexe syntomique est construit à partir du complexe de Hyodo-Kato et du complexe de de Rham par une version dérivée de la recette de Fontaine (cf. [Reference Colmez and FontaineCF00]) pour construire une représentation galoisienne à partir d’un
$(\varphi,N)$
-module filtré). On déduit de la proposition 1.4 le résultat suivant.
Théorème 1.6.
Soit V une L-représentation spéciale de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
, on a un isomorphisme de L-représentations de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times \check {G}$
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( ( {{\boldsymbol{\Pi}}(V)^{\mathrm{lan}}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ) \cong V\otimes_L \mathrm{JL}^{\mathrm{lalg}}(V).\end{align*}
Enfin, en considérant les vecteurs G-bornés et en invoquant (1.1), on obtient le théorème suivant, où
${\mathbf{Hom}}$
est cette fois considéré dans la catégorie dérivée des L[G]-modules topologiques à caractère central fixé.
Théorème 1.7.
Soit V une L-représentation spéciale de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
, on a un isomorphisme de L-représentations de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times \check {G}$
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( {\boldsymbol{\Pi}}(V)'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ) \cong V\otimes_L \mathrm{JL}^{\mathrm{lalg}}(V).\end{align*}
Remarque 1.8.
-
– Si
$w(\lambda)\neq1$
, on a et dans ce cas le premier point du théorème 1.3 est équivalent au théorème 1.7.
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) =0,\end{align*}
-
– Si
$w(\lambda)=1$
, ce qui correspond au cas des coefficients triviaux (à torsion près par un caractère), le théorème 1.7 est un analogue d’un résultat de Dat (cf. [Reference DatDat07]) selon lequel les représentations réductibles sont encodées dans le complexe et non dans un seul groupe de cohomologie. On obtient donc un renforcement de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a] puisque les méthodes dérivées font sortir des représentations réductibles de la bonne dimension au lieu des caractères.
1.3 Opers p-adiques isotriviaux sur les courbes Stein
Discutons maintenant de la première partie de cet article, qui concerne la cohomologie de certains systèmes locaux p-adiques sur les courbes Stein sur K ; ‘Stein sur K’ signifie ‘rigide Stein lisse sur K’. On se restreint à une classe très restrictive de systèmes locaux dont on sait définir une cohomologie de Hyodo-Kato et donc une cohomologie syntomique qui se compare à la cohomologie proétale du système local.
Soit
${{\mathrm{O}}}_K$
un anneau à valuation discrète complet de caractéristique mixte. On note K son corps des fractions,
$k := {{\mathrm{O}}}_K/{\mathfrak{m}}_K$
son corps résiduel que l’on suppose parfait et
$K_0\subset K$
la sous-extension maximale non ramifiée. On note
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
l’anneau des périodes de de Rham et
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}:=\mathrm{Frac}({{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+)$
son corps des fractions. C’est un anneau filtré muni d’une action de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} $
. La filtration est donnée par une uniformisante
$t\in \mathrm{Fil}^1{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
qui est définie à partir de
$\varepsilon =(1,\zeta_p,\zeta_{p^2},\dots)$
, une suite compatible de racines
$p^n$
-ièmes de l’unité, par
$t=\log([\varepsilon])$
. De même,
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+$
désigne l’anneau des périodes cristallines : il est muni d’un frobenius
$\varphi$
et d’une action de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} $
. On a
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+={{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+[u]$
et on étend le frobenius par
$\varphi(u)=pu$
et on définit la monodromie par
$N(u)=-1$
. On définit le morphisme
$\iota\colon {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+\hookrightarrow {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
par
$u\mapsto u_{p}=\log([p^{\flat}]/p)$
et ce plongement munit
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+$
d’une action de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} $
. Ces anneaux admettent des versions faisceautiques pour la topologie proétale qui sont définies dans [Reference ScholzeSch13] et que l’on utilisera librement dans ce texte.
1.3.1 Systèmes locaux isotriviaux
Soit X un schéma formel semi-stable sur
${{\mathrm{O}}}_K$
, on note
$X_K$
l’espace rigide associé que l’on suppose lisse sur K et
$X_k$
la fibre spéciale de X. Soit
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local proétale de Rham sur
$X_K$
. D’après Scholze et Brinon (cf. [Reference ScholzeSch13] et [Reference BrinonBri08]), on associe à
${\mathbb{V}}$
un fibré plat filtré
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
(cf. définition 2.4).
On note
${\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}:= {\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}, X_K$
le faisceau proétale des périodes cristallines sur
$X_K$
(cf. [Reference Tan and TongTT19]). On dit que
${\mathbb{V}}$
est isotrivial cristallin s’il existe un isocristal D sur k et un isomorphisme
$\varphi$
-équivariant, de faisceaux proétales sur
$X_K$
,
\begin{align*}{\mathbb{V}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}\cong D\otimes_{K_0} {\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}.\end{align*}
Dans ce cas,
${\mathcal{E}}\cong D\otimes_{K_0}{\mathcal{O}}_{X_K}$
et donc les seules données qui varient sont la filtration et la connexion sur
${\mathcal{E}}$
. Sous l’isomorphisme
${\mathcal{E}}\cong D\otimes_{K_0}{\mathcal{O}}_{X_K}$
, si la connexion prend la forme
$\nabla = \mathrm{id}\otimes d$
, on dit que le système local est fortement isotrivial. L’intérêt est que les systèmes locaux universels sur les espaces de Rapoport-Zink sont fortement isotriviaux : c’est une réinterprétation d’un théorème de Rapoport et Zink (cf. [Reference Rapoport and ZinkRZ96, Proposition 5.15]). En particulier, ce sont ces exemples qui ont motivé notre définition d’isotrivial. On démontre que les systèmes locaux isotriviaux forment une catégorie tannakienne pour le foncteur fibre
${\mathbb{V}}\rightsquigarrow D$
, ce qui permet de considérer des produits tensoriels et des foncteurs de Schur de systèmes locaux isotriviaux.
Pour associer une suite exacte fondamentale à
${\mathbb{V}}$
, on définit le faisceau proétale
\begin{align*}{\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D):= ( {D\otimes_{K_0} {\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}} )^{\varphi=1},\end{align*}
que l’on peut voir comme un espace de Banach-Colmez relatif. Pour la partie de Rham, on a le faisceau des périodes
${\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}$
et on a déjà mentionné la construction de Scholze et Brinon
${\mathbb{V}}\rightsquigarrow {\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla, \mathrm{Fil}^{\bullet})$
. À partir de là, on peut définir le faisceau proétale
\begin{align*}{\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{E}}):= D\otimes_{K_0} {\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}},\end{align*}
qui est muni d’une filtration introduite par celle de
${\mathcal{E}}$
et que l’on peut définir à partir de
${\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}$
, le gros faisceau des périodes. On a une inclusion
${\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)\hookrightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
.
Proposition 1.9.
Soit
${\mathbb{V}}$
un système local étale p-adique fortement isotrivial sur
$X_K$
. Soit D le
$\varphi$
-module sur
$K_0$
associé à
${\mathbb{V}}$
et
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
le fibré plat filtré associé à
${\mathbb{V}}$
. Alors, on a une suite exacte de faisceaux proétales sur
$X_K$
\begin{align*}0 \rightarrow {\mathbb{V}}\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{E}})/\mathrm{Fil}^0\rightarrow 0.\end{align*}
1.3.2 Cohomologie syntomique géométrique
On garde les notations précédentes et on suppose que
$X_K$
est Stein sur K. On considère
${\mathbb{V}}$
un système local proétale fortement isotrivial sur
$X_K$
à poids de Hodge-Tate positifs,Footnote
3
d’isocristal associé D et de fibré plat filtré
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
. Dans tous les cas on peut définir un complexe de de Rham
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) $
qui est naturellement filtré, puis l’isotrivialité forte donne un isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K)\otimes_{K_0}D.\end{align*}
Prenons garde que cet isomorphisme n’est pas filtré. Le complexe de Hyodo-Kato, défini comme le complexe de cohomologie rationnelle log-cristallin
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K):={{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{cr}}(X_k/{{\mathrm{O}}}^{0}_{K_0})\otimes_{{{\mathrm{O}}}_{K_0}}K_0$
où
${{\mathrm{O}}}^{0}_{K_0}$
est le log-schéma formel
$\mathrm{Spf}({{\mathrm{O}}}_{K_0})$
muni de la structure logarithmique induite par
${\mathbb{N}}\rightarrow {{\mathrm{O}}}_{K_0}$
,
$1\mapsto 0$
. Le complexe
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K)$
est muni d’un frobenius, d’un opérateur de monodromie et comme la notation le suggère, ne dépend pas du modèle X (cf. [Reference Colmez and NiziołCN20]). On peut définir le complexe de Hyodo-Kato isotrivial
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) :={{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K)\otimes_{K_0}D,\end{align*}
muni du frobenius produit et de l’opérateur de monodromie provenant de
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K)$
. On récupère gratuitement un isomorphisme de Hyodo-Kato isotrivial à partir de l’isomorphisme de Hyodo-Kato usuel (cf. 4.3.2), i.e.
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \otimes_{K_0}K\cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) .\end{align*}
À partir de là, on est en mesure de définir un complexe syntomique en suivant [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b] comme la fibre
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) := \big[ \big[ {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}_{K_0}^R\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+ \big]^{N=0,\varphi=1}\xrightarrow{\iota_{\mathrm{HK}}\otimes \iota_{\varpi}} ( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )/\mathrm{Fil}^{0}\big].\end{align*}
Cette cohomologie s’inscrit naturellement dans un diagramme, que l’on décrira dans un cas particulier au paragraphe suivant : on peut la comparer à la cohomologie proétale du système local, ce qui donne une méthode pour la calculer. Le théorème de comparaison que l’on obtient est le suivant.
Théorème 1.10.
Supposons que
$X_K$
soit Stein. Soit
$i\geqslant 0$
un entier. Il existe, dans
Footnote 4
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
un morphisme
\begin{align*}\alpha_{{\mathbb{V}}(i)}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(i) ) \rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(i) ) ,\end{align*}
qui est un quasi-isomorphisme strict après troncation par
$\tau_{\leqslant i}$
. En particulier, on a des isomorphismes topologiques
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^j_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(i) ) \cong {{\mathrm{H}}}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(i) ) ,\end{align*}
pour tout entier j tel que
$0\leqslant j \leqslant i$
.
On déduit ce résultat des théorèmes de Bosco (cf. [Reference BoscoBos23a] et [Reference BoscoBos23b]). Remarquons que, contrairement à [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b], on ne définit pas la cohomologie syntomique de manière surconvergente ; celle-ci est cachée dans le fait que comme X est Stein,
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K)$
s’identifie à la cohomologie rationnelle surconvergente rigide de
$X_k$
(cf. lemme 4.9).
1.3.3 Le diagramme fondamental pour les opers
On suppose maintenant que
$X_K$
est une courbe Stein géométriquement connexe. On note
\begin{align*}D_K:= D\otimes_{K_0}K,\quad \Omega_{{\mathcal{E}}}^1:= {\mathcal{E}}\otimes_{{\mathcal{O}}}\Omega^1, \quad {{\mathrm{B}}}_k:= {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+/t^k,\quad k\geqslant 0.\end{align*}
Notons
${\mathcal{E}}_{\lambda}$
le fibré plat filtré associé au système local
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
apparaissant dans la décomposition (1.2). Schneider-Stuhler (cf. [Reference Schneider and StuhlerSS91, 5]) calculent les connexions induites sur les gradués de
${\mathcal{E}}_{\lambda}$
et montrent que ce sont des isomorphismes sur les gradués intermédiaires. Cette condition apparat dans la littérature sous le nom d’oper, formalisée par Beilinson-Drinfeld (cf. [Reference Beilinson and DrinfeldBD05]), fondamentale dans la correspondance de Langlands géométrique : les opers permettent par exemple de décrire le centre de l’algèbre enveloppante universelle d’une algèbre de Kac-Moody.
D’après Beilinson-Drinfeld, si
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
est un oper de poids (a,b) (ces entiers correspondent aux sauts extrémaux de la filtration) on lui associe un couple de fibrés en droites, muni d’un opérateur différentiel d’ordre
$b-a+1$
, soitFootnote
5
$ (\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}},\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1,L_{\nabla})$
; alors, si on définit
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) := ( \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}\xrightarrow{L_{\nabla}} \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1) ,\end{align*}
muni de la filtration induite, on a un quasi-isomorphisme filtré
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) $
. Pour
${\mathcal{E}}_{\lambda}$
ce complexe est introduit dans [Reference Schneider and StuhlerSS91, 5] sous le nom de complexe de de Rham réduit et Schneider-Stuhler démontrent le quasi-isomorphisme filtré dans ce cas.
Si
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
, associé à un système local
${\mathbb{V}}$
, est un oper on dit simplement que
${\mathbb{V}}$
est un
${\mathbb{Q}}_p$
-oper. Dans cette situation, on obtient la proposition suivante.
Proposition 1.11.
Soit
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-oper de poids (a,b) fortement isotrivial d’isocristal associé D et de fibré associé
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
. Supposons que
$a\geqslant 0$
. Avec les mêmes notations que précédemment, on a une application naturelle entre suites exactes strictes.
Ce diagramme est
${\mathscr{G}}_K$
-équivariant et on a noté :
\begin{align*}X_{\mathrm{st}}^{1}( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D )[a]} )&:= ( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{N=0,\varphi=p^{1-a}}, \\X_{\mathrm{cr}}^{1}(D[a])&:= ( {D\otimes_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi=p^{1-a}}.\end{align*}
De plus, les flèches verticales sont strictes d’images fermées et
\begin{align*}\mathrm{Ker}(\gamma) = t^{a+b+1}( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{N=0,\varphi=p^{-a-b}}.\end{align*}
Remarque 1.12.
-
– Il n’est pas tout à fait clair comment obtenir un diagramme similaire pour les espaces Stein de dimension supérieure par la même méthode. De plus, on peut définir des
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
pour
$\mathrm{GL}_n({\mathbb{Q}}_p)$
avec
$n\gt 2$
, mais ce ne sont plus des opers si on recopie navement la définition au delà des courbes. -
– Une différence avec le cas des coefficients triviaux est que les images de
$t^aX_{\mathrm{cr}}^{1}(D[a])$
et
$D_K\otimes_Kt^a{{\mathrm{B}}}_{b+1}$
par les flèches horizontales de gauche ne sont pas forcément les mêmes. C’est cette différence qui explique la différence du traitement du cas spécial.
1.4 La cohomologie proétale de l’espace de Drinfeld
Pour finir cette introduction on va présenter ce que donnent les calculs de la section précédente dans le cas de l’espace de Drinfeld avant de discuter comment l’invariant
${\mathcal{L}}$
, qui encode la filtration, apparat dans ce diagramme. Pour le diagramme, on commence par considérer
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n$
un modèle sur
${\mathbb{Q}}_p$
du quotient
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}^n/p^{{\mathbb{Z}}}$
de l’espace de Drinfeld; on note
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^n:= {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^n_{{\mathbb{Q}}_p}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}C$
. On se restreint au système local
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
sur
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n$
où on a fixé
$\lambda\in P_+$
. Comme évoqué plus haut, c’est un L-oper isotrivial de poids
$(\lambda_1,\lambda_2-1)$
. On rappelle que l’on note
${\mathcal{E}}_{\lambda}$
le fibré plat filtré associé à
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
,
$\Omega_{\lambda}:= {\mathcal{E}}_{\lambda}\otimes_{{\mathcal{O}}} \Omega^1_{{}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n}$
et de plus
\begin{align*}\omega_{\lambda}^{\infty}:=\mathrm{Gr}_{\lambda_1}{\Omega}_{\lambda}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}),\quad {\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}:=\mathrm{Gr}_{\lambda_2-1}{\mathcal{E}}_{\lambda}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}).\end{align*}
Ces notations sont motivées par l’idée que
${\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}$
et
$\omega_{\lambda}^{\infty}$
sont respectivement les fonctions et les formes différentielles rigides analytiques sur la tour mais où l’action de G est tordue par un facteur d’automorphie. Dans le cas spécial, à torsion par un caractère lisse près, seule la restriction de ces faisceaux à
${\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
intervient. On note simplement
\begin{align*}\omega_{\lambda}:=\mathrm{Gr}_{\lambda_1}\Omega_{\lambda}({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}),\quad {\mathcal{O}}_{\lambda}:=\mathrm{Gr}_{\lambda_2-1}{\mathcal{E}}_{\lambda}({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}).\end{align*}
De plus, l’isomorphisme de Morita s’écrit
$\omega_{\lambda}\cong ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )'$
où
${\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}$
est une Steinberg localement analytique. On considère les vecteurs localement algébriques
${\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\hookrightarrow {\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}$
dont la surjection duale correspond alors à la surjection sur la cohomologie de de Rham de
${\mathcal{E}}_{\lambda}$
, i.e.
\begin{align*}( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )'\rightarrow ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}} )'\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) .\end{align*}
1.4.1 Le diagramme fondamental pour l’espace de Drinfeld
On fixe M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module de rang 2 qui est spécial ou cuspidal. Au début du numéro 1.2, on a défini
$\mathrm{LL}^{\mathrm{lalg}}(V)$
pour V une représentation de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
mais cette construction ne dépend que des poids et du L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module
$M={\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V)[1]$
; ainsi, on définit la L-représentation localement algébrique de
$\mathrm{LL}_M^{\lambda}$
de G par la même recette. De même, on a
$\mathrm{JL}_M$
, la L-représentation lisse de
$\check {G}$
obtenue par la correspondance de Jacquet-Langlands ; on ne considère pas la représentation localement algébrique puisque on a déjà traité la partie algébrique à l’aide de (1.2). On définit un foncteur sur les
$L[\check {G}]$
-modules
\begin{align*}X\mapsto X[M]:= \mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_M\, , \, X ) ,\end{align*}
que l’on va appliquer au diagramme pour traiter la partie
$\check {G}$
-équivariante. De plus, on note
\begin{align*}M_{\mathrm{dR}}:=( {M\otimes_{{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}}C} )^{{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}},\quad X_{\mathrm{st}}^{1}(M[\lambda_1]):= (M\otimes_{{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+)^{N=0,\varphi=p^{1-{\lambda_1}}}.\end{align*}
Alors,
$M_{\mathrm{dR}}$
est un L-module libre de rang 2. Pour alléger le diagramme, on définit pour
$\lambda\in P_+$
, les espaces de Banach-Colmez
\begin{align*}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}:= t^{\lambda_1}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+/t^{\lambda_2}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+,\quad {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0:= t^{\lambda_1}( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi^2=p^{w(\lambda)+1}},\quad {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^1:= t^{\lambda_1}( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi^2=p^{w(\lambda)-1}}.\end{align*}
Notons que les
${{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0$
et
${{\mathrm{U}}}_{\lambda}^1$
sont naturellement des
$( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi^2=1}\cong {\mathbb{Q}}_{p^2}$
-espaces vectoriels où
${\mathbb{Q}}_{p^2}$
est l’extension quadratique non ramifiée de
${\mathbb{Q}}_p$
.
Théorème 1.13.
Soit
$\lambda\in P_+$
et soit M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module de rang 2 absolument indécomposable. Quitte à tordre M par un caractère on peut supposer que
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) [M]={{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) [M].\end{align*}
-
– Si M est cuspidal on a un diagramme commutatif à lignes exactes d’espaces de Fréchet
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G$
-équivariants et les flèches verticales sont injectives. -
– Si M est spécial, alors
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) [M]\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_{C}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) \otimes \chi_M$
, où
$\chi_M$
est le caractère de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G$
défini par M et on a et les premières flèches, horizontale et verticale, sont injectives si et seulement si
$w(\lambda)\neq1$
.
De plus, dans les deux diagrammes, les flèches verticales sont d’images fermées.
1.4.2 L’invariant
${\mathcal{L}}$
À partir du L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module M et d’une filtration sur
$M_{\mathrm{dR}}$
on peut reconstruire la représentation V par la recette de Fontaine. Comme on est en rang 2, cette filtration est caractérisée par un poids (régulier) et une droite dans
$M_{\mathrm{dR}}$
que l’on appelle l’invariant
${\mathcal{L}}$
galoisien. Côté automorphe, cet invariant n’apparat pas directement dans
${\boldsymbol{\Pi}}(V)$
mais dans
${\boldsymbol{\Pi}}(V)^{\mathrm{lan}}$
: cette représentation localement analytique est réductible et les extensions entre les constituants de Jordan-Hölder sont caractérisées par un paramètre que l’on appelle l’invariant
${\mathcal{L}}$
automorphe. On peut retrouver
${\boldsymbol{\Pi}}(V)$
à partir de
${\boldsymbol{\Pi}}(V)^{\mathrm{lan}}$
en prenant son complété unitaire universel.
Dans le cas cuspidal,
${\boldsymbol{\Pi}}(V)^{\mathrm{lan}}$
a deux constituants de Jordan-Hölder : le socle est constitué des vecteurs localement algébriques, i.e.
$\mathrm{LL}_M^{\lambda}$
et le cosocle est le dual de
${\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}[M]$
. L’extension entre ces deux composantes est paramétrée par l’invariant
${\mathcal{L}}$
automorphe. Dans la ligne du bas du premier diagramme du théorème 1.13 on voit apparatre le dual de l’extension universelle et il s’agit de montrer que lorsqu’on fixe une droite
${\mathcal{L}}\subset M_{\mathrm{dR}}$
, l’extension obtenue est exactement celle de paramètre
${\mathcal{L}}$
(cf. corollaire 11.14).
Dans le cas spécial,
${\boldsymbol{\Pi}}(V)^{\mathrm{lan}}$
a quatre constituants de Jordan-Hölder dont une série principale qui ne joue aucun rôle. La représentation
${\boldsymbol{\Pi}}(V)^{\mathrm{lan}}$
est complètement déterminée par son invariant
${\mathcal{L}}$
automorphe i.e. une droite de l’espace
$\mathrm{Ext}^1_G ( {W}^*_{\lambda}\, , \, {\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda} ) $
qui est de dimension 2. Dans le second diagramme du théorème 1.13 le dual de l’extension universelle apparat dans la flèche horizontale du milieu i.e. deux copies du dual de
${W}^*_{\lambda}$
apparaissent dans le noyau de l’application
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_{C}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) \rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )'.\end{align*}
Dans cette extension fournie par la cohomologie, il s’agit d’identifier l’invariant
${\mathcal{L}}$
automorphe à l’invariant
${\mathcal{L}}$
galoisien (cf. théorème 12.24).
1.5 Plan de l’article
Cet article est constitué de deux parties faisant appel à des techniques indépendantes : la première traite des systèmes locaux isotriviaux sur les espaces rigides et leur cohomologie ; la seconde concerne le calcul de la cohomologie étale et proétale de la tour de Drinfeld à coefficients dans le système local universel.
La première partie est constituée de cinq sections :
-
– la section 2. est consacrée à des rappels sur les systèmes locaux étales p-adiques sur les espaces rigides,
-
– dans la section 3. on définit les systèmes locaux (fortement) isotriviaux et on montre la proposition 1.9 puis on décrit l’exemple des groupes p-divisibles sur les espaces de Rapoport-Zink,
-
– la section 4. est consacrée aux cohomologies de de Rham et de Hyodo-Kato isotriviales,
-
– dans la section 5. on définit la cohomologie syntomique et on démontre le diagramme fondamental de la proposition 1.11,
-
– dans la section 6. on démontre le théorème de comparaison 1.10.
-
– La seconde partie est constituée de sept sections :
-
– dans la section 7. on fait quelques rappels sur la tour de Drinfeld et le système local universel,
-
– la section 8. est consacrée à des rappels sur les représentations de G et
$\check {G}$
: les représentations algébriques, les représentations de Steinberg et la série spéciale localement analytique, -
– dans la section 9. on définit les cohomologies que l’on va étudier et on les décompose en des morceaux plus simples ; en particulier on relit les torsions par des caractères aux composantes connexes et on démontre la décomposition (1.2) puis réinterprète les calculs de Schneider-Stuhler pour établir, en partie, le théorème 1.13,
-
– dans la section 11., on démontre le cas cuspidal du théorème 1.13 avant de calculer la multiplicité des représentations cuspidales dans la cohomologie proétale du système local ; on en déduit le cas cuspidal des premiers points des théorèmes 1.1 et 1.3,
-
– dans la section 12., on démontre le cas spécial des premiers points des théorèmes 1.1 et 1.3 en suivant ce qu’on a expliqué dans le paragraphe 1.2.3,
-
– la section 13. est consacrée à la preuve du second point du théorème 1.1, ce qui complète sa démonstration.
PARTIE I. Cohomologie p -adique à coefficients isotriviaux
Soit
${{\mathrm{O}}}_K$
un anneau à valuation discrète, complet et de caractéristique mixte. On note
${\mathfrak{m}}_K\subset {{\mathrm{O}}}_K$
son idéal maximal,
$k := {{\mathrm{O}}}_K/{\mathfrak{m}}_K$
son corps résiduel que l’on suppose parfait, K son corps des fractions et
$\pi\in {\mathfrak{m}}_K$
une uniformisante de K. On note de plus
${{\mathrm{O}}}_{K_0}:= {{\mathrm{W}}}(k)$
l’anneau des vecteurs de Witt de k. Son idéal maximal est engendré par
$p\in {{\mathrm{O}}}_{K_0}$
et son corps résiduel est k. On note
$K_0$
son corps des fractions qui est muni d’un automorphisme de Frobenius
$\sigma \colon K_0\rightarrow K_0$
. On suppose que la valuation sur K est la valuation p-adique
$v_p\colon K^{\times } \rightarrow {\mathbb{Q}}$
, normalisée par
$v_p(p)=1$
. On note
$C= \widehat{\overline{K}}$
le complété d’une clôture algébrique de K,
${{\mathrm{O}}}_C$
son anneau des entiers et
${\mathfrak{m}}_C$
son idéal maximal. Le corps résiduel
$k_C={{\mathrm{O}}}_C/{\mathfrak{m}}_C$
est algébriquement clos.
Soit X un schéma formel sur
${{\mathrm{O}}}_K$
,
$X_K$
l’espace rigide associé sur K et
$X_k$
la fibre spéciale de X. Dans cette partie on suppose toujours que X est semi-stable et que
$X_K$
est lisse sur K. On note
$X_C:= X \otimes_K C$
l’extension des scalaires à C. De plus, X sera souvent une courbe Stein, qui est le cas qui nous intéresse pour la suite.
On note
${{\mathrm{C}}}_K$
la catégorie des K-espaces vectoriels localement convexes, qui est une catégorie semi-abélienne. Rappelons qu’un morphisme est dit strict s’il est relativement ouvert. On note
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_K)$
la
$\infty$
-catégorie dérivée bornée à gauche associée, construite à partir de la catégorie des complexes
${\mathscr{C}}({{\mathrm{C}}}_K)$
, et on note
${{\mathrm{D}}}({{\mathrm{C}}}_K)$
la catégorie homotopique de
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_K)$
. On renvoie à [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, 2.1] pour plus de détails sur ces objets que l’on utilisera librement, faisons néanmoins quelques rappels. Pour
$E^{\bullet}=(\cdots \rightarrow E^{n}\xrightarrow{d_n}E^{n+1}\rightarrow \cdots ) \in {\mathscr{C}}({{\mathrm{C}}}_K)$
, on définit les foncteurs de troncations usuelles et bêtes sur
${\mathscr{C}}(C_K)$
par
\begin{align*}\tau_{\leqslant n} E^{\bullet}& := \cdots \rightarrow E^{n-2}\rightarrow E^{n-1}\rightarrow \ker(d_n) \rightarrow 0 \rightarrow \cdots \\[5pt]\tau_{\geqslant n} E^{\bullet} &:= \cdots \rightarrow 0 \rightarrow \mathrm{coim}(d_{n-1}) \rightarrow E^{n}\rightarrow E^{n+1} \rightarrow \cdots \\[5pt]\sigma_{\leqslant n} E^{\bullet}& := \cdots \rightarrow E^{n-1} \rightarrow E^{n}\rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow \cdots \\[5pt]\sigma_{\geqslant n} E^{\bullet} &:= \cdots \rightarrow 0 \rightarrow 0 \rightarrow E^{n}\rightarrow E^{n+1} \rightarrow \cdots.\end{align*}
On dit que
$E^{\bullet}$
est strict si ses différentiels, les
$d_n$
, sont strictes et on dit qu’un morphisme de
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_K)$
est un quasi-isomorphisme strict si son cône est strict et exacte. On définit la cohomologie algébrique de
$E^{\bullet}$
comme la cohomologie usuelle
${{\mathrm{H}}}^n(E^{\bullet})$
dans la catégorie des K-espaces vectoriels ; elle sera munie de la topologie sous-quotient si nécessaire. On définit le complexe
$\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^n(E^{\bullet}):= \tau_{\leqslant n}\tau_{\geqslant n}(E^{\bullet})=(\mathrm{coim}(d_{n-1})\rightarrow \ker(d_n))$
. Précisons la catégorie d’arrivé de ce foncteur (cf. [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, 2.1.1]). Les foncteurs de troncations
$(\tau_{\leqslant n},\tau_{\geqslant n})$
définissent une t-structure sur
${{\mathrm{D}}}(C_K)$
. Le coeur à gauche de cette t-structure sera noté
${{\mathrm{L}}}{{\mathrm{H}}}({{\mathrm{C}}}_K)$
: tout objet de
${{\mathrm{L}}}{{\mathrm{H}}}({{\mathrm{C}}}_K)$
est représenté, à équivalence près, par un monomorphisme
$f\colon E\rightarrow F$
où F est en degré 0. On a un plongement naturel
$I\colon C_K \hookrightarrow {{\mathrm{L}}}{{\mathrm{H}}}({{\mathrm{C}}}_K)$
donné par
$E\mapsto (0\rightarrow E)$
et qui induit une équivalence
${{\mathrm{D}}}({{\mathrm{C}}}_K)\xrightarrow{\sim}{{\mathrm{D}}}({{\mathrm{L}}}{{\mathrm{H}}}({{\mathrm{C}}}_K))$
compatible à la t-structure. Ces t-structures se relèvent au niveau des dg catégories dérivées ce qui promeut l’équivalence précédente en une équivalence
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_K)\xrightarrow{\sim}{\mathscr{D}}({{\mathrm{L}}}{{\mathrm{H}}}({{\mathrm{C}}}_K))$
. Réciproquement, on a le foncteur partie classique
$C\colon {{\mathrm{L}}}{{\mathrm{H}}}({{\mathrm{C}}}_K)\rightarrow {{\mathrm{C}}}_K$
qui envoie un monomorphisme
$f\colon E\rightarrow F$
sur
$\mathrm{coker}(f)$
. Le foncteur
$\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^n$
s’interprète alors comme un foncteur
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_K)\xrightarrow{\sim}{\mathscr{D}}({{\mathrm{L}}}{{\mathrm{H}}}({{\mathrm{C}}}_K))$
. On remarque que
$C\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^n={{\mathrm{H}}}^n$
et on a un épimorphisme naturel
$\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^n\rightarrow I{{\mathrm{H}}}^n$
. Si l’évaluation en
$E^{\bullet}$
de cet épimorphisme, i.e.
$\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^n(E^{\bullet})\rightarrow I{{\mathrm{H}}}^n(E^{\bullet})$
, est un isomorphisme, alors on dit que la cohomologie
$\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^i(E^{\bullet})$
est classique.
Pour la définition et les propriétés du produit tensoriel complété dérivé à droite
$\widehat{\otimes}_K^R$
on renvoie à [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, 2.1.5].
2. Systèmes locaux
2.1 Systèmes locaux
Dans ce numéro, on fait quelques rappels sur les systèmes locaux (pro)étales et on introduit quelques notations. Soit
$X_K$
un espace rigide sur K que l’on suppose lisse. On note
$X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
(resp.
$X_{K, \mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
) le site étale (resp. proétale) associé. On va considérer des sous-catégories de topos associés à ces sites.
2.1.1 Systèmes locaux étales
On suit la définition de de Jong des systèmes locaux étales. Pour plus de détails on renvoie à [Reference de JongdeJ95] mais aussi à [Reference Kedlaya and LiuKL15, 1.4].
Définition 2.1.
-
– On fixe
$m\geqslant 1$
un entier. Soit
$\mathrm{Loc}(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}};{\mathbb{Z}}/p^m)$
la catégorie des faisceaux de
${\mathbb{Z}}/p^m$
-modules qui sont localement constants pour la topologie étale et de rang fini. -
– Soit
$\mathrm{Loc}_p^+( {X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}} ) := \varprojlim_m\mathrm{Loc}(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}};{\mathbb{Z}}/p^m)$
, où les morphismes de transition sont donnés par la multiplication par p, la catégorie des systèmes locaux étales en
${\mathbb{Z}}_p$
-réseaux. -
– Soit
$\mathrm{Loc}_p( {X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}} )$
le champ étale associé à la localisation en
$p^{{\mathbb{Z}}}$
de
$\mathrm{Loc}_p^+( {X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}} )$
. Ces objets sont appelés des
${\mathbb{Q}}_p$
-systèmes locaux étales.
La catégorie
$\mathrm{Loc}_p({X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}} )$
(resp.
$\mathrm{Loc}_p^+({X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}} )$
) est une catégorie
${\mathbb{Q}}_p$
-linéaire (resp.
${\mathbb{Z}}_p$
-linéaire) munie d’un produit tensoriel et d’un Hom interne. Soit
$\bar{x}\colon \mathrm{Spa}(C,C^+)\rightarrow X_K$
un point géométrique. On note
$\pi_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} (X_K\, , \, \bar x ) $
le groupe fondamental étale introduit par de Jong [Reference de JongdeJ95, 2], qui est un groupe topologique séparé et prodiscret (cf. [Reference de JongdeJ95, Lemma 2.7]), à l’instar du groupe fondamental algébrique
$\pi_1^{\mathrm{alg}}(X_K,\bar x)$
, défini à partir des revêtements étales finis, qui est un groupe topologique séparé profini (cf. [Reference de JongdeJ95, Theorem 2.10]). Rappelons que, d’après de Jong, le foncteur fibre est à valeurs dans la catégorie des
${\mathbb{Q}}_p$
-représentations de dimension finie du groupe fondamental, soit
\begin{align*}\omega_{\bar x} \colon \mathrm{Loc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}) \rightarrow \mathrm{Rep}_{{\mathbb{Q}}_p}\pi_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_K\, , \, \bar x ),\end{align*}
qui est une équivalence de catégories si
$X_K$
est géométriquement connexe. Pour
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local étale, on note
${\mathbb{V}}(\bar x):= \omega_{\bar x}{\mathbb{V}}$
sa fibre en
$\bar x$
. On déduit de la construction de de Jong que la catégorie
$\mathrm{Loc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
est naturellement une catégorie tannakienne. De plus, ce foncteur se restreint en une équivalence de catégories
\begin{align*}\omega_{\bar x} \colon \mathrm{Loc}_p^+(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}) \rightarrow \mathrm{Rep}_{{\mathbb{Z}}_p}\pi_1^{\mathrm{alg}} ( X_K\, , \, \bar x ) .\end{align*}
Remarque 2.2. On insiste que le localisé en
$p^{{\mathbb{Z}}}$
de
$\mathrm{Loc}_p^+( {X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}} )$
n’est pas un champ, qu’un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local est en réalité une donnée de descente et que tout
${\mathbb{Q}}_p$
-système local ne provient pas d’un réseau (cf. [Reference Kedlaya and LiuKL15, Example 1.4.5]). En termes de représentations des groupes fondamentaux, on voit qu’une
${\mathbb{Q}}_p$
-représentation d’un groupe prodiscret qui n’est pas profini n’admet pas nécessairement de réseau stable.
2.1.2 Systèmes locaux proétales
Le cas proétale est moins délicat. Premièrement, on peut recopier la définition 2.1 en remplaçant
$X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
par
$X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
pour obtenir
$\mathrm{Loc}_p^+(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
, la catégorie des
${\mathbb{Z}}_p$
-systèmes locaux proétales, puis
$\mathrm{Loc}_p(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
la catégorie des
${\mathbb{Q}}_p$
-systèmes locaux proétales. Une différence est que
$\mathrm{Loc}_p(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
est bien le localisé en
$p^{{\mathbb{Z}}}$
de
$\mathrm{Loc}_p^+(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
, puisque c’est déjà un champ (cf. 2.3). Le
${\mathbb{Z}}_p$
-système local proétale constant
$\widehat{{\mathbb{Z}}}_p := \varprojlim_m {\mathbb{Z}}/p^m$
permet de définir
$\mathrm{Loc}_p^+(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
comme la catégorie des
$\widehat{{\mathbb{Z}}}_p$
-modules localement constants de rang fini. De même, on définit
$\mathrm{Loc}_p(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
comme la catégorie des
$\widehat{{\mathbb{Q}}}_p$
-modules localement constants de rang fini, où
$\widehat{{\mathbb{Q}}}_p:= \widehat{{\mathbb{Z}}}_p\big [ \tfrac 1 {p}\big ] $
. Ces deux définitions sont équivalentes et on obtient directement que ces catégories sont munies de produits tensoriels et de Hom internes.
On note
$\nu \colon X _{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\rightarrow X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
le morphisme de sites naturel. Ce morphisme induit un foncteur
$\mathrm{Loc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\rightarrow \mathrm{Loc}_p(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
, donné par
${\mathbb{V}}\mapsto \widehat{{\mathbb{V}}}:= \nu^{*}{\mathbb{V}}$
. Rappelons un lemme de Kedlaya et Liu (cf. [Reference Kedlaya and LiuKL15, Lemma 9.1.11]) qui nous assure que sur un espace rigide, les catégories des systèmes locaux étales et proétales concident ; notons que cette équivalence de catégories n’est pas exacte.
Lemme 2.3.
Le foncteur naturel
$\mathrm{Loc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\rightarrow \mathrm{Loc}_p(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
est une équivalence de catégorie.
On définit la torsion de Tate pour les systèmes locaux proétales. Posons
$\widehat{{\mathbb{Z}}}_p(1):= \varprojlim_n \mu_{p^n}$
qui est un élément de
$\mathrm{Loc}^+_p(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
dont le
${\mathbb{Q}}_p$
-système local proétale associé est noté
$\widehat{{\mathbb{Q}}}_p(1)$
. On note
$\widehat{{\mathbb{Q}}}_p(-1):=\widehat{{\mathbb{Q}}}_p (1)^{\vee}$
le dual et pour
$k\in {\mathbb{Z}}$
,
$\widehat{{\mathbb{Q}}}_p(k):=\widehat{{\mathbb{Q}}}_p(1)^{\otimes k}$
si
$k\geqslant 0$
et
$\widehat{{\mathbb{Q}}}_p(k):= \widehat{{\mathbb{Q}}}_p(-1)^{\otimes -k}$
si
$k\leqslant 0$
.
2.2 Fibrés
Dans ce numéro, on garde les notations précédentes. En particulier,
$X_K$
désigne un espace rigide lisse sur K. on renvoie à [Reference ScholzeSch13, Definition 7.4] pour la définition suivante.
Définition 2.4. Un fibré plat filtré est un triplet
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
où :
-
–
${\mathcal{E}}$
est un fibré vectoriel sur
$X_K$
, i.e. un
${\mathcal{O}}_{X_K}$
-modules localement libres et de rang fini, -
–
$\nabla \colon {\mathcal{E}} \rightarrow {\mathcal{E}} \otimes_{{\mathcal{O}}_{X_K}} \Omega^1_{X_K}$
est une connexion plate, i.e. une application K-linéaire satisfaisant la règle de Leibniz et telle que
$\nabla^{(2)}\circ\nabla$
= 0 où
$\nabla^{(2)}\colon {\mathcal{E}} \otimes_{{\mathcal{O}}_{X_K}} \Omega^1_{X_K}\rightarrow {\mathcal{E}} \otimes_{{\mathcal{O}}_{X_K}} \Omega^2_{X_K}$
est l’extension de la connexion, -
–
$\mathrm{Fil}^{\bullet}$
une filtration sur
${\mathcal{E}}$
qui est finie, décroissante, exhaustive et séparée, i.e. une suite de sous-
${\mathcal{O}}_{X_K}$
-modules
$\{\mathrm{Fil}^{i}\}_{i\in {\mathbb{Z}}}$
d’un fibré
${\mathcal{E}}$
telle qu’il existe deux entiers
$a\leqslant b$
tels que
${\mathcal{E}}=\mathrm{Fil}^{a}\supseteq \dots \supseteq \mathrm{Fil}^{b}=0$
et telle que pour tout
$i\in [\![ a,b ]\!]$
,
$\mathrm{Fil}^{i}$
admet Zariski localement un supplémentaireFootnote
6
$\mathrm{Fil}_{i}$
tel que
${\mathcal{E}} = \mathrm{Fil}^{i}\oplus \mathrm{Fil}_{i}$
,
le tout tel que la connexion satisfait à la transversalité de Griffiths par rapport à la filtration, i.e. pour tout
$i\in {\mathbb{Z}}$
,
\begin{align*}\nabla \mathrm{Fil}^{i}\subseteq\mathrm{Fil}^{i-1}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X_K}}\Omega_{X_K}^1.\end{align*}
On note
$\mathrm{Vect}_{\nabla}^{\bullet}(X_K)$
la catégorie des fibrés plats filtrés.
Remarque 2.5. Rappelons que ce qui nous permet d’omettre la topologie en indice, sans ambiguté, est que la catégorie
$\mathrm{Vect}_{\nabla}^{\bullet}(X_K)$
ne dépend pas de la topologie (cf. [Reference ScholzeSch13, Lemma 7.3]), au sens où on a des équivalences naturelles
\begin{align*}\mathrm{Vect}_{\nabla}^{\bullet}(X_{K,\mathrm{an}})\xrightarrow{\sim}\mathrm{Vect}_{\nabla}^{\bullet}(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\xrightarrow{\sim} \mathrm{Vect}_{\nabla}^{\bullet}(X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}).\end{align*}
La seconde équivalence est notée
${\mathcal{E}} \rightarrow \widehat{{\mathcal{E}}}:= \nu^*{\mathcal{E}}$
.
2.2.1
${\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}^+$
-systèmes locaux
On renvoie à [Reference ScholzeSch13, Definition 6.1] pour la définition de
${\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}^{(+)}:={\mathbb{B}}_{\mathrm{dR},X_K}^{(+)}$
et à [Reference ScholzeSch13, Definition 6.8] pour la définition de
${\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR},X_K}^{(+)}:={\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR},X_K}^{(+)}$
(on rappelle que le produit tensoriel dans la définition doit être complété).
Définition 2.6
-
– Un
${\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}^+$
-système local est un faisceau proétale en
${\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}^+$
-modules qui est localement libre et de rang fini. -
– Un
${\mathcal{O}}{\mathbb{B}}^+_{\mathrm{dR}}$
-module plat est un faisceau proétale en
${\mathcal{O}}{\mathbb{B}}^+_{\mathrm{dR}}$
-modules, libre et de rang fini muni d’une connexion plate.
Un
${\mathcal{O}}{\mathbb{B}}^+_{\mathrm{dR}}$
-module plat
$({\mathcal{M}},\nabla)$
est dit associé à un élément
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
de
$\mathrm{Vect}_{\nabla}^{\bullet}(X_K)$
s’il existe un isomorphisme de faisceaux proétales
\begin{equation}{\mathcal{M}}\otimes_{{\mathcal{O}}{\mathbb{B}}^+_{\mathrm{dR}} }{\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}} \cong {\mathcal{E}} \otimes_{{\mathcal{O}}_{X_K}}{\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}},\end{equation}
compatible aux filtrations et connexions. Les filtrations sont les filtrations produits où
${\mathcal{M}}$
est muni de la filtration triviale,
${\mathcal{E}}$
est muni de la filtration
$\mathrm{Fil}^{\bullet}$
et
${\mathcal{O}}{\mathbb{B}}^+_{\mathrm{dR}}$
de sa filtration canonique.
Les
${\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}^+$
-systèmes locaux et les
${\mathcal{O}}{\mathbb{B}}^+_{\mathrm{dR}}$
-modules plats définissent naturellement des catégories et, d’après [Reference ScholzeSch13, Theorem 7.2], ces catégories sont équivalentes ; cette équivalence rappelle la correspondance de Riemann-Hilbert classique. Pour
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
un fibré plat filtré, on définit un
${\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}^+$
-système local par
\begin{align*}{\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^+({\mathcal{E}}):= \mathrm{Fil}^0( {{\mathcal{E}} \otimes_{{\mathcal{O}}_{X_K}}{\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}} } )^{\nabla=0}.\end{align*}
Cette formule définit un foncteur pleinement fidèle ; en effet, on a en tant que faisceaux étales
${\mathcal{E}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} = \nu_*( {{\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^+({\mathcal{E}})\otimes_{{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}^+}{\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}} } )$
qui est muni d’une connexion et d’une filtration induites par
${\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}}$
: ceci fournit la construction réciproque pour les fibrés associés. C’est essentiellement le théorème [Reference ScholzeSch13, Theorem 7.6].
Définition 2.7. Soit
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local (pro)étale. On dit que
${\mathbb{V}}$
est de Rham si
$\widehat{{\mathbb{V}}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathcal{O}}{\mathbb{B}}^+_{\mathrm{dR}}$
est associé à un fibré plat filtré
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
au sens de (2.1). Dans ce cas, les poids de Hodge-Tate de
${\mathbb{V}}$
sont les opposés des sauts de la filtration
$\mathrm{Fil}^{\bullet}$
sur
${\mathcal{E}}$
. Plus précisément, i est un poids de Hodge-Tate si et seulement si
\begin{align*} \mathrm{Fil}^{-i}{\mathcal{E}}\neq \mathrm{Fil}^{-i+1}{\mathcal{E}}._{\vphantom{1_{1_{1}}}} \end{align*}
Remarque 2.8. On pourrait définir les poids de Hodge-Tate de manière différente en utilisant les opérateurs de Sen (cf. [Reference ShimizuShi18]); d’après [Reference ScholzeSch13, Proposition 7.9] ces définitions sont équivalentes.
2.3 Opers
En général, les opers sont des fibrés plats filtrés sur les courbes munis de l’action d’une algèbre de Lie satisfaisant une certaine condition de transversalité. On renvoie à [Reference Beilinson and DrinfeldBD05] pour la définition générale et plusieurs propriétés que l’on rappellera. Techniquement, on ne s’intéresse ici qu’aux opers pour
$\mathrm{GL}_n$
mais on va s’autoriser à décaler la filtration pour faire apparatre les poids de Hodge-Tate.
2.3.1 Définition
Définition 2.9. Soit
$X_K$
une courbe rigide lisse sur K. Soit
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
un fibré plat filtré. On dit que
${\mathcal{E}}$
est un oper de poids (a,b), avec
$a,b\in {\mathbb{Z}}$
tels que
$b\geqslant a$
, s’il est de rang
$b-a+1$
et si
-
–
${\mathcal{E}}=\mathrm{Fil}^{-b}\supsetneq\dots\supsetneq\mathrm{Fil}^{-a}\supsetneq 0$
, -
– pour tout entier i tel que
$a\leqslant i \leqslant b$
, le quotient
$\mathrm{Gr}_i{\mathcal{E}}:= \mathrm{Fil}^{-i}/\mathrm{Fil}^{-i+1}$
est un fibré en droites, -
– l’application naturelleFootnote 7 induite par
$\nabla$
, est un isomorphisme pour tout entier i tel que
\begin{align*}\theta_i\colon \mathrm{Gr}_i{\mathcal{E}}\rightarrow \mathrm{Gr}_{i+1}{\mathcal{E}}\otimes_{{\mathcal{O}}_{X_K}}\Omega^1_{X_K},\end{align*}
$a\leqslant i\leqslant b-1$
.
Ainsi, si
${\mathbb{V}}$
est un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local de de Rham proétale, on dit que
${\mathbb{V}}$
est un
${\mathbb{Q}}_p$
-oper proétale si le fibré plat filtré associé est un oper. Notons que si cet oper est de poids (a,b) alors les poids de Hodge-Tate de
${\mathbb{V}}$
sont précisément
$a,a+1,\dots, b$
. Remarquons que si
$a=b$
,
${\mathcal{E}}$
est un fibré en droite et la filtration est caractérisée par le cran
$a\in {\mathbb{Z}}$
; réciproquement, tout fibré plat filtré de rang 1 est un oper.
Faisons quelques rappels de [Reference Beilinson and DrinfeldBD05, § 2], notamment comment associer à
$\nabla$
un opérateur différentiel
$L_{\nabla}$
d’ordre
$b-a+1$
entre fibrés en droites. Dans la théorie des équations différentielles ordinaires on sait comment associer à une équation linéaire d’ordre
$n\geqslant 1$
un système linéaire de n équations différentielles d’ordre 1 : c’est précisément cette idée que les opers géométrisent.
Notons
${\mathcal{O}}={\mathcal{O}}_{X_K}$
,
$\Omega^1=\Omega^1_{X_K}$
et
$\Omega_{{\mathcal{E}}}^1:= {\mathcal{E}}\otimes_{{\mathcal{O}}}\Omega$
. Soit
${\mathcal{D}}={\mathcal{D}}_{X_K}$
le faisceau des opérateurs différentiels sur
$X_K$
et
${\mathcal{D}}_k\subset {\mathcal{D}}$
le sous-faisceau des opérateurs différentiels d’ordre
$\leqslant k$
pour
$k\geqslant 0$
un entier. Notons que
${\mathcal{D}}$
est naturellement muni d’une structure de faisceau en anneaux filtré par les
${\mathcal{D}}_k$
. La connexion
$\nabla$
définit une structure de
${\mathcal{D}}$
-module sur
${\mathcal{E}}$
et on obtient une application
${\mathcal{D}} \otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}\rightarrow {\mathcal{E}}$
qui induit un isomorphisme
${\mathcal{D}}_{b-a}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}\xrightarrow{\sim} {\mathcal{E}}$
d’après la troisième condition dans la définition 2.9. Ceci donne un diagramme
qui définit un scindage
$ \Omega^{\otimes (a-b-1)}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}\rightarrow {\mathcal{D}}_{b-a+1}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}$
. Puisque la troisième condition dans la définition 2.9 fournit un isomorphisme
$\Omega^{\otimes (a-b)}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}\cong \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}$
, on obtient une application
$\Omega^{\otimes (-1)}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}\rightarrow {\mathcal{D}}_{b-a+1}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}$
et donc une application
$( {\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}} )^{\otimes(-1)}\rightarrow \otimes_{{\mathcal{O}}}( {\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}} )^{\otimes(-1)}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{D}}_{b-a+1}$
qui définit un opérateur différentiel
${\mathcal{B}}^{\otimes(-1)} \rightarrow {\mathcal{A}}^{\otimes(-1)}$
où
${\mathcal{B}}:= \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1$
et
${\mathcal{A}}:= \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}$
. Or, comme
${\mathcal{A}}$
et
${\mathcal{B}}$
sont des faisceaux inversibles, on a un isomorphisme canonique entre les opérateurs différentiels
${\mathcal{A}}\rightarrow {\mathcal{B}}$
et les opérateurs différentiels
${\mathcal{B}}^{\otimes(-1)}\rightarrow {\mathcal{A}}^{\otimes(-1)}$
. En effet, puisqu’on a un isomorphisme canonique
${\mathcal{B}}^{\otimes(-1)}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{A}}\cong {\mathcal{A}}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{B}}^{\otimes(-1)}$
, on obtient
\begin{align*}{\mathcal{B}}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{D}}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{A}}^{\otimes(-1)}\cong {\mathcal Hom}_{{\mathcal{O}}} ( {\mathcal{B}}^{\otimes(-1)}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{A}}\, , \, {\mathcal{D}} ) \cong {\mathcal Hom}_{{\mathcal{O}}} ( {\mathcal{A}}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{B}}^{\otimes(-1)}\, , \, {\mathcal{D}} ) \cong {\mathcal{A}}^{\otimes(-1)}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{D}}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{B}}\end{align*}
Ainsi, on obtientFootnote 8 finalement un opérateur différentiel
\begin{equation}L_{\nabla}\colon \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}} \rightarrow \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1.\end{equation}
C’est un opérateur différentiel d’ordre
$b-a+1$
et
$\sigma_{\nabla}^{b-a+1}=1$
d’après [Reference Beilinson and DrinfeldBD05, § 2.1], où
$\sigma_{\nabla}^{b-a+1}$
est le symbole principal d’ordre
$b-a+1$
défini naturellement comme la section
\begin{align*}\sigma_{\nabla}^{b-a+1}\in {{\mathrm{H}}}^0 ( X_K\,; \, {\mathcal{A}}^{\otimes(-1)}\otimes_{{\mathcal{O}}}{\mathcal{B}}\otimes_{{\mathcal{O}}}\Omega^{\otimes (a-b-1)} ) .\end{align*}
Réciproquement, à partir d’un opérateur différentiel d’ordre
$b-a+1$
, entre des faisceaux inversibles, de symbole principal inversible, on peut construire un oper de poids (a,b). Notons que
$\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}$
et
$\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1$
sont munis des filtrations à un cran
\begin{equation}\mathrm{Fil}^{i}\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}=\begin{cases}\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}&\text{ si } i\leqslant -b,\\0 & \text{ si } i\geqslant -b+1,\end{cases}\quad \mathrm{Fil}^{i}\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1=\begin{cases}\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1&\text{ si } i\leqslant -a,\\0 & \text{ si } i\geqslant -a+1.\end{cases}\end{equation}
2.3.2 Calculs locaux
On va détailler la forme locale des opers et l’opérateur différentiel associé. Supposons que X est un affinode tel qu’on peut trivialiser
${\mathcal{E}}$
et
$\Omega$
, i.e. tel que
\begin{align*}{\mathcal{E}}&=\bigoplus_{i=a}^{b}{\mathcal{O}} e_i,\quad \Omega = {\mathcal{O}} dt, \\\mathrm{Fil}^{-k}{\mathcal{E}} &= \bigoplus_{i=a}^{k}{\mathcal{O}} e_i,\ a\leqslant k \leqslant b, \quad \Omega^{\otimes (-1)}= {\mathcal{O}} \partial.\end{align*}
Ici, dt est une section de
$\Omega$
et
$\partial\in \Omega^{\otimes(-1)}$
est la section duale, vue comme dérivation, définie pour
$g\in {\mathcal{O}}$
par
$dg = \partial g dt$
. Dans ces conditions, on peut écrire
$\nabla$
comme dérivation sous la forme
$\nabla = \partial-Q$
avec Q une matrice de taille
$(b-a+1)\times (b-a+1)$
; de plus, après transformation de jauge (équivalence de connexions) on peut supposer que Q est la matrice compagnon associée à des fonctions
$q_a,\dots, q_b\in {\mathcal{O}}$
, i.e.
\begin{align*}Q=\begin{pmatrix} q_b & q_{b-1}& \cdots & \cdots & q_a\\[2pt] 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \ddots & &\vdots\\ \vdots & \ddots & \ddots &\ddots &\vdots\\[2pt] 0 & \cdots & 0 & 1& 0\end{pmatrix}.\end{align*}
Soit
$P=\sum_{i=0}^{\infty}a_i\partial^i$
une section de
${\mathcal{D}}$
, i.e. un opérateur différentiel, sous l’application
${\mathcal{D}}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}\rightarrow {\mathcal{E}}$
on obtient
\begin{align*}P\otimes e_a\mapsto \sum_{i=0}^{\infty}a_i(-\nabla)^ie_a=\sum_{i=0}^{\infty}a_iQ^ie_a.\end{align*}
Ceci permet d’expliciter la section
$\Omega^{\otimes (-1)}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}\rightarrow {\mathcal{D}}_{b-a+1}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}$
de la suite exacte (2.2) :
\begin{align*}\partial\otimes e_b\mapsto \partial^{b-a+1}\otimes e_a -\sum_{i=a}^{b}q_i\partial^{i-a}\otimes e_a = \colon L\otimes e_a.\end{align*}
En effet, il est clair que
$L\otimes e_a$
est bien une section de
$\partial\otimes e_b$
et il suffit de justifier que son image dans
${\mathcal{E}}$
par l’action
${\mathcal{D}}\otimes_{{\mathcal{O}}}\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}\rightarrow {\mathcal{E}}$
est nulle, or l’image de
$L\otimes e_a$
est
\begin{align*}Q^{b-a+1}-\sum_{i=a}^{b}q_iQ^{i-a}e_a=0,\end{align*}
puisque l’on reconnat exactement le polynôme caractéristique de Q. Finalement, on a montré que
$L_{\nabla}(fe_b)=L(f)e_adt$
pour
$f\in {\mathcal{O}}$
où
\begin{equation}L = \partial^{b-a+1} -\sum_{i=a}^{b}q_i\partial^{i-a}.\end{equation}
2.3.3 Scindage de la filtration
Lemme 2.10.
Supposons que
$X_K$
soit une courbe rigide lisse sur K. Soit
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
un oper de poids (a,b) sur
$X_K$
. Alors il existe des scindages K-linéaires
\begin{align*}{\mathcal{E}}&\cong \mathrm{Fil}^{-b}\oplus \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}},\\\Omega_{{\mathcal{E}}}^1&\cong \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1\oplus \Omega_{{\mathcal{E}}}^1/\mathrm{Fil}^{-a},\end{align*}
tel que les projections/inclusions de ces scindages induisent des diagrammes commutatifs.
Démonstration. On commence par décrire les scindages K-linéaires. La connexion induit un isomorphisme K-linéaire
\begin{align*}u\colon \mathrm{Fil}^{-b}\xrightarrow{\sim}\Omega_{{\mathcal{E}}}^1/\mathrm{Fil}^{-a},\end{align*}
que l’on obtient par récurrence à partir du troisième point dans la définition 2.9. On a un diagramme commutatif à lignes exactes.
Notons que la flèche
$L_{\nabla}\colon \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}\rightarrow \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1$
qui vient compléter le diagramme ne commute pas aux autres applications du diagramme (il suffit de remarquer que
$\mathrm{Fil}^{-b+1}$
n’est pas dans le noyau de
$\nabla$
).
La composée
\begin{align*}{\mathcal{E}} \xrightarrow{\nabla} \Omega_{{\mathcal{E}}}^1\xrightarrow{\mod \mathrm{Fil}^{-a}}\Omega_{{\mathcal{E}}}^1/\mathrm{Fil}^{-a} \xrightarrow{u^{-1}}\mathrm{Fil}^{-b+1},\end{align*}
nous donne une application
$r\colon {\mathcal{E}} \rightarrow \mathrm{Fil}^{-b+1}$
. Comme le diagramme (2.6) commute, r est une rétraction de l’inclusion
$\mathrm{Fil}^{-b}\rightarrow {\mathcal{E}}$
ce qui scinde la suite exacte du haut. Ceci définit une section K-linéaire
$s\colon \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}} \rightarrow {\mathcal{E}}$
et un isomorphisme
\begin{align*}{\mathcal{E}}\cong \mathrm{Fil}^{-b+1}\oplus \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}.\end{align*}
Pour la suite exacte du bas, la composée
\begin{align*}\Omega_{{\mathcal{E}}}^1/\mathrm{Fil}^{-a}\xrightarrow{u^{-1}}\mathrm{Fil}^{-b+1}\xrightarrow{}{\mathcal{E}}\xrightarrow{\nabla}\Omega_{{\mathcal{E}}}^1\end{align*}
nous donne une application
$\sigma \colon \Omega_{{\mathcal{E}}}^1/\mathrm{Fil}^{-a}\rightarrow \Omega_{{\mathcal{E}}}^1$
. Comme le diagramme (2.6) commute,
$\sigma$
est une section de la projection
$\Omega_{{\mathcal{E}}}^1\rightarrow \Omega_{{\mathcal{E}}}^1/\mathrm{Fil}^{-a}$
et scinde la suite exacte du bas. Ceci définit une rétraction K-linéaire
$\rho \colon \Omega_{{\mathcal{E}}}^1\rightarrow \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1$
et donc un isomorphisme
\begin{align*}\Omega_{{\mathcal{E}}}^1\cong \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1\oplus \Omega_{{\mathcal{E}}}^1/\mathrm{Fil}^{-a}.\end{align*}
Pour montrer que les diagrammes du lemme commutent, quitte à se restreindre à un ouvert convenable, on peut supposer que l’on est dans les conditions du numéro 2.3.2 dont on conserve les notations. On va calculer localement les sections/rétractions que l’on a définies. Pour
$i=a,\dots, b$
et
$f_{i}\in {\mathcal{O}}$
, on a (avec la convention
$e_{b+1}=0$
) :
\begin{align*}\nabla(f_ie_i)=(\partial f_i e_i-f_ie_{i+1}-q_{b+a-i}f_ie_a)dt\equiv (\partial f_i e_i-f_ie_{i+1})dt \mod \mathrm{Fil}^{-a}.\end{align*}
Ainsi
$\mathrm{Ker}(r) = \{\sum_{i=a}^{b}\partial^{b-i}f e_i \ ; \ f\in {\mathcal{O}}\}$
et la composée
$\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}\xrightarrow{s}{\mathcal{E}}\xrightarrow{\nabla} \Omega_{{\mathcal{E}}}^1$
s’explicite localement pour
$f\in {\mathcal{O}}$
par
\begin{align*}fe_b\mapsto \sum_{i=a}^{b}\partial^{b-i}f e_i \mapsto \partial^{b-a+1}fe_a-\sum_{i=a}^{b}q_{b+a-i}\partial^{b-i}f e_a.\end{align*}
L’image est bien dans
$\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1$
et en changeant les indices de la somme par
$j=a+b-i$
on reconnat l’expression de L (cf. (2.5)) i.e. on trouve que la composée précédente s’écrit
$fe_b\mapsto L(f)e_a=L_{\nabla}(fe_b)$
comme attendu. Ainsi, on a montré que le second diagramme du lemme commute.
On montre maintenant que le premier diagramme du lemme commute. Soit
$f=\sum_{i=a}^bf_ie_i\in {\mathcal{E}}$
qui s’écrit dans le scindage
${\mathcal{E}}\cong \mathrm{Fil}^{-b+1}\oplus \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}$
sous la forme
\begin{align*}f= \underbrace{\sum_{i=a}^b(f_i-\partial^{b-a}f_b)}_{=g\in \mathrm{Fil}^{-b+1}}+\underbrace{\sum_{i=a}^b\partial^{b-i}f_be_i}_{=h\in \mathrm{Gr}_{b}{\mathcal{E}}}.\end{align*}
Comme on a défini le scindage
$\Omega_{{\mathcal{E}}}^1\cong \Omega_{{\mathcal{E}}}^1/\mathrm{Fil}^{-a}\oplus \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1$
à partir de l’image par
$\nabla$
du scindage
${\mathcal{E}}\cong \mathrm{Fil}^{-b+1}\oplus \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}$
le scindage de
$\nabla f$
s’écrit
\begin{align*}\nabla f = \nabla g + \nabla h\in \Omega_{{\mathcal{E}}}^1/\mathrm{Fil}^{-a}\oplus \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1.\end{align*}
L’image par
$\rho \colon \Omega_{{\mathcal{E}}}^1\rightarrow \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1$
de
$\nabla h$
donne
\begin{align*}(\rho\circ \nabla)(f) = \partial^{b-a+1}f_be_a-\sum_{i=a}^{b}q_{b+a-i}\partial^{b-i}f_b e_a = L_{\nabla}(f_be_b).\end{align*}
Ainsi, on a montré que le premier diagramme du lemme commute.
Remarque 2.11. Le lemme 2.10 nous donne une autre façon de construire un opérateur différentiel à partir de la connexion
$\nabla$
et montre que cet opérateur différentiel est exactement
$\nabla$
. Il est important de noter que les scindages du lemme 2.10 ne sont pas
${\mathcal{O}}$
-linéaires puisqu’ils dépendent de la connexion. Je remercie Y. Zhou de m’avoir aidé à corriger et améliorer le lemme 2.10.
3. Systèmes locaux isotriviaux
3.1 Définitions et foncteurs fibres
3.1.1 Définition
Rappelons qu’un
$\varphi$
-module sur
$K_0$
est un
$K_0$
-espace vectoriel muni d’une application
$\sigma$
-linéaire bijective, que l’on appellera l’endomorphisme de Frobenius (ou simplement le frobenius). Un isocristal sur k est alors un
$\varphi$
-module sur
$K_0$
de dimension finie. Les isocristaux sur un corps parfait k forment une catégorie tannakienne que l’on note
$\mathrm{Iso}_k$
. On renvoie à [Reference Tan and TongTT19] pour la définition du faisceau proétale des périodes cristallines
${\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}:={\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}, X_K$
(cf. [Reference Tan and TongTT19, Definition 2.1, Definition 2.4]). Rappelons finalement que pour D un
$\varphi$
-module et
$k\in {\mathbb{Z}}$
un entier, on note D[k] le
$\varphi$
-module obtenu en multipliant l’endomorphisme de Frobenius par
$p^{k}$
.
Définition 3.1. Un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local (pro)étale
${\mathbb{V}}$
est isotrivial cristallin s’il existe un isocristal D sur k et un isomorphisme de faisceaux proétales,
\begin{align*}\psi \colon \widehat{{\mathbb{V}}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}} \cong D\otimes_{K_0}{\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}},\end{align*}
compatible avec l’endomorphisme de Frobenius. On appelle le couple
$(D,\psi)$
une isotrivialisation de
${\mathbb{V}}$
.
Remarque 3.2.
-
(1) Soit
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local isotrivial (cristallin). On note que l’on a
$\mathrm{rang}_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{V}}=\mathrm{rang}_{K_0}D$
, donc
${\mathbb{V}}$
est cristallin (au sens de Faltings cf. [Reference Tan and TongTT19, 1.0.2]). -
(2) On peut prendre une définition légèrement plus générale, en remplaçant D par un faisceau de
$\varphi$
-modules localement constant pour la topologie de Zariski. Tout ce que l’on fera devrait facilement s’adapter à ce cas.
3.1.2 Foncteur fibre cristalline
On note
$\mathrm{Litc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\subset\mathrm{Loc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
la sous-catégorie pleinement fidèle des
${\mathbb{Q}}_p$
-systèmes locaux étales qui sont isotriviaux cristallins. Le lemme suivant résume les propriétés de cette sous-catégorie :
Lemme 3.3.
-
(1) La sous-catégorie
$\mathrm{Litc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
de
$\mathrm{Loc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
est une sous-catégorie tannakienne. -
(2) Le foncteur
${\mathbb{D}} \colon \mathrm{Litc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\rightarrow \mathrm{Iso}_k$
, qui associe à
${\mathbb{V}}$
d’isotrivialisation
$(D,\psi)$
l’isocristal D, est un foncteur tensoriel, bien défini comme foncteur fibre.
Démonstration. La structure de catégorie tannakienne sur
$\mathrm{Litc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
est donnée par le foncteur fibre
${\mathbb{D}}$
. Premièrement, notons que si
${\mathbb{V}}$
est un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local isotrivial cristallin, alors l’isocristal associé est unique à isomorphisme près. En effet, d’après [Reference Tan and TongTT19, Corollary 2.26], on obtient
$\nu_{*}{\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}} = \underline{K_0}$
, le faisceau constant associé à
$K_0$
où l’on rappelle que
$\nu \colon X_{K,\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\rightarrow X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
est le changement de site. Ainsi, on définit
\begin{align*}{\mathbb{D}}\colon {\mathbb{V}}\mapsto \nu_*({\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{V}})_x,\end{align*}
où
$x\in X_K$
est un point quelconque. Ceci donne
${\mathbb{D}}({\mathbb{V}})=\nu_*({\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}})_x\otimes_{K_0}D=D$
et montre que l’association
${\mathbb{V}}\mapsto D$
est bien définie. Il est clair que
${\mathbb{D}}$
est tensoriel puisque
\begin{align*} {\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_1\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{V}}_2)=\nu_*({\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}})_x\otimes_{K_0}({\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_1)\otimes_{K_0}{\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_2))={\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_1)\otimes_{K_0}{\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_2).\end{align*}
Remarque 3.4. Cette construction n’est qu’un cas très particulier de [Reference Tan and TongTT19, Definition 3.12].
Un corollaire direct est que les constructions tensorielles appliquées à un système local isotrivial
${\mathbb{V}}$
sont aussi isotriviales. Plus précisément, soit
$\mu$
une partition d’un entier n et soit
$s_{\mu}$
le projecteur de Schur associé. Alors
$s_{\mu}\cdot{\mathbb{V}}$
est isotrivial d’isocristal associé
$s_{\mu}\cdot{D}$
. En particulier, pour tout entier
$k\in {\mathbb{N}}$
,
$\operatorname{Sym}_{{\mathbb{Q}}_p}^k{\mathbb{V}}$
est un système local isotrivial de
$\varphi$
-module associé
$\operatorname{Sym}^k_{K_0}{D}$
.
Pour
${\mathbb{V}}$
dans
$\mathrm{Litc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
on appellera simplement
${\mathbb{D}}({\mathbb{V}})$
l’isocristal associé à
${\mathbb{V}}$
. Soit D un isocristal sur k. On définit les faisceaux proétales
\begin{align*}{\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D):=( {{D}\otimes_{K_0}{\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}} } )^{\Phi=\mathrm{id}},\quad {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}^+(D):=( {{D}\otimes_{K_0}{\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}, X_K}^+ } )^{\Phi=\mathrm{id}},\end{align*}
où le frobenius
$\Phi$
est le produit tensoriel du frobenius sur D et de celui sur
${\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}$
. On rappelle que la torsion à la Tate pour les isocristaux est donnée par
$K_0[-1]$
qui est l’isocristal de dimension 1, muni du frobenius
$\varphi=(1/p) \sigma$
. En d’autres termes,
${\mathbb{Q}}_p(k)$
pour
$k\in {\mathbb{Z}}$
définit un système local isotrivial et
${\mathbb{D}}({\mathbb{Q}}_p(k))=K_0[-k]$
.
3.1.3 Foncteur fibre de Rham
Soit
${\mathbb{V}}$
un objet de
$\mathrm{Litc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})$
et soit
$D={\mathbb{D}}({\mathbb{V}})$
son isocristal associé. On a alors une inclusion
${\mathbb{V}}\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)$
. On veut décrire le quotient qui fait intervenir la partie de Rham. On commence par un lemme qui explicite le foncteur fibre
$\mathrm{Litc}_p(X_{K,\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\rightarrow \mathrm{Vect}_{\nabla}^{\bullet}(X_K)$
.
Lemme 3.5.
Le système local
${\mathbb{V}}$
est de Rham et le fibré associé
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
est muni d’une trivialisation
${\mathcal{E}}\cong D_K\otimes_K {\mathcal{O}}_{X_K}$
, où
$D_K:= D\otimes_{K_0}K$
. Cette trivialisation ne dépend que de l’isotrivialisation
$(D,\psi)$
de
${\mathbb{V}}$
.
Rappelons qu’on a défini pour la partie de Rham, à partir d’un élément
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
de
$\mathrm{Vect}_{\nabla}^{\bullet}(X_K)$
, des faisceaux proétales
\begin{align*}{\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{E}}):=( {\widehat{{\mathcal{E}}}\otimes_{\widehat{{\mathcal{O}}}_{X_K}}{\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}, X_K}} )^{\nabla=0},\quad {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^+({\mathcal{E}}):=\mathrm{Fil}^0 ( {\widehat{{\mathcal{E}}}\otimes_{\widehat{{\mathcal{O}}}_{X_K}}{\mathcal{O}}{\mathbb{B}}_{\mathrm{dR}, X_K}} )^{\nabla=0}.\end{align*}
On a alors un morphisme naturel
${\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{E}})$
qui est injectif. On note de plus le faisceau quotient
\begin{align*} {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^-({\mathcal{E}}):= {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}({\mathcal{E}})/{\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^+({\mathcal{E}}).\end{align*}
3.2 Fibrés fortement isotriviaux et la suite exacte fondamentale
3.2.1 Fibrés fortement isotriviaux
On donne maintenant une condition plus forte que l’isotrivialité sur un fibré portant sur la connexion. On dit qu’un fibré vectoriel
${\mathcal{E}}$
sur
$X_K$
est isotrivial s’il existe un K-espace vectoriel
$D_K$
, de dimension finie tel que
${\mathcal{E}}\cong {\mathcal{O}}_{X_K}\otimes_KD_K$
. Par abus, on dit alors que
$D_K$
est associé à
${\mathcal{E}}$
.
Définition 3.6. Soit
${\mathcal{E}}$
un fibré vectoriel isotrivial sur
$X_K$
d’espace vectoriel associé
$D_K$
. Supposons
${\mathcal{E}}$
muni d’une connexion
$\nabla\colon D_K\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K}\rightarrow D_K\otimes_{K}\Omega_{X_K}$
. On note
\begin{align*}D^{\nabla}_K=\mathrm{Ker}{\kern1pt}[\nabla \colon D_K\otimes{\mathcal{O}}(X_K)\rightarrow D_K\otimes_{K}\Omega_{X_K}(X_K)],\end{align*}
le K-espace vectoriel des sections globales horizontales. On dit que
$({\mathcal{E}},\nabla)$
est fortement isotrivial si l’inclusion naturelle
$D_K^{\nabla}\hookrightarrow D_K\otimes {\mathcal{O}}_{X_K}$
induit un isomorphisme
$D_K\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K}\cong D_K^{\nabla}\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K}$
. De même, on dit d’un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local isotrivial cristallin
${\mathbb{V}}$
qu’il est fortement isotrivial (cristallin) si le fibré associé muni de sa connexion,
$({\mathcal{E}},\nabla)$
est fortement isotrivial.
Remarque 3.7. Si la connexion
$\nabla$
est unipotente, il suffit que
$\dim_K D_K=\dim_KD^{\nabla}_K$
pour que le fibré muni de sa connexion soit fortement isotrivial. En effet, dans ce cas, la matrice de passage entre
$D_K^{\nabla}\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K}$
et
$D_K\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K}$
d’une base compatible avec
$D_K^{\nabla}$
vers une base compatible avec
$D_K$
, est unipotente, donc de déterminant 1. L’inclusion naturelle
$D_K^{\nabla}\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K}\rightarrow D_K\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K}$
est alors un isomorphisme de
${\mathcal{O}}_{X_K}$
-modules.
La condition pour un fibré plat d’être fortement isotrivial est très restrictive : cette condition implique que la connexion se trivialise.
Lemme 3.8.
Soit
$({\mathcal{E}},\nabla)$
un fibré plat isotrivial de K-espace vectoriel associé
$D_K$
. Alors
$({\mathcal{E}},\nabla)$
est fortement isotrivial si et seulement si
$\nabla=\mathrm{id}\otimes d\colon D_K^{\nabla}\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K}\rightarrow D_K^{\nabla}\otimes_K\Omega_{X_K}$
.
Pour un fibré vectoriel muni d’une connexion fortement isotrivial on note parfois
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})=(D_K,d\otimes\mathrm{id},\mathrm{Fil}^{\bullet})$
, ce qui sous-entend que
$D_K=D_K^{\nabla}$
.
3.2.2 Suite exacte fondamentale
La proposition suivante est une reformulation d’un théorème de Kedlaya-Liu (cf. [Reference Kedlaya and LiuKL15, Corollary 8.7.10]).
Proposition 3.9.
Soit D un isocristal sur k et soit
$\mathrm{Fil}^{\bullet}$
une filtration décroissante finie et exhaustive sur le fibré vectoriel
${\mathcal{E}} = D_K\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K}$
, que l’on munit de la connexion triviale
$\mathrm{id}\otimes d$
pour définir un fibré plat filtré
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
. Supposons qu’en tout point géométrique de
$X_K$
la filtration soit admissible. Le noyau de l’application naturelle
\begin{align*}{\mathbb{V}} := \mathrm{Ker}\left[ {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)\rightarrow {\mathbb{X}}^-_{\mathrm{dR}}({\mathcal{E}})\right]\end{align*}
définit un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local proétale fortement isotrivial d’isocristal associé D. De plus, l’application
${\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)\rightarrow {\mathbb{X}}^-_{\mathrm{dR}}({\mathcal{E}})$
est surjective.
Démonstration. Comme la question est locale sur le site proétale, on se restreint à
$S\rightarrow X_K$
un espace adique perfectode sur
$X_K$
et on va montrer que
${\mathbb{V}}_S$
définit un système local isotrivial. Comme le site proétale de S et de son basculé
$S^{\flat}$
sont équivalents on peut supposer que S est perfectode de caractéristique p.
On va maintenant considérer la courbe de Fargues-Fontaine relative sur S,
${\mathcal{X}}_{\mathrm{FF},S}$
. Alors, un théorèmeFootnote
9
de Kedlaya et Liu (cf. [Reference Kedlaya and LiuKL15, Corollary 8.7.10]) nous assure que les fibrés vectoriels semi-stables, ponctuellement de pente 0 sur
${\mathcal{X}}_{\mathrm{FF},S}$
sont équivalents aux
${\mathbb{Q}}_p$
-systèmes locaux proétales sur S. Or,
${\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)$
sont les sections du fibré vectoriel
${\mathscr{E}}(D)$
associé à D sur
${\mathcal{X}}_{\mathrm{FF},S}$
et
${\mathbb{X}}^-_{\mathrm{dR}}({\mathcal{E}})$
sont les sections d’un faisceau gratte-ciel en la section
$\iota_{\infty,S}\colon S\hookrightarrow {\mathcal{X}}_{\mathrm{FF},S}$
. Comme on considère précisément une modification admissible de
${\mathscr{E}}(D)$
, le noyau est un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local proétale et on a directement que
\begin{align*}{\mathbb{V}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}\cong {D}\otimes_{K_0}{\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}},\end{align*}
ce qui permet de conclure que
${\mathbb{V}}$
est isotrivial cristallin d’isocristal associé D. On conclut de même que le fibré associé est bien
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})=(D_K\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K},\mathrm{id}\otimes d,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
et donc que
${\mathbb{V}}$
est fortement isotrivial.
Proposition 3.10.
Soient
${\mathbb{V}}$
un système local fortement isotrivial,
$D={\mathbb{D}}({\mathbb{V}})$
et
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
le fibré plat filtré associé. Alors on a une suite exacte de faisceaux proétales
\begin{align*} 0\rightarrow {\mathbb{V}}\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^-({\mathcal{E}})\rightarrow 0. \end{align*}
Démonstration. Premièrement, notons que le théorème est vrai si
$X_K$
est un point : c’est l’équivalence entre admissible et faiblement admissible (cf. [Reference Colmez and FontaineCF00], voir aussi [Reference Fargues and FontaineFF18, Chapitre 10]). D’après la proposition précédente, on sait que
\begin{align*}{\mathbb{V}}':= \mathrm{Ker}\left[ {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^-({\mathcal{E}})\right]\end{align*}
définit un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local proétale isotrivial de
$\varphi$
-module associé D. Elle permet de plus d’obtenir la surjectivité de la dernière application. Il suffit de justifier que
$\widehat{{\mathbb{V}}}\cong {\mathbb{V}}'$
. On sait qu’on a une inclusion
$\widehat{{\mathbb{V}}}\hookrightarrow {\mathbb{V}}'\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}}$
. De plus, comme le théorème est vérifié pour les points, le germe de cette inclusion est un isomorphisme sur le germe de
${\mathbb{V}}'$
en tout point proétale de
$X_K$
. On en déduit que l’inclusion induit un isomorphisme
$\widehat{{\mathbb{V}}}\cong {\mathbb{V}}$
.
3.2.3 Groupes p-divisibles
Soit
${\mathcal{G}}\rightarrow X$
un groupe p-divisible obtenu par déformation d’un groupe p-divisible, i.e. il existe un groupe p-divisible
$G_0$
sur k et une quasi-isogénie
\begin{align*}\rho \colon G_0\times _k X_k \dashrightarrow{\mathcal{G}}\times _X X_k.\end{align*}
Notons
${D}_0^+ :={D}^+(G_0)$
le module de Dieudonné covariant de
$G_0$
sur
${{\mathrm{W}}}(k)$
et
${D}_0:={D}_0^+\otimes_{{{\mathrm{W}}}(k)}K_0$
l’isocristal associé de frobenius
$\varphi_0\colon {D}_0\rightarrow {D}_0$
. On définit de plus le module de Tate entier de
${\mathcal{G}}$
par
\begin{align*}{\mathbb{T}}_p({\mathcal{G}}):= \varprojlim_n{\mathcal{G}}[p^n]_K,\end{align*}
qui définit un
${\mathbb{Z}}_p$
-faisceau (pro)étale sur
$X_K$
et
${\mathbb{V}}_p({\mathcal{G}}):= {\mathbb{T}}_p({\mathcal{G}})\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{Q}}_p$
le module de Tate rationnel qui définit un
${\mathbb{Q}}_p$
-faisceau (pro)étale sur
$X_K$
. Rappelons que les poids de Hodge-Tate de ce système local sont contenus dans
$\{0,1\}$
, i.e. la filtration est donnée par
$0=\mathrm{Fil}^1{\mathcal{E}}\subset\mathrm{Fil}^0{\mathcal{E}}\subset\mathrm{Fil}^{-1}{\mathcal{E}}={\mathcal{E}}$
.
Lemme 3.11.
Le module de Tate
${\mathbb{V}}_p({\mathcal{G}})$
définit un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local fortement isotrivial sur
$X_K$
, d’isocristal associé
${D}_0[-1]$
.
Démonstration. C’est une réinterprétation de [Reference Rapoport and ZinkRZ96, Proposition 5.15].
Remarque 3.12. D’après [Reference Scholze and WeinsteinSW13], le faisceau proétale
${\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}^+({D}_0[-1])$
est le revêtement universel du groupe p-divisible i.e.
$\widetilde{{\mathcal{G}}}:= \varprojlim_{[p]}{\mathcal{G}}\cong {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}^+({D}_0[-1])$
. Ainsi le foncteur
${\mathbb{V}}\mapsto {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}^+({\mathbb{D}}({\mathbb{V}}(1)))$
définit un revêtement universel du système local. La suite exacte de [Reference Scholze and WeinsteinSW13, Proposition 3.4.2 ()],
\begin{align*}0\rightarrow {\mathbb{V}}_p({\mathcal{G}})\rightarrow \widetilde{{\mathcal{G}}}\rightarrow \mathrm{Lie}({\mathcal{G}})\rightarrow 0,\end{align*}
n’est autre que la partie
$(\ \cdot \ )^+$
de la suite exacte fondamentale de la proposition 3.10.
4. Cohomologies à coefficients
4.1 Cohomologies (pro)étale géométrique des systèmes locaux
Soit
${\mathbb{V}}^+$
un système local étale en
${\mathbb{Z}}_p$
-réseaux sur
$X_K$
, un espace rigide lisse sur K. Par définition,
${\mathbb{V}}^+=\{ {\mathbb{V}}^+[p^m]\}_{m\in {\mathbb{N}}}$
et on définit
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}^+ ) := \mathrm{holim}_m{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}^+[p^m] ) ,\end{align*}
où les morphismes de transition dans la limite homotopique sont donnés par la multiplication par p. Pour le
${\mathbb{Q}}_p$
-système local associé,
${\mathbb{V}}={\mathbb{V}}^+\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Q}}_p$
, on pose,
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) :={{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}^+ ) \otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Q}}_p.\end{align*}
En particulier, pour tout entier
$n\geqslant 0$
,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^n_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) := ( {\varprojlim_m{{\mathrm{H}}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^n ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}^+[p^m] ) \otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Q}}_p} ).\end{align*}
Remarque 4.1. On peut définir la cohomologie étale d’un système local qui n’admet pas de réseau. Soit
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local sur un espace rigide
$X_K$
lisse sur K. D’après la définition de de Jong (cf. [Reference de JongdeJ95]), comme on peut trivialiser le système local sur un revêtement étale, on sait qu’il existe un recouvrement étale galoisien
$\pi\colon Y_C\rightarrow X_C$
, tel que
${\mathbb{V}}_{Y_K}:=\pi^*{\mathbb{V}}$
admet un réseau
${\mathbb{V}}_{Y_K}^+$
. Notons
$H=\mathrm{Aut}(Y_K/X_K)$
. Il est alors raisonnable de définir
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) := {{\mathrm{R}}}\Gamma ( H\,; \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( Y_C\,; \, {\mathbb{V}}_{Y_K} ) ) .\end{align*}
En effet, on vérifie facilement à l’aide de la suite spectrale de Hochschild-Serre que cette définition est indépendante du recouvrement choisi.
La définition de la cohomologie proétale est plus directe, puisqu’on peut définir, pour
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local proétale sur
$X_K$
, le complexe
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_K\,; \, {\mathbb{V}} ) $
, qui est un élément de
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
. Le foncteur
${\mathbb{V}}\mapsto {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_K\,; \, {\mathbb{V}} ) $
est le foncteur dérivé des sections globales
${\mathbb{V}}\mapsto {\mathbb{V}}(X_K)$
. Rappelons le lemme suivant, qui est une conséquence de [Reference ScholzeSch13, Corollary 3.17 (ii)].
Lemme 4.2.
Supposons que
$X_K$
soit un espace rigide lisse sur K, quasi-compact et soit
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local sur
$X_K$
. On a un quasi-isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_K\,; \, {\mathbb{V}} ) \cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_K\,; \, {\mathbb{V}} ) .\end{align*}
4.2 Cohomologie de de Rham
4.2.1 Le complexe de de Rham à coefficients
Soit
$X_K$
un espace rigide lisse sur K. Soit
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})\in \mathrm{Vect}_{\nabla}^{\bullet}(X_K)$
un fibré plat filtré. On définit le complexe de de Rham :
\begin{align*}\Omega^{\bullet}_{{\mathcal{E}}}:= ( {{\mathcal{E}} \xrightarrow{\nabla}{\mathcal{E}} \otimes_{{\mathcal{O}}_{X_K}}\Omega^1_{X_K}\xrightarrow{\nabla^{(2)}}\dots} ).\end{align*}
Les sections globales (dérivées) de ce complexe définissent le complexe de (cohomologie) de de Rham :Footnote 10
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) := {{\mathrm{R}}}\Gamma ( X_K\,; \, \Omega^{\bullet}_{{\mathcal{E}}} ) .\end{align*}
Le complexe
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) $
définit un élément de
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_K)$
et pour tout entier
$n\geqslant 0$
sa cohomologie en degré n définit des espaces
${{\mathrm{H}}}^n_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) $
. Si
$X_K$
est un espace Stein alors
${{\mathrm{H}}}^n_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) $
est un espace de Fréchet. Le complexe de de Rham est muni d’une filtration
$\Omega^{\bullet}_{{\mathcal{E}}}$
\begin{align*}\mathrm{Fil}^k \Omega^{\bullet}_{{\mathcal{E}}}:= ( {\mathrm{Fil}^k {\mathcal{E}} \xrightarrow{\nabla}\mathrm{Fil}^{k-1}{\mathcal{E}} \otimes_{{\mathcal{O}}_{X_K}}\Omega^1_{X_K}\xrightarrow{\nabla^{(2)}}\dots} ),\end{align*}
qui est bien définie par la transversalité de Griffiths. Cette filtration définit une filtration sur
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) $
par
\begin{align*}\mathrm{Fil}^k{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \,{\mathcal{E}} ) := {{\mathrm{R}}}\Gamma ( X_K\,; \, \mathrm{Fil}^k \Omega^{\bullet}_{{\mathcal{E}}} ),\end{align*}
qui à son tour définit une filtration sur
${{\mathrm{H}}}^n_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) $
pour tout entier
$n\geqslant 0$
. Par exemple, la filtration sur
${{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) $
est définie directement à partir de la filtration sur
${\mathcal{E}}$
. Si
$({\mathcal{E}},\nabla)=({\mathcal{O}}_X,d)$
on note simplement
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K)$
le complexe de (cohomologie) de de Rham. Comme la cohomologie cohérente d’un fibré vectoriel s’annule en degré
$n\gt 0$
sur un espace Stein, on obtient le lemme suivant.
Lemme 4.3.
Supposons que
$X_K$
soit un espace rigide Stein lisse sur K. On a un quasi-isomorphisme strict
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \cong \Omega^{\bullet}_{\mathcal{E}}(X_K)\cong ( {{\mathcal{E}}(X_K)\xrightarrow{\nabla}\Omega^1(X_K)\widehat{\otimes}_{{\mathcal{O}}(X_K)}{\mathcal{E}}(X_K)\xrightarrow{\nabla^{(2)}}\cdots} ).\end{align*}
De plus, si
$\mathrm{Fil}^{1}{\mathcal{E}}=0$
, on a
\begin{align*}\mathrm{Fil}^{1}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \cong ( {0\rightarrow \Omega^1(X_K)\widehat{\otimes}_{{\mathcal{O}}(X_K)}\mathrm{Fil}^0{\mathcal{E}}(X_K)\rightarrow \cdots} ).\end{align*}
Les termes de droite sont des complexes d’espaces de Fréchet.
Si
$X_K$
est de dimension n, alors pour
$i\gt n$
on a
$\Omega^i_{X_K}=0$
, donc une conséquence immédiate du lemme précédent est le corollaire suivant.
Corollaire 4.4.
Supposons que
$X_K$
soit un espace rigide Stein lisse sur K de dimension n. Alors pour tout entier
$i\gt n$
,
${{\mathrm{H}}}_{\mathrm{dR}}^i ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) =0$
.
Soit
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
l’anneau des périodes de de Rham et
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}:=\mathrm{Frac}({{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+)$
son corps des fractions. On note
$t\in {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
l’uniformisante définie par
$t:= \log [\varepsilon]$
où
$\varepsilon$
est une suite compatible de racines
$p^n$
-ièmes de l’unité. L’anneau
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
est un espace de Fréchet sur K et donc, d’après [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Lemma 2.3], la flèche naturelle
\begin{equation}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+,\end{equation}
où le terme de gauche est le complexe de de Rham dont on a tensorisé les termes par
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
au-dessus de K, définit un quasi-isomorphisme strict dans
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_K)$
. On identifiera donc les deux termes. De plus, sur le membre de gauche la filtration est définie par
\begin{align*}\mathrm{Fil}^k ( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} ):=\mathrm{hocolim}_{i+j\geqslant k}\mathrm{Fil}^j {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_Kt^i{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+.\end{align*}
La preuve du lemme suivant est la même que [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Example 3.30].
Lemme 4.5.
Supposons que
$X_K$
soit un espace rigide Stein lisse sur K. On a un quasi-isomorphisme strict
\begin{align*}\mathrm{Fil}^{1}( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \,{\mathcal{E}} )\widehat{\otimes}_K^{R}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )\cong \!\bigg({\sum_{i\in {\mathbb{N}}}\mathrm{Fil}^{-i}{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_{K}t^{i+1}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\xrightarrow{\nabla}\sum_{i\in {\mathbb{N}}}\mathrm{Fil}^{-i}\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^{i}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\rightarrow \cdots}\!\bigg).\end{align*}
Le terme de gauche est naturellement un complexe d’espaces de Fréchet.
4.2.2 Le petit complexe de de Rham des opers
Supposons que
$X_K$
est une courbe sur K et soit
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
un oper de poids (a,b). On définit le petit complexe de (cohomologie) de de Rham par
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) := {{\mathrm{R}}}\Gamma ( X_K\,; \, ( \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}\xrightarrow{L_{\nabla}} \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1 ) ) ,\end{align*}
(cf. (2.3)) muni de la filtration induite par la filtration sur les gradués, explicité en (2.4). Du lemme 2.10, on déduit la proposition suivante.
Proposition 4.6.
Supposons que
$X_K$
soit une courbe rigide lisse sur K. Soit
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
un oper de poids (a,b). On a un quasi-isomorphisme strict filtré
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) .\end{align*}
Ce résultat et la description de la filtration (2.4) permettent de calculer la filtration précédente.
Lemme 4.7.
Supposons que
$X_K$
soit une courbe rigide Stein lisse sur K. On a un quasi-isomorphisme strict
\begin{align*}\mathrm{Fil}^{1}( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )\cong (\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^{b+1}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\xrightarrow{L_{\nabla}}\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^{a}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+).\end{align*}
4.2.3 Cohomologie de de Rham isotriviale
Le complexe de de Rham des fibrés plats fortement isotriviaux est particulièrement simple :
Lemme 4.8.
Soit
$X_K$
un espace rigide lisse sur K et
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})=(D_K\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K},\mathrm{id}\otimes d,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
un fibré plat filtré fortement isotrivial. On a un quasi-isomorphisme entre complexes
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K)\otimes_KD_K.\end{align*}
En particulier, pour tout entier
$n\geqslant 0$
, on a
${{\mathrm{H}}}^n_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \cong {{\mathrm{H}}}^n_{\mathrm{dR}}(X_K)\otimes_KD_K$
.
4.3 Cohomologie de Hyodo-Kato
Soit X un schéma formel Stein et semi-stable sur
${{\mathrm{O}}}_K$
et
$X=\bigcup_{n\in {\mathbb{N}}}U_n$
un recouvrement Stein de X. On définit la cohomologie de Hyodo-Kato comme limite de la cohomologie log-cristalline rationnelle de la fibre spéciale
$X_k$
sur
${{\mathrm{O}}}^{0}_{K_0}$
où
${{\mathrm{O}}}^{0}_{K_0}$
désigne le log-schéma formel
$\mathrm{Spf}({{\mathrm{O}}}_{K_0})$
muni de la structure logarithmique induite par
${\mathbb{N}}\rightarrow {{\mathrm{O}}}_{K_0}$
,
$1\mapsto 0$
:
\begin{equation}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K):= \mathrm{holim}_n({{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{cr}}(U_{n,k}/{{\mathrm{O}}}^{0}_{K_0})\otimes_{{{\mathrm{O}}}_{K_0}}K_0).\end{equation}
D’aprèsFootnote
11
[Reference Colmez and NiziołCN20, Proposition 4.11] cette cohomologie ne dépend que de la fibre générique
$X_K$
(comme le suggère la notation) et peut être définie indépendamment de l’existence d’un modèle semi-stable (cf. [Reference Colmez and NiziołCN20]). Le complexe (4.2) est muni d’un endomorphisme de Frobenius
$\varphi$
et d’un endomorphisme N, l’opérateur de monodromie. Ces endomorphismes vérifient la relation
$N\varphi=p\varphi N$
.
4.3.1 Cohomologie de Hyodo-Kato isotriviale
Si D un isocristal sur k. On définit la cohomologie de Hyodo-Kato isotriviale
\begin{equation}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) :={{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K)\otimes_{K_0}D.\end{equation}
Comme pour (4.2) cette cohomologie est indépendante du modèle de
$X_K$
. Pour
$n\geqslant 0$
on note
\begin{align*}\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^n_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) := \widetilde{{{\mathrm{H}}}}^n{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) ,\ {{\mathrm{H}}}^n_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) := {{\mathrm{H}}}^n{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) .\end{align*}
4.3.2 Isomorphisme de Hyodo-Kato isotrivial
Pour définir l’isomorphisme de Hyodo-Kato, on doit faire une digression par la géométrie surconvergente. Il s’avère que la cohomologie de Hyodo-Kato des espaces Stein est naturellement surconvergente. Soit
$\widetilde{X}$
un schéma faiblement formel semi-stable sur
${{\mathrm{O}}}_K$
et
$\widetilde{X}_K$
l’espace surconvergent associé que l’on suppose lisse sur K (cf. [Reference Grosse-KlönneGro00]). On définit la cohomologie de Hyodo-Kato surconvergente comme la cohomologie surconvergente rigide de la fibre spéciale
$X_k=\widetilde{X}\otimes k$
sur
${{\mathrm{O}}}_{K_0}^0$
(cf. [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, 3.1.2]) :
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(\widetilde{X}_K):={{\mathrm{R}}}\Gamma_{ \mathrm{rig}}(X_k/{{\mathrm{O}}}_{K_0}^0).\end{align*}
Cette cohomologie est indépendante du modèle (cf. [Reference Colmez and NiziołCN20, Proposition 5.3]), comme le suggère la notation. On peut associer à
$\widetilde{X}_K$
son complété, qui est un espace rigide et que l’on note
$X_K$
.
Lemme 4.9.
Soit
$\widetilde{X}_K$
un espace surconvergent Stein lisse sur K. On a un quasi-isomorphisme strict
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{ \mathrm{HK}}(\widetilde{X}_K)\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{ \mathrm{HK}}(X_K).\end{align*}
Démonstration. La preuve suit exactement [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Theorem 4.1], résumons-la. Pour un affinode semistable U sur
${{\mathrm{O}}}_K$
, la comparaison avec la cohomologie convergente donne (cf. [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Remark 4.4]) :
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{ \mathrm{rig}}(U_k/{{\mathrm{O}}}_{K_0}^0)\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{ \mathrm{conv}}(U_k/{{\mathrm{O}}}_{K_0}^0)\cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{ \mathrm{cr}}(U_k/{{\mathrm{O}}}_{K_0}^0)\otimes_{{{\mathrm{O}}}_{K_0}}K_0.\end{align*}
En utilisant un recouvrement Stein
$X=\bigcup_{n\in {\mathbb{N}}}U_n$
, on montre qu’en passant à la limite homotopique la première flèche devient un quasi-isomorphisme strict ; ceci provient de ce qu’on peut recouvrir
$X_k$
par des sous-espaces lisses et propres sur k cf. [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Remark 3.1.1]), puis on utilise [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Proposition 4.5] pour conclure.
Comme les espaces Stein sont partiellement propres ils admettent un modèle faiblement formel (cf. [Reference Grosse-KlönneGro00, Theorem 2.27]) ; et donc les espaces rigides lisses Stein admettent des modèles surconvergents. Si on se donne
$X_K$
un espace rigide Stein lisse sur K alors il existe
$\widetilde{X}_K$
un espace surconvergent Stein lisse sur K d’espace rigide associé
$X_K$
et on va supposer qu’ils ont des modèles semi-stables sur
${{\mathrm{O}}}_K$
(mais ce n’est pas nécessaire).
On construit le morphisme de Hyodo-Kato à partir du morphisme de Hyodo-Kato surconvergent. Soient D un isocristal sur k et
$({\mathcal{E}},\nabla):=(D_K\otimes_K{\mathcal{O}}_{X_K},d\otimes \mathrm{id})$
un fibré plat fortement isotrivial où
$D_K:= D\otimes_{K_0}K$
. On a un morphisme de Hyodo-Kato isotrivial,Footnote
12
associé à l’uniformisante
$\varpi$
:
\begin{align*}\iota_{\mathrm{HK}}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) .\end{align*}
En effet, on commence par considérer le morphisme de Hyodo-Kato surconvergent associé à
$\varpi$
(cf. [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, 3.1.3]) :
\begin{align*}\widetilde{\iota}_{\mathrm{HK}}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(\widetilde{X}_K)\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(\widetilde{X}_K).\end{align*}
où le terme de droite est la cohomologie de de Rham surconvergente de
$\widetilde{X}_K$
. Par [Reference Grosse-KlönneGro00, Theorem 2.26] (cf. le premier point de la preuve de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Theorem 4.1]), comme
$X_K$
est Stein, on a un quasi-isomorphisme strict
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(\widetilde{X}_K)\cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K)$
. On définit le morphisme de Hyodo-Kato comme la composée
\begin{align*}\iota_{\mathrm{HK}}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K)\cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(\widetilde{X}_K)\xrightarrow{\widetilde{\iota}_{\mathrm{HK}}}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(\widetilde{X}_K)\cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K),\end{align*}
où le premier isomorphisme provient du lemme 4.9. On applique maintenant le produit tensoriel par
$\cdot\ \otimes_{K_0}D$
à ce morphisme, qui, comme
$D\otimes_{K_0}K=D_K$
, définit une application
\begin{align*}\iota_{\mathrm{HK}} \colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K)\otimes_{K_0}{D}\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(X_K)\otimes_KD_K.\end{align*}
Comme c’est le cas pour
$\iota_{0}$
,
$\iota_{\mathrm{HK}}$
devient un quasi-isomorphisme strict lorsqu’on applique
$\otimes_{K_0}K$
au terme de gauche. D’après le lemme 4.8 et (4.3), cette flèche définit
\begin{align*}\iota_{\mathrm{HK}}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) ,\end{align*}
qui induit un quasi-isomorphisme strict :
\begin{align*}\iota_{\mathrm{HK}}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \otimes_{K_0}K\xrightarrow{\sim}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) .\end{align*}
Par ce quasi-isomorphisme, le corollaire 4.4 donne directement le résultat d’annulation suivant.
Corollaire 4.10.
Supposons que
$X_K$
soit un espace rigide Stein lisse sur K de dimension n. Alors pour tout entier
$i\gt n$
,
${{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^i ( X_K\,; \, D ) =0$
.
5. Cohomologies syntomiques isotriviales
Soit
$X_K$
un espace rigide Stein lisse sur K. On définit la cohomologie syntomique (géométrique) d’un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local fortement isotrivial
${\mathbb{V}}$
d’isocristal associé D et de fibré associé
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
. Supposons que les pentes de D sont toutes négatives. On a une application
$\iota \colon \widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+\hookrightarrow {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
(cf. [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, 3.2.1] pour la définition de
$\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+$
et de
$\iota$
qui est ici associé à p) et on définit dans
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
le complexe
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) := [[ {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}_{K_0}^R\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+ ]^{N=0,\varphi=1}\xrightarrow{\iota_{\mathrm{HK}}\otimes \iota_{\varpi}} ( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )/\mathrm{Fil}^{0}].\end{align*}
Rappelons que
$[-\xrightarrow{\iota_{\mathrm{HK}}\otimes \iota}-]:= \mathrm{holim} (-\xrightarrow{\iota_{\mathrm{HK}}\otimes \iota} -\leftarrow 0)$
désigne la fibre dans
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
de l’application
$\iota_{\mathrm{HK}}\otimes \iota$
et
$[ {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}_{K_0}^R\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+ ]^{N=0,\varphi=p^i}$
, pour
$i\in {\mathbb{N}}$
désigne l’espace propre dérivé de N et
$\varphi$
i.e. la limite homotopique du diagramme.
Pour tout entier
$i\geqslant 0$
, posons
\begin{align*}\begin{gathered}\mathrm{HK}(X_C,{D},i):= [ {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}_{K_0}^R\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+ ]^{N=0,\varphi=p^{i}}, \\{\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}},i):=( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )/\mathrm{Fil}^{i},\end{gathered}\end{align*}
de sorte que
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(i) ) =\left[ \mathrm{HK}(X_C,{D},i)\rightarrow {\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}},i) \right].\end{align*}
Lorsque
$i=1$
, on omet simplement le i pour alléger les notations et on note simplement
$\mathrm{HK}(X_C,{D}):=\mathrm{HK}(X_C,{D},1)$
et
${\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}}):= {\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}},1)$
.
Exemple 5.1.
Supposons que
$X_K$
est un espace rigide Stein lisse sur K et géométriquement irréductible. Alors
\begin{align*}( {{{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^0 ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{\varphi=1,N=0}=( {{D}\otimes_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi=1}\cong X^{+}_{\mathrm{st}}({D}).\end{align*}
De plus,
$D_K={{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \,{\mathcal{E}} ) $
, qui est muni de la filtration induite. Donc
$\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^0_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) $
est le noyau du morphisme naturel
\begin{align*}X^{+}_{\mathrm{st}}({D})\rightarrow ( {D_K\otimes_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )/\mathrm{Fil}^{0}.\end{align*}
La filtration sur
$D_K$
est admissible donc
$\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^0_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) $
est de dimension finie sur
${\mathbb{Q}}_p$
et
$\mathrm{Fil}^0(D_K\otimes_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+)\cap X_{\mathrm{st}}({D})$
est fermé dans
$X^{+}_{\mathrm{st}}({D})$
; ainsi,
$\widetilde{{{\mathrm{H}}}}^0_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) $
est classique.
5.1 La partie Hyodo-Kato
En suivant la preuve de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Lemma 3.28] et le lemme 4.9, on obtient le lemme suivant.
Lemme 5.2.
Supposons que X est un schéma formel Stein semi-stable sur
${{\mathrm{O}}}_K$
, alors pour tous
$n\geqslant 0$
la cohomologie de
$\mathrm{HK}(X_C,D)$
est classique et on a un isomorphisme topologique
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^n \mathrm{HK}(X_C,{D})\cong ( {{{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^n ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}_{K_0}\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{N=0,\varphi=p}.\end{align*}
En particulier,
${{\mathrm{H}}}^n \mathrm{HK}(X_C,{D})$
est un espace de Fréchet.
5.2 La partie de Rham
Si
$(D_K,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
est un K-espace de Fréchet filtré dont les sauts de la filtration sont négatifs, soit
$X^+_{\mathrm{dR}}(D_K):= D_K\widehat{\otimes}_K {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
et, pour
$k\in {\mathbb{Z}}$
, posons
\begin{align*}X^+_{\mathrm{dR}}(D_K)_k:= X^+_{\mathrm{dR}}(D_K)/\mathrm{Fil}^k( D_K\widehat{\otimes}_K {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+ ).\end{align*}
Une conséquence du lemme 4.5 est le lemme suivant.
Lemme 5.3.
Supposons que X est un espace rigide Stein lisse sur K et soit
$({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
un fibré plat filtré fortement isotrivial dont les sauts de la filtration sont
$\leqslant 0$
. On a un quasi-isomorphisme strict
\begin{align*}{\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}})\cong X_{\mathrm{dR}}^+({\mathcal{E}}(X_K))_{1}\rightarrow X_{\mathrm{dR}}^+(\Omega^1_{{\mathcal{E}}}(X_K))_{0}\rightarrow \dots,\end{align*}
où le complexe de droite est un complexe d’espaces de Fréchet.
5.2.1 Le cas des opers
Supposons que
$X_K$
soit une courbe rigide Stein lisse sur K et que
${\mathcal{E}}$
soit un oper de poids (a,b) avec
$a\geqslant 0$
. L’intérêt des opers est que l’on peut calculer la cohomologie de
${\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}})$
qui apparat dans le diagramme fondamental.
Lemme 5.4. On a une suite exacte stricte d’espaces de Fréchet
\begin{align*}0\rightarrow \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^a{{\mathrm{B}}}_{b+1}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^0{\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}})\rightarrow {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_a\rightarrow 0.\end{align*}
De plus,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1{\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}})\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_a.\end{align*}
Démonstration. Rappelons que d’après le lemme 5.4
${{\mathrm{H}}}^0:={{\mathrm{H}}}^0{\mathrm{DR}}( {X_C,{\mathcal{E}}} )$
est le noyau de la connexion
\begin{align*}({\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+)/\mathrm{Fil}^1\xrightarrow{ \nabla \otimes \mathrm{id}} (\Omega^1_{{\mathcal{E}}}(X_K)\widehat{\otimes}_K {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+)/\mathrm{Fil}^0\end{align*}
et
${{\mathrm{H}}}^1:={{\mathrm{H}}}^1{\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}})$
son conoyau. On commence par montrer que ce noyau est isomorphe au noyau de
\begin{align*}\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{b+1}\xrightarrow{L_{\nabla}}\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_a.\end{align*}
On a des décompositions K-linéaires du lemme 2.10
\begin{align*}{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+ &\cong \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\oplus \mathrm{Fil}^{-b+1}\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+,\\\Omega^1_{{\mathcal{E}}}(X_K)\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+ &\cong \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)\widehat{\otimes} {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\oplus \tfrac{\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)}{\mathrm{Fil}^{-a}}\widehat{\otimes}_K {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+ ,\end{align*}
et par la définition des opers (cf. définition 2.9), la différentielle induit un isomorphisme
\begin{align*}\mathrm{Fil}^{-b+1}\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\xrightarrow{\sim} \tfrac{{\mathcal{E}}(X_K)}{\mathrm{Fil}^{-a}}\widehat{\otimes}_K {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+.\end{align*}
De plus, on a des décompositions K-linéaires
\begin{align*}\begin{gathered}\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\cap \mathrm{Fil}^1 = \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^{b+1}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+,\\\mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\cap \mathrm{Fil}^0 = \mathrm{Gr}_a{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K t^a{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+,\end{gathered}\end{align*}
et comme, par définition,
$\nabla$
induit des isomorphismes
\begin{align*}\mathrm{Fil}^{-q}/\mathrm{Fil}^{-q+1}\xrightarrow{\sim}(\mathrm{Fil}^{-q-1}/\mathrm{Fil}^{-q})\otimes_{{\mathcal{O}}(X_K)}\Omega^1(X_K),\end{align*}
pour tout entier q tel que
$a\leqslant q \leqslant b-1$
, on en déduit que d induit un isomorphisme
\begin{align*}(\mathrm{Fil}^{-b+1}\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+)\cap\mathrm{Fil}^1\xrightarrow{\sim}\left(\tfrac{{\mathcal{E}}(X_K)}{\mathrm{Fil}^{-a}}\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\right)\cap \mathrm{Fil}^0.\end{align*}
Ainsi, comme annoncé, on a bien
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^0 =\mathrm{Ker}( {\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{b+1}\xrightarrow{L_{\nabla}}\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_a} ),\end{align*}
et de même
${{\mathrm{H}}}^1=\mathrm{Coker} ( {\mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{b+1}\xrightarrow{L_{\nabla}}\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_a} )$
.
En appliquant le lemme du serpent au diagramme
on obtient la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^a{{\mathrm{B}}}_{b+1}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^0\rightarrow {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_a\rightarrow 0,\end{align*}
et l’isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \,{\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_a. \end{align*}
5.3 Le diagramme fondamental pour les opers
Avant d’énoncer le théorème principal de cette section, on donne le lemme suivant qui est une généralisation du lemme [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Lemma 3.30].
Lemme 5.5.
Soit M un
$(\varphi,N)$
-module effectif (toutes les pentes sont
$\geqslant 0$
) fini sur
$K_0$
et soient
$a,b\in {\mathbb{N}}$
des entiers tels que
$b\geqslant a\geqslant 0$
, alors
\begin{align*}0\rightarrow ( {M\otimes_{K_0} \widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{\varphi=p^a,N=0}\xrightarrow{t^{b+1}} ( {M\otimes_{K_0}\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{\varphi=p^{a+b+1},N=0}\xrightarrow{} M\otimes_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{b+1}\end{align*}
est exacte. De plus, la dernière application est surjective si les pentes de M sont
$\leqslant a$
.
La première partie est obtenue par récurrence sur b en utilisant un dévisage. La surjectivité se démontre comme dans la preuve de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Lemma 3.30] en calculant la Dimension.
Remarque 5.6. Comme dans [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b], on a besoin d’une version du lemme précédent pour
$M = \varprojlim M_i$
où
$\{M_i\}_i$
est un système projectif de
$(\varphi,N)$
-modules effectifs finis sur
$K_0$
. Comme la limite projective est exacte à gauche, on obtient directement pour
$a,b\in {\mathbb{N}}$
des entiers tel que
$b\geqslant a\geqslant 0$
, la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow ( {M\widehat{\otimes}_{K_0} \widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{\varphi=p^a,N=0}\xrightarrow{t^{b+1}} ( {M\widehat{\otimes}_{K_0}\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{\varphi=p^{a+b+1},N=0}\xrightarrow{} M\widehat{\otimes}_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{b+1}.\end{align*}
De plus, on peut montrer que si les pentes des
$M_i$
sont
$\leqslant a$
alors la dernière flèche est surjective mais on ne l’utilisera pas. La surjectivité de la dernière flèche dans le cas
$b=0$
est utilisée dans [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Proposition 3.36] et repose sur un argument donné dans la preuve de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Lemme 3.28]. L’argument dans le cas où
$b\gt 0$
est le même. En particulier, pour D un isocristal effectif, cette situation s’applique à
$M={{\mathrm{H}}}^j_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) =\varprojlim_i {{\mathrm{H}}}^j_{\mathrm{HK}} ( \widetilde{U}_{i,K}\,; \, D ) $
où
$\{\widetilde{U}_{i,K}\}$
est un recouvrement Stein par des affinodes surconvergents d’un modèle surconvergent de
$X_K$
(cf. le lemme 4.9 et [Reference VanhaeckeVan23, Lemme 5.3]).
Proposition 5.7.
Soit
$X_K$
une courbe rigide Stein lisse sur K. Soit
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-oper de poids (a,b) fortement isotrivial d’isocristal associé D et de fibré plat filtré associé
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
. Supposons que
$a\geqslant 0$
. On a une application naturelle entre suites exactes strictes d’espaces de Fréchet.
Ce diagramme est
${\mathscr{G}}_K$
-équivariant et on a noté :
\begin{align*}X_{\mathrm{st}}^{1}( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D )[a]} )&:= ( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D )\widehat{\otimes}_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{N=0,\varphi=p^{1-a}}, \\X_{\mathrm{cr}}^{1}(D[a])&:= ( {D\otimes_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi=p^{1-a}}.\end{align*}
De plus,
$\beta$
et
$\gamma$
sont strictes et
$\mathrm{Ker}(\gamma) = t^{a+b+1}( \mathrm{H}^1_{\mathrm{HK}} (X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}_{K_0}\mathrm{B}_{\mathrm{st}}^+)^{N=0,\varphi=p^{-a-b}}$
. En particulier, si les pentes de D sont
$\gt -a-b$
, alors
$\mathrm{Ker}(\gamma)=0$
.
Démonstration. Notons
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}}&:={{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(1) ) ,\quad {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}:= {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ), \\{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}}&:={{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ),\qquad\;\ {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}:={{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ),\hphantom{,}\end{align*}
et pour
$n\geqslant 0$
un entier,
${{\mathrm{H}}}^n_{\star}$
, où
$\star \in \{\mathrm{syn}, \mathrm{HK}, \mathrm{Op}, \mathrm{dR}\}$
, le n-ième groupe de cohomologie du complexe correspondant.
En suivant le début de la preuve de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Proposition 3.36], notons qu’on peut remplacer
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+$
par
$\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+$
dans le diagramme, ce qui facilite les questions topologiques. On va commencer par définir les deux suites exactes du diagramme. La ligne du dessous est donnée par le petit complexe de de Rham auquel on applique
$\cdot \widehat{\otimes}_Kt^a{{\mathrm{B}}}_{b+1}$
, soit
\begin{align*}0\rightarrow D_K\otimes_Kt^a{{\mathrm{B}}}_{b+1} \rightarrow \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^a{{\mathrm{B}}}_{b+1}\xrightarrow{L_{\nabla} \otimes \mathrm{id}}\mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^a{{\mathrm{B}}}_{b+1}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}}\widehat{\otimes}_K t^a{{\mathrm{B}}}_{b+1}\rightarrow 0.\end{align*}
La suite reste exacte puisque on tensorise-complète une suite exacte de Fréchet par un Banach.
D’après la proposition 4.6, on a
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} = [[ {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\widehat{\otimes}_{K_0}^R\widehat{{{\mathrm{B}}}}_{\mathrm{st}}^+]^{N=0,\varphi=p}\xrightarrow{\iota_{\mathrm{HK}}\otimes \iota_{\varpi}} ( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}}\widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )/\mathrm{Fil}^{1}].\end{align*}
Rappelons que comme pour le quasi-isomorphisme (4.1), on a un quasi-isomorphisme strict naturel
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}}\widehat{\otimes}_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}}\widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+,\end{align*}
et on identifiera librement ces deux termes dans le reste de la preuve.
On obtient une suite exacte
\begin{equation}X_{\mathrm{cr}}^{1}(D)\rightarrow {{\mathrm{H}}}^0{\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}}) \rightarrow {{\mathrm{H}}}_{\mathrm{syn}}^1\rightarrow ( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}\widehat{\otimes}_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{N=0,\varphi=p} \xrightarrow{\iota_{\mathrm{HK}}\otimes\iota_{\varpi}} {{\mathrm{H}}}^1{\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}}).\end{equation}
C’est presque la suite exacte du dessus dans le diagramme de la proposition, mais il faut corriger les termes extrémaux. Notons que
$X_{\mathrm{cr}}^1(D)\cong ( {D[a]\otimes_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi=p^{a+1}}$
.
-
– Pour la première flèche de (5.1), en comparant la suite exacte du lemme 5.5 et la première partie du lemme 5.4, on obtient le diagramme commutatif suivant.
-
– Pour la dernière flèche de (5.1), comme
$ {{\mathrm{H}}}^1{\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}})\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}}\otimes_K {{\mathrm{B}}}_a$
d’après le lemme 5.4, on utilise la remarque 5.6 qui permet de calculer
\begin{align*}\mathrm{Ker}[( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}\widehat{\otimes}_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{N=0,\varphi=p} \xrightarrow{\iota_{\mathrm{HK}}\otimes\iota_{\varpi}} {{\mathrm{H}}}^1{\mathrm{DR}}(X_C,{\mathcal{E}})]\cong t^aX_{\mathrm{st}}^{1}( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}[a]} ),\end{align*}
Finalement, de ces deux calculs et de la suite exacte (5.1) on obtient la suite exacte suivante :
\begin{equation}t^aX_{\mathrm{cr}}^{1}(D[a])\rightarrow \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_K t^a{{\mathrm{B}}}_{b+1} \rightarrow {{\mathrm{H}}}_{\mathrm{syn}}^1 \rightarrow t^aX_{\mathrm{st}}^{1}( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}[a]} )\rightarrow 0.\end{equation}
Dans le diagramme, la définition du carré de gauche et sa commutativité sont claires. On définit maintenant les applications
$\beta$
et
$\gamma$
puis on montre que le carré qu’elles forment dans le diagramme commute.
-
– L’application
$\gamma$
est induite par la composée On déduit de la remarque 5.6 le calcul de
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\widehat{\otimes}_{K_0}^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+\xrightarrow{\iota_{\mathrm{HK}}\otimes\iota}{{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}}\widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+}\xrightarrow{\mod t^{b+1} }{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}}\widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{b+1}.\end{align*}
$\mathrm{Ker}(\gamma)$
.
-
– Le lemme 4.7 nous donne l’isomorphisme
et l’application
\begin{align*}\mathrm{Fil}^{1}( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}}\widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )\cong \mathrm{Gr}_b{\mathcal{E}}(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^{b+1}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+\rightarrow \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)\widehat{\otimes}_Kt^{a}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+,\end{align*}
$\beta$
est induite par la composée
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}}\rightarrow \mathrm{Fil}^{1}( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}}\widehat{\otimes}_K^R{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )\xrightarrow{\mod t^{b+1}}( {0\rightarrow \mathrm{Gr}_a\Omega_{{\mathcal{E}}}^1(X_K)\widehat{\otimes}_K t^{a+1}{{\mathrm{B}}}_{b+1}\rightarrow 0} ).\end{align*}
Finalement, le diagramme suivant, de morphismes entre triangles distingués, justifie que le carré de droite dans le diagramme commute.
En effet, en degré 1, on a
$\beta \equiv \widetilde{\beta} \mod t^{b+1}$
et
$\gamma\equiv \iota_{\mathrm{HK}}\otimes \iota_{\varpi} \mod t^{b+1}$
.
6. Théorèmes de comparaison
Le but de cette section est de démontrer le théorème de comparaison syntomique-proétale. L’énoncé est le suivant.
Théorème 6.1.
Soit
$X_K$
une courbe rigide Stein lisse sur K. Soit
${\mathbb{V}}$
un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local isotrivial et
$i\geqslant 0$
un entier et supposons que les poids de Hodge-Tate de
${\mathbb{V}}$
soient tous positifs. Il existe, dans
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
, un morphisme
\begin{align*}\alpha_{{\mathbb{V}}(i)}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(i) ) \rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(i) ) ,\end{align*}
qui est un quasi-isomorphisme strict après troncation par
$\tau_{\leqslant i}$
. En particulier, on a des isomorphismes topologiques,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^j_{\mathrm{syn}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(i) ) \cong {{\mathrm{H}}}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^j ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}(i) )\end{align*}
pour tout entier j tel que
$0\leqslant j \leqslant i$
.
Remarque 6.2. Notons que dans le théorème 6.1, si
$a\geqslant 0$
est le poids de Hodge-Tate minimal de
${\mathbb{V}}$
, alors on peut remplacer la troncation par
$\tau_{\leqslant i+a}$
.
Soit
$D:= {\mathbb{D}}({\mathbb{V}})$
et
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil}^{\bullet})$
le fibré plat filtré associés à
${\mathbb{V}}$
. Pour démontrer le théorème, on va appliquer
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, \cdot ) $
à la suite exacte fournie par la proposition 3.10 :
\begin{align*}0\rightarrow {\mathbb{V}}\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^-({\mathcal{E}})\rightarrow 0,\end{align*}
On obtient un triangle distingué
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) \rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_K\,; \, {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}({D}) ) \rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^-({\mathcal{E}}) ) .\end{align*}
La proposition suivante en calcule les termes.
Proposition 6.3.
-
– Il existe un quasi-isomorphisme strict
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^-({\mathcal{E}}) ) \cong \frac{( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}^R_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}} )}{\mathrm{Fil}^0}.\end{align*}
-
– Il existe un quasi-isomorphisme strict
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D) ) \cong [{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}^R_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}]^{\varphi=1,N=0}.\end{align*}
Démonstration. Notons
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}:= {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) $
et
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}:= {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) $
. On commence par le premier point.
Soit
${\mathbb{V}}_{\mathrm{dR}}^{(+)}:= {\mathbb{V}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^{(+)}$
. D’après le théorème [Reference BoscoBos23a, Theorem 6.5], en considérant les points des complexes solides, on a un quasi-isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\mathrm{dR}} ) \cong {( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}\widehat{\otimes}^R_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}} )},\end{align*}
compatible avec la filtration, ce qui signifie en particulier qu’on a un quasi-isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\mathrm{dR}}^+ ) \cong \mathrm{Fil}^0{( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}\widehat{\otimes}^R_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}} )}.\end{align*}
Justifions que le second quasi-isomorphisme est strict, le premier s’en déduit en inversant t. Par le lemme 4.5, le terme de droite est un complexe d’espaces de Fréchet. D’après le lemme de Poincaré (cf. [Reference ScholzeSch13, Corollary 6.13]), le terme de gauche se représente par un complexe d’espaces de Fréchet. On conclut alors par le second point du lemme [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Lemme 2.1]. Ainsi, le triangle distingué obtenu en appliquant
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, \ \cdot \ ) $
à la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow {\mathbb{V}}_{\mathrm{dR}}^+\rightarrow {\mathbb{V}}_{\mathrm{dR}}\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{dR}}^-({\mathcal{E}})\rightarrow 0\end{align*}
fournit un quasi-isomorphisme strict
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\mathrm{dR}}/{\mathbb{V}}_{\mathrm{dR}}^+ ) \cong \frac{( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}\otimes^R_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}} )}{\mathrm{Fil}^0},\end{align*}
ce qui démontre le premier point. Pour le second point, on utilise [Reference BoscoBos23b, Theorem 4.1] (voir aussi [Reference Le BrasLeB18, Proposition 3.11]) qui, après avoir inversé t pour se débarrasser du foncteur de décalage et après avoir pris les points des complexes solides, donne un quasi-isomorphisme, (cf. [Reference BoscoBos23b, Definition 2.23] pour la définition de
${\mathbb{B}}$
),
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{B}}[1/t] ) \cong ( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X_K)\widehat{\otimes}^R_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}} )^{N=0}.\end{align*}
On utilise ensuite la suite exacte de faisceaux proétales (cf. [Reference BoscoBos23b, Corollary 2.26]),
\begin{align*}0\rightarrow ({\mathbb{B}}_{\mathrm{cr}})^{\varphi=1}\rightarrow {\mathbb{B}}[1/t]\xrightarrow{\varphi-1}{\mathbb{B}}[1/t]\rightarrow 0.\end{align*}
Soit V une représentation cristalline de
${\mathscr{G}}_K$
telle que
${\mathbf{D}}_{\mathrm{cr}}(V)=D$
, en tensorisant la suite ci-dessus par V on obtient
\begin{align*}0\rightarrow {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D)\rightarrow {\mathbb{B}}[1/t]\otimes_{K_0}D\xrightarrow{\varphi-1}{\mathbb{B}}[1/t]\otimes_{K_0}D\rightarrow 0.\end{align*}
Ainsi, on obtient un triangle distingué
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} (X_C\,; \, {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D) ) \rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{B}}[1/t]\otimes_{K_0}D ) \rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{B}}[1/t]\otimes_{K_0}D ),\end{align*}
ce qui permet de conclure qu’on a un quasi-isomorphisme entre les fibres
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{X}}_{\mathrm{cr}}(D) ) \cong \left[{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\otimes^R_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}\right]^{\varphi=1,N=0}.\end{align*}
Ce quasi-isomorphisme est stricte pour les mêmes raisons que le premier, les deux termes s’écrivent comme limite inductive d’espaces de Fréchet, où on utilise le lemme de Poincaré cristallin (cf. [Reference Tan and TongTT19, Corollary 2.17]) pour le terme de gauche, le lemme 5.2 pour le terme de droite, puis on applique le lemme [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Lemme 2.1].
Ainsi, on obtient un triangle distingué
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( X_C\,; \, {\mathbb{V}} ) \rightarrow [{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( X_K\,; \, D ) \widehat{\otimes}^R_{K_0}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}]^{\varphi=1,N=0}\rightarrow \frac{( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( X_K\,; \, {\mathcal{E}} ) \widehat{\otimes}^R_K{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}} )}{\mathrm{Fil}^0},\end{align*}
et comme on travaille dans
${\mathscr{D}}({{\mathrm{C}}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
, le terme de gauche est bien la fibre de la flèche de droite. On obtient le théorème en remplaçant
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}$
par
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
et
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}$
par
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+$
quitte à tordre par une puissance du caractère cyclotomique.
Remarque 6.4. Le même argument permet de démontrer le théorème 6.1 dans le cas où X est propre, mais l’argument est plus direct puisqu’on peut appliquer les théorèmes de [Reference ScholzeSch13] à la place de la proposition 6.3.
PARTIE II. Cohomologie isotriviale de la tour de Drinfeld
7. Le demi-plan p-adique et sa tour de revêtements
7.1 Le demi-plan p-adique
On note
$C:= \widehat{\bar{{\mathbb{Q}}}}_p$
le complété d’une clôture algébrique de
${\mathbb{Q}}_p$
et
$G:= \mathrm{GL}_2({\mathbb{Q}}_p)$
. On rappelle que le demi-plan p-adique est l’espace rigide analytique, ouvert admissible de
${\mathbb{P}}^1_{{\mathbb{Q}}_p}$
, défini par
\begin{align*}{\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}:= {\mathbb{P}}^1_{{\mathbb{Q}}_p}\setminus {\mathbb{P}}^1({\mathbb{Q}}_p).\end{align*}
On note
${\mathbb{H}}_{C}:= {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}C$
l’extension des scalaires à C. On note aussi
$\pi\colon {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p} \hookrightarrow {\mathbb{P}}^1_{{\mathbb{Q}}_p}$
le plongement naturel. L’espace rigide analytique
${\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
est un espace Stein, puisqu’en effet, si l’on note pour
$n\in {\mathbb{N}}$
\begin{align*}{\mathbb{H}}_{n} = {\mathbb{P}}^1_{{\mathbb{Q}}_p}\setminus\bigcup_{x\in {\mathbb{P}}^1({\mathbb{Z}}/p^n)} {{\mathrm{B}}}(x,n),\end{align*}
où
${{\mathrm{B}}}(x,n)$
est la boule ouverte centrée en x et de rayon
$p^{-n}$
, i.e. si
$\tilde x=a_0 +\dots +a_np^n$
a pour réduction
$x\in {\mathbb{Z}}/p^n$
, les C-points sont
${{\mathrm{B}}}(x,n)(C) = \{z\in C\mid v_{p}(\tilde x-z)\geqslant n\}$
et si
$\tilde x$
a pour réduction
$x^{-1}\in ({\mathbb{Z}}/p^n)$
alors
${{\mathrm{B}}}(x,n)(C) = \{z\in C\mid v_{p}(\tilde x^{-1}-z^{-1})\geqslant n\}$
. On a alors
${\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}=\varinjlim_n {\mathbb{H}}_{n}$
. Ainsi, les espaces des sections globales
${\mathcal{O}}:={\mathcal{O}}({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p})=\varprojlim_n{\mathcal{O}}({\mathbb{H}}_{n})$
et
$\Omega^1:=\Omega^1({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
sont des espaces de Fréchet. On note
$z\in {\mathcal{O}}$
la coordonnée naturelle de
${\mathbb{P}}^1_{{\mathbb{Q}}_p}$
. L’action naturelle de G sur
${\mathbb{P}}^1_{{\mathbb{Q}}_p}$
est donnée sur z par
\begin{align*}g=\begin{pmatrix} a&b\\ c& d \end{pmatrix}\in G,\quad g\cdot z = \frac{dz-b}{a-cz}.\end{align*}
Cette action se restreint en une action sur
${\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
et munit
${\mathcal{O}}$
d’une action linéaire de G. Soient
$k,m\in {\mathbb{Z}}$
des entiers, on définit
${\mathcal{O}}\{k,m\}$
comme
${\mathbb{Q}}_p$
-représentation de G de sorte qu’en tant que
${\mathbb{Q}}_p$
-espace vectoriel topologique
${\mathcal{O}}\{k,m\}={\mathcal{O}}$
muni de l’action de G donnée par
\begin{equation}f\in {\mathcal{O}}\{k,m\}({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}),\quad (g\star f)(z)=j(z,g)^{-k}\det(g)^{m}f(g\cdot z),\end{equation}
où j est le facteur d’automorphie donné pour
$g = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$
par
$j(z,g) := a-cz$
. On a par exemple,
$\Omega^1\cong {\mathcal{O}}\{2,1\}$
.
7.2 L’espace de Drinfeld
7.2.1
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-modules formels spéciaux
Soit
${{\mathrm{D}}}$
l’algèbre des quaternions non scindée sur
${\mathbb{Q}}_p$
, i.e. l’unique corps gauche tel que
$\mathrm{inv}_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{D}}}=\frac 1 2$
. On note
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}\subset {{\mathrm{D}}}$
l’unique ordre maximal et on fixe
$\varpi_{{{\mathrm{D}}}}\in {{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
tel que
$\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^2=p$
. Si l’on choisit un plongement
${\mathbb{Q}}_{p^2}\hookrightarrow {{\mathrm{D}}}$
, où
${\mathbb{Q}}_{p^2}/{\mathbb{Q}}_p$
est l’unique extension quadratique non ramifiée, on a
${{\mathrm{D}}}={\mathbb{Q}}_{p^2}[\varpi_{{{\mathrm{D}}}}]$
et
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}={\mathbb{Z}}_{p^2}[\varpi_{{{\mathrm{D}}}}]$
. On note
$\check {G}:= {{\mathrm{D}}}^{\times }$
le groupe des inversibles de
${{\mathrm{D}}}$
.
Soit S un schéma formel sur
$\mathrm{Spf} ({\mathbb{Z}}_p)$
. Un
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-module p-divisible sur S est un groupe p-divisible formel
${\mathcal{G}}$
sur S muni d’une action de
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
, i.e. muni d’un morphisme
$\iota\colon {{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}\rightarrow \mathrm{End}_S({\mathcal{G}})$
. En particulier,
$\mathrm{Lie}({\mathcal{G}})$
est un
${\mathbb{Z}}_{p^2}\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathcal{O}}_S$
-module et on dit que
${\mathcal{G}}$
est un
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-module formel spécial si
$\mathrm{Lie}({\mathcal{G}})$
est un
${\mathbb{Z}}_{p^2}\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathcal{O}}_S$
-module localement libre de rang 1.
En suivant [Reference Rapoport and ZinkRZ96, 3.58], on explicite maintenant le module de Dieudonné d’un
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-module formel sur
$\bar{{\mathbb{F}}}_p$
, qui est unique à isogénie près d’après [Reference Rapoport and ZinkRZ96, Lemma 3.60]. Rappelons qu’on note
$\breve{{\mathbb{Z}}}_p:={{\mathrm{W}}}(\bar{{\mathbb{F}}}_p)$
, l’anneau des entiers de
$\breve{{\mathbb{Q}}}_p:= \widehat{{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}}$
, le complété de l’extension maximale non ramifiée de
${\mathbb{Q}}_p$
, qui est muni d’un automorphisme de Frobenius noté
$\sigma$
. Posons le
$\breve{{\mathbb{Z}}}_p$
-module
\begin{align*}\breve{{\mathbf{M}}}^+:={{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}\breve{{\mathbb{Z}}}_p,\text{ muni de } {\mathbf{V}}=\varpi_{{{\mathrm{D}}}}\otimes\sigma^{-1}.\end{align*}
Ces données définissent un groupe p-divisible qui est naturellement un
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-module formel spécial sur
$\bar{{\mathbb{F}}}_p$
, que l’on note
${\mathbf{G}}$
. L’isocristal associé est
$\breve{{\mathbf{M}}}:= \breve{{\mathbf{M}}}^+\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Q}}_p={{\mathrm{D}}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\breve{{\mathbb{Q}}}_p$
, muni du frobenius
${\mathbf{F}}=\varpi_{{{\mathrm{D}}}}\otimes \sigma$
. Cet isocristal est muni d’une action de G qui s’identifie au groupe des automorphismes
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-invariants (cf. [Reference Rapoport and ZinkRZ96, Lemma 3.60]).
7.2.2 L’espace de Drinfeld
Soit
$ \mathrm{Nilp}_{\breve{{\mathbb{Z}}}_p}$
la catégorie des
$\breve{{\mathbb{Z}}}_p$
-algèbres telles que p est Zariski-localement nilpotent. On définit un foncteur
\begin{align*}R\mapsto \left \{ (X,\rho) \mid \begin{gathered} X \text{ un ${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$-module formel spécial sur } R\\ \rho\colon {\mathbf{G}}\otimes_{\bar{{\mathbb{F}}}_p} R/p \dashrightarrow X\otimes_{R}R/p \text{ une quasi-isogénie ${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$-linéaire} \end{gathered}\right \}.\end{align*}
D’après [Reference Rapoport and ZinkRZ96, Proposition 3.63], ce foncteur est représentable par un schéma formel p-adique sur
$\breve{{\mathbb{Z}}}_p$
, que l’on note
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
. Alors,
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
est muni d’une action naturelle de G par précomposition. Cette action est donnée pour
$g\in G$
sur les R-points par
$(X,\rho)\mapsto (X,\rho\circ g)$
. On peut décomposer
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
suivant la hauteur de la quasi-isogénie
\begin{align*}{\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}=\bigsqcup_{n\in {\mathbb{Z}}}{\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}[2n],\end{align*}
où les composantes sont isomorphes et définies sur
$\breve{{\mathbb{Z}}}_p$
. L’action de G sur les composantes connexes est donnée pour
$g\in G$
par
$n\mapsto n+v_{p}(\det(g))$
. On a une donnée de descente à
${\mathbb{Z}}_p$
qui est définie par la multiplication
$p\colon {\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}[2n]\rightarrow {\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}[2n+4]$
vu comme élément du centre de G. Le quotient
${}^{p}{}{{\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}}:={\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}/{p}^{{\mathbb{Z}}}$
admet un modèle sur
${\mathbb{Z}}_p$
. On note
${{\mathrm{M}}}^0_{\mathrm{Dr}}$
la fibre générique de
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}[0]$
et
$\breve{{{\mathrm{M}}}}^0_{\mathrm{Dr}}$
la fibre générique de
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
puis on note
${{\mathrm{M}}}^0_{C}:= {{\mathrm{M}}}^0_{\mathrm{Dr}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} C$
et
$\breve{{{\mathrm{M}}}}^0_{C}:= \breve{{{\mathrm{M}}}}^0_{\mathrm{Dr}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} C$
leur extension des scalaires à C. Notons que
$\breve{{{\mathrm{M}}}}^0_{\mathrm{Dr}}\cong \bigsqcup_{n\in {\mathbb{Z}}}{{\mathrm{M}}}_{\mathrm{Dr}}^0$
ce qui permet d’exprimer le quotient
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}^0_{\mathrm{Dr}}}:=\breve{{{\mathrm{M}}}}^0_{\mathrm{Dr}}/p^{{\mathbb{Z}}}$
à partir de deux copies de
${{\mathrm{M}}}^0_{\mathrm{Dr}}$
. De plus,
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}^0_{\mathrm{Dr}}}$
admet un modèle sur
${\mathbb{Q}}_p$
que l’on note
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}^0_{{\mathbb{Q}}_p}}$
et
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^0_{C}:= {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}^0_{{\mathbb{Q}}_p}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} C$
son extension des scalaires à C.
7.2.3 La famille universelle
L’espace
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
est muni d’une famille universelle
${\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}}\rightarrow {\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
qui est un
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-module formel spécial sur
${\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}$
muni d’une quasi-isogénie
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-linéaire universelle
\begin{align*} \rho_{\mathrm{Dr}}\colon {\mathbf{G}}\otimes_{\bar{{\mathbb{F}}}_p} {\mathcal{O}}_{ {\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}}/p \dashrightarrow {\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}}\otimes_{{\mathcal{O}}_{ {\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}}}{\mathcal{O}}_{ {\mathscr{M}}_{\mathrm{Dr}}}/p.\end{align*}
Le module de Tate de ce groupe p-divisible universel définit sur
$\breve{{{\mathrm{M}}}}^0_{\mathrm{Dr}}$
un
${\mathbb{Z}}_p$
-système local étale noté
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}^+:= {\mathbb{T}}_p({\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}})$
(cf. 3.2.3). D’après le lemme 3.11, il définit un
${\mathbb{Q}}_p$
-système local étale, noté
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}:={\mathbb{V}}_p({\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}})$
qui est isotrivial de
$\varphi$
-module associé
$\breve{{\mathbf{M}}}[-1]$
et de poids de Hodge-Tate 0 et 1 (chacun de multiplicité 2). Notons que comme l’action de
$g\in G$
est donnée par
$({\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}}, \rho_{\mathrm{Dr}})\mapsto ({\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}}, \rho_{\mathrm{Dr}}\circ g)$
,
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}^+$
est muni d’une structure G-équivariante, et donc
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}$
aussi.
On a un morphisme des périodes
$\pi \colon {{\mathrm{M}}}_{C}^0\rightarrow {\mathbb{P}}^1_C$
qui est un plongement d’image l’ouvert admissible
${\mathbb{H}}_{C}\subset{\mathbb{P}}^1_C$
d’après le théorème de Drinfeld (cf. [Reference DrinfeldDri76], [Reference Rapoport and ZinkRZ96, Theorem 3.72]). Ainsi, on a des isomorphismes
${{\mathrm{M}}}_{C}^0\cong {\mathbb{H}}_C$
et
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^0_{C}\cong {\mathbb{H}}_C\sqcup{\mathbb{H}}_C$
. Ce morphisme est caractérisé par la propriété
\begin{equation}{\mathbb{Z}}_{p^2}\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}\pi^*{\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(1)\cong \mathrm{Lie}\ {\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}},\end{equation}
où
${\mathcal{O}}_{{\mathbb{P}}^1}(1)$
est le fibré en droite ample usuel de la droite projective et
$\mathrm{Lie} {\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}}$
est le
${\mathbb{Z}}_{p^2}\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathcal{O}}$
-module inversible donné par l’algèbre de Lie du
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-module formel spécial universel.
7.3 La tour de revêtements
7.3.1 Définition
Soit
$n\geqslant 1$
un entier, la famille universelle définit un revêtement étale
${\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}}[\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^n]_C\rightarrow {{\mathrm{M}}}_{C}^0$
(cf. [Reference Boutot and CarayolBC91, (13.2)]). On définit le n-ième étage de la tour de Drinfeld par
\begin{align*}{{\mathrm{M}}}_{C}^n:= {\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}}[\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^n]_C\setminus {\mathcal{G}}_{\mathrm{Dr}}[\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^{n-1}]_{C}\rightarrow {{\mathrm{M}}}_{C}^0.\end{align*}
En termes de problème de modules : posons
$V_{\mathrm{Dr}}^+:= {{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
, l’espace
${{\mathrm{M}}}_{C}^n$
classifie alors les isomorphismes
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}^{\times }$
-équivariants entre
$V_{\mathrm{Dr}}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^n$
et
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^n$
. D’après [Reference Scholze and WeinsteinSW13], il existe un espace perfectode
$\widehat{{{\mathrm{M}}}^{\infty}_{C}}$
tel que
$\widehat{{{\mathrm{M}}}^{\infty}_{C}}\sim \varprojlim_{n}{{\mathrm{M}}}^n_{C}$
et
$\widehat{\breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}}$
tel que
$\widehat{\breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}}\sim \varprojlim_{n}\breve{{{\mathrm{M}}}}^n_{C}$
. Le revêtement
${{\mathrm{M}}}_{C}^n\rightarrow {{\mathrm{M}}}_{C}^0$
a pour groupe de Galois
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}^{\times }/({1+\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^n{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}})$
et on obtient un diagramme
Le
${\mathbb{Q}}_p$
-système local étale isotrivial
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}$
se définit sur
${{\mathrm{M}}}_{C}^n$
de la même manière que précédemment. Sur
$\widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}$
, le système local
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}$
devient trivial. On note simplement
$\breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}$
et
${{\mathrm{M}}}^{\infty}_{C}$
les systèmes projectifs que l’on distinguera des espaces perfectodes complétés correspondant. On appellera abusivement ces systèmes projectifs des tours (de revêtement) et c’est eux dont on veut calculer la cohomologie. La tour de revêtements
$\breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}$
est muni d’une action de
$G\times \check {G}$
.
Comme précédemment, on définit le quotient
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^n_{C}:= \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}/p^{{\mathbb{Z}}}$
qui admet un modèle sur
${\mathbb{Q}}_p$
que l’on note
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^n_{{\mathbb{Q}}_p}$
et qui définit une tour de revêtements
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}^{\infty}_{{\mathbb{Q}}_p}}$
de
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^0_{{\mathbb{Q}}_p}$
. Ainsi, on obtient une action de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
, ce qui définit finalement sur le système projectif
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}^{\infty}_{C}}$
une action du produit
\begin{align*}{\mathbb{G}}:= {\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G\times \check {G}.\end{align*}
On peut définir une action de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
sur
$\breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}$
qui donne l’action décrite sur son quotient
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}^n_{C}}$
et définit ainsi une action de
${\mathbb{G}}$
tout entier sur
$\breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}$
: il suffit de remarquer que le carré du frobenius décrit la donnée de descente effective (cf. [Reference Rapoport and ZinkRZ96, Theorem 3.72] et [Reference Rapoport and ZinkRZ96, Theorem 3.49]). On note
${\mathcal{O}}^n:= {\mathcal{O}}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n})$
qui est une
${\mathbb{Q}}_p$
-représentation de
$G\times \check {G}$
. De même que pour le demi-plan, on définit pour
$k\geqslant 0$
un entier et
$m\in {\mathbb{Z}}$
la représentation
${\mathcal{O}}^n\{k,m\}$
: en tant que
${\mathbb{Q}}_p[\check {G}]$
-module topologique on pose
${\mathcal{O}}^n\{k,m\}={\mathcal{O}}^n$
, et on définit l’action de
$g\in G$
pour
$f\in {\mathcal{O}}^n$
par
\begin{align*}g =\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\in G,\quad (g\star f)(z) = j(z,g)^{-k}\det(g)^{m}f(g\cdot z),\end{align*}
où l’on note
$\pi \colon {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n}\rightarrow {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
la projection naturelle et
$j(z,g) = (a-c\pi(z))\in {\mathcal{O}}$
le facteur d’automorphie. L’action considérée a un sens puisque
${\mathcal{O}}^n$
est naturellement un
${\mathcal{O}}$
-module.
7.3.2 Composantes connexes
Décrivons les composantes connexes de
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
. Rappelons que, d’après Strauch (cf. [Reference StrauchStr08]) on a une surjection
${{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}\rightarrow {\mathbb{Z}}_p^{\times }$
donnant les composantes connexes de la tour. Plus précisément, si l’on choisit un générateur de
${\mathbb{Z}}_p(1)$
, on obtient un isomorphisme
\begin{align*}\pi_0({{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty})\cong \mathrm{Isom}({\mathbb{Z}}_p,{\mathbb{Z}}_p(1))\cong {\mathbb{Z}}_p^{\times }.\end{align*}
Ainsi, on en déduit un isomorphisme
$\pi_0(\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty})\cong {\mathbb{Q}}_p^{\times }$
et une surjection
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\rightarrow {\mathbb{Q}}_p^{\times }$
. Comme
${\mathbb{G}}$
opère sur
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
cette action induit une action sur
${\mathbb{Q}}_p^{\times }$
. Si l’on note, comme dans l’introduction,
$\nu \colon {\mathbb{G}}\rightarrow {\mathbb{Q}}_p^{\times }$
le morphisme donné parFootnote
13
\begin{align*}(\sigma, g, {\check{g}}) \mapsto {\mathrm{rec}} (\sigma)\otimes \det (g)^{-1}\otimes \mathrm{nrd}( {\check{g}}),\end{align*}
alors
${\mathbb{G}}$
opère sur
${\mathbb{Q}}_p^{\times }$
par multiplication par
$\nu$
. De plus, on introduit les groupes
\begin{align*}{\mathbb{G}}^{+}:= \nu^{-1}({\mathbb{Z}}_p^{\times }),\quad {\mathbb{G}}^{\circ}:= \ker \nu.\end{align*}
Alors,
${\mathbb{G}}^{+}$
stabilise
${{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}$
et
${\mathbb{G}}^{\circ}$
stabilise les composantes connexes.
Le lemme suivant résume ces observations, déduites de [Reference StrauchStr08, Theorem 4.4].
Lemme 7.1.
Soit
$L/{\mathbb{Q}}_p$
une extension finie. En tant que L-représentation de
${\mathbb{G}}$
,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, L ) =\mathrm{Ind}_{{\mathbb{G}}^+}^{{\mathbb{G}}}{{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}\,; \, L ) .\end{align*}
De plus,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ({{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}\,; \, L ) =\bigoplus_{\chi\colon {\mathbb{Z}}_p^{\times }\rightarrow L^{\times }} (\chi\circ \nu),\end{align*}
où la somme directe porte sur l’ensemble des caractères lisses de
${\mathbb{Z}}_p^{\times }$
à valeurs dans
$L^{\times }$
.
Remarque 7.2.
-
(1) Dans cette remarque, à partir du résultat pour
${{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:={{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}\,; \, L ) $
, on va expliquer que tous les caractères lisses de
${\mathbb{Q}}_p^{\times }$
apparaissent en sous-objet de
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:={{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, L ) $
.Notons que comme
${\mathbb{G}}/{\mathbb{G}}^+\cong p^{{\mathbb{Z}}}$
via
$\nu$
, l’induction
$\mathrm{Ind}_{{\mathbb{G}}^+}^{{\mathbb{G}}}{{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
s’identifie aux fonctions sur
${\mathbb{Z}}$
à valeurs dans
${{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
et même, puisque ce dernier n’est constitué que de caractères, on a un isomorphisme où l’action de
\begin{align*}\breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\cong \prod_{i\in {\mathbb{Z}}}{{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\end{align*}
${\mathbb{G}}$
décale les facteurs. On en déduit que l’inclusion diagonale
${{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\rightarrow \breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
est stable par
${\mathbb{G}}$
. On peut tordre cette représentation par les caractères de
$p^{{\mathbb{Z}}}$
pour finalement obtenir une inclusion où la somme à gauche porte sur l’ensemble des caractères lisses
\begin{align*}\bigoplus_{\chi\colon {\mathbb{Q}}_p^{\times }\rightarrow L^{\times }} (\chi \circ \nu)\hookrightarrow \breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}},\end{align*}
$\chi \colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
.
-
(2) Dans la description précédente, l’inclusion
${{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\hookrightarrow\breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
stable par
${\mathbb{G}}$
n’est pas l’inclusion naturelle donnée géométriquement. Le même phénomène apparat pour l’inclusion du caractère trivial
$\boldsymbol{1} \circ \nu\hookrightarrow {{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
qui n’est pas donné par la projection sur une composante connexe ; cette dernière n’est pas stable par
${\mathbb{G}}^+$
. -
(3) Comme on travaillera surtout avec
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
, notons que l’on a où
\begin{align*}{}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0:={{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, L ) = {{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\oplus {{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\otimes (\chi_2\circ \nu),\end{align*}
$\chi_2\colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
est l’unique caractère quadratique non ramifié, i.e.
$\chi_2(p)=-1$
. Comme pour le point précédent, l’inclusion
$ {{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} \hookrightarrow {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
de la décomposition n’est pas donnée géométriquement par une projection.
Le lemme 7.1 ainsi que le second point de la remarque nous permet de décomposer les groupes de cohomologie étale suivant les caractères qui apparaissent dans le
$\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^0$
, comme on le fera au paragraphe 9.1.2.
7.3.3 Le L-système local universel
Soit
$\nu_1\colon G\times \check {G}\rightarrow {\mathbb{Q}}_p^{\times }$
la restriction de
$\nu$
à
$G\times \check {G}$
. On note
${\mathbb{V}}:= {\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} L\cdot \lvert \nu_1 \rvert_p^{1/2}$
qui définit un L-système local isotrivial sur la tour
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}$
et on définit
\begin{align*}\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}:= \bigoplus_{k\geqslant 0} {\mathbb{V}}_k,\quad {\mathbb{V}}_k:=\operatorname{Sym}_{L}^k{\mathbb{V}}.\end{align*}
On note
${\mathbb{D}}$
l’isocristal associé à
${\mathbb{V}}$
qui est un L-espace vectoriel. Le formalisme Tannakien fait de
${\mathbb{D}}$
une L-représentation de
$G\times \check {G}$
. De plus, si on pose
\begin{align*}\operatorname{Sym} {\mathbb{D}}:=\bigoplus_{k\geqslant 0} {\mathbb{D}}_k,\quad {\mathbb{D}}_{k}:= \operatorname{Sym}_L^k{\mathbb{D}},\end{align*}
alors,
${\mathbb{D}}_k$
est l’isocristal associé à
${\mathbb{V}}_k$
et on peut considérer
$\operatorname{Sym} {\mathbb{D}}$
comme l’isocristal associé à
$\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}$
. D’après le paragraphe 7.2.3, on a bien
${\mathbb{D}}_{k}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\breve{{\mathbb{Q}}}_p=\operatorname{Sym}_{\breve{{\mathbb{Z}}}_p}^k\breve{{\mathbf{M}}}[-k]\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot \lvert \nu_1 \rvert_p^{k/2}$
. Notons que
$\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}$
définit aussi un L-système local isotrivial sur
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
et sur
${{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
mais l’isocristal associé est alors
$\operatorname{Sym} {\mathbb{D}} \otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\breve{{\mathbb{Q}}}_p$
.
8. Représentations de G et
$\check {G}$
Rappelons que l’on note
$G:= \mathrm{GL}_2({\mathbb{Q}}_p)$
,
$\check {G}:={{\mathrm{D}}}^{\times }$
et
$L/{\mathbb{Q}}_p$
une extension finie assez grande (i.e. contenant les extensions quadratiques de
${\mathbb{Q}}_p$
). On note finalement
$B\subset G$
le sous-groupe de Borel des matrices triangulaires supérieures et
$T\subset B$
le sous-groupe des matrices diagonales ; on a un quotient naturel
$B\rightarrow T$
.
8.1 Représentations (localement) algébriques
Rappelons que pour H un groupe p-adique et V une L-représentation de H, un vecteur
$v\in V$
est dit (localement) algébrique si l’application orbitale
$h\mapsto h\cdot v$
est une fonction (localement) algébrique sur H. Si, comme dans les cas qui nous intéressent, H est l’ensemble des
${\mathbb{Q}}_p$
-points d’un groupe algébrique, ces représentations algébriques proviennent directement des représentations du groupe algébrique sous-jacent. Les représentations que l’on va introduire ne sont localement algébriques mais ce sont simplement des tordues de représentations algébriques par un caractère lisse.
On définit les poids réguliers comme l’ensemble
\begin{align*}P:= \{(\lambda_1,\lambda_2)\in {\mathbb{Z}}^2\mid \lambda_2\gt \lambda_1\}.\end{align*}
On pose de plus
$P_+\subset P$
l’ensemble des poids réguliers positifs, i.e. les
$\lambda=(\lambda_1,\lambda_2)\in P$
tels que
$\lambda_1\geqslant 0$
. Pour
$\lambda\in P$
, posons
$w(\lambda):= \lambda_2-\lambda_1\in {\mathbb{N}}$
et
$\lvert\lambda \rvert = \lambda_2+\lambda_1$
. Pour
$k\geqslant 1$
un entier, K une extension finie de
${\mathbb{Q}}_p$
, on note simplement
$\operatorname{Sym}^k_{K}:= \operatorname{Sym}^k_{K}K^2$
, la puissance symétrique k-ième de la représentation standard de
$\mathrm{GL}_2(K)$
.
8.1.1 Représentations algébriques irréductibles de G
Soit
$\lambda\in P$
. On définit une L-représentation de G par
\begin{align*}W^{*}_{\lambda}:= \operatorname{Sym}_{L}^{w(\lambda)-1}\otimes_{L}{\det}^{\lambda_1}\otimes_L \lvert \det \rvert_p^{\frac{\lvert \lambda \rvert-1}{2}}.\end{align*}
C’est une L-représentation localement algébrique irréductible de G. Rappelons que
\begin{align*}\operatorname{Sym}_{L}^1=L e^*_0\oplus L e^*_1\end{align*}
et pour
$g\in G$
on a
\begin{equation}g=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\\end{pmatrix},\quad g\cdot e_0^*=ae_0^*+ce_1^*,\quad g\cdot e_1^*=be_0^*+de_1^*.\end{equation}
Ainsi, une base de
$W^*_{\lambda}$
est donnée par
$\{(e_0^*)^i(e_1^*)^{j}\}_{i+j=w(\lambda)-1}$
. On note
$W_{\lambda}$
le dual de
$W^*_{\lambda}$
qui a pour base
$\{(e_0)^i(e_1)^{j}\}_{i+j=w(\lambda)-1}$
et qui est construit à partir de
$(\operatorname{Sym}_{L}^1)^*={\mathbb{Q}}_p e_0\oplus {\mathbb{Q}}_p e_1$
. Pour
$g\in G$
on a
\begin{align*}g=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\\end{pmatrix},\quad g\cdot e_0=\frac 1 {\det(g)}(de_0-be_1),\quad g\cdot e_1=\frac 1{\det(g)}(-ce_0+ae_1).\end{align*}
On remarque que
$W^*_{\lambda}\cong W_{\lambda^*}$
où
$\lambda^*:= (1-\lambda_2,1-\lambda_1)$
; en particulier
$w(\lambda) = w(\lambda^*)$
.
8.1.2 Représentations algébriques irréductibles de
$\check {G}$
On a un isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{D}}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cong M_2(L),\end{align*}
ce qui fournit un plongement
$\check {G}\hookrightarrow\mathrm{GL}_2(L)$
et permet de définir
$\operatorname{Sym}^1_L$
, la standard, comme L-représentation de
$\check {G}$
. Remarquons que sous cet isomorphisme la norme réduite s’identifie au déterminant. Ainsi, pour
$\lambda\in P$
, on définit une L-représentation localement algébrique irréductible de
$\check {G}$
par
\begin{align*}{\check{W}}_{\lambda}:=\operatorname{Sym}_{L}^{w(\lambda)-1}\otimes_{L}{\mathrm{nrd}}^{\lambda_1}\otimes_L \lvert \mathrm{nrd} \rvert_p^{\frac{\lvert \lambda \rvert-1}{2}},\end{align*}
et on note
${\check{W}}^*_{\lambda}$
son dual (on a inversé les conventions par rapport à G). On a toujours
${\check{W}}^{*}_{\lambda}\cong {\check{W}}_{\lambda^*}$
.
8.2 L’isocristal de Drinfeld
Rappelons qu’au numéro 7.3.3, on a introduit
$\operatorname{Sym} {\mathbb{D}}$
comme l’isocristal associé au L-système local
$\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}$
qui a naturellement une structure de L-représentation localement algébrique de
$G\times \check {G}$
. Le but de ce numéro est de décrire cette représentation. On commence par factoriser
${\mathbb{D}}$
, puis on décompose
$\operatorname{Sym}{\mathbb{D}}$
à l’aide de foncteurs de Schur.
8.2.1 Factorisation de
${\mathbb{D}}$
Lemme 8.1.
Soit
$L/{{\mathbb{Q}}_p}$
une extension finie contenant une extension quadratique de
${{\mathbb{Q}}_p}$
et
$\rho=(0,2)\in P_+$
. En tant que L-représentation de
$G\times {\check{G}}$
on a
\begin{align*}{\mathbb{D}}\cong W_{\rho}\otimes_L {\check{W}}_{\rho}.\end{align*}
Démonstration. Via l’isomorphisme
${{\mathrm{D}}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} L\cong {{\mathrm{M}}}_2(L)$
on obtient deux actions (l’une à gauche et l’autre à droite) de
$\mathrm{GL}_2(L)$
qui commutent. Ces actions se restreignent en une représentation de
$G\times \check {G}$
via le plongement de ces groupes dans
$\mathrm{GL}_2(L)$
. Maintenant, si V est un L-espace vectoriel de dimension finie,
$\mathrm{End}_L(V)\cong V\otimes V^*$
et l’action de
$\mathrm{GL}(V)\times \mathrm{GL}(V)$
est à gauche sur le premier facteur V et à droite sur le second facteur
$V^*$
. En ce sens, l’isomorphisme
$\mathrm{End}_L(V)\cong V\otimes V^*$
est
$\mathrm{GL}(V)\times \mathrm{GL}(V)$
-équivariant. Ceci nous donne le lemme en prenant
$V=L^{2}$
et en tordant par
$\lvert \nu_1 \rvert_p^{1/2}=\lvert {\det}^{-1}\otimes \mathrm{nrd} \rvert_p^{1/2}$
.
Remarque 8.2. Ce résultat peut aussi se démontrer à la main en utilisant une base adaptée (cf. [Reference VanhaeckeVan23]). Donnons une dernière interprétation de ce résultat en termes de théorie de Hodge p-adique. On reprend les notations du numéro 7.2.1. Rappelons qu’à isomorphisme près, il existe un unique groupe formel de hauteur 2 et de dimension 1 sur
$\bar{{\mathbb{F}}}_p$
; notons le
${\mathbf{H}}$
. Soit
$\breve{{\mathbf{N}}}^+$
le module de Dieudonné de
${\mathbf{H}}$
et
$\breve{{\mathbf{N}}}$
l’isocristal associé. Alors
$\breve{{\mathbf{N}}}^+\cong {{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}\otimes_{{\mathbb{Z}}_{p^2}}\breve{{\mathbb{Z}}}_p$
muni du frobenius
${\mathbf{F}}=\varpi_{{{\mathrm{D}}}}\otimes\sigma$
. Ainsi,
\begin{align*}\breve{{\mathbf{M}}}^+={{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}\breve{{\mathbb{Z}}}_p={{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}\otimes_{{\mathbb{Z}}_{p^2}}({\mathbb{Z}}_{p^2}\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}\breve{{\mathbb{Z}}}_p)\cong {{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}\otimes_{{\mathbb{Z}}_{p^2}}(\breve{{\mathbb{Z}}}_p\times \breve{{\mathbb{Z}}}_p)\cong \breve{{\mathbf{N}}}^+\oplus \breve{{\mathbf{N}}}^+.\end{align*}
De ce petit calcul on récupère plusieurs conséquences :
-
– On a un isomorphisme
${\mathbf{G}}\cong {\mathbf{H}}\times {\mathbf{H}}$
de groupes p-divisibles. -
– En inversant p, on peut écrire
$\breve{{\mathbf{M}}}\cong (\operatorname{Sym}^1_{{\mathbb{Q}}_p})^* \otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\breve{{\mathbf{N}}}$
, ce qui muni
$\breve{{\mathbf{M}}}$
d’une action de G. Le calcul montre que cette action concide avec l’action par automorphisme. -
– La description de
$\breve{{\mathbf{N}}}^+$
permet de retrouver que les automorphismes de
${\mathbf{H}}$
sont
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
. On obtient que
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
agit diagonalement sur
$\breve{{\mathbf{M}}}^+\cong \breve{{\mathbf{N}}}^+\oplus \breve{{\mathbf{N}}}^+$
et on récupère que l’action par
$\check {G}$
sur les composantes
$\breve{{\mathbf{N}}}$
est la standard.
En conclusion,
$\breve{{\mathbf{M}}}\cong (\operatorname{Sym}^1_{{\mathbb{Q}}_p})^* \otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\breve{{\mathbf{N}}}$
comme
$\breve{{\mathbb{Q}}}_p$
-représentation de
$G\times \check {G}$
et on a montré que
\begin{align*}\breve{{\mathbf{M}}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot\lvert \nu_1 \rvert_p^{1/2} \cong (W_{\rho}\otimes_L {\check{W}}_{\rho})\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\breve{{\mathbb{Q}}}_p.\end{align*}
on renvoie à [Reference Fargues and FontaineFF18, Théorème 8.1.5] qui résume la théorie de Hodge p-adique des
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-modules formels spéciaux.
8.2.2 Décomposition de l’isocristal
On veut maintenant décomposer
$\operatorname{Sym} {\mathbb{D}}$
. Commençons par quelques rappels sur les foncteurs de Schur. Soit K un corps de caractéristique 0, pour tout entier
$k\geqslant 0$
et toute partition
$\mu\dashv k$
on a un foncteur de Schur
${\mathbb{S}}_{\mu}\colon \mathrm{Vect}_{K}\rightarrow \mathrm{Vect}_{K}$
qui permet de construire les représentations irréductibles du groupe symétrique
${\mathfrak{S}}_k$
et les représentations du groupe général linéaire. Les partitions de k sont représentées par des diagrammes de Young. Pour plus de détails sur ces constructions et le résultat qui va suivre, on renvoie à [Reference Fulton and HarrisFH91, Lecture 6]. Soient V et W deux K-espaces vectoriels. Alors d’après [Reference Fulton and HarrisFH91, Exercice 6.11], on a
\begin{align*}\operatorname{Sym}_{K}^k(V\otimes_{K} W) = \bigoplus_{\mu\dashv k}{\mathbb{S}}_{\mu}V\otimes_{K} {\mathbb{S}}_{\mu}W,\end{align*}
où la somme porte sur l’ensemble des tableaux de Young
$\mu$
tels que le nombre de lignes de
$\mu$
est inférieur à
$\dim_{K} V$
et à
$\dim_{K} W$
, i.e. on considère les partitions en au plus
$\min\{\dim_{K}V,\dim_{K} W\}$
entiers. De plus, pour V un K-espace vectoriel de dimension 2 et
$\mu=(\mu_1,\mu_2)$
on a
\begin{align*}{\mathbb{S}}_{\mu}V = \operatorname{Sym}^{\mu_1-\mu_2}V\otimes_{K}{\det}^{\mu_2}.\end{align*}
Combiné au lemme 8.1 on en déduit le résultat suivant.
Corollaire 8.3.
En tant que L-représentation de
$G\times \check {G}$
, on a
\begin{align*}\operatorname{Sym} {\mathbb{D}}\cong \bigoplus_{\lambda\in P_+}W_{\lambda}\otimes_{L}{\check{W}}_{\lambda}.\end{align*}
De plus, pour
$k\in {\mathbb{N}}$
,
${\mathbb{D}}_k\cong \bigoplus_{\lvert \lambda\rvert = k+1}W_{\lambda}\otimes_{L}{\check{W}}_{\lambda}$
.
8.3 La série spéciale et la Steinberg
8.3.1 Définitions et dévisages
Rappelons qu’une L-représentation de Steinberg de G est construite à partir des fonctions d’une certaine régularité sur
${\mathbb{P}}^1({\mathbb{Q}}_p)$
à valeur dans L dont on prend le quotient par le sous-espace des fonctions constantes.
On définit la Steinberg lisse sur L par
\begin{align*}\mathrm{St }^{\infty}_L:={\mathscr{C}}^{\infty}( {{\mathbb{P}}^1({\mathbb{Q}}_p),L} )/L.\end{align*}
C’est une L-représentation lisse de G de type LB (limite inductive de Banach) qui est irréductible.
De même, on définit la Steinberg localement analytique sur L par
\begin{align*}\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_L:={\mathscr{C}}^{\mathrm{lan}}( {{\mathbb{P}}^1({\mathbb{Q}}_p),L} )/L.\end{align*}
C’est une L-représentation localement analytique de G de type LB. Ce n’est pas une représentation irréductible puisque
$\mathrm{St }^{\infty}_L\subset \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_L$
. Il s’avère que le quotient est irréductible et qu’il s’interprète en termes de fonctions sur le demi-plan p-adique. Plus précisément, le quotient s’identifie au dual de
$({\mathcal{O}}/{\mathbb{Q}}_p)\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L$
. On va étendre ces constructions en poids supérieurs.
Pour
$\lambda\in P$
, on définit la Steinberg localement algébrique de poids
$\lambda$
par
\begin{align*}\mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}:= \mathrm{St }^{\infty}_L\otimes_L W^*_{\lambda}.\end{align*}
C’est une L-représentation localement algébrique de G de type LB qui est irréductible. De plus, on note
$\widetilde{\mathrm{St }}^{\infty}$
l’unique extension lisse de la représentation triviale L par
$\mathrm{St }^{\infty}_L$
, c’est-à-dire
$\widetilde{\mathrm{St }}^{\infty}:= \mathrm{Ind}_B^G(\lvert\ \cdot\ \rvert_p\otimes \lvert\ \cdot\ \rvert_p^{-1})^{\infty}$
, et on définit
\begin{align*}\widetilde{\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}:= \widetilde{\mathrm{St }}^{\infty}\otimes_L W^*_{\lambda}.\end{align*}
C’est aussi l’unique extension localement algébrique de
$W^*_{\lambda}$
par
$\mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}$
. C’est une L-représentation localement algébrique de G de type LB qui a deux composantes de Jordan-Hölder.
Soit
$\lambda\in P$
. Pour tout
$i\in {\mathbb{N}}$
, notons
$x^i$
le caractère algébrique
${\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
,
$a\mapsto a^i$
. Posons
\begin{align*}B_{\lambda}:= \mathrm{Ind}_B^G(x^{\lambda_1}\otimes x^{\lambda_2-1})^{\mathrm{lan}}\otimes_L \lvert \det \rvert_p^{\frac{\lvert \lambda\rvert -1}{2}}, \quad B^{\lambda}:= \mathrm{Ind}_B^G( x^{\lambda_2}\otimes x^{\lambda_1-1})^{\mathrm{lan}}\otimes_L \lvert \det \rvert_p^{\frac{\lvert \lambda\rvert -1}{2}}.\end{align*}
Ce sont des L-représentations localement analytiques de G de type LB,
$B^{\lambda}$
est irréductible et
$W^*_{\lambda}\subset B_{\lambda}$
([Reference ColmezCol14, Remarque 2.2]), qui n’est donc pas irréductible. On définit finalement la Steinberg localement analytique de poids
$\lambda$
par
\begin{align*}\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}:= B_{\lambda}/W_{\lambda}^{*}.\end{align*}
C’est une L-représentation localement analytique de G de type LB. Notons que
$\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}$
n’est pas isomorphe à
$\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{L}\otimes_LW_{\lambda}^*$
mais qu’on a une inclusion naturelle
$\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}\hookrightarrow \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{L}\otimes_LW_{\lambda}^*$
qui identifie
$\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}$
à la sous-représentation de
$\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}\hookrightarrow \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{L}\otimes_LW_{\lambda}^*$
de même caractère infinitésimal que
$W^{*}_{\lambda}$
(c’est-à-dire que
$\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}$
est obtenue à partir du foncteur de translation de poids
$\lambda$
appliqué à
$\mathrm{St }_L^{\mathrm{lan}}$
).
On note
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]}$
le groupe des extensions dans la catégorie des L-représentations localement analytiques de caractère central fixé.Footnote
14
D’après [Reference ColmezCol14, Proposition 2.6] et [Reference ColmezCol14, Théorème 2.7] on obtient le lemme suivant.
Lemme 8.4
-
(1) L’action par dérivation, donnée par l’élément
$u^{+}:=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} \in {\mathfrak{g}}$
de l’algèbre de Lie de G, induit une suite exacte En particulier,
\begin{align*}0\rightarrow \mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\rightarrow \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}\xrightarrow{(u^+)^{w(\lambda)}}B^{\lambda}\rightarrow 0.\end{align*}
$\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}$
a deux composantes de Jordan-Hölder.
-
(2) On a un isomorphisme naturel
$\mathrm{Hom}({\mathbb{Q}}^{\times }_p,L)\xrightarrow{\sim} \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda} ) $
.
Le membre de gauche de cet isomorphisme est de dimension 2 sur L, engendré par la valuation p-adique
$v_p$
et le logarithme
$\log$
normalisé par
$\log(p)=0$
. La base
$(v_p,log)$
donne une identification
${\mathbb{P}}(\mathrm{Hom}({\mathbb{Q}}^{\times }_p,L))\cong {\mathbb{P}}^1(L)= L\cup \{\infty\}$
définie par
$av_p+b\log\mapsto -\tfrac{b}{a}$
, ce qui permet de définir pour
${\mathcal{L}}\in L\cup \{\infty\}\cong {\mathbb{P}}^1(L)$
une représentation localement analytique de type LB que l’on note
$\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
et qui est par définition contenue dans une suite exacte de L-représentations de G non scindées
\begin{align*}0\rightarrow \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda} \rightarrow \Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\rightarrow W_{\lambda}^*\rightarrow 0.\end{align*}
En particulier,
$\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
a trois composantes de Jordan-Hölder. Rappelons de plus que
$\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
est la représentation localement analytique construite par Breuil dans [Reference BreuilBre04] où il démontre les résultats suivants.
Lemme 8.5. On a,
-
–
$\mathrm{End}_L( {\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )=L$
, -
– si
$(\lambda,{\mathcal{L}},\chi)\neq (\lambda',{\mathcal{L}}',\chi')$
alors où
\begin{align*}\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\otimes (\chi\circ \det) \not \cong \Sigma_{{\mathcal{L}}'}^{\lambda'}\otimes (\chi'\circ \det),\end{align*}
$\chi,\chi'\colon {\mathbb{Q}}_p^{\times }\rightarrow L^{\times }$
sont des caractères lisses,
-
– les vecteurs localement algébriques de
$\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
sont
$\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lalg}}$
si
${\mathcal{L}}\neq \infty$
et
$\widetilde{\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lalg}}$
si
${\mathcal{L}}=\infty$
.
8.3.2 Dualité de Morita
La dualité de Morita donne un isomorphisme explicite entre les formes différentielles sur le demi-plan p-adique et les distributions localement analytiques sur l’espace projectif. Plus précisément, on a un isomorphisme topologique G-équivariant
\begin{align*}( {\mathrm{St }_L^{\mathrm{lan}}} )'\cong \Omega^1\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cong {\mathcal{O}}\{2,1\},\end{align*}
donné explicitement par le noyau de Poisson
\begin{equation}\mu\in ( {\mathrm{St }_L^{\mathrm{lan}}} )'\mapsto \in t_{{\mathbb{P}}^1({{\mathbb{Q}}_p})}\frac{dz}{z-x}\mu(x),\end{equation}
où l’intégrale à droite signifie l’accouplement entre la distribution
$\mu$
et la fonction
$x\in {\mathbb{P}}^1({{\mathbb{Q}}_p})\mapsto \frac{dz}{z-x}\in \Omega^1$
à valeurs dans les différentielles sur
${\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
. Breuil a étendu cette dualité à la série spéciale p-adique (cf. [Reference BreuilBre04, Théorème 3.2.3]). On aura besoin d’une version tordue de la dualité de Morita, qui apparat chez Breuil (cf. [Reference BreuilBre04, Théorème 3.1.2]) mais aussi chez Dasgupta-Teitelbaum (cf. [Reference Dasgupta and TeitelbaumDT08, Theorem 2.2.1]). Nous énonçons le théorème en utilisant le noyau de Poisson, pour lequel on renvoie à [Reference Dasgupta and TeitelbaumDT08, Proposition 2.2.6]. Soit
$\lambda\in P$
, notons (cf. (7.1) pour les notations)
\begin{align*}\omega_{\lambda}:= {\mathcal{O}}\{1+w(\lambda),1-\lambda_1\}\otimes_L \lvert \det \rvert^{\frac{1-\lvert \lambda \rvert}{2}}.\end{align*}
Proposition 8.6.
Soit
$\lambda \in P_+$
. Alors on a un isomorphisme topologique entre L-représentations de G,
$( {\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lan}}} )'\cong \omega_{\lambda}$
donné par le noyau de Poisson
\begin{align*}\mu\in ( {\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lan}}} )'\mapsto \in t_{{\mathbb{P}}^1({{\mathbb{Q}}_p})}\frac{1}{z-x}\mu(x).\end{align*}
Remarque 8.7. Notons que comme les isomorphismes de Morita sont donné par la même formule, ils sont compatibles au sens suivant : si l’on tensorise par
$W_{\lambda}$
l’isomorphisme de Morita
$(\mathrm{St }_{L}^{\mathrm{lan}})'\cong \Omega^1\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L$
et que l’on restreint l’isomorphisme obtenue aux sous-espaces ayant même caractère infinitésimal que
$W_{\lambda}$
, on obtient l’isomorphisme de la proposition 8.6.
8.4 Préliminaires techniques
8.4.1 Cohomologie (continue) de
$\check {G}^+(n)$
à valeur dans une induite (continue)
On note
$\check {G}^+:={{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}^{\times }$
,
$\check {G}^1:= \ker (\mathrm{nrd})$
,
$\check {G}(n):=1+\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^n{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
et
$\check {G}^1(n):= \check {G}(n)\cap \check {G}^1$
pour
$n\geqslant 1$
(par convention, on pose
$\check {G}(0)=\check {G}^+$
et
$\check {G}^1(0)=\check {G}^1$
). Dans ce numéro, on utilise la cohomologie continue des groupes, notés
${{\mathrm{H}}}_{\mathrm{ct}}^{*}$
, et on renvoie à Casselman et Wigner (cf. [Reference Casselman and WignerCW74]) pour sa définition en termes de cochaines continues. Le but de ce paragraphe est de démontrer la proposition suivante, concernant la cohomologie continue d’une induite continue.
Proposition 8.8.
Soient
$n\geqslant 0$
et
$k\geqslant 0$
deux entiers. Alors
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{ct}} ( \check {G}(n)\,; \, \mathrm{Ind}_{\check {G}^1}^{\check {G}^+}\operatorname{Sym}_{{\mathbb{Z}}_p}^k{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}} )\end{align*}
est un
${\mathbb{Z}}_p$
-module de torsion p-primaire et de type fini. En particulier, il est annulé par une puissance de p.
La preuve repose sur deux lemmes issus de résultats de Lazard (cf. [Reference LazardLaz65]) que l’on utilisera après avoir appliqué le lemme de Shapiro continue (cf. [Reference Casselman and WignerCW74, Proposition 3]). Le premier lemme permet de montrer que la cohomologie est de p-torsion.
Lemme 8.9.
Soit
$H\subset \check {G}^1$
un sous-groupe ouvert compact. Soit V une
${\mathbb{Q}}_p$
-représentation algébrique de H de dimension finie, alors
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{ct}} ( H\,; \, V ) =0.\end{align*}
Démonstration. Premièrement, on identifie l’algèbre de Lie de
$\check {G}$
à
${{\mathrm{D}}}$
, ainsi, l’algèbre de Lie de H est la même que celle de
$\check {G}^1$
, qui est
${{\mathrm{D}}}^1\subset {{\mathrm{D}}}$
, la sous-algèbre de Lie des éléments dont la trace réduite est nulle. De plus, H est un groupe de Lie p-adique et V est a fortiori une représentation localement analytique. Ainsi, d’après un théorème de Lazard, [Reference LazardLaz65, Chapitre V Théorème 2.4.9], la cohomologie de groupe est calculée par la cohomologie de l’algèbre de Lie. Plus précisément,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1 ( H\,; \, V ) \cong {{\mathrm{H}}}^1 ( {{\mathrm{D}}}^1\,; \, V ) .\end{align*}
Donc, il suffit de montrer que
${{\mathrm{H}}}^1 ({{\mathrm{D}}}^1\,; \, V ) =0$
. Or
${{\mathrm{D}}}^1$
est une algèbre de Lie semi-simple et V est une représentation de dimension finie. On utilise maintenant le théorème de Whitehead (cf. [Reference JacobsonJac62, III. Theorem 13]) pour conclure que
${{\mathrm{H}}}^1 ( {{\mathrm{D}}}^1\,; \, V ) =0$
.
Le second lemme permet de montrer que le groupe de cohomologie en question est de type fini.
Lemme 8.10.
Soient
$n\geqslant 0$
et
$k\geqslant 0$
deux entiers. Alors,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{ct}} ( \check {G}^1(n)\,; \, \operatorname{Sym}_{{\mathbb{Z}}_p}^k{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}} ) ,\end{align*}
est un
${\mathbb{Z}}_p$
-module de type fini.
Démonstration. Notons
$S:= \operatorname{Sym}_{{\mathbb{F}}_p}^k{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
,
${{\mathrm{H}}}^1 := {{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}^1(n)\,; \, S ) $
et
$\bar{S}:= S/\varpi_{{{\mathrm{D}}}}\cong \operatorname{Sym}_{{\mathbb{F}}_p}^k{\mathbb{F}}_{p^2}$
. Alors
${{\mathrm{H}}}^1:= \varprojlim_m {{\mathrm{H}}}^1/{\varpi_{{{\mathrm{D}}}}}^m$
(cf. par exemple [Reference Neukirch, Schmidt and WingbergNSW08, Corollary 2.7.6]) et
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1/{\varpi_{{{\mathrm{D}}}}} = {{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}^1(n)\,; \, \bar S ) .\end{align*}
On va montrer que
${{\mathrm{H}}}^1/{\varpi_{{{\mathrm{D}}}}}$
est fini.
Supposons que
$n\geqslant 1$
, alors l’action de
$\check {G}^1(n)$
est triviale sur
$\bar S$
. Donc, pour montrer que
${{\mathrm{H}}}^1/{\varpi_{{{\mathrm{D}}}}}$
est de dimension finie, il suffit de justifier que
${{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}^1(n)\,; \, {\mathbb{F}}_p ) $
est de dimension finie. Mais d’après un résultat de Lazard (cf. [Reference LazardLaz65, Chapitre V, Théorème 2.5.8]), comme
$\check {G}^1(n)$
est un groupe analytique p-adique compact et sans-torsion, c’est un groupe de Poincaré ; en particulier
${{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}^1(n)\,; \, {\mathbb{F}}_p ) $
est fini et donc
${{\mathrm{H}}}^1/{\varpi_{{{\mathrm{D}}}}}$
est fini dès que
$n\geqslant 1$
.
Si
$n=0$
, comme
$\check {G}^1/\check {G}^1(1)$
est un groupe d’ordre
$p+1$
, donc premier à p, on a
${{\mathrm{H}}}^i ( \check {G}^1/\check {G}^1(1)\,; \, \bar S ) =0$
pour
$i\geqslant 1$
et la suite d’inflation restriction donne un isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}^1\,; \, \bar S ) \cong {{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}^1(1)\,; \, \bar S ) ^{\check {G}},\end{align*}
et on vient de montrer que le terme de droite est fini. Ainsi
${{\mathrm{H}}}^1/{\varpi_{{{\mathrm{D}}}}}$
est fini pour tout entier
$n\geqslant 0$
.
Finalement, d’après le lemme de Nakayama,
${{\mathrm{H}}}^1/{\varpi_{{{\mathrm{D}}}}}^m$
est un
${\mathbb{Z}}/p^m$
-module, et donc un
${\mathbb{Z}}_p$
-module, de type fini engendré par
$\dim_{{\mathbb{F}}_p} {{\mathrm{H}}}^1( \check {G}^1(n)\,; \, \bar S ) $
générateurs. On en déduit que
${{\mathrm{H}}}^1:= \varprojlim_m{{\mathrm{H}}}^1/{\varpi_{{{\mathrm{D}}}}}^m$
est de type fini.
On démontre maintenant la proposition 8.8.
Démonstration. Notons
$S:= \operatorname{Sym}_{{\mathbb{Z}}_p}^k{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
et
$I(m):= \mathrm{Ind}_{\check {G}^1(m)}^{\check {G}(m)}S$
pour
$m\geqslant 0$
un entier. On commence par deux observations :
-
– On a
$I(0)\cong {\mathscr{C}}^0 ( {\mathbb{Z}}_p^{\times }\, , \, {\mathbb{Z}}_p ) \otimes_{{\mathbb{Z}}_p}S$
puisque S est un
${\mathbb{Z}}_p$
-module libre de rang fini. De même,
$I(m)\cong {\mathscr{C}}^0 ( 1+p^m{\mathbb{Z}}_p\, , \, {\mathbb{Z}}_p ) \otimes_{{\mathbb{Z}}_p}S$
pour
$m\geqslant 1$
. -
– On veut appliquer le lemme de Shapiro continue (cf. [Reference Casselman and WignerCW74, Proposition 3]) pour obtenir
Or, d’après la Remarque (2) à (cf. [Reference Casselman and WignerCW74, Proposition 4]), il suffit de montrer que la projection
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{ct}} ( \check {G}(n)\,; \, I(n) ) \cong {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{ct}} ( \check {G}^1(n)\,; \, S ) .\end{align*}
$\check {G}(n)\rightarrow \check {G}(n)/\check {G}^1(n)$
admet une section continue. Par l’application norme,
$\check {G}(n)/\check {G}^1(n)$
s’identifie à un sous-groupe de
${\mathbb{Z}}_p^{\times }$
et donc il suffit de montrer que la surjection
$\check {G}^+\xrightarrow{\mathrm{nrd}}{\mathbb{Z}}_p^{\times }\cong \mu_{p-1}\times (1+p{\mathbb{Z}}_p)$
admet une section continue. La projection sur le premier facteur définie
$\check {G}^+\rightarrow \mu_{p-1}$
, qui admet une section continue car
$\mu_{p-1}$
est discret. Comme l’application
$(1+p{\mathbb{Z}}_p)\rightarrow {\mathbb{Z}}_p^{\times }$
définie par
$u\mapsto \sqrt{u}$
est continue (car analytique), elle définit une section continue pour la projection sur le second facteur
$\check {G}^+\rightarrow (1+p{\mathbb{Z}}_p)$
.
Par le lemme 8.9,
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{ct}} (\check {G}^1(n)\,; \, S ) \otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{\mathbb{Q}}_p=0$
ce qui signifie que
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{ct}} ( \check {G}^1(n)\,; \, S ) $
est de torsion p-primaire et le lemme 8.10 nous assure qu’il est de type fini. Ainsi
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{ct}} ( \check {G}(n)\,; \, I(n) ) $
est de torsion p-primaire et de type fini, ce qui termine la preuve si
$n=0$
. Supposons maintenant
$n\geqslant 1$
, on a
\begin{align*}I(0)\cong \bigoplus_{a\in ({\mathbb{Z}}/p^n)^{\times }}{\mathscr{C}}^0( a+p^n{\mathbb{Z}}_p\, , \, {\mathbb{Z}}_p ) \otimes_{{\mathbb{Z}}_p}S\cong \bigoplus_{a\in ({\mathbb{Z}}/p^n)^{\times }}I(n),\end{align*}
en tant que représentation de
$\check {G}(n)$
. Ainsi,
${{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}(n)\,; \, I(0) ) $
est de torsion p-primaire et de type fini.
8.4.2 Annulation d’un groupe d’extension localement analytique
Commençons par motiver ce que l’on va faire, quitte à sortir légèrement du cadre de ce paragraphe. On introduit la L-représentation
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
de G en 12.1. Les vecteurs localement analytiques de
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
ne sont pas exactement
${\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
; ils ont une composante de Jordan-Hölder supplémentaire dont on va montrer ici qu’elle n’interviendra pas dans nos futurs calculs. Plus précisément, la L-representation localement analytique
${}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
de G a 4 composantes de Jordan-Hölder et on a une suite exacte non scindée
\begin{align*}0\rightarrow {\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\rightarrow {}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\rightarrow {\widetilde{B}}^{\lambda}\rightarrow 0,\end{align*}
où
$\widetilde{B}^{\lambda}:=\mathrm{Ind}_B^G(\omega x^{\lambda_2-1}\otimes \omega^{-1}x^{\lambda_1})^{\mathrm{lan}}\otimes_L\lvert \det \rvert_p^{\frac{\lvert \lambda \rvert -1}{2}}$
, avec
$\omega(x)=x\lvert x \rvert$
le caractère cyclotomique, qui est une L-représentation localement analytique de G. On va montrer le résultat suivant.
Lemme 8.11.
Soit
$\lambda\in P_+$
. Alors, dans la catégorie des L-représentations localement analytiques de G à caractère central fixé
\begin{align*}\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( {W}_{\lambda}^*\, , \, {\widetilde{B}}^{\lambda} ) =0.\end{align*}
Avant de démontrer ce lemme on a besoin d’un peu de préparation. Dans ce numéro, on utilise la cohomologie localement analytique des groupes de Lie p-adiques, notés
${{\mathrm{H}}}_{\mathrm{lan}}^{*}$
, et on renvoie à Kohlhasse (cf. [Reference KohlhaaseKoh11]) et Schraen (cf. [Reference SchraenSch10, Section 3]) pour sa définition en termes de cochaines localement analytiques. Comme nous manquons d’une référence donnant une formule de Künneth (à coefficients) pour la cohomologie localement analytique, nous aurons recours au lemme suivant.
Lemme 8.12.
Soient
$H=H_1\times H_2$
un produit de groupes de Lie p-adiques et
$\delta=\delta_1\otimes\delta_2\colon H\rightarrow L^{\times }$
un caractère localement analytique. Supposons l’une des hypothèses suivantes :
-
(1)
$H_2$
est un groupe compact localement
${\mathbb{Q}}_p$
-analytique,
-
(2)
$H_2$
est le groupe des points
${\mathbb{Q}}_p$
-rationnels d’un groupe réductif connexe défini sur
${\mathbb{Q}}_p$
.
Alors, pour
$i\geqslant 0$
un entier, on a l’inégalité
\begin{align*}\dim_L{{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{lan}} ( H\,; \, \delta ) \leqslant \sum_{i_1+i_2=i}\dim_L{{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{lan}} ( H_1\,; \, \delta_1 ) \cdot\ \dim_L{{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{lan}} ( H_2\,; \, \delta_1 ) .\end{align*}
Démonstration. L’inégalité découle de la suite spectrale de d’Hochschild-Serre (cf. [Reference KohlhaaseKoh11, Theorem 6.8]). L’hypothèse
$({\mathbb{A}})$
de [Reference KohlhaaseKoh11, Theorem 6.8] est vérifiée dans les deux cas : cf. [Reference KohlhaaseKoh11, Theorem 4.4]) si (1) est vraie, cf. [Reference KohlhaaseKoh11, Theorem 6.6] si (2) est vraie.
Rappelons que que l’on note
$T\subset G$
le sous-groupe des matrices diagonales que l’on voit comme un quotient
$B\rightarrow T$
du Borel des matrices triangulaires supérieures.
Lemme 8.13.
Soit
$\delta\colon T\rightarrow L^{\times }$
un caractère localement analytique mais non algébrique (en particulier non trivial), que l’on voit comme un caractère de B via
$B\rightarrow T$
. Alors, pour tout entier
$i\geqslant 0$
,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{lan}} ( B\,; \, \delta ) =0.\end{align*}
Démonstration. Pour ne pas alourdir les notations, on note simplement
${{\mathrm{H}}}^*:={{\mathrm{H}}}^*_{\mathrm{lan}}$
pour la cohomologie localement analytique dans cette preuve. On commence par justifier qu’il suffit de montrer que pour tout caractère localement analytique non trivial
$\delta \colon T \rightarrow L^{\times }$
, on a
${{\mathrm{H}}}^i ( T\,; \, \delta ) =0$
. En effet, d’après [Reference KohlhaaseKoh11, Theorem 6.8], on aFootnote
15
une suite spectrale d’Hochschild-Serre qui s’écrit
\begin{align*}E_2^{i,j} := {{\mathrm{H}}}^{i} ( T\,; \, {{\mathrm{H}}}^j (N\,; \, \delta ) ) \implies {{\mathrm{H}}}^{i+j} ( B\,; \, \delta ),\end{align*}
et en tant que représentation de T, on a
${{\mathrm{H}}}^j ( N\,; \, \delta ) ={{\mathrm{H}}}^j ( N\,; \, {\mathbb{Q}}_p ) \otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\delta$
. Mais, en tant que représentation de T,
${{\mathrm{H}}}^j ( N\,; \, {\mathbb{Q}}_p ) $
est un caractère algébrique donc, par hypothèse,
${{\mathrm{H}}}^j ( N\,; \, \delta ) $
est un caractère non algébrique. Ainsi, il suffit de montrer que l’on a
${{\mathrm{H}}}^i ( T\,; \, \delta ) =0$
pour tout entier
$i\geqslant 0$
comme annoncé.
D’après le lemme 8.12, comme
$T=({\mathbb{Q}}_p^{\times })^2$
et que
${\mathbb{Q}}_p^{\times }$
vérifie l’hypothèse (2), en écrivant
$\delta=\delta_1\otimes \delta_2$
, on se ramène donc à montrer que pour tout caractère non trivial
$\delta_0\colon {\mathbb{Q}}_p^{\times }\rightarrow L^{\times }$
et pour tout entier
$i\geqslant 0$
on a
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^i ( {\mathbb{Q}}_p^{\times }\,; \, \delta_0 ) =0.\end{align*}
Pour démontrer ce résultat, on décompose
${\mathbb{Q}}_p^{\times }=p^{{\mathbb{Z}}}\cdot\mu_{p-1}\cdot(1+p{\mathbb{Z}}_p)\cong {\mathbb{Z}}\times \mu_{p-1}\times {\mathbb{Z}}_p$
et le lemme 8.12, appliqué pour
$H_2={\mathbb{Z}}_p^{\times }$
, puis pour
$H_2=(1+p{\mathbb{Z}}_p)$
, vérifiant tous deux l’hypothèse (2) :
\begin{align*}\dim_L{{\mathrm{H}}}^i ( {\mathbb{Q}}_p^{\times }\,; \, \delta_0 ) \leqslant \sum_{i_1+i_2+i_3=i}\dim_L{{\mathrm{H}}}^{i_1} ( {\mathbb{Z}}\,; \, \delta_0 ) \cdot\dim_L{{\mathrm{H}}}^{i_2} ( \mu_{p-1}\,; \, \delta_0 ) \cdot\dim_L{{\mathrm{H}}}^{i_3} ( {\mathbb{Z}}_p\,; \, \delta_0 ) .\end{align*}
On analyse les termes un à un pour justifier que dans chaque terme de la somme, au moins l’un des groupes de cohomologie s’annule.
-
– On a
${{\mathrm{H}}}^{i_1} ( {\mathbb{Z}}\,; \, \delta_0 ) =0$
pour
$i_1\geqslant 2$
ou pour tout entier
$i_1\geqslant 0$
tel que
$\delta_0(p)\neq 1$
. -
– On a
${{\mathrm{H}}}^{i_2} ( \mu_{p-1}\,; \, \delta_0 ) =0$
pour
$i_2\geqslant 1$
puisque les représentations de groupes finis en caractéristique zéro sont semi-simples, puis
${{\mathrm{H}}}^{0} ( \mu_{p-1}\,; \, \delta_0 ) =0$
si
${\delta_0}\mid_{(\mu_{p-1})}\neq 1$
. -
– On a
${{\mathrm{H}}}^{i_3} ( {\mathbb{Z}}_p\,; \, \delta_0 ) =0$
pour
$i_3\geqslant 2$
, ou pour tout entier
$i_3\geqslant 0$
tel que
${\delta_0}\mid_{(1+p{\mathbb{Z}}_p)}\neq 1$
.
Puisque
$\delta_0\neq 1$
, l’une des restrictions considérées n’est pas triviale, donc l’un des trois groupes de cohomologie est toujours nul ce qui permet de conclure que
${{\mathrm{H}}}^i ( {\mathbb{Q}}_p^{\times }\,; \, \delta_0 ) =0$
pour tout entier
$i\geqslant 0$
.
On peut maintenant passer à la démonstration du lemme 8.11.
Démonstration. D’après le lemme de Shapiro (cf. [Reference SchraenSch10, Proposition 3.4]), on a
\begin{align*}\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( {W}_{\lambda}^*\, , \, {\widetilde{B}}^{\lambda} ) \cong {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{lan}} ( B\,; \, W_{\lambda}\otimes_L(\omega x^{\lambda_2-1}\otimes \omega^{-1}x^{\lambda_1})\otimes_L \lvert \det \rvert_p^{\frac{\lvert \lambda \rvert -1}{2}} ) ,\end{align*}
où la cohomologie à droite est la cohomologie localement analytique de groupes. Or, en tant que représentation de B,
$\operatorname{Sym}^{w(\lambda)-1}$
est une extension successive de caractères algébriques et donc
$W_{\lambda}\otimes_L(\omega x^{\lambda_2-1}\otimes \omega^{-1}x^{\lambda_1})\otimes_L \lvert \det \rvert_p^{\frac{\lvert \lambda \rvert -1}{2}}$
est une extension successive de caractères localement algébriques dont la partie lisse n’est pas triviale. Ainsi, il suffit de montrer que pour tout entier
$i\geqslant 0$
et pour tout caractère localement algébrique non trivial
$\delta\colon {\mathbb{Q}}_p^{\times }\rightarrow L^{\times }$
on a
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{lan}} ( B\,; \, \delta ) =0.\end{align*}
Or, c’est le contenu du lemme 8.13, ce qui conclut la preuve du lemme.
9. Calculs de cohomologie
Le but de cette section est de décomposer les différentes cohomologies isotriviales de la tour de Drinfeld suivant les poids pour se ramener à des opers dont on sait maintenant calculer la cohomologie (cf. la première partie). On traitera aussi des torsions par des caractères lisses qui apparaissent au travers des composantes connexes.
9.1 Décomposition des cohomologies
9.1.1 Rappels des définitions
Faisons quelques rappels tout en introduisant de nouvelles notations. On a la tour d’espaces rigides
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_C^{\infty}$
muni d’une action de
${\mathbb{G}}={\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G \times \check {G}$
. Son quotient par
$p\in G$
, noté
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_C^{\infty}$
, est la somme de deux copies de
${{\mathrm{M}}}_C^{\infty}$
et ce dernier est uniquement muni d’une action de
${\mathbb{G}}^+:= \nu^{-1}({\mathbb{Z}}_p^{\times })$
. Sur ces différentes tours, on définit le L-système local
${\mathbb{V}}:= {\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot\lvert \nu \rvert_p^{1/2}$
où
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}$
est le module de Tate rationnel du
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
-module formel spécial universel. Le module de Tate
${\mathbb{V}}_{\mathrm{Dr}}^+$
définit un réseau
${\mathbb{V}}^+$
et on pose
\begin{align*}\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}:= \bigoplus_{k\geqslant 0} \operatorname{Sym}_L^k{\mathbb{V}},\quad \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}^+:= \bigoplus_{k\geqslant 0} \operatorname{Sym}_{{{\mathrm{O}}}_L}^k{\mathbb{V}}^+.\end{align*}
On définit la cohomologie étale de
$\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1)$
comme étant la somme directe des cohomologies étales des
$\operatorname{Sym}_L^k{\mathbb{V}}(1)$
. Soit
\begin{align*}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}={{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) := \bigoplus_{k\geqslant 0}\varinjlim_n{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, \operatorname{Sym}_{{{\mathrm{O}}}_L}^k {\mathbb{V}}^+(1) ) \otimes_{{{\mathrm{O}}}_L}L.\end{align*}
De façon similaire,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:= {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ,\quad {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}={}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:= {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) .\end{align*}
Ici,
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
et
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
(resp.
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
) sont des L-représentations de
${\mathbb{G}}$
(resp.
${\mathbb{G}}^+$
). De même, les cohomologies proétales sont définies par
\begin{align*}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}={{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) :=\bigoplus_{k\geqslant 0}\varinjlim_n{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, \operatorname{Sym}_L^k {\mathbb{V}}(1) ) ,\end{align*}
et de façon similaire
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:= {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ,\quad {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}={}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:= {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) .\end{align*}
De même,
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
(resp.
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
) sont des L-représentations de
${\mathbb{G}}$
(resp.
${\mathbb{G}}^+$
). Pour les cohomologies de de Rham et de Hyodo-Kato on va surtout utiliser
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}$
, comme on a besoin d’un modèle sur une extension finie de
${\mathbb{Q}}_p$
pour appliquer ce qui a été développé dans la première partie. On associe à
${\mathbb{V}}$
un fibré plat filtré
${\mathcal{E}}=({\mathcal{E}},\nabla,\mathrm{Fil})$
et comme
${\mathbb{V}}$
est fortement isotrivial de fibré associé
${\mathbb{D}}$
on obtient que
${\mathcal{E}}:= {\mathbb{D}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathcal{O}}^{\infty}$
(on note temporairement
${\mathcal{O}}^n$
le faisceau des fonctions sur
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{n}$
) et
$\nabla = \mathrm{id}\otimes d$
. Le fibré associé à
$\operatorname{Sym}^k_L{\mathbb{V}}$
est donné par la puissance symétrique k-ième de
${\mathcal{E}}$
. Ainsi, on définit
\begin{align*}\operatorname{Sym} {\mathcal{E}} := \bigoplus_{k\geqslant 0}\operatorname{Sym}_{{\mathcal{O}}^{\infty}}^k{\mathcal{E}},\quad \operatorname{Sym} {\mathbb{D}} := \bigoplus_{k\geqslant 0}\operatorname{Sym}_L^k {\mathbb{D}},\end{align*}
et
\begin{align*}{}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{dR}}^1:= \bigoplus_{k\geqslant 0}\varinjlim_n{{\mathrm{H}}}_{\mathrm{dR}}^1 ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{n}\,; \, \operatorname{Sym}_{{\mathcal{O}}^n}^k{\mathcal{E}} ) ,\quad {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^1:= \bigoplus_{k\geqslant 0}\varinjlim_n{{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^1 ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{n}\,; \, \operatorname{Sym}_{L}^k{\mathbb{D}} ) .\end{align*}
Ce sont des L-représentations de
${\mathbb{G}}$
(où
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
agit trivialement) et
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^1\cong {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{dR}}^1$
par isomorphisme de Hyodo-Kato. De plus,
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{dR}}^1$
est muni d’une filtration
$L[\check {G}]$
-stable et
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^1$
est muni d’un endomorphisme L-linéaire
$\varphi$
et d’une monodromie, qui s’avère être triviale (c’est un 1-morphisme non trivial vers
${{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}}$
comme on le verra en 12.3.3). On définit aussi
\begin{align*}\begin{gathered}{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{dR}}:= \bigoplus_{k\geqslant 0}\varinjlim_n{{\mathrm{H}}}_{\mathrm{dR}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, \operatorname{Sym}_{{\mathcal{O}}^n}{\mathcal{E}} ) , \quad {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^1:= \bigoplus_{k\geqslant 0}\varinjlim_n{{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^1 ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, \operatorname{Sym}_{L}^k{\mathbb{D}} ) ,\end{gathered}\end{align*}
où le fibré plat est défini de la même façon. Alors
${}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{dR}}\cong {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{dR}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}C$
qui est donc un C-espace vectoriel muni d’une action de
${\mathbb{G}}$
et d’une filtration
$L[{\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times \check {G}]$
-stable ;
${{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}}^1_{\mathrm{HK}}\cong {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\breve{{\mathbb{Q}}}_p$
est un
$L\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\breve{{\mathbb{Q}}}_p$
-espace vectoriel, muni d’une action de
${\mathbb{G}}$
et d’un endomorphisme
$\sigma$
-linéaire. Notons que
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
n’agit plus trivialement et l’isomorphisme de Hyodo-Kato s’écrit
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{HK}}\otimes_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}C\cong \breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{dR}}$
. Les définitions de
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{dR}}$
et
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{HK}}$
se font à partir de
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
puis
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}}$
et
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}$
se font à partir de
${{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}$
; elles sont très similaires et ne seront pas détaillées.
9.1.2 Torsion par des caractères lisses et composantes connexes
On va utiliser la décomposition de
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
(cf. lemme 7.1) pour se débarrasser des caractères et se restreindre au calcul des
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}$
(voire
${{\mathrm{H}}}^1_{\star}$
) pour le reste de l’article.
Lemme 9.1.
Pour
$\star=\{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{dR},\mathrm{HK}\}$
on a :
\begin{align*}\breve{{{\mathrm{H}}}}^{1}_{\star}=\mathrm{Ind}_{{\mathbb{G}}^+}^{{\mathbb{G}}}{{\mathrm{H}}}^1_{\star},\end{align*}
où l’induite est continue, et
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^{1}_{\star}=\bigoplus_{\chi\colon {\mathbb{Z}}_p^{\times }\rightarrow L}{{\mathrm{H}}}^1_{\star}[\chi],\end{align*}
où la somme porte sur les caractères lisses
$\chi \colon {\mathbb{Z}}_p^{\times }\rightarrow L^{\times }$
. De plus,
${{\mathrm{H}}}^1_{\star}[\chi]\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\star}[\boldsymbol{1}]\otimes (\chi\circ \nu)$
où
$\boldsymbol{1}$
désigne le caractère trivial.
Remarque 9.2.
-
(1) Pour
$\chi\colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
un caractère lisse on pose
${{\mathrm{H}}}^1_{\star}[\chi]:= {{\mathrm{H}}}^1_{\star}[\boldsymbol{1}]\otimes (\chi\circ \nu)$
. En utilisant le premier point de la remarque 7.2 on obtient un plongement
${\mathbb{G}}$
-équivariant. Donc en tant que L-représentation de
\begin{align*}\bigoplus_{\chi\colon {\mathbb{Q}}_p^{\times }\rightarrow L}{{\mathrm{H}}}^1_{\star}[\chi]\hookrightarrow \breve{{{\mathrm{H}}}}^{1}_{\star}.\end{align*}
${\mathbb{G}}$
, le socle de
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^{1}_{\star}$
est contenu dans le membre de gauche.
-
(2) On déduit de la remarque précédente qu’on a
où
\begin{align*}{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\star}\otimes(\boldsymbol{1}\oplus \chi_2)\circ \nu.\end{align*}
$\chi_2\colon {\mathbb{Q}}_p^{\times }\rightarrow L^{\times }$
est le caractère non ramifié d’ordre 2.
Lemme 9.3.
Soit
$\star \in \{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{dR},\mathrm{HK}\}$
.
-
(1) On a une inclusion
${}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}\hookrightarrow \breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}$
qui identifie
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}$
aux vecteurs fixés par
$p\in {\mathbb{G}}$
vu comme élément de G ou
$\check {G}$
. En d’autres termes, si W est une L-représentation de
${\mathbb{G}}$
tel que
$p\in {\mathbb{G}}$
agit trivialement, alors
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\, , \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star} ) = \mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\, , \, {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star} ) .\end{align*}
-
(2) Soit
$\chi \colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
un caractère lisse, et W une représentation de
${\mathbb{G}}$
, alors
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\, , \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star} ) \cong \mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\otimes (\chi\circ \nu)\, , \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star} ) .\end{align*}
Démonstration. Le second point du lemme est une conséquence immédiate du premier point de la remarque 9.2 puisqu’elle implique que
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}\otimes \chi=\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}$
. On démontre la première partie du lemme. Pour éviter toute confusion, notons [p] l’endomorphisme de
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}$
induit par
$p\in {\mathbb{G}}$
. On écrit la suite spectrale de Hochschild-Serre pour le recouvrement
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_C^{\infty}\rightarrow {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_C^{\infty}$
, qui donne, en bas degrés, une suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1 ( p^{{\mathbb{Z}}}\,; \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\star} ) \rightarrow {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}\rightarrow ( \breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star})^{[p]=1}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^2 ( p^{{\mathbb{Z}}}\,; \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\star} ) .\end{align*}
Donc, il suffit de montrer que
$ {{\mathrm{H}}}^1 (p^{{\mathbb{Z}}}\,; \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\star} ) =0$
pour tout entier
$i\geqslant 0$
. Or,
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\star}=\breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
et comme
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}=\mathrm{Ind}_{{\mathbb{G}}^+}^{{\mathbb{G}}}{{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
d’après le lemme 7.1, c’est un
$L[p^{{\mathbb{Z}}}]$
-module acyclique. Donc
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^i ( p^{{\mathbb{Z}}}\,; \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^0_{\star} ) =0,\end{align*}
ce qui prouve la première partie.
Le lemme précédent permet, en tordant par un caractère, de ramener le calcul des multiplicités dans
$\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}$
au calcul des multiplicités dans
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}$
; on met cet énoncé sous forme d’un corollaire.
Corollaire 9.4.
Soit
$\star \in \{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{dR},\mathrm{HK}\}$
et soit W une L-représentation absolument irréductible de
${\mathbb{G}}$
, alors il existe un caractère lisse
$\chi \colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
tel que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\, , \,\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star} ) \cong \mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\otimes (\chi\circ \nu)\, , \, {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star} ).\end{align*}
9.1.3 Décomposition du système local
Le but de ce paragraphe est de décomposer le système local suivant les différents poids. On commence par observer que le corollaire 8.3 donne une décomposition de
$\operatorname{Sym}{\mathbb{D}}$
et donc du fibré
$\operatorname{Sym}{\mathcal{E}}$
,
\begin{align*}\operatorname{Sym}{\mathbb{D}} = \bigoplus_{\lambda\in P_+}{\mathbb{D}}_{\lambda}\otimes_{L}{\check{W}}_{\lambda},\quad \operatorname{Sym} {\mathcal{E}}=\bigoplus_{\lambda\in P_+}{\mathcal{E}}_{\lambda}\otimes_{L}{\check{W}}_{\lambda},\end{align*}
où
-
–
${\mathbb{D}}_{\lambda}$
est un
$\varphi$
-module sur
${\mathbb{Q}}_p$
, mais aussi un L[G]-module isomorphe à
$W_{\lambda}$
, -
–
${\mathcal{E}}_{\lambda}$
est un fibré plat filtré G-équivariant, tel que
${\mathcal{E}}_{\lambda}={\mathcal{O}}^{\infty}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}W_{\lambda}$
en tant que fibré G-équivariant, muni de la connexion
$\nabla=d\otimes \mathrm{id}$
et de sa filtration de Hodge induite par la puissance symétrique.
Le théorème de reconstruction des systèmes locaux isotriviaux (cf. la proposition 3.9) nous donne directement la proposition suivante.
Proposition 9.5.
Pour tout
$\lambda\in P_+$
, il existe un L-système local fortement isotrivial
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
, G-équivariant et tel que
\begin{align*}\operatorname{Sym} {\mathbb{V}}=\bigoplus_{\lambda\in P_+}{\mathbb{V}}_{\lambda}\otimes_{L}{\check{W}}_{\lambda}.\end{align*}
De plus, en notant
$\rho\in P_+$
le poids
$\rho=(0,2)$
ce système local est donné explicitement par
\begin{align*}{\mathbb{V}}_{\lambda}=\operatorname{Sym}_{L}^{w(\lambda)-1}{\mathbb{V}}_{\rho}\otimes_{L}{\det}^{\lambda_1}.\end{align*}
Finalement
${\mathbb{D}}_{\lambda}={\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_{\lambda})$
, l’action de
$\varphi$
sur
${\mathbb{D}}_{\lambda}$
est telle que
$\varphi^2=p^{1-\lvert \lambda\rvert}$
et
${\mathbb{D}}_{\lambda}={\mathbb{D}}_{(0,w(\lambda))}[-\lambda_1]$
en tant que
$\varphi$
-module.
Démonstration. En utilisant la décomposition selon les poids, il suffit de montrer
${\mathbb{V}}\cong {\mathbb{V}}_{\rho}\otimes_L {\check{W}}_{\rho}$
en tant que L-système local. Rappelons que
${\mathbb{V}}$
est muni d’une action de
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
dont la trivialisation
$\check {G}^1$
-équivariante fournit la tour de revêtements étales
${{\mathrm{M}}}^{\infty}_C\rightarrow {{\mathrm{M}}}^0_C$
. Pour
$\bar x$
un point géométrique de
${{\mathrm{M}}}^n_C$
, cette tour définit le morphisme
$\pi_1({{\mathrm{M}}}^n_C,\bar x)\rightarrow \check {G}^1(n)$
et la fibre de
${\mathbb{V}}$
en
$\bar x$
est décrite par
\begin{align*}{\mathbb{V}}(\bar x) \cong D\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cong {\check{W}}_{\rho}\oplus {\check{W}}_{\rho}.\end{align*}
Donc
${\mathbb{V}}\cong {\mathbb{V}}_{\rho}\otimes_L U$
où U est un L-espace vectoriel correspondant à un système local trivial et
${\mathbb{V}}_{\rho}(\bar x)={\check{W}}_{\rho}$
. Il reste à montrer que
${\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_{\rho})\cong W_{\rho}$
ou, de manière équivalente, que
$U\cong {\check{W}}_{\rho}$
.
Supposons le contraire, i.e.
${\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_{\rho})\cong {\check{W}}_{\rho}$
. Alors le fibré plat filtré associé à
${\mathbb{V}}_{\rho}$
est
${\check{W}}_{\rho}\otimes_L{\mathcal{O}}^{n}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}C$
et comme sa filtration est G-équivariante, celle-ci est constante. C’est une contradiction puisque
${\mathbb{V}}_{\rho}$
n’est pas un système local trivial.
Remarque 9.6. La proposition 9.5 (ainsi que sa preuve) peut porter à confusion puisqu’on pourrait rétorquer que ‘l’action de
$\check {G}^1(n)$
sur
${\mathbb{V}}_{\rho}$
ne peut pas être triviale puisque c’est l’action du
$\pi_1$
et que le système local n’est pas trivial’. Or l’action du
$\pi_1$
sur le système local est bien triviale (par définition) mais ne l’est pas sur les fibres. Le système local
${\mathbb{V}}_{\rho}$
est muni d’une action de
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
qui permet d’expliciter l’action du
$\pi_1$
sur les fibres géométriques de
${\mathbb{V}}_{\rho}$
mais ces deux actions sont différentes. La différence apparat puisque le
$\pi_1$
agit sur les trivialisations du système local alors que
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
agit sur le système local.
On pourrait aussi rétorquer que ‘comme le frobenius sur
${\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_{\rho})$
est défini à partir de l’action de
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
et comme l’action de
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
est triviale sur
${\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_{\rho})$
, c’est un isocristal trivial’. L’erreur dans cet énoncé provient une fois de plus de la différence entre l’action du
$\pi_1$
et l’action de
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}$
: c’est l’action du
$\pi_1$
qui définit la structure d’isocristal sur
${\mathbb{D}}({\mathbb{V}}_{\rho})$
.
Cette décomposition permet de factoriser la partie algébrique de l’action de
$\check {G}$
et de réduire le calcul de la cohomologie du système local. On note pour
$\lambda\in P_+$
\begin{equation}\begin{aligned} \breve{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}&:= {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ,& {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}&:= {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ), \\\breve{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}&:={{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} (\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ),& {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}&:= {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ), \\\breve{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\mathrm{dR}}&:={{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} (\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ),& {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\mathrm{dR}}&:= {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ), \\\breve{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\mathrm{HK}}&:={{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} (\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) ,&{}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\mathrm{HK}}&:= {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ).\end{aligned}\end{equation}
On a préféré la notation
${{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\star}$
à
${{\mathrm{H}}}^{1,\lambda}_{\star}$
en espérant qu’elle n’induise pas de confusion. On pourrait aussi définir les
${}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\star}$
. Une conséquence directe de la proposition 9.5 sont les décompositions suivantes.
Corollaire 9.7.
Pour
$\star \in \{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{dR},\mathrm{HK}\}$
on a des décompostion
${\mathbb{G}}$
-équivariantes
\begin{align*}\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}=\bigoplus_{\lambda\in P_+}\breve{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\star}\otimes_{L} {\check{W}}_{\lambda}, \quad {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\star}=\bigoplus_{\lambda\in P_+}{}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\star}\otimes_{L} {\check{W}}_{\lambda}.\end{align*}
9.2 L’oper de Drinfeld
9.2.1 Filtration de
${\mathcal{O}}^n\otimes W_{\lambda}$
Rappelons qu’on note
$\rho=(0,2)$
. On commence par supposer que
$\lambda=(0,k+1)$
pour
$k\in {\mathbb{N}}$
mais il est facile d’en déduire les formules générales en tordant par le déterminant ; c’est ce que l’on fera pour énoncer les résultats. On suit de près [Reference Schneider and StuhlerSS91, Paragraphe 5] mais on décale la filtration pour obtenir celle de
${\mathcal{E}}_{\lambda}$
. On définit l’élément
$f = (\pi(z)e_1-e_0)$
qui vit dans
${\mathcal{O}}^n\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} W_{\rho}$
et qui vérifie, pour
$g\in G$
, la relation
$g\cdot f = j(g,z)^{-1}f$
; c’est une forme modulaire de poids
$-1$
. Ainsi, on définit sur
${\mathcal{O}}^n\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} W_{\lambda}$
une filtration décroissante de
${\mathcal{O}}^n$
-modules qui est G-équivariante et
$\check {G}$
-invariante,
${\mathcal{O}}^n\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} W_{\lambda}=F^{-k}\supsetneq F^{-k+1} \supsetneq \dots \supsetneq F^{0}\supsetneq 0$
, définie pour
$q\in {\mathbb{Z}}$
tel que
$0\leqslant q \leqslant k+1$
par
\begin{align*}F^{q-k} = \bigoplus_{j=0}^{k-q}{\mathcal{O}}^nf^{q}e_1^{k-q-j}e_0^{j},\end{align*}
$F^{q-k}=0$
si
$q\gt k+1$
et
$F^{q-k}=F^{-k}$
si
$q\lt 0$
. De plus, les
$e_0^je_1^{k-j}$
forment une
${\mathcal{O}}^n$
-base de
${\mathcal{O}}^n\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} W_{\lambda}$
et de la formule
$e_0e_1^j=\pi(z)e_1^{j+1}-fe_1^j$
, on déduit par récurrence que pour
$j\in {\mathbb{N}}$
tel que
$0\leqslant j \leqslant q+1$
,
\begin{align*}f^{q}e_1^{k-q-j}e_0^j\in {\mathcal{O}}^nf^{q-\lambda_1}e_1^{k-q}+F^{q-k+1}.\end{align*}
Ainsi, les
$f^qe_1^{k-q}$
avec
$0\leqslant q \leqslant k$
forment une
${\mathcal{O}}^n$
-base de
${\mathcal{O}}^n\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} W_{\lambda}$
et donc on définit un isomorphisme de
${\mathcal{O}}^n$
-modules
$\Theta_q\colon {\mathcal{O}}^n\rightarrow F^{q-k}/F^{q-k+1}$
par
$\Theta_q(h):= hf^qe_1^{k-q}$
. Un petit calcul montre qu’il donne un isomorphisme G-équivariant
$\Theta_q \colon {\mathcal{O}}^n\{2q-k,q-k\}\xrightarrow{\sim} F^{q-k}/F^{q-k+1}$
. En effet, soit
$h\in {\mathcal{O}}^n$
, on a pour
$g =\begin{pmatrix}\!a & b \\ c & d\! \end{pmatrix}\in G$
\begin{align*}&g\cdot [hf^qe_1^{k-q}]\\&\quad = j(g,z)^{-q}\det(g)^{q-k}g\cdot hf^q\underbrace{(-ce_0+ae_1)^{k-q}}_{(j(g,z)e_1+cf)^{k-q}} \in j(g,z)^{k-2q}\det(g)^{q-k}g\cdot hf^qe_1^{k-q}+F^{q-k+1}.\end{align*}
Soit
$\Omega^n:= \Omega^1({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n})$
, rappelons que
$\Omega^n\cong {\mathcal{O}}^n\{2,1\}$
d’après le numéro 8.3.2. Naturellement, on a une filtration G-équivariante
\begin{align*}\Omega^n\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}W_{\lambda}=\Omega^n\otimes_{{\mathcal{O}}^n}F^{-k}\supsetneq \Omega^n\otimes_{{\mathcal{O}}^n}F^{-k+1} \supsetneq \dots\supsetneq \Omega^n\otimes_{{\mathcal{O}}^n}F^{1}=0,\end{align*}
et les quotients successifs sont décrits par
\begin{align*}\Theta'_q\colon {\mathcal{O}}^n\{2(q+1)-k,q+1-k\}\xrightarrow{\sim}\Omega^n\otimes_{{\mathcal{O}}^n}F^{q-k}/\Omega^n\otimes_{{\mathcal{O}}^n}F^{q-k+1}.\end{align*}
De plus, la dérivée donne
\begin{align*}(d\otimes \mathrm{id}) (hf^qe_1^{k-q}) = dz\otimes q f^{q-1}e_1^{k-q+1}+dh\otimes f^qe_1^{k-q}.\end{align*}
Ainsi,
\begin{align*}(d\otimes \mathrm{id}) (hf^qe_1^{k-q})\in dz\otimes q f^{q-1}e_1^{k-q+1}+\Omega^n\otimes_{{\mathcal{O}}^n}F^{q-k}.\end{align*}
On en déduit que
$d\otimes \mathrm{id} \colon F^{q-k}/F^{q-k+1}\rightarrow \Omega^n\otimes_{{\mathcal{O}}^n}F^{q-k-1}/\Omega^n\otimes_{{\mathcal{O}}^n}F^{q-k}$
s’identifie à la multiplication par q si
$1\leqslant q \leqslant k$
. Finalement, on a montré le lemme suivant.
Lemme 9.8.
Si
$\lambda=(0,k+1)$
, le fibré plat filtré
$({\mathcal{O}}^n\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}W_{\lambda}, d\otimes id, F^{\bullet})$
est un oper de poids (0,k).
9.2.2 L’oper
${\mathcal{E}}_{\lambda}$
On tord maintenant tous les calculs précédents par
${\det}^{-\lambda_1}$
. On a
${\mathcal{E}}_{\lambda}={\mathcal{O}}^n\otimes W_{\lambda}$
et la filtration que l’on a construite concide naturellement avec la filtration de Hodge définit par
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
sur
${\mathcal{E}}_{\lambda}$
d’après la formule (7.2). En particulier, cette filtration est
$G\times \check {G}$
-équivariante et on en a calculé les quotients. On obtient la proposition suivante.
Proposition 9.9.
Soit
$\lambda \in P_+$
, la filtration de Hodge
${\mathcal{E}}_{\lambda}=F^{-\lambda_2+1}\supsetneq F^{-\lambda_2+2}\supsetneq \dots \supsetneq F^{-\lambda_1}\supsetneq 0$
est telle que
\begin{align*}F^q/F^{q+1}\cong {\mathcal{O}}^n\{2q+\lvert \lambda \rvert - 1,q\}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot \lvert \nu_1 \rvert_p^{\frac{1-\lvert \lambda \rvert}{2}}.\end{align*}
En particulier,
${\mathbb{V}}_{\lambda}$
est un L-oper de poids
$(\lambda_1,\lambda_2-1)$
On peut ainsi définir petit complexe de de Rham Footnote 16 (cf. le numéro 4.2.2) qui prend ici la forme:
\begin{align*}&{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}} ({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n\,; \,{\mathcal{E}}_{\lambda} )\\&\quad :={\mathcal{O}}^n\{1-w(\lambda),1-\lambda_2\}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot\lvert\nu_1 \rvert_p^{\frac{1-\lvert \lambda\rvert}{2}}\xrightarrow{\partial^{w(\lambda)}}{\mathcal{O}}^n\{1+w(\lambda),1-\lambda_1\}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot \lvert \nu_1 \rvert_p^{\frac{1-\lvert \lambda \rvert}{2}}\!,\end{align*}
où
$\partial=u^+\in {\mathfrak{g}}$
opère sur
$h\in {\mathcal{O}}^n$
par
$u^+(h)=h'$
, où h’ est défini par
$d(h) = h'dz$
. La proposition 4.6 nous assure que ce complexe est quasi-isomorphe au complexe de de Rham. Plus précisément on a un quasi-isomorphisme
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) \cong {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) $
qui est
$G\times \check {G}$
-équivariant.
9.2.3 Diagramme fondamental pour l’espace de Drinfeld
Pour réduire la taille du diagramme, on introduit quelques notations supplémentaires. Pour
$\lambda \in P_+$
on note
\begin{equation}\begin{aligned}{\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}&:=\varinjlim_n{\mathcal{O}}_{\lambda}^n,& {\mathcal{O}}_{\lambda}^n&:= {\mathcal{O}}^n\{1-w(\lambda),1-\lambda_2\}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot\lvert \nu \rvert_p^{\frac{1-\lvert \lambda \rvert}{2}},\\\omega_{\lambda}^{\infty}&:= \varinjlim_n \omega_{\lambda}^n,&\omega_{\lambda}^n&:= {\mathcal{O}}^n\{1+w(\lambda),1-\lambda_1\}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot\lvert \nu \rvert_p^{\frac{1-\lvert \lambda \rvert}{2}},\\{W}_{\lambda}^{\pi_0^{\infty}} &:= \varinjlim_n{W}_{\lambda}^{\pi_0^{n}},& \pi_0^{n}&:= \pi_0({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^n_{C}).\end{aligned}\end{equation}
On note de plus
\begin{align*}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}:= t^{\lambda_1}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+/t^{\lambda_2}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+,\quad {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0:= t^{\lambda_1}( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi^2=p^{w(\lambda)+1}},\quad {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^1:= t^{\lambda_1}( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi^2=p^{w(\lambda)-1}}.\end{align*}
On applique maintenant le diagramme fondamental et le théorème de comparaison, soit la proposition 5.7 et le théorème 6.1 à la tour d’espaces Stein
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}$
; on utilise aussi les notations de (9.1).
Théorème 9.10
Soit
$\lambda\in P_+$
. On a un diagramme commutatif,
${\mathbb{G}}$
-équivariant d’espaces de Fréchet, dont les lignes sont exactes.
De plus, les flèches verticales sont d’images fermées et la première flèche verticale (resp. horizontale) est injective si et seulement si
$w(\lambda)\neq1$
.
Remarque 9.11. Si
$w(\lambda)\neq 1$
, l’inclusion
${{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L$
peut surprendre mais elle a une interprétation en termes de théorie de Hodge p-adique. Donnons là pour
$\lambda = \rho := (0,2)$
. Reprenons les notations de la remarque 8.2, alors
\begin{align*}{{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+}^{\varphi^2=p^3}=(\breve{{\mathbf{N}}}\otimes_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}{{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+})^{\varphi=p^2}.\end{align*}
De plus, on définit
${\mathbf{N}}_{\mathrm{dR}}\cong (\breve{{\mathbf{N}}}\otimes_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}C)^{{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}}$
qui est un
${\mathbb{Q}}_p$
-espace vectoriel de dimension 2. Ainsi, on a inclusion
${{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+}^{\varphi^2=p^3}\hookrightarrow {\mathbf{N}}_{\mathrm{dR}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
, mais comme
${{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+}^{\varphi^2=p^3}\cap({\mathbf{N}}_{\mathrm{dR}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} t^2{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+) =0$
, on obtient une inclusion
${{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+}^{\varphi^2=p^3}\hookrightarrow {\mathbf{N}}_{\mathrm{dR}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+/t^2$
. Finalement, on peut identifier
${\mathbf{N}}_{\mathrm{dR}}\cong {\mathbb{Q}}_{p^2}$
pour obtenir une inclusion
\begin{align*}{{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+}^{\varphi^2=p^3}\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L\hookrightarrow {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+/t^2\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} L.\end{align*}
10. Cohomologie étale isotriviale de
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
et vecteurs bornés
Dans cette section on montre que le sous-espace des vecteurs G-bornés de la cohomologie proétale isotriviale de la tour de Drinfeld concide avec la cohomologie étale isotrivial. Rappelons qu’un vecteur
$v\in \Pi$
d’une L-représentation
$\Pi$
de G est dit G-borné si l’ensemble
$\{g\cdot v\}_{g\in G}$
est borné. On dit qu’un sous-ensemble X d’un L-espace vectoriel topologique est borné si pour toute suite
$(x_n)_{n\in {\mathbb{N}}}$
d’éléments de X on a
$p^nx_n\xrightarrow{n\rightarrow +\infty}0$
. Dans un espace Fréchet, où la topologie est définie par une famille de valuations
$(v_k)_{k\in {\mathbb{N}}}$
, ceci équivaut à l’existence, pour tout
$k\in {\mathbb{N}}$
d’un
$N_k\in {\mathbb{Z}}$
tel que
$v_k(x)\geqslant N_k$
pour tout
$x\in X$
. On note
$\Pi^{G\text{-}{{\mathrm{b}}}}\subset \Pi$
le sous-espace des vecteurs G-bornés de
$\Pi$
, qui définit une sous-L-représentation de
$\Pi$
.
Théorème 10.1.
L’application
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) \rightarrow {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) $
est injective et induit un isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ^{G\text{-}{{{{\mathrm{b}}}}}}\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) .\end{align*}
Rappelons que pour
$k\in {\mathbb{N}}$
on note
${\mathbb{V}}_k:= \operatorname{Sym}_L^k{\mathbb{V}}$
qui admet un réseau
${\mathbb{V}}_k^+:=\operatorname{Sym}_L^k{\mathbb{V}}^+$
. La preuve se fait en deux temps. On peut alors se restreindre à démontrer le théorème 10.1 en niveau
$n\in {\mathbb{N}}$
pour les
${\mathbb{V}}_k$
. Dans un premier temps, on montre que
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}^+_{k}(1) ) $
est de torsion bornée, donc qu’il définit un réseau invariant dans
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}(1) ) $
. Ceci montre une inclusion et on conclut alors en expliquant que l’argument de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Proposition 2.12] s’adapte sans difficultés.
10.1 Annulations
Dans ce numéro, on montre l’annulation de différents groupes de cohomologie proétale. Plus précisément, on montre le résultat suivant.
Théorème 10.2.
Soit
$\lambda\in P_+$
. Si
$i\geqslant 2$
alors
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) =0.\end{align*}
De plus,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ={{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) =\begin{cases}0 & \text{ si $w(\lambda)\neq 1$,}\\{\mathbb{Q}}_p(\lambda_1+1)^{\pi_0^{\infty}} & \text{ si $w(\lambda)=1$.}\end{cases}\end{align*}
On va montrer ce théorème pour la cohomologie syntomique et utiliser le théorème de comparaison proétale-syntomique (cf. le théorème 6.1) pour conclure.
10.1.1 Annulation de
${{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
On commence par montrer la seconde partie du théorème 10.2.
Proposition 10.3.
Soit
$n\geqslant 0$
et
$\lambda\in P_+$
. On a
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ={{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) =\begin{cases}0 & \text{ si $w(\lambda)\neq1$,}\\{\mathbb{Q}}_p(\lambda_1+1)^{\pi_0^n} & \text{ si $w(\lambda)=1$.}\end{cases}\end{align*}
Démonstration. Si
$w(\lambda)=1$
, alors
${\mathbb{V}}_{\lambda}={\mathbb{Q}}_p(\lambda_1)$
et le résultat est clair donc on suppose que
$w(\lambda)\neq 1$
. On sait, par définition, que
${{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{syn}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) $
est le noyau de l’application
\begin{align*}( {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) \widehat{\otimes}_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+) ^{\varphi=p}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^0\mathrm{DR}( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n},{\mathcal{E}}_{\lambda}).\end{align*}
Or, d’après le théorème 9.10, le noyau de cette application est le même que celui de
\begin{align*}{{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}{W}_{\lambda}^{\pi_0^n} \rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p} {\mathcal{O}}_{\lambda}^n,\end{align*}
qui est injective (cf. la remarque 9.11) puisque
$w(\lambda)\neq 1$
. D’après le théorème 6.1
\begin{align*} {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \,{\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) \cong {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{syn}} ({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \,{\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) = 0. \end{align*}
Remarque 10.4. On peut proposer une autre preuve de ce résultat en utilisant le groupe fondamental étale. Pour un point géométrique
$x\colon \mathrm{Spa}(C,C^+)\rightarrow Y$
, on sait que
${\mathbb{V}}(x)$
correspond à la L-représentation
$\operatorname{Sym}_L^{w(\lambda)-1}$
de
$\pi_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, x ) \rightarrow \check {G}^1(n)\subset \check {G}$
. Cette représentation est triviale si et seulement si
$w(\lambda)=1$
et n’admet des invariants sous
$\check {G}^1(n)$
que dans ce cas-là.
10.1.2 Annulation de
${{\mathrm{H}}}^2_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
Proposition 10.5.
Soit
$n\geqslant 0$
un entier,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^2_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) =0.\end{align*}
Démonstration. Soit
$\lambda\in P_+$
. Il suffit de montrer que
${{\mathrm{H}}}^2_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(2) ) $
est nul.Footnote
17
En vertu du théorème 6.1),
$\alpha_{{\mathbb{V}}_{\lambda}(2)}$
induit un isomorphisme
${{\mathrm{H}}}^2_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(2) ) \cong {{\mathrm{H}}}^2_{\mathrm{syn}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(2) ) $
et il suffit de montrer que
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^2_{\mathrm{syn}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(2) ) =0.\end{align*}
La définition de la cohomologie syntomique nous donne une suite exacte longue
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1\mathrm{HK}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n},{\mathbb{D}}_{\lambda})\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1\mathrm{DR}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n},{\mathcal{E}}_{\lambda})\rightarrow {{\mathrm{H}}}^2_{\mathrm{syn}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) \rightarrow {{\mathrm{H}}}^2\mathrm{HK}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n},{{{\mathbb{D}}}_{\lambda}}).\end{align*}
Premièrement, comme
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{n}$
est une courbe Stein, d’après le 4.10, on a
${{\mathrm{H}}}^2_{\mathrm{HK}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{n}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) =0$
et donc par le lemme 5.2
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^2\mathrm{HK}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n},{\mathbb{D}}_{\lambda})=0.\end{align*}
Ainsi, il suffit de montrer que l’application
${{\mathrm{H}}}^1\mathrm{HK}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{n},{\mathbb{D}}_{\lambda})\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1\mathrm{DR}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n},{\mathcal{E}}_{\lambda})$
est surjective. Or, le lemme 5.4 et le lemme 5.2 nous donnent
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1\mathrm{DR}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{n},{\mathcal{E}}_{\lambda})&\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} ( {{\mathrm{M}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) \widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\lambda_1},\\{{\mathrm{H}}}^1\mathrm{HK}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n},{\mathbb{D}}_{\lambda})& \cong ( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) \widehat{\otimes}_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{\varphi=p,N=0}.\end{align*}
Puisque les pentes de
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) $
sont
$\leqslant -\lambda_1+1$
, la remarque 5.6 nous assure que
\begin{align*} ( {{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) \widehat{\otimes}_{\breve{{\mathbb{Q}}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+} )^{\varphi=p,N=0}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} ( {{\mathrm{M}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^n\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) \widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\lambda_1}\end{align*}
est surjective, ce qui permet de conclure la preuve.
Remarque 10.6. Comme pour la cohomologie à coefficients triviaux, il n’est pas clair du tout que
${{\mathrm{H}}}^2_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) =0$
.
Le théorème de comparaison syntomique-proétale assure que, pour
$i\geqslant 2$
, on a
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(i) ) \cong {{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{syn}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(i) ) =0.\end{align*}
En effet, les termes qui apparaissent dans la cohomologie syntomique sont nuls en degrés
$\geqslant i$
. Ainsi, quitte à tordre par une puissance du caractère cyclotomique, les groupes de cohomologie proétales supérieurs sont nuls,Footnote
18
ce qui permet d’énoncer le corollaire suivant, qui synthétise les résultats précédents.
Corollaire 10.7.
Soit
$\lambda\in P_+$
tel que
$w(\lambda)\gt 1$
. Alors
${{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) \neq 0$
si et seulement si
$i=1$
.
10.2 Torsion dans la cohomologie étale
Dans ce numéro, on montre que la cohomologie étale du système local est de torsion bornée. Soit
$n\geqslant 0$
et
$k\geqslant 0$
des entier, rappelons que
${\mathbb{V}}_k^+:= \operatorname{Sym}^k_{{{\mathrm{O}}}_L}{\mathbb{V}}^+$
. Il s’agit de montrer que
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {{\mathrm{M}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+ ) $
est de torsion bornée.Footnote
19
Pour cela on va utiliser le résultat pour les coefficients triviaux, que l’on rappelle.
Lemme 10.8.
Soit
$Y_C$
un espace adique sur C. Alors
${{\mathrm{H}}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1 ( Y_C\,; \, {\mathbb{Z}}_p(1) ) $
est un
${\mathbb{Z}}_p$
-module sans torsion.
Démonstration. On peut supposer que
$Y_C$
est connexe puisque
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1 ( Y_C\,; \, {\mathbb{Z}}_p(1) ) =\prod_{X\in \pi_0(Y_C)}{{\mathrm{H}}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1 ( X\,; \, {\mathbb{Z}}_p(1) ) .\end{align*}
La preuve utilise la suite exacte de Kummer. Pour
$n\geqslant 1$
un entier, la suite exacte longue associée à la suite exacte de faisceaux étales
\begin{align*}0 \rightarrow {\mathbb{Z}}/p^n(1)\rightarrow {\mathbb{G}}_{m,Y_C}\xrightarrow{[p^n]}{\mathbb{G}}_{m,Y_C}\rightarrow 0\end{align*}
fournit
\begin{align*}0\rightarrow ({\mathcal{O}}/C)^{\times }\otimes_{{\mathbb{Z}}}{\mathbb{Z}}/p^n\rightarrow {{\mathrm{H}}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1 ( Y_C\,; \, {\mathbb{Z}}/p^n(1) ) \rightarrow \mathrm{Pic}[p^n]\rightarrow 0,\end{align*}
où
$({\mathcal{O}}/C)^{\times }:= {\mathcal{O}}(Y_C)^{\times }/C^{\times }$
est le groupe des fonctions inversibles modulo les constantes et
$\mathrm{Pic} := {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( Y_C\,; \, {\mathbb{G}}_{m,Y_C} ) $
est le groupe de Picard (où plutôt ses C-points) de
$Y_C$
. En passant à la limite, comme le système de gauche satisfait Mittag-Leffler, on obtient une suite exacte courte
\begin{equation}0\rightarrow ({\mathcal{O}}/C)^{\times }\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Z}}}{\mathbb{Z}}_p \rightarrow {{\mathrm{H}}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1 ( Y_C\,; \, {\mathbb{Z}}_p(1) ) \rightarrow T_p( {\mathrm{Pic}} )\rightarrow 0,\end{equation}
où
$({\mathcal{O}}/C)^{\times }\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Z}}}{\mathbb{Z}}_p$
est le complété p-adique du groupe
$({\mathcal{O}}/C)^{\times }$
et
$T_p( {\mathrm{Pic}} )=\varprojlim_n\mathrm{Pic}[p^n]$
est le module de Tate de Pic. Or,
$({\mathcal{O}}/C)^{\times }$
est sans torsion et le complété p-adique d’un module sans torsion est sans torsion donc
$({\mathcal{O}}/C)^{\times }\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Z}}}{\mathbb{Z}}_p$
est sans torsion. De plus, si M est un groupe abélien alors
$T_pM$
est sans torsion et donc
$T_p( {\mathrm{Pic}} )$
est sans torsion. Finalement, la suite exacte (10.1) montre que
${{\mathrm{H}}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}^1 ( Y_C\,; \, {\mathbb{Z}}_p(1) ) $
est sans torsion.
Pour utiliser ce résultat on doit trivialiser le système local. Pour cela, on utilise le revêtement proétale
\begin{align*}\widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\rightarrow {{\mathrm{M}}}_{C}^{n},\end{align*}
dont le groupe de Galois est
$\check {G}(n)=(1+\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^n{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}})$
auquel on applique la suite spectrale de Hochschild-Serre.
Proposition 10.9.
Soit
$n\geqslant 0$
un entier. Le noyau de l’application naturelle
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+ ) \rightarrow {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}\,; \, {\mathbb{V}}_{k} ) ,\end{align*}
est de torsion p-primaire bornée, et l’image de l’application définit un réseau.
Démonstration. D’après la note de bas de page (), on peut remplacer
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}$
par
${{\mathrm{M}}}_{C}^{n}$
dans l’énoncé. Par Hochschild-Serre appliqué au revêtement
$\widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\rightarrow {{\mathrm{M}}}_{C}^n$
on a
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma ( \check {G}(n)\,; \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+ ) ) ={{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {{\mathrm{M}}}_{C}^n\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+ ) .\end{align*}
Ceci donne une suite spectrale dont la suite des premiers termes est
\begin{align*}0\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}(n)\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+(\widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}) ) \rightarrow {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {{\mathrm{M}}}^n_{C}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+ ) \rightarrow {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+ ) ^{\check {G}(n)}.\end{align*}
Rappelons que le revêtement considéré trivialise le système local. Ainsi,
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+ ) $
est sans torsion d’après le lemme 10.8 et donc a fortiori
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+ ) ^{\check {G}(n)}$
est sans torsion. Montrons maintenant que
${{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}(n)\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+({{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}) ) $
est de torsion p-primaire et de type fini.
Rappelons (cf. 7.3.2) qu’on a une application
$\widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\rightarrow {\mathbb{Z}}_p^{\times }$
, donnant les composantes connexes de la tour, comme l’action de
$\check {G}$
sur
${{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}$
induit sur
${\mathbb{Z}}_p^{\times }$
l’action de la norme réduite et donc
$\check {G}^1$
fixe les fibres de l’application
${{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}\rightarrow {\mathbb{Z}}_p^{\times }$
. De plus, on sait qu’en un point de
${{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}$
, le germe du système local, trivial sur cet espace, est simplement
$\operatorname{Sym}^k_{{\mathbb{Z}}_p}{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{{\mathrm{O}}}_L$
. On en déduit que
${\mathbb{V}}_{k}^+(\widehat{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}})=\mathrm{Ind}_{\check {G}^1}^{\check {G}^+}( {\operatorname{Sym}^k_{{\mathbb{Z}}_p}{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}} )\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{{\mathrm{O}}}_L$
en tant que représentation de
$\check {G}(n)\subset {{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}^{\times }$
. Or, d’après la proposition 8.8,
${{\mathrm{H}}}^1 ( \check {G}(n)\,; \, \mathrm{Ind}_{\check {G}^1}^{\check {G}}( {\operatorname{Sym}^k_{{\mathbb{Z}}_p}{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}} ) ) \otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{{\mathrm{O}}}_L$
est de torsion p-primaire bornée. Ceci achève la preuve.
Remarque 10.10. On pourrait se demander pourquoi le groupe
$\check {G}^+$
intervient et non
$\check {G}^1$
, le noyau de la norme réduite puisque c’est le quotient naturel de
$\pi_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}({{\mathrm{M}}}_C^0,\bar x)$
donné par la tour. La raison est que le quotient
$\pi_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}({{\mathrm{M}}}_{C}^0,\bar x )\rightarrow \check {G}^1$
décrit une composante connexe de la tour ; c’est la situation géométrique qui ne voit pas les différentes composantes connexes. Plus précisément, on a un quotient
$\pi_1^{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^0,\bar x )\rightarrow \check {G}^+$
qui décrit la situation arithmétique qui intervient ici.
10.3 Vecteurs bornés de la cohomologie proétale isotriviale
10.3.1 Fin de la preuve
On termine la démonstration du théorème 10.1. Montrons que tout vecteur G-borné de
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:= {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) $
appartient à
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) $
. Soit
$n\geqslant 0$
un entier, la preuve se fait exactement comme celle de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Proposition 2.12] (cf. [Reference VanhaeckeVan23] pour plus de détails): on choisit
$\Gamma\subset \mathrm{PGL}_2({\mathbb{Q}}_p)$
cocompact puis à l’aide d’un recouvrement adapté et de la suite exacte de Čech on construit un affinode
$Y\subset {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_C^{n}$
tel que
\begin{equation}{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^n_{C}\,; \, \operatorname{Sym}{{\mathbb{V}}}(1) ) =\varinjlim_{m}\{v\in {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\mid \forall \gamma \in \Gamma,\ p^m\mathrm{Res}_{Y}(\gamma\cdot v)\in {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( Y\,; \, \operatorname{Sym}{{\mathbb{V}}^+}(1) )\},\end{equation}
où Res est le morphisme en cohomologie de restriction à un affinode. En dehors de la structure de l’espace, le point clé de cette égalité est que la cohomologie étale est séparée ; ce qui est exactement ce qu’on a montré dans la proposition 10.9.
10.3.2 Reformulation
On reformule le théorème principal en termes des multiplicités des représentations de G. La preuve du corollaire suivant est la même que celle de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN23, Lemme 5.9].
Corollaire 10.11.
Soient
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire de G. Alors les injections
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\,; \,\operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) \hookrightarrow {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) $
et
$\Pi'\hookrightarrow (\Pi^{\mathrm{lan}})'$
induisent un isomorphisme naturel
\begin{align*}\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) \cong \mathrm{Hom}_G ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) .\end{align*}
10.4 Résultat de finitude
Dans ce paragraphe on démontre le résultat de finitude suivant.
Proposition 10.12.
Soient
$k\geqslant 0$
et
$n\geqslant 0$
des entiers et soit K une extension finie de
${\mathbb{Q}}_p$
. L’espace de cohomologie étale suivant,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}^n_{K}}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}} ) ,\end{align*}
est le dual stéréotypique
Footnote 20
d’un
${{\mathrm{O}}}_L[G]$
-module lisse de longueur finie.
Démonstration. À coefficients dans
$k_L$
, c’est le théorème
$4.1$
de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN23]. De plus, ce résultat nous dit que si
${\mathbb{L}}$
est un
${\mathbb{F}}_p$
-système local étale constant, i.e.
${\mathbb{L}}\cong \underline{M}$
où M est un
${\mathbb{F}}_p$
-espace vectoriel de dimension finie, alors pour tout entier
$n\geqslant 0$
, l’espace de cohomologie étale
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{K}^n\,; \, {\mathbb{L}} )\end{align*}
est le dual d’un
${\mathbb{Z}}_p[G]$
-module de longueur finie. On fixe maintenant
$k\geqslant 0$
un entier. On sait que par définition,
${\mathbb{V}}_{k}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}}\cong \operatorname{Sym}^k_{{\mathbb{F}}_p}{\mathcal{G}}[\varpi_{{{\mathrm{D}}}}]\otimes_{{\mathbb{Z}}_p}{{\mathrm{O}}}_L$
est un
${\mathbb{F}}_p$
-système local trivial sur
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{K}^1$
et donc a fortiori sur
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{K}^n$
dès que
$n\geqslant 1$
.
Ainsi, on a montré le résultat dès que
$n\geqslant 1$
et il reste à le démontrer pour
$n=0$
, ce que l’on va faire en appliquant la suite spectrale de Hochschild-Serre au revêtement
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^1_{K}\rightarrow {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^0_{K}$
. C’est un revêtement galoisien de groupe
${{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}}^{\times }/(1+\varpi_{{{\mathrm{D}}}}{{\mathrm{O}}}_{{{\mathrm{D}}}})\cong {\mathbb{F}}_{p^2}^{\times }$
et la suite spectrale s’écrit
\begin{align*}E_2^{i,j} := {{\mathrm{H}}}^i ( {\mathbb{F}}_{p^2}^{\times }\,; \, {{\mathrm{H}}}^j_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{K}^1\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}} ) ) \implies {{\mathrm{H}}}^{i+j}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{K}^0\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}} ) .\end{align*}
Or, comme
${\mathbb{F}}_{p^2}^{\times }$
est un groupe fini d’ordre premier à p, la cohomologie des
${\mathbb{F}}_p$
-représentations de
${\mathbb{F}}_{p^2}^{\times }$
s’annule en degré
$\geqslant 1$
. Ainsi, on obtient un isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{K}^0\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}} ) \xrightarrow{\sim}{{\mathrm{H}}}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{K}^1\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}} ) ^{{\mathbb{F}}_{p^2}^{\times }}\subset{{\mathrm{H}}}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{K}^1\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}} ) .\end{align*}
On a déjà montré que le terme de droite était le dual d’une représentation lisse de G, admissible et de longueur finie donc il en est de même pour le terme de gauche, puisque comme
${\mathbb{F}}_{p^2}^{\times }$
opère continûment, ce dernier est un sous-espace fermé.
Remarque 10.13. On peut déduire de ce théorème que pour tout entier
$l\geqslant 0$
, l’espace de cohomologie étale
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^n_{K}\,; \, {\mathbb{V}}_{k}^+/\varpi_{{{\mathrm{D}}}}^l )\end{align*}
est le dual stéréotypique d’un
${\mathbb{Z}}_p[G]$
-module lisse de longueur finie.
11. Le cas cuspidal
On conserve les notations des sections précédentes.
11.1 Représentations spéciales et cuspidales
Commençons par énoncer en termes de L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-modules les définitions de spéciale et cuspidale. Dans cette section, on s’intéresse surtout au cas cuspidal et on détaillera le cas spécial dans la prochaine section (cf. 12).
Définition 11.1. Soit M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module, libre sur
$L\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}$
de rang 2. Alors, on dit que M est
-
– cuspidal si la représentation de Weil-Deligne associée
$\mathrm{WD}_M$
est absolument irréductible, -
– exceptionnel si la représentation de Weil-Deligne associée est de la forme
$\mathrm{WD}_M\cong \chi_1\oplus \chi_2$
telle que
$\chi_1\chi_2^{-1}=\lvert {\mathrm{rec}} \rvert_p^{\pm 1}$
(en particulier
$N=0$
), -
– spécial si M est exceptionnel ou bien si
$N\neq 0$
.
Remarquons que
$\mathrm{WD}_M$
est absolument indécomposable si et seulement si M est spécial non-exceptionnel ou cuspidal.
Si M est cuspidal, alors les pentes de M sont toutes égales à un même nombre rationnel que l’on appelle la pente de M. Si M est spécial, alors les pentes diffèrent de 1 et on appellera la pente la moyenne de ses pentes.
Pour M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module, notons
$M_{\mathrm{dR}}:= (M\otimes_{{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}} C)^{{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}}$
, qui est un L-espace vectoriel de dimension 2, et pour
$k\in {\mathbb{N}}$
,
\begin{equation}X^+_{\mathrm{st}}(M)=({{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+\otimes_{{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}}M)^{N=0,\varphi=1},\quad X^k_{\mathrm{st}}(M)=({{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+\otimes_{{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}}M)^{N=0,\varphi=p^k},\end{equation}
qui définissent des L-espaces de Banach-Colmez. On rappelle finalement que M[k] est obtenu en multipliant le frobenius de M par
$p^k$
et qu’ainsi
$ X^{j+k}_{\mathrm{st}}(M[k])= X^j_{\mathrm{st}}(M)$
pour
$j\in {\mathbb{N}}$
assez grand.
11.1.1 Représentations de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
Soit V une L-représentation de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
de Rham de dimension 2 à poids de Hodge-Tate
$\lambda\in P_+$
. Dans ce cas, V est cuspidale (resp. spéciale) si et seulement si
$M:= {\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V)[1]$
est cuspidal (resp. spécial) au sens de la définition 11.1. Alors, M est de pente
$1-\lvert \lambda\rvert /2$
et d’après [Reference Colmez and FontaineCF00] il existe
$0\subsetneq{\mathscr{L}}\subsetneq {\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V)=M_{\mathrm{dR}}$
tel que
\begin{align*}V\cong V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}:=\mathrm{Ker}\bigg(\!X_{\mathrm{st}}^{1}(M)\rightarrow \frac{M_{\mathrm{dR}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+}{{\mathscr{L}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} t^{\lambda_1}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^++M_{\mathrm{dR}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} t^{\lambda_2}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+}\bigg).\end{align*}
Ainsi, V est déterminé par le triplet
$(M,{\mathscr{L}},\lambda)$
et si
$(M,{\mathscr{L}},\lambda)\neq (M',{\mathscr{L}}',\lambda')$
alors
$V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\not \cong V_{M',{\mathscr{L}}'}^{\lambda'}$
. De plus,
$V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
est irréductible si M est cuspidal (car alors M est irréductible) ou si M est spécial et
$w(\lambda)\neq 1$
(cf. [Reference ColmezCol08b, Théorème 0.5, (ii)]).
11.1.2 Correspondances localement algébriques
Soit M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module libre de rang 2, absolument indécomposable, auquel on associe
$\mathrm{WD}_M$
puis, par la correspondance de Langlands locale (cf. [Reference ColmezCol10, VI. 6.11], en notant la différence avec la correspondance usuelle dans le cas exceptionnel),
$\mathrm{LL}_M:=\mathrm{LL}(\mathrm{WD}_M)$
une L-représentation lisse de G, irréductible si M n’est pas exceptionnel. Si M est cuspidal, alors
$\mathrm{LL}(\mathrm{WD}_M)$
est cuspidale au sens usuel. Pour
$\lambda\in P_+$
, posons (cf. 8.1.1)
\begin{align*}\mathrm{LL}_M^{\lambda}:= \mathrm{LL}_M\otimes_L \operatorname{Sym}_L^{w(\lambda)-1}\otimes_L {\det}^{\lambda_1},\end{align*}
qui définit une L-représentation localement algébrique unitaire de G, irréductible si M n’est pas exceptionnel. De même, en notant
$\mathrm{JL}_M:= \mathrm{JL}(\mathrm{LL}_M)$
la L-représentation lisse irréductible de
$\check {G}$
associée à
$\mathrm{LL}_M$
par la correspondance de Jacquet-Langlands, on définit une L-représentation localement algébrique, unitaire, irréductible de
$\check {G}$
par (cf. 8.1.2)
\begin{align*}\mathrm{JL}_M^{\lambda}:= \mathrm{JL}_M\otimes_L\operatorname{Sym}_L^{w(\lambda)-1}\otimes_L \mathrm{nrd}^{\lambda_1}.\end{align*}
Ces constructions permettent de définir des correspondances localement algébriques en associant à une L-représentation spéciale ou cuspidale de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
de la forme
$V=V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
les L-représentations
$\mathrm{JL}_M^{\lambda}$
et
$\mathrm{LL}_M^{\lambda}$
. Ces dernières perdent l’information du paramètre de la filtration. Remarquons que, dans ce cas, M et
$\lambda$
ne sont pas indépendants puisque M est de pente
$1-\lvert \lambda \rvert/2$
.
On introduit la notion suivante, qui généralise ‘p-compatible’ dans [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a], pour traiter les torsions par des caractères (cf. 11.4).
Définition 11.2. Soit
$k\geqslant$
un entier, on dit qu’un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module libre de rang 2, absolument indécomposable, est p-compatible de poids k si
$p\in \check {G}$
agit trivialement sur
$\mathrm{JL}_M^{\lambda}$
pour
$\lambda\in P_+$
tel que
$\vert \lambda \rvert =k$
. On note
$\Phi N^{p}_{k}$
l’ensemble des L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-modules p-compatible de poids k.
Un élément de
$\Phi N^{p}_{k}$
est en particulier de pente
$1-(k/2)$
et réciproquement, tout L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module absolument indécomposable est le tordu par un caractère lisse d’un élément de
$\Phi N^{p}_{k}$
pour un certain k.
Si
$M\in \Phi N^{p}_{k}$
, on note
$Z\mapsto Z[M]:=\mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, Z ) $
, où
$s=(k-1)/2$
, comme foncteur sur les
$L[\check {G}]$
-modules. La torsion par [s] assure que p agit trivialement sur
$\mathrm{JL}_{M[s]}$
.
11.1.3 Représentations de G
Soit
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire admissible et absolument indécomposable de G, alors, on dit que
$\Pi$
est cuspidale (resp. spéciale) si ses vecteurs localement algébriques ne sont pas triviaux et sont de la forme
\begin{align*}\Pi^{\mathrm{lalg}}\cong \mathrm{LL}_M^{\lambda},\end{align*}
où
$\lambda \in P_+$
et M est un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module cuspidal (resp. spéciale) de pente
$1-\lvert \lambda \rvert /2$
.
La correspondance de Langlands p-adique (cf. [Reference ColmezCol10], [Reference Colmez, Dospinescu and PaškūnasCDP14]) définit un L-Banach cuspidal ou spécial (sous entendu unitaire admissible absolument indécomposable) de G à partir d’un triplet
$(M,{\mathscr{L}},\lambda)$
avec M cuspidal (resp. spécial) et de pente
$1-\lvert \lambda \rvert /2$
par
\begin{align*}\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}:= {\boldsymbol{\Pi}}(V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}).\end{align*}
La compatibilité entre la correspondance de Langlands locale et p-adique (cf. [Reference ColmezCol10]) assure que les vecteurs localement algébriques de
$\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
sont donnés par
\begin{equation} {}^{\mathrm{lalg}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\cong \mathrm{LL}_M^{\lambda},\end{equation}
ce qui fait de
$\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
un complété unitaire admissible de
$\mathrm{LL}_M^{\lambda}$
. De plus,
$\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
est irréductible sauf si M est spécial et
$w(\lambda)=1$
.
Enfin, on note
${}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\subset \Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
le sous-espace des vecteurs localement analytiques, qui est un sous-espace de type LB, donc son dual
$( {{}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}} )'$
est un espace de Fréchet. Alors, d’après [Reference Colmez and DospinescuCD14],
$\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
est le complété unitaire universel de
${}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
et
$(\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})'$
est le sous-espace des vecteurs G-bornés de
$({}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})'$
.
11.2 Cohomologie de Hyodo-Kato et de de Rham de la tour
On calcule la cohomologie de Hyodo-Kato et de de Rham de la tour de Drinfeld à coefficients isotriviaux. Ces cohomologies s’expriment simplement en termes des cohomologies à coefficients constants et on obtient la proposition suivante.
Proposition 11.3.
Soit
$\lambda\in P_+$
, M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module cuspidal. On a un carré commutatif
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G$
-équivariant de L-espaces de Fréchet
Avant de commencer la preuve de cette proposition, commençons par une remarque pour justifier que l’on peut remplacer
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_C^{\infty}$
par
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_C^{\infty}$
dans la preuve. Cette remarque est déjà présente dans [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, 5.1].
Remarque 11.4. Soit
$\star \in \{\mathrm{dR},\mathrm{HK}\}$
. Notons que pour
$M\in \Phi N^{p}_{\lvert \lambda \rvert}$
, en vertu du lemme 9.3 et avec les mêmes notations, on a un isomorphisme de L-représentations de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G$
:
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_M^{\lambda}\,; \, \breve{{{\mathrm{H}}}}_{\star} ) \cong \mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_M^{\lambda}\,; \, {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\star} ) .\end{align*}
Pour M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module cuspidal, il existe un caractère
$\chi \colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L$
non ramifié, vu comme caractère du groupe de Weil, tel que
$M\otimes \chi\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^p$
. La compatibilité à la torsion dans la correspondance de Langlands locale et le lemme 9.3 assurent alors que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_M^{\lambda}\,; \, \breve{{{\mathrm{H}}}}_{\star} ) \cong \mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_M^{\lambda}\otimes (\chi\circ \mathrm{nrd})\,; \, {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\star} ) \otimes (\chi\circ \nu_3).\end{align*}
où
$\nu_3$
est la restriction de
$\nu$
à
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G$
.
Démonstration. Notons que ce résultat est l’équivalent à coefficients de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Théorème 0.4], que l’on va utiliser. On montre l’isomorphisme pour la cohomologie de Hyodo-Kato, l’argument pour la cohomologie de de Rham est exactement le même. Comme au numéro 9.1, notons
\begin{align*}{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{1}:= {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{D}} ) .\end{align*}
Soit
$\lambda\in P_+$
et
$M\in \Phi N^{p}_{\lvert \lambda \rvert}$
, on veut calculer
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}_M^{\lambda}:=\mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} (\mathrm{JL}_M^{\lambda}\, , \,{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{1} ).\end{align*}
D’après le corollaire 9.7,
\begin{align*}{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{1}=\bigoplus_{\mu\in P_+}{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\mu}\otimes_L {\check{W}}_{\mu},\quad {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\mu}:= {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, {\mathbb{D}}_{\mu} ) .\end{align*}
Justifions que
${}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\mu}$
est un
$L[\check {G}]$
-module lisse. Comme on a par définition
\begin{align*}{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\mu}=\varinjlim_{n}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n})\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathbb{D}}_{\mu}},\end{align*}
et que
$\check {G}$
agit trivialement sur
${\mathbb{D}}_{\mu}$
(cf. la proposition 9.5 ainsi que la remarque 9.6), il suffit de justifier qu’il existe un sous-groupe ouvert de
$\check {G}$
qui agit trivialement sur
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n})$
. Or,
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}$
est un quotient de
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}$
qui est un revêtement galoisien de
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{0}$
de groupe de Galois
$\check {G}/\check {G}(n)$
(cf. numéro 7.3.1) et donc le sous-groupe ouvert
$\check {G}(n)$
agit trivialement sur
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n}$
et a fortiori sur
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}({}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{n})$
.
Notons
$s:= \frac{\lvert \lambda \rvert-1}{2}$
. Pour
$\mu\in P_+$
, on a
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_M^{\lambda}\, , \,{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\mu}\otimes {\check{W}}_{\mu} ) =(\underbrace{{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\mu}\otimes_L\mathrm{JL}_M'\otimes \lvert \mathrm{nrd}\rvert_p^{s}}_{\text{lisse}}\otimes_L \underbrace{{\check{W}}_{\lambda}^*\otimes_L{\check{W}}_{\mu}}_{\text{loc. algébrique}})^{\check {G}}.\end{align*}
Or, le terme de droite est en particulier contenu dans les éléments tués par
${\check{{\mathfrak{g}}}}$
, l’algèbre de Lie de
$\check {G}$
. Comme la partie lisse est annulée par
${\check{{\mathfrak{g}}}}$
, on calcule à l’aide du lemme de Schur :
\begin{align*}({\check{W}}_{\lambda}^*\otimes_L{\check{W}}_{\mu})^{{\check{{\mathfrak{g}}}}}=\mathrm{Hom}_{{\check{{\mathfrak{g}}}}} ( {\check{W}}_{\lambda}\, , \, {\check{W}}_{\mu} ) =\begin{cases}L & \text{ si } \lambda = \mu\\0 & \text{ sinon}.\end{cases}\end{align*}
Comme
$\mathrm{JL}_M'\otimes \lvert \mathrm{nrd}\rvert_p^{s}=\mathrm{JL}_{M[s]}'$
, on en déduit que
${{\mathrm{H}}}_M^{\lambda}=\mathrm{Hom}_{\check {G}} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\lambda} ) $
. Si
$\lambda_0:= (0,1)$
, remarquons que
\begin{align*}{}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\lambda}={}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\lambda_0}[-s]\otimes_LW_{\lambda},\end{align*}
par la proposition 9.5. Mais par [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Théorème 0.4], comme M[s] est de pente
$1-({\lvert \lambda \rvert}/{2})+s=1/2$
on obtient
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{\check {G}} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, {}^{p}\breve{{{\mathrm{H}}}}_{\mathrm{HK}}^{\lambda_0} ) =(\breve{{\mathbb{Q}}}_p\otimes_{{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}}M[s])\widehat{\otimes}_L{\mathrm{LL}_{M[s]}}'.\end{align*}
Finalement,
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}_M^{\lambda}=(\breve{{\mathbb{Q}}}_p\otimes_{{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}}M)\widehat{\otimes}_L\mathrm{LL}_{M[s]}'\otimes W_{\lambda}=(\breve{{\mathbb{Q}}}_p\otimes_{{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}}M)\widehat{\otimes}_L{\mathrm{LL}_{M}^{\lambda}}',\end{align*}
puisque
$\mathrm{LL}_{M[s]}\otimes_L W_{\lambda}^*=\mathrm{LL}_{M}\otimes_L \lvert \det \rvert_p^{-s}\otimes_L W_{\lambda}^*=\mathrm{LL}_M^{\lambda}$
.
Une autre formulation du résultat précédent dans le cas de Rham est la décomposition de la cohomologie de de Rham à support compact de la tour ; on omet la preuve qui est mutatis mutandis la même que celle de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Théorème 5.8].
Corollaire 11.5.
On a un isomorphisme de L-représentations localement algébriques de
${\mathbb{G}}$
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR},c} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}_{C}^{\infty}}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathcal{E}} ) =\bigoplus_{\lambda\in P_+}\bigoplus_{M\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^{p}}C\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}M\otimes_L{\mathrm{LL}_M^{\lambda}}^{\vee}\otimes_L\mathrm{JL}_M^{\lambda},\end{align*}
où
${\mathrm{LL}_M^{\lambda}}^{\vee}$
est le L-dual localement algébrique de
${\mathrm{LL}_M^{\lambda}}$
.
11.3 La conjecture de Breuil-Strauch
Le but de ce numéro est d’expliquer comment étendre la conjecture de Breuil-Strauch en poids supérieur en suivant [Reference ColmezCol19] à partir de [Reference Dospinescu and Le BrasDlB17]. On commence par quelques rappels sur le changement de poids.
11.3.1 Changement de poids
Soit M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} )$
-module de rang 2. Dans [Reference ColmezCol19], Colmez associe à M une représentation localement analytique de G notée
$\Pi(M)$
et décrit comment on peut en ‘changer les poids’, i.e. définir des représentations que l’on notera
$\widetilde{\Pi}_M^{\lambda}$
et
${\Pi}_M^{\lambda}$
. On rappelle brièvement la construction de
$\Pi(M,k)$
à partir de
$\Pi(M)$
. Dans [Reference ColmezCol19], Colmez définit un isomorphisme d’espaces vectoriels topologiques
\begin{align*}\partial \colon \Pi(M)\rightarrow \Pi(M),\end{align*}
tel que pour tout couple
$(a,c)\in {\mathbb{Q}}_p^2\setminus\{(0,0)\}$
, l’application
$(a-c\partial)\colon \Pi(M)\rightarrow \Pi(M)$
est un isomorphisme. Ceci permet, pour tout
$k\in {\mathbb{Z}}$
, de définir une nouvelle action linéaire de G sur
$\Pi(M)$
en posant
\begin{align*}\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\cdot_k v = (a-c\partial)^{k}\bigg(\!\!\begin{pmatrix} a&b\\ c&d\end{pmatrix}\cdot v\!\bigg).\end{align*}
On note
$\Pi(M,k)$
la L-représentation de G ainsi obtenue. Finalement, pour
$\lambda\in P_+$
, on pose
\begin{align*}\widetilde{\Pi}_M^{\lambda}:= \Pi(M,-w(\lambda))\otimes_L {\det}^{\lambda_2},\quad \Pi_M^{\lambda}:= \Pi(M,w(\lambda))\otimes_L {\det}^{\lambda_1}.\end{align*}
On rappelle la proposition suivanteFootnote 21 (cf. [Reference ColmezCol19, Théorème 0.6, Théorème 0.3, Corollaire 0.4]).
Proposition 11.6.
Soit
$\lambda \in P_+$
et soit M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} )$
-module cuspidal de pente
$1-\lvert \lambda \rvert /2$
. Alors,
${}^{\mathrm{lalg}}{}{\Pi}_{M}^{\lambda}\cong M_{\mathrm{dR}}^*\otimes_L \mathrm{LL}_M^{\lambda}$
et on a un diagramme commutatif, à lignes exactes, de L-représentations localement analytiques.
De plus, on a
${}^{\mathrm{lalg}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\cong (M_{\mathrm{dR}}^*/{\mathscr{L}}^{\bot})\otimes_L \mathrm{LL}_M^{\lambda}$
et
${}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
est de longueur 2.
Rappelons (cf. 9.2.2) que l’on a défini
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{Op}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) $
qui est quasi-isomorphe à
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) $
. Ainsi, on obtient une suite exacte courte
\begin{equation}0\rightarrow {\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}/W_{\lambda}\rightarrow \omega^{\infty}_{\lambda}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) \rightarrow 0.\end{equation}
On a le corollaire suivant (cf. [Reference ColmezCol19, Conjecture 0.10] qui est en réalité un théorème par [Reference ColmezCol19, Remarque 0.11] ; c’est une conséquence directe du [Reference Dospinescu and Le BrasDlB17, Théorème 1.4], de la définition des
$\Pi(M,k)$
et de [Reference Dospinescu and Le BrasDlB17, Théorème 1.7] pour ‘
$\partial = z$
’).
Corollaire 11.7.
Soit
$\lambda \in P_+$
et soit M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} )$
-module cuspidal de pente
$1-\lvert \lambda \rvert /2$
, et soit
$s=(\lvert \lambda \rvert-1)/2$
. On a des isomorphismes topologiques de L-représentations coadmissibles de G
\begin{align*}\begin{gathered}\mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \,{\mathcal{O}}^{\infty}_{\lambda} ) \cong ({\widetilde{\Pi}_M^{\lambda}} )', \quad \mathrm{Hom}_{L[\check {G}]}( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, \omega^{\infty}_{\lambda} ) \cong ( {\Pi_M^{\lambda}} )',\\ \mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) ) \cong M_{\mathrm{dR}}\otimes_L {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'.\end{gathered}\end{align*}
En appliquant
$\mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, \ \cdot \ ) $
à (11.3), on obtient le dual de la première suite exacte du bas dans le diagramme de la proposition 11.6, soit
\begin{align*}0\rightarrow ( {\widetilde{\Pi}_M^{\lambda}} )'\rightarrow ( {{\Pi}_M^{\lambda}} )'\rightarrow M_{\mathrm{dR}}\otimes_L {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'\rightarrow 0.\end{align*}
11.3.2 L’invariant
${\mathscr{L}}$
et les différentielles
Notons que l’on a une décomposition
\begin{align*}\omega_{\lambda}^{\infty}=\bigoplus_{M\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^p}\omega_{\lambda}^{\infty}[M]\otimes_L\mathrm{JL}_M,\quad \omega_{\lambda}^{\infty}[M]:= \mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty} ) .\end{align*}
où
$s=(\lvert \lambda \rvert-1)/2$
.
Théorème 11.8
Soit
$\lambda\in P_+$
et
$M\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^p$
cuspidal. Soit
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire admissible et absolument irréductible de G. Alors
\begin{align*}\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) =\begin{cases} {\mathscr{L}}& \text{si $\Pi=\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$,}\\ 0& \text{si $\Pi$ n'est pas de cette forme.}\\\end{cases}\end{align*}
Démonstration. On peut supposer que
$\Pi={\boldsymbol{\Pi}}(V)$
où V est une L-représentation galoisienne absolument irréductible de dimension 2. D’après le corollaire 11.7, on a un isomorphisme de L-représentations de G
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) ) \cong M_{\mathrm{dR}}\otimes_L {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'.\end{align*}
et pour chaque L-droite
${\mathscr{L}}\subset M_{\mathrm{dR}}$
, une suite exacte
\begin{equation}0\rightarrow ({}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda} )'\rightarrow \omega_{\lambda}^{\infty}[M]\rightarrow (M_{\mathrm{dR}}/{\mathscr{L}}) \otimes_L {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'\rightarrow 0.\end{equation}
Or, d’après [Reference Colmez and DospinescuCD14] on a
$({}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}')^{G-{\rm b}}\cong \Pi'$
et on en déduit que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, ({}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})' ) \cong \mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, (\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})' ) \cong \mathrm{Hom}_G ( \Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\, , \, \Pi ) .\end{align*}
L’injectivité de la correspondance
$V\mapsto {\boldsymbol{\Pi}}(V)$
pour les représentations galoisiennes irréductibles de dimension 2 et le lemme de Schur assurent que
\begin{equation}\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, ({}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda} )' ) \cong \begin{cases}L & \text{ si } V\cong V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda},\\0 & \text{ sinon. }\end{cases}\end{equation}
Comme
$\mathrm{LL}_M^{\lambda}$
est irréductible, (11.2) implique que
\begin{equation}\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}' ) \cong \mathrm{Hom}_G ( {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}\, , \, \Pi ) \cong \begin{cases}L & \text{ si }\textit{V} \text{ est de type }(M,\lambda), \\0 & \text{ sinon. }\end{cases}\end{equation}
De ces deux calculs, on peut déduire le théorème.
-
– Si V n’est pas de type M ou de poids
$\lambda$
, alors on obtient
\begin{align*}\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) =0.\end{align*}
-
– Supposons maintenant que V est de type M et de poids
$\lambda$
, plus précisément supposons que
$V=V_{M,{\mathscr{L}}_1}^{\lambda}$
pour
${\mathscr{L}}_1\subset M_{\mathrm{dR}}$
. On applique le foncteur
$\mathrm{Hom}_G(\Pi', \ \cdot \ )$
à la suite exacte (11.4) pour
${\mathscr{L}}\neq {\mathscr{L}}_1$
, ce qui nous assure d’après (11.5) qu’on a une inclusion Donc, d’après (11.6),
\begin{align*}\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) \hookrightarrow \mathrm{Hom}_G( {\Pi',(M_{\mathrm{dR}}/{\mathscr{L}})\otimes_L {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'} ).\end{align*}
$\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) $
est de L-dimension
$\leqslant 1$
. On applique maintenant le même foncteur à la suite exacte (11.4) pour
${\mathscr{L}}={\mathscr{L}}_1$
. D’après (11.5), on en déduit que et donc que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) \neq 0,\end{align*}
$\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) $
est de L-dimension 1. Il reste à justifier que
$\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) = {\mathscr{L}}_1$
, mais on a obtenu la suite exacte Comme la dernière flèche est induite par l’inclusion naturelle
\begin{align*}0 \rightarrow \underbrace{\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, ({}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})' ) }_{\cong L}\xrightarrow{\sim}\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) \xrightarrow{0}\underbrace{\mathrm{Hom}_G( {\Pi',(M_{\mathrm{dR}}/{\mathscr{L}})\otimes_L {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'} )}_{\cong M_{\mathrm{dR}}/{\mathscr{L}}_1}.\end{align*}
$\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) \hookrightarrow \mathrm{Hom}_G( {\Pi',M_{\mathrm{dR}}\otimes_L {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'} )$
, on en déduit une inclusion
$\mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) \hookrightarrow {\mathscr{L}}_1$
et donc finalement, on a bien montré que
\begin{align*} \mathrm{Hom}_G ( \Pi'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) ={\mathscr{L}}_1. \end{align*}
11.4 Entrelacements cuspidaux
Dans ce numéro, on démontre le théorème suivant.
Théorème 11.9.
Soit
$\lambda \in P_+$
, M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module cuspidal de pente
$1-\lvert \lambda \rvert /2$
et
$0\subsetneq {\mathscr{L}} \subsetneq M_{\mathrm{dR}}$
.
-
– On a un isomorphisme topologique de L-représentations de
$G\times \check {G}$
(11.7)
\begin{equation}\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}]} ( V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) \cong (\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})'\otimes_L \mathrm{JL}_M^{\lambda}.\end{equation}
-
– On a un isomorphisme de L-représentations de
${\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times \check {G}$
(11.8)
\begin{equation}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( (\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) \cong V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\otimes_L \mathrm{JL}_M^{\lambda}.\end{equation}
Pour
$\star\in \{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\}$
, et
$s=(\lvert \lambda \rvert-1)/2)$
notons
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\star}[M]:= \mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\star} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}^{\infty}_{C}}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ) .\end{align*}
On va maintenant calculer les multiplicités dans
${{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M]$
et utiliser le théorème 10.1 et son corollaire 10.11 pour en déduire les multiplicités dans
${{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M]$
. La remarque suivante justifie qu’il suffit de calculer la multiplicité dans
${{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M]$
pour obtenir le théorème.
Remarque 11.10. On utilise les notations du numéro 9.1. Premièrement, notons qu’on a
\begin{align*}{}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{1}_{\star}=\bigoplus_{\lambda \in P_+}\bigoplus_{M\in \Phi N^{p}_{\lvert \lambda \rvert}}{}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\star}[M]\otimes_L\mathrm{JL}_M^{\lambda}.\end{align*}
Ainsi pour W une L-représentation de
${\mathbb{G}}$
absolument irréductible il existe
$\lambda\in P_+$
et
$M\in \Phi N^{p}_{\lvert \lambda \rvert}$
tel que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\, , \, {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{1}_{\star} ) \cong \mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\, , \, {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\star}[M]\otimes_L \mathrm{JL}_M^{\lambda} ) .\end{align*}
Finalement, d’après 9.3 il existe un caractère lisse
$\chi \colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
tel que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\, , \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^{1}_{\star} ) =\mathrm{Hom}_{L[{\mathbb{G}}]} ( W\otimes \chi\, , \, {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{1}_{\star} ) .\end{align*}
On choisit alors
$W=V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\otimes_L(\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})'\otimes_L \mathrm{JL}_M^{\lambda}$
.
11.4.1 Multiplicité des
$V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
Corollaire 11.11.
Soit
$\lambda \in P_+$
et
$M\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^p$
. Le diagramme suivant
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G$
-équivariant de L-espaces de Fréchet est commutatif.
De plus, les lignes sont exactes strictes et les flèches verticales sont d’images fermées.
Démonstration. On obtient le diagramme en appliquant
$Z\mapsto Z[M]:= \mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, Z ) $
pour
$s=(\lvert \lambda \rvert-1)/2$
au diagramme du théorème 9.10. Comme ce foncteur est exact, l’exactitude des suites est conservée et de plus :
-
– Comme l’action de
$\check {G}$
sur les composantes connexes est donnée par la norme réduite on a
$\mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_{M[s]}\, , \, {W}_{\lambda}^{\pi_0^{\infty}} ) =0$
pour tout
$n\in {\mathbb{N}}$
, ce qui montre que le foncteur tue les deux termes tout à gauche du diagramme dans le théorème 9.10. -
– Les deux termes à droite sont donnés par la proposition 11.3.
Posons
\begin{align*}H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}:=\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}]}(V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda},t^{\lambda_1}X_{\mathrm{st}}^{1}(M[\lambda_1])),\quad H_{C,{\mathscr{L}}}^{\lambda}:=\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}]}(V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda},L\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}).\end{align*}
On a naturellement une inclusion
$t^{\lambda_1}X_{\mathrm{st}}^{1}(M[\lambda_1])\rightarrow M_{\mathrm{dR}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}$
qui induit une inclusion
$H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\hookrightarrow H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\otimes_L M_{\mathrm{dR}}$
.
Lemme 11.12.
Les L-espaces vectoriels
$H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
et
$H_{C,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
sont de dimensions 1 et l’inclusion naturelle composée à la trivialisation,
$\iota\colon H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\hookrightarrow H_{C,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\otimes_L M_{\mathrm{dR}}\cong M_{\mathrm{dR}}$
identifie
$\iota(H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})={\mathscr{L}}\subset M_{\mathrm{dR}}$
.
Démonstration. On note
$V=V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
et quitte à tordre par une puissance du caractère cyclotomique, on peut supposer que
$\lambda_1=0$
; on note donc
$w:= w(\lambda)=\lambda_2$
. On choisit une base de
$M_{\mathrm{dR}}$
compatible à la filtration, i.e.
$M_{\mathrm{dR}}=Lf_0\oplus Lf_{w}$
de sorte que
${\mathscr{L}}=Lf_{w}$
. Alors, en passant au dual, on obtient
$M_{\mathrm{dR}}^*=Lf_0^*\oplus Lf_{w}^*$
et
${\mathscr{L}}^{\bot}=Lf_0^*$
. On calcule
$H_{C,{\mathscr{L}}}^{\lambda}=(V\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} {{\mathrm{B}}}_{\lambda})^{{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}}$
. Or,
\begin{align*}V\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} {{\mathrm{B}}}_{\lambda}=\mathrm{Fil}^0(M_{\mathrm{dR}}^*\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}})/\mathrm{Fil}^w=f_0^*{{\mathrm{B}}}_w\oplus f_w^*t^{-w}{{\mathrm{B}}}_w,\end{align*}
et donc
$H_{C,{\mathscr{L}}}^{\lambda}=f_0^*={\mathscr{L}}^{\bot}$
.
Pour
$H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
on utilise une généralisation immédiate de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Proposition 2.5] combiné à [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20a, Remarque 2.6] pour obtenir
\begin{align*}H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda} =\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{W}}{\mathscr{D}}_{{\mathbb{Q}}_p}]} ( M^*[-1]\, , \, {\mathbf{D}}_{\mathrm{pst}}(V)^* ) =\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{W}}{\mathscr{D}}_{{\mathbb{Q}}_p}]} ( M^*\, , \, M^* ) =L.\end{align*}
Finalement, l’inclusion
$H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\hookrightarrow M_{\mathrm{dR}}$
est obtenue en appliquant
$\otimes_{L}{\mathscr{L}}$
à
$H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\hookrightarrow H_{C,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\otimes_L M_{\mathrm{dR}}$
et ainsi
$\iota(H_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})={\mathscr{L}}\subset M_{\mathrm{dR}}$
.
On déduit de ce lemme qu’en appliquant
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}]}(V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}, \cdot )$
au diagramme, la flèche verticale de droite devient l’inclusion
${\mathscr{L}} \otimes_L{\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'\hookrightarrow M_{\mathrm{dR}} \otimes_L{\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'$
. On en déduit le lemme suivant.
Proposition 11.13. Le diagramme suivant G-équivariant de L-espaces de Fréchet est commutatif.
Dans ce diagramme, les flèches verticales sont injectives et d’image fermée.
Démonstration. Notons
$V=V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
. D’après le lemme 11.12, il suffit de montrer que
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}]}(V,\ \cdot\ )\cong (\ \cdot\ \otimes_{L}V^*)^{{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}}$
conserve l’exactitude des lignes du diagramme 11.11. L’application naturelle
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1 ( {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}[M]\otimes_LV^{*} ) \rightarrow {{\mathrm{H}}}^1 ( {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}\omega_{\lambda}^{\infty}[M]\otimes_LV^{*} )\end{align*}
est injective puisqu’on aFootnote 22
\begin{align*}\begin{gathered}{{\mathrm{H}}}^1 ( {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}[M]\otimes_LV^{*} ) \cong {{\mathrm{H}}}^1 ( {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} V^{*} ) \otimes_{L}{\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}[M],\\{{\mathrm{H}}}^1 ( {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}\omega_{\lambda}^{\infty}[M]\otimes_LV^{*} ) \cong {{\mathrm{H}}}^1 ( {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}V^{*} ) \otimes_{L}\omega_{\lambda}^{\infty}[M],\end{gathered}\end{align*}
car l’application
${\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}[M]\rightarrow \omega_{\lambda}^{\infty}[M]$
est injective. Ceci justifie l’exactitude de la ligne du bas. Par la commutativité du diagramme 11.11 on en déduit que l’application
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1 ( {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}[M]\otimes_LV^{*} ) \rightarrow {{\mathrm{H}}}^1 ( {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M]\otimes_LV^{*} ) ,\end{align*}
est injective.
Or, d’après la corollaire 11.7, en considérant l’image inverse de
${\mathscr{L}}\otimes_L {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'$
dans
$\omega_{\lambda}^{\infty}[M]$
on obtient la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow {\mathcal{O}}_{\lambda}^{\infty}[M]\rightarrow ( {{}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}^{\lambda}_{M,{\mathscr{L}}}} )'\rightarrow {\mathscr{L}} \otimes_L {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}'\rightarrow 0.\end{align*}
Corollaire 11.14. On a un isomorphisme topologique entre L-représentations G
\begin{align*}( {{}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}^{\lambda}_{M,{\mathscr{L}}}} )'\cong \mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}]} ( V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M] ) .\end{align*}
Finalement, comme on a montré au théorème 10.1 que
${{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M]$
est le le sous-espace des vecteurs G-bornés de
${{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M]$
et que, comme on l’a rappelé au numéro 11.1.3, les vecteurs G-bornés de
$( {{}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}^{\lambda}_{M,{\mathscr{L}}}} )'$
sont
$( {\Pi^{\lambda}_{M,{\mathscr{L}}}} )'$
, ceci démontre l’isomorphisme (11.7) du théorème 11.9.
11.4.2 Multiplicité des
$\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
Proposition 11.15.
Soit
$\lambda \in P_+$
,
$M\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^p$
cuspidal et soit
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire, admissible, absolument irréductible de G. Posons
$s=(\lvert \lambda \rvert-1)/2$
, alors
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M] ) =\begin{cases} V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\otimes_L \mathrm{JL}_{M[s]} & \text{si $\Pi=\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$,}\\ 0& \text{sinon.}\\\end{cases}\end{align*}
Démonstration. Pour M cuspidal, on a montré l’existence d’un diagramme G-équivariant de L-espaces de Fréchet.
Si on note
\begin{align*}Q_M^{\lambda}:=\frac {({{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}M_{\mathrm{dR}})}{t^{\lambda_1}X_{\mathrm{st}}^{1}(M[\lambda_1])},\end{align*}
on en déduit la suite exacte
\begin{align*}0 \rightarrow {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M] \rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}\omega_{\lambda}^{\infty}[M]\rightarrow Q_M^{\lambda}\widehat{\otimes}_L{\mathrm{LL}_M^{\lambda}}' \rightarrow 0.\end{align*}
On applique
$\mathrm{Hom}_G ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, \ \cdot \ ) $
à cette suite exacte pour obtenir
\begin{align*}\begin{gathered}\mathrm{Hom}_G ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M] ) = \\\mathrm{Ker}( \mathrm{Hom}_G ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}\omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) \rightarrow \mathrm{Hom}_G((\Pi^{\mathrm{lan}})',Q_M^{\lambda}\widehat{\otimes}_L{\mathrm{LL}_M^{\lambda}}')) =\\\mathrm{Ker}( \mathrm{Hom}_G ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) \widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}\rightarrow \mathrm{Hom}_G ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}' ) \widehat{\otimes}_LQ_M^{\lambda}) .\end{gathered}\end{align*}
Or, d’après le théorème 11.8
\begin{align*}\mathrm{Hom}_G ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, \omega_{\lambda}^{\infty}[M] ) =\begin{cases} {\mathscr{L}} & \text{si } \Pi=\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda},\\ 0& \text{sinon.}\end{cases}\end{align*}
Ainsi, on peut supposer que
$\Pi=\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
. Dans ce cas,
$\mathrm{Hom}_G ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {\mathrm{LL}_M^{\lambda}}' ) $
est de dimension 1, ce qui donne
\begin{align*}\begin{gathered} \mathrm{Hom}_G ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M] ) =\mathrm{Ker}({\mathscr{L}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}\rightarrow Q_M^{\lambda})\\ =t^{\lambda_1}X_{\mathrm{st}}^{1}(M[\lambda_1])\cap ({\mathscr{L}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\lambda})= V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}. \end{gathered}\end{align*}
Cette proposition couplée au corollaire 10.11 nous donne la seconde partie du théorème 11.9 soit.
Corollaire 11.16.
Soit
$\lambda \in P_+$
,
$M\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^p$
cuspidal et
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire, admissible, absolument irréductible de G. Posons
$s=(\lvert \lambda \rvert-1)/2$
, alors
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M] ) =\begin{cases} V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\otimes_L \mathrm{JL}_{M[s]}& \text{si $\Pi=\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$,}\\ 0& \text{sinon.}\\\end{cases}\end{align*}
12. Le cas spécial
On conserve les notations des sections précédentes.
12.1 La série spéciale p-adique
Dans ce numéro, on fait quelques rappels sur la série spéciale pour compléter ce que l’on a expliqué au numéro 11.1.
Soit
$k\in {\mathbb{Z}}$
un entier, on définit le L-
$(\varphi,N)$
-module spécial
$\mathrm{Sp}_L(k)$
comme le L-espace vectoriel
$\mathrm{Sp}_L(k)=Le_0\oplus L e_1$
muni des endomorphismes
\begin{align*}\begin{cases}\varphi(e_1)=p^{-\frac{k-1}{2}}e_1,\\\varphi(e_0)=p^{-\frac{k+1}{2}}e_0,\end{cases}\begin{cases}Ne_1=e_0,\\Ne_0=0.\end{cases}\end{align*}
Sa pente est
$-k/2$
et
$\mathrm{Sp}_L(k)[i]=\mathrm{Sp}_L(k-2i)$
. Alors, tout L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module spécial non exceptionnel, au sens de la définition 11.1, est de la forme
$(\mathrm{Sp}_L(k)\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}})\otimes_L \chi$
pour
$\chi \colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
un caractère (cf. la preuve de [Reference SchraenSch10, Proposition 1.3]). Soit
$\lambda\in P$
et fixons M spécial de la forme précédente avec
$k=\lvert \lambda \rvert -2$
.
-
–
$\mathrm{LL}_M^{\lambda}= \mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\otimes_L (\chi\circ \det)$
où l’on rappelle que
$\mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}=\mathrm{St }^{\infty}_L\otimes W_{\lambda}^*$
est la Steinberg localement algébrique de poids
$\lambda$
sur L (cf. 8.3.1), -
–
$\mathrm{JL}_M^{\lambda}:= {\check{W}}_{\lambda}\otimes_L(\chi\circ \mathrm{nrd})$
.
Soit
$k\in {\mathbb{Z}}$
un entier, on définit le L-
$(\varphi,N)$
-module exceptionnel
$\widetilde{\mathrm{Sp}}_L(k)$
comme le L-espace vectoriel
$\widetilde{\mathrm{Sp}}_L(k)=Le_0\oplus L e_1$
muni des endomorphismes
\begin{align*}\begin{cases}\varphi(e_1)=p^{-\frac{k-1}{2}}e_1,\\\varphi(e_0)=p^{-\frac{k+1}{2}}e_0,\end{cases}\quad \begin{cases}Ne_1=0,\\Ne_0=0,\end{cases}\end{align*}
C’est-à-dire que
$\widetilde{\mathrm{Sp}}_L(k)$
est le
$\varphi$
-module
$\mathrm{Sp}_L(k)$
avec
$N=0$
. Sa pente est donc aussi
$-k/2$
et
$\widetilde{\mathrm{Sp}}_L(k)[i]=\widetilde{\mathrm{Sp}}_L(k-2i)$
. Alors, tout L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module exceptionnel, au sens de la définition 11.1, est de la forme
$(\widetilde{\mathrm{Sp}}_L(k)\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}})\otimes_L \chi$
pour
$\chi \colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
un caractère (cf. la preuve de [Reference SchraenSch10, Proposition 1.3]). Soit
$\lambda\in P$
et fixons M exceptionnel de la forme précédente avec
$k=\lvert \lambda \rvert -2$
.
-
–
$\mathrm{LL}_M^{\lambda}= \widetilde{\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\otimes_L (\chi\circ \det)$
où l’on rappelle que
$\widetilde{\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}=\widetilde{\mathrm{St }}^{\infty}_L\otimes W_{\lambda}^*$
est l’unique extension non triviale de
$W_{\lambda}^*$
par
$\mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}$
(cf. numéro 8.3.1), -
–
$\mathrm{JL}_M^{\lambda}:= {\check{W}}_{\lambda}\otimes_L(\chi\circ \mathrm{nrd})$
. -
– Soit
$\lambda\in P_+$
et
${\mathcal{L}}\in L\cup\{\infty\}$
. -
– Si
${\mathcal{L}}\in L$
, on définit
$D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
le L-
$(\varphi,N)$
-module filtré de L-
$(\varphi,N)$
-module sous-jacent
$\mathrm{Sp}_L(\lvert \lambda \rvert -2)$
et de filtration
\begin{align*}\mathrm{Fil}^iD_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}:=\begin{cases}D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}&\text{ si } i\leqslant -\lambda_2+1,\\{\mathscr{L}}=L(e_1-{\mathcal{L}} e_0) &\text{ si } -\lambda_2+2\leqslant i\leqslant -\lambda_1+1,\\0&\text{ si } -\lambda_1+2\leqslant i.\end{cases}\end{align*}
-
– Si
${\mathcal{L}} =\infty$
, on définit
$D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}=D_{\infty}^{\lambda}$
le L-
$(\varphi,N)$
-module filtré de L-
$(\varphi,N)$
-module sous-jacent
$\widetilde{\mathrm{Sp}}_L(\lvert \lambda \rvert -2)$
et de filtration
\begin{align*}\mathrm{Fil}^iD_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}:=\begin{cases}D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}&\text{ si } i\leqslant -\lambda_2+1,\\{\mathscr{L}}=L(e_1- e_0) &\text{ si } -\lambda_2+2\leqslant i\leqslant -\lambda_1+1,\\0&\text{ si } -\lambda_1+2\leqslant i.\end{cases}\end{align*}
En prenant
$M=D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{\mathbb{Q}}_p^{\mathrm{nr}}$
et
${\mathscr{L}}\subset M_{\mathrm{dR}}$
défini par
${\mathcal{L}}\in L\cup\{\infty\}$
comme ci-dessus, on a
$M\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^p$
et on note simplement
$V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}=V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
et
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}=\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
.
Côté galoisien, toute L-représentation spécialeFootnote
23
de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
à poids de Hodge-Tate
$\lambda\in P_+$
est de la forme
$V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\otimes \chi$
pour
$\chi \colon {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\rightarrow L^{\times }$
un caractère lisse. La représentation
$V^{\lambda}_{{\mathcal{L}}}$
est irréductible si
$w(\lambda)\neq 1$
et si
$w(\lambda)=1$
on a une suite exacte courte:
\begin{align*}0\rightarrow L(\lambda_1+1)\rightarrow V^{\lambda}_{{\mathcal{L}}}\rightarrow L(\lambda_1)\rightarrow 0.\end{align*}
Côté automorphe, toute L-représentation spéciale de G est de la forme
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\otimes (\chi\circ \det)$
pour
$\chi \colon {\mathbb{Q}}_p^{\times } \rightarrow L^{\times }$
. La représentation
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
est une L-représentation irréductible si
$w(\lambda)\neq 1$
et si
$w(\lambda)=1$
alors
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
est de longueur 3, caractérisée par la sous-représentation
$\widetilde{\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\subset \Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
de longueur 2 pour laquelle on a une suite exacte courte
\begin{align*}0\rightarrow \mathrm{St }^0\otimes_L (\det)^{\lambda_1}\rightarrow \widetilde{\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\rightarrow (\det)^{\lambda_1}\rightarrow 0,\end{align*}
où
$\mathrm{St }^0$
est la Steinberg continue à coefficients dans L. En tant que L-représentation
${}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
à quatre composantes de Jordan-Hölder que l’on a déjà rencontré (cf. 8.3 et 8.4.2 pour les énoncés et notations), et que l’on résume dans le diagrammeFootnote
24
suivant :
Rappelons en particulier, d’après [Reference Colmez, Dospinescu and PaškūnasCDP14], que le complété unitaire universel de
${\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
est
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
.
12.2 Scindage du complexe de de Rham et de Hyodo-Kato
Le but de ce numéro est de déterminer et rigidifier explicitement le scindage du complexe de de Rham obtenu par l’isomorphisme de Hyodo-Kato. On se place dans le cas des coefficients constants, ce qui ne changera rien à la suite. Les ingrédients principaux sont des résultats de de Shalit [Reference de ShalitdeS05] et Besser et de Shalit [Reference Besser and de ShalitBdS16].
Pour
$?\in \{\mathrm{dR},\mathrm{HK}\}$
, notons
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{?}:={{\mathrm{R}}}\Gamma_{?}({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
et
${{\mathrm{H}}}^{i}_{?}$
le i-ème groupe de cohomologie correspondant pour
$i=0,1$
(les autres groupes sont nuls par les corollaires 4.4 et 4.10). Le complexe
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}$
est muni d’une action de G par endomorphismesFootnote
25
et muni d’une structure de
$(\varphi,N)$
-module dont les actions commutent avec l’action de G. Aux numéros 12.2.1 et 12.2.2, on définit respectivement des quasi-isomorphismes
$s_1$
et
$s_2$
dont la composée définit un quasi-isomorphisme G-équivariant de
$(\varphi,N)$
-modules s :
Rappelons en particulier que
${{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}}\cong L$
et
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}\cong (\mathrm{St }^{\infty}_L)'$
(cf. [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN20b, Lemma 5.11]) et que la détermination de
$s_2$
au numéro 12.2.2 revient à définir de tels isomorphismes explicitement. On détermine ensuite explicitement l’opérateur de monodromie sur le membre de droite (cf. numéro 12.2.3).
Soient
$\varpi\in {\mathbb{Z}}_p$
une uniformisante et
$u\in {\mathbb{Z}}_p^{\times }$
tel que
$\varpi=up$
. L’isomorphisme de Hyodo-KatoFootnote
26
surconvergent associé à
$\varpi$
,
$\iota_{\varpi}=\iota_{\mathrm{HK},\varpi}$
composé avec le scindage précédent définit un quasi-isomorphisme G-équivariant
On détermine finalement (cf. numéro 12.2.4) la position relative de la filtration sous ce scindage.
Remarque 12.1. Les résultats de cette section servent à identifier les invariants
${\mathcal{L}}$
dans la suite (cf. Proposition 12.11). Une méthode plus standard aurait été d’utiliser des méthodes globales et la compatibilité locale-globale. L’avantage ici est que la preuve est purement locale.
12.2.1 Scindage du complexe de Hyodo-Kato
Le but de ce numéro est d’expliciter un quasi-isomorphisme strict G-équivariant de L-
$(\varphi,N)$
-modules
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\cong {\mathcal{H}}_{\mathrm{HK}},\end{align*}
où l’on pose
${\mathcal{H}}_{\mathrm{HK}}:= {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}}\oplus {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}[-1]$
, qui est un complexe de L-représentations de G munies d’une structure de L-
$(\varphi,N)$
-module tel que les actions commutent avec celle de G. On a un morphisme G-équivariant
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\xrightarrow{s_1}\frac{1-p^{-1}\varphi}{(1-{p^{-1}})}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\oplus\frac{\varphi-1}{(p-1)}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}.\end{align*}
Remarquons que
$s_1$
commute à
$\varphi$
. Comme
$\varphi=p^{i}$
sur
${{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{HK}}$
, les deux termes du membre de droite sont respectivement concentrés en degré 0 et 1. Or, pour
$C^{\bullet}$
un complexe dont la cohomologie est concentrée en degré
$i\in {\mathbb{Z}}$
, on a un quasi-isomorphisme (strict) naturel
$C^{\bullet}\cong {{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{HK}}(C^{\bullet})[-i]$
. Ainsi
$s_1$
induit un quasi-isomorphisme
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\xrightarrow{s_1}{\mathcal{H}}_{\mathrm{HK}},\end{align*}
et les constantes ont été choisies telles que la composée
${{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}}\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\xrightarrow{s_1}{\mathcal{H}}_{\mathrm{HK}}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}}$
, où la première flèche est naturelle et la dernière flèche est la projection, est l’identité. Le lemme suivant assure que ce scindage est unique.
Lemme 12.2.
Dans la catégorie dérivée des L-représentations de G munies d’une structure de L-
$(\varphi,N)$
-module on a
\begin{align*}\mathrm{End}({\mathcal{H}}_{\mathrm{HK}})\cong L.\end{align*}
En particulier, tout quasi-isomorphisme
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\cong {\mathcal{H}}_{\mathrm{HK}}$
équivariant est canonique, à une constante près.
Démonstration. Soit
$f\colon {\mathcal{H}}_{\mathrm{HK}}\rightarrow {\mathcal{H}}_{\mathrm{HK}}$
un endomorphisme L-linéaire, G-équivariant et commutant aux actions de
$\varphi$
et N. Comme f commute à l’action de
$\varphi$
on a
$f=f_0+f_1[-1]$
où
$f_i\colon {{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^i\rightarrow {{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^i$
pour
$i=0,1$
. Or, pour
$i=0,1$
,
$f_i$
est L-linéaire et G-équivariant, donc comme
${{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{HK}}$
est une L-représentation irréductible de G on a
$f_i=c_i\in L$
par le lemme de Schur.
Il reste à montrer que
$c_0=c_1$
. Comme f commute à l’action de N, on obtient un diagramme commutatif.
Il reste à montrer que
$N\neq 0$
. Soit
$\Gamma\subset G$
un sous-groupe de Schottky cocompact. On applique le foncteur des
$\Gamma$
-invariants au diagramme (12.3) pour obtenir le diagramme suivant.
Or, d’après [Reference de ShalitdeS05],
$N_{\Gamma}$
est un isomorphisme, donc
$c_1=c_0$
.
12.2.2 Rigidification du scindage
On veut maintenant expliciter des isomorphismes
${{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}}\cong L$
et
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}\cong (\mathrm{St }^{\infty}_L)'$
. Ces isomorphismes sont uniques à une constante près et il s’agit de fixer cette constante. On note que pour
$i=0,1$
, l’isomorphisme de Hyodo-Kato donne un isomorphisme G-équivariant :
\begin{align*}\iota_{\varpi}^i\colon {{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{HK}}\cong {{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{dR}}.\end{align*}
On commence par vérifier que les
$\iota_{\varpi}^i$
sont indépendants de
$\varpi$
(contrairement à
$\iota_{\varpi}$
).
Lemme 12.3.
Pour
$i=0,1$
, on a
$\iota_{p}^{i}=\iota_{\varpi}^i$
.
Démonstration. Comme
${{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{dR}}$
est une L-représentation de G irréductible, on a
$\iota_{p}^{i}=c_i\iota_{\varpi}^i$
pour
$c_i\in L$
. Soit
$\Gamma\subset PG$
un sous-groupe de Schottky cocompact
$X_{\Gamma}:= {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}/\Gamma$
. Rappelons que (cf. [Reference de ShalitdeS05]) :
-
(1) on a une ‘décomposition de Hodge’
où si l’on note
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}(X_{\Gamma})\cong {{\mathrm{H}}}^1 (\Gamma\,; \, {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}} ) \oplus{{\mathrm{H}}}^1 ( \Gamma\,; \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ),\end{align*}
$N_{\Gamma}^i$
l’opérateur de monodromie sur
${{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{HK}}(X_{\Gamma})$
, on a
$N^{0}_{\Gamma}=0$
et on a
${{\mathrm{H}}}^1 ( \Gamma\,; \, {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}} ) =\ker N_{\Gamma}=\mathrm{im} N_{\Gamma}$
.
-
(2) l’isomorphisme de Hyodo-Kato
$\iota_{\varpi,\Gamma}^i\colon {{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{HK}}(X_{\Gamma})\cong {{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{dR}}(X_{\Gamma})$
satisfait
\begin{align*}\iota_{p,\Gamma}^i=\iota_{\varpi,\Gamma}^i\circ\exp(\log(u)N^{i}_{\Gamma}).\end{align*}
En passant aux
$\Gamma$
-invariants,
$(\iota_{\varpi}^1)^{-1}\circ\iota_{p}^1$
détermine une application constante
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^{0}(\Gamma,{{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{HK}})\xrightarrow{c_i}{{\mathrm{H}}}^{0}(\Gamma,{{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{HK}}).\end{align*}
Par la fonctorialité de l’isomorphisme de Hyodo-Kato, cette application est induite par
$(\iota_{\varpi,\Gamma}^1)^{-1}\circ\iota_{p,\Gamma}^1$
, en particulier
$c_0=1$
. Pour
$i=1$
on obtient un diagramme commutatif.
Ainsi,
$c_1\equiv \exp(\log(u)N_{\Gamma}) \mod N_{\Gamma}$
, c’est-à-dire
$c_1=1$
.
On fait quelques rappels sur les cochaines harmoniques sur l’arbre de Bruhat-Tits. Soit
${\mathcal{T}}_{\bullet}$
l’arbre de Bruhat-Tits de
$PG:= \mathrm{PGL}_2({\mathbb{Q}}_p)$
comme complexe simplicial :
${\mathcal{T}}_0$
sont les sommets et
${\mathcal{T}}_1$
les arêtes. On note simplement
${\mathcal{T}}=\lvert {\mathcal{T}}_{\bullet}\rvert$
la réalisation topologique du graphe. On munit le graphe d’une orientation ce qui donne deux applications
$s,t\colon {\mathcal{T}}_1\rightarrow {\mathcal{T}}_0$
respectivement la source et le but. Pour
$i=0,1$
posons
${\mathscr{C}}^{i}:= {\mathscr{C}}^i({\mathcal{T}}_i,L)$
la L-représentation de G des fonctions
$f\colon {\mathcal{T}}_i\rightarrow L$
(ce sont des espaces de Fréchet). On définit alors
$d\colon {\mathscr{C}}^0\rightarrow {\mathscr{C}}^1$
pour
$f\in {\mathscr{C}}^1$
par
\begin{align*}df(a):= f(s(a))-f(t(a)).\end{align*}
On définit les sous-espaces des fonctions harmoniques
${\mathscr{C}}^i_{\mathrm{har}}\subset {\mathscr{C}}^{i}$
pour
$i=0$
comme le sous-espace des fonctions constantes et pour
$i=1$
par
\begin{align*}{\mathscr{C}}^1_{\mathrm{har}}:= \bigg\{f\in {\mathscr{C}}^1\;\bigg|\; \forall s\in {\mathcal{T}}_0, \sum_{\substack{a\in {\mathcal{T}}_1\\s(a)=s}}f(a)=\sum_{\substack{a\in {\mathcal{T}}_1\\ t(a)=s}}f(a) \bigg\}.\end{align*}
Il est clair que
$\ker d = {\mathscr{C}}^0_{\mathrm{har}}=L$
.
D’après de Shalit (cf. [Reference de ShalitdeS01]), on a un isomorphisme explicite
\begin{align*}\begin{array} {} {{\mathrm{c}}}^{\mathrm{dS}}\colon & {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} &\rightarrow & {\mathscr{C}}^1_{\mathrm{har}}\\[3pt]& [\omega]&\mapsto &{{\mathrm{c}}}^{\mathrm{dS}}_{\omega}.\end{array}\end{align*}
D’après Schneider-Stuhler (cf. [Reference Schneider and StuhlerSS91]), on a un isomorphisme (associé à la base canonique de
${\mathbb{Q}}_p^2$
, cf. [Reference Alon and de ShalitAdS02]) :
\begin{align*}\begin{array}{}{{\mathrm{c}}}^{\mathrm{SS}}\colon & {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}} & \rightarrow & (\mathrm{St }_L^{\infty})'\\[3pt]& [\omega]&\mapsto &{{\mathrm{c}}}^{\mathrm{SS}}_{\omega}.\end{array}\end{align*}
On obtient un isomorphisme
$\mu\colon {\mathscr{C}}^1_{\mathrm{har}}\rightarrow (\mathrm{St }_L^{\infty})'$
. On va introduire des objets test pour déterminer ces isomorphismes.
-
– Pour tout
$k\in {\mathbb{Z}}$
posons
$s_k\in {\mathcal{T}}_0$
défini par le réseau
$p^k{\mathbb{Z}}_p\oplus {\mathbb{Z}}_p$
. Comme on peut orienter
${\mathcal{T}}$
comme on veut,Footnote
27
on peut supposer qu’on a l’arête orientée
$a_k:= s_k\rightarrow s_{k+1}$
. On pose alors (12.5)où
\begin{equation}f_0:= \sum_{k\in {\mathbb{Z}}}\delta_{a_k},\end{equation}
$\delta_{a}$
pour
$a\in {\mathcal{T}}_1$
est le dirac en l’arête a. En d’autres termes,
$f_0$
est la fonction caractéristique de
$\{a_k\}_{k\in {\mathbb{Z}}}$
.
-
– La G-représentation
$(\mathrm{St }_L^{\infty})'$
est définie comme le dual de
$\mathrm{St }_L^{\infty}$
, i.e. l’espace des distributions sur
${\mathbb{P}}^1({\mathbb{Q}}_p)$
qui s’annulent sur les fonctions constantes. Posons la distribution
\begin{align*}\mu_0\colon \phi\mapsto \in t_{{\mathbb{Q}}_p}\phi(x)dx-\phi(\infty).\end{align*}
-
– Posons
$\omega_0$
le noyau de Poisson de
$\mu_0$
(cf. (8.2)), i.e.
\begin{align*}\omega_0:=\in t_{{\mathbb{P}}^1({\mathbb{Q}}_p)}\frac{dz}{z-x}\mu_0(x).\end{align*}
Notons que
$f_0$
,
$\mu_0$
et
$\omega_0$
sont invariantes par l’action de B. Par un petit calcul, on obtient que les B-invariants de
$(\mathrm{St }_L^{\infty})'$
forment un L-espace vectoriel de dimension 1. Ainsi, il existe une constante
$c\in L^{\times }$
telle que
$\mu_{f_0}=c\mu_0$
. Or, d’après [Reference Alon and de ShalitAdS02, Theorem 1.1 (iv)] on a
${{\mathrm{c}}}^{\mathrm{dS}}_{\omega_0}(a_0)={{\mathrm{c}}}^{\mathrm{SS}}_{\omega_0}(\chi_B)$
, où
$\chi_B$
est la fonction caractéristique de la classe à gauche de B. Or, d’après [Reference Alon and de ShalitAdS02, Remark 1.7]
${{\mathrm{c}}}_{\omega_0}^{\mathrm{dS}}=f_0$
et donc
$c=1$
.
On résume les isomorphimes dans le lemme suivant.
Lemme 12.4.
-
– Le morphisme d’évaluation donne des égalités
(12.6)
\begin{equation}{{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^0\xrightarrow{\iota_{\varpi}^0}{{\mathrm{H}}}_{\mathrm{dR}}^0=L={\mathscr{C}}_{\mathrm{har}}^0.\end{equation}
-
– On a un diagramme commutatif d’isomorphismes
(12.7)caractérisées par
${{\mathrm{c}}}^{\mathrm{dS}}_{\omega_0}=f_0$
,
${{\mathrm{c}}}^{\mathrm{SS}}_{\omega_0}=\mu_0$
et
$\mu_{f_0}=\mu_0$
.
-
– Par l’isomorphisme de Morita
$\Omega^1({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p})\cong (\mathrm{St }_{L}^{\mathrm{lan}})'$
, la composée (12.8)s’identifie au dual de l’inclusion naturelle
\begin{equation}(\mathrm{St }_{L}^{\mathrm{lan}})'\cong \Omega^1({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p})\rightarrow {{\mathrm{H}}}_{\mathrm{dR}}^1\xrightarrow{{{\mathrm{c}}}^{\mathrm{SS}}}(\mathrm{St }_{L}^{\infty})',\end{equation}
$\mathrm{St }_{L}^{\infty}\hookrightarrow \mathrm{St }_{L}^{\mathrm{lan}}$
.
Posons
${\mathcal{H}}:= L\oplus (\mathrm{St }_L^{\infty})'[-1]$
comme complexe de L-représentations de G. Le lemme précédent donne un quasi-isomorphisme explicite
$s_2\colon {\mathcal{H}}_{\mathrm{HK}}\xrightarrow{\sim}{\mathcal{H}}$
. On définit finalement
\begin{align*}s:= s_1\circ s_2\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\xrightarrow{\sim}{\mathcal{H}}.\end{align*}
12.2.3 La monodromie
La monodromie
$N\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}$
définit un morphisme
$N\colon {{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^1[-1]\rightarrow {{\mathrm{H}}}_{\mathrm{HK}}^0$
(puisque
$N\varphi=\varphi N$
) c’est-à-dire, par le scindage s,
$N\in \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]}({\mathrm{St }_L^{\infty}}',L)= L\cdot v_p$
. Le but de ce numéro est de démontrer la proposition suivante.
Proposition 12.5.
On a
$N=-v_p$
.
On commence par un lemme pour calculer la constante d’une classe dans
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]}({\mathrm{St }_L^{\infty}}',L)$
, dont la preuve est immédiate en utilisant que cet espace est de dimension 1 et en explicitant les définitions.
Lemme 12.6.
Soit
$e\in \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]}({\mathrm{St }_L^{\infty}}',L)$
et E l’extension correspondante, i.e.
\begin{align*}0\rightarrow L \rightarrow E \rightarrow {\mathrm{St }_L^{\infty}}'\rightarrow 0.\end{align*}
Soit
$g_p:= \begin{pmatrix}\! p&\;\;0\\0&\;\;1\!\end{pmatrix}$
,
$f\in {\mathrm{St }_L^{\infty}}'$
un élément fixé par
$g_p$
et
$\widetilde f\in E$
un relèvement de f dans E. Alors
\begin{align*}g_p\cdot \widetilde f-\widetilde f=c\in L,\end{align*}
et
$e=cv_p$
.
On définit
$\widetilde{{\mathscr{C}}}^0_{\mathrm{har}}\subset{\mathscr{C}}^0$
par
\begin{align*}\widetilde{{\mathscr{C}}}^0_{\mathrm{har}}:= \{ g\in {\mathscr{C}}^0\mid \forall s\in {\mathcal{T}}_0,\ dg\in {\mathscr{C}}_{\mathrm{har}}^1\}.\end{align*}
Alors on a une suite exacte courte
\begin{equation}0\rightarrow {\mathscr{C}}^0_{\mathrm{har}}\rightarrow \widetilde{{\mathscr{C}}}^0_{\mathrm{har}}\rightarrow {\mathscr{C}}^1_{\mathrm{har}}\rightarrow 0.\end{equation}
Or, on a
${\mathscr{C}}^0_{\mathrm{har}}= L$
et
$\mu\colon {\mathscr{C}}^1_{\mathrm{har}}\xrightarrow{\sim} (\mathrm{St }_{L}^{\infty})'$
(cf. Lemme 12.4) et donc la suite exacte (12.9) définit une classe
$\nu \in \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]}({\mathrm{St }_L^{\infty}}',L)$
(en particulier
$\widetilde{{\mathscr{C}}}^0_{\mathrm{har}}\cong (\widetilde{\mathrm{St }}_L^{\infty})'$
).
Lemme 12.7.
On a
$\nu=-v_p$
.
Démonstration. On a construit la fonction test
$f_0\in {\mathscr{C}}^{1}_{\mathrm{har}}$
, qui est fixée par
$g_p$
(en effet,
$g_p\cdot a_k=a_{k+1}$
). En vertu du lemme 12.6, il suffit de construire un relèvement
$\widetilde{f}_0\in \widetilde{{\mathscr{C}}}^0_{\mathrm{har}}$
de
$f_0$
tel que
\begin{align*}g_p\cdot \widetilde f_0-\widetilde f_0=-1.\end{align*}
Pour définir
$\widetilde{f}_0$
posons
$m(s)\in {\mathbb{Z}}$
pour
$s\in {\mathcal{T}}$
l’entier tel que
$\mathrm{dist}(s,\{s_k\}_{k\in {\mathbb{Z}}})=\mathrm{dist}(s,s_{m(s)})$
où dist est la distance usuelle sur
${\mathcal{T}}$
, i.e.
$s_{m(s)}$
est le sommet de la chane des
$\{s_k\}_{k\in {\mathbb{Z}}}$
le plus proche de s dans l’arbre. On pose
\begin{align*}\widetilde{f}_0:= \sum_{s\in {\mathcal{T}}_0}m(s)\delta_s,\end{align*}
où cette fois-ci
$\delta_s$
pour
$s\in {\mathcal{T}}_0$
est le dirac en le sommet s. On a besoin de trois propriétés immédiates sur la fonction
$s\mapsto m(s)$
:
-
– si
$s,s'\in {\mathcal{T}}_0$
sont voisins mais
$\{s,s'\}\not\subset\{s_k\}_{k\in {\mathbb{Z}}}$
alors
$m(s)=m(s')$
, -
–
$m(s_k)=k$
, -
–
$m(g_p\cdot s)=m(s)+1$
.
On montre que
$d\widetilde f_0=f_0$
. En effet, par les deux premières propriétés
\begin{align*}d\widetilde f_0=\sum_{k\in {\mathbb{Z}}}(m(s_{k+1})-m(s_k))\delta_{s_k}=f_0,\end{align*}
ce qui donne
$\widetilde f_0 \in \widetilde{{\mathscr{C}}}^0_{\mathrm{har}}$
et la troisième propriété donne
\begin{align*}g_p\cdot \widetilde f_0= \sum_{s\in {\mathcal{T}}_0}m(g_p^{-1}\cdot s)\delta_s=\widetilde f -\sum_{s\in {\mathcal{T}}_0} \delta_s,\end{align*}
c’est-à-dire que
$g_p\cdot \widetilde f_0-\widetilde f_0 =-1$
, ce qui termine la preuve.
On donne maintenant la preuve de la proposition 12.5 dont l’ingrédient principal est [Reference de ShalitdeS05, Theorem 4.1].
Démonstration. On a
$N=c\nu$
avec
$c\in L^{\times }$
et on veut montrer
$c=1$
.
Soit
$\Gamma\subset G$
un sous-groupe de Schottky cocompact. En appliquant le foncteur des
$\Gamma$
-invariants à N on obtient une application
\begin{align*}N_{\Gamma}\colon {{\mathrm{H}}}^0 ( \Gamma\,; \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ) \rightarrow {{\mathrm{H}}}^1 ( \Gamma\,; \, {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}} ) ,\end{align*}
qui correspond à
$\mathrm{Gr}_{\Gamma}N$
dans [Reference de ShalitdeS05, Theorem 4.1]. D’autre part, en appliquant le foncteur des
$\Gamma$
-invariants à la (12.6), le morphisme de connexion donne
\begin{align*}\nu_{\Gamma}\colon {{\mathrm{H}}}^0 ( \Gamma\,; \, {\mathscr{C}}^1_{\mathrm{har}} ) \rightarrow {{\mathrm{H}}}^1 ( \Gamma\,; \, {\mathscr{C}}^0_{\mathrm{har}} ) .\end{align*}
D’après [Reference de ShalitdeS05, Theorem 4.1],
$\nu_{\Gamma}$
(noté
$\nu$
dans [Reference de ShalitdeS05]) est un isomorphisme et
$N_{\Gamma}=\nu_{\Gamma}$
ce qui prouve que
$c=1$
.
12.2.4 La filtration
La filtration de de Rham, composée au scindage puis à la projection sur
${{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}}$
donne
\begin{align*}f_{\varpi}\colon \mathrm{Fil}^1\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}\xrightarrow{(\iota_{\varpi})^{-1}}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\xrightarrow{s} L.\end{align*}
Comme
$\mathrm{Fil}^1=\Omega^1({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p})[-1]$
et
$\Omega^1({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p})\cong (\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_L)'$
par l’isomorphisme de Morita (cf. numéro 8.3.2),
$f_{\varpi}$
est un morphisme
$f_{\varpi}\colon (\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_L)'[-1]\rightarrow L$
, c’est-à-dire
$f_{\varpi}\in \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]}((\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_L)',L)\cong \mathrm{Hom}({\mathbb{Q}}_p^{\times },L)$
. Le but de ce numéro est de démontrer la proposition suivante.
Proposition 12.8.
On a
$f_{\varpi}=\log - \log(u)v_p$
, en particulier
$f_p=\log$
.
L’ingrédient principal de la preuve est la cohomologie polynomiale finie et les résultats de Besser et de Shalit (cf. [Reference Besser and de ShalitBdS16]).
SoitFootnote
28
$X={\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}, {\mathbb{G}}_{m}$
où
${\mathbb{G}}_{m}$
est le tore rigide analytique sur
${\mathbb{Q}}_p$
. Comme précédemment, l’isomorphisme de Hyodo-Kato
$\iota_{\varpi}$
donne une composée
\begin{align*}f_{\varpi,X}\colon \mathrm{Fil}^1\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}(X)\xrightarrow{(\iota_{\varpi})^{-1}}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X)\xrightarrow{\frac{p-\varphi}{p-1}}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X).\end{align*}
On définit le complexe de cohomologie finie-polynomiale comme le cône de ce morphisme :
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{ \mathrm{fp},\varpi}(X,1):= [\mathrm{Fil}^1\xrightarrow{f_{\varpi,X}}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}(X)].\end{align*}
En particulier,
${{\mathrm{H}}}^1_{ \mathrm{fp},\varpi}(X,1)$
est une extension
\begin{align*}0\rightarrow {{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}}(X)\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1_{ \mathrm{fp},\varpi}(X,1)\rightarrow \Omega^1(X)\rightarrow 0.\end{align*}
On remarque que pour
$X={\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
, cette extension est l’extension définie par
$f_{\varpi}$
, i.e.
$f_{\varpi}=f_{\varpi,{\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}}$
. On a le lemme suivant (cf. [Reference Besser and de ShalitBdS16, Proposition 3.3]).
Lemme 12.9.
Tout relèvement
$\omega\in {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{fp},\varpi}({\mathbb{G}}_m)$
de
$({dz}/z)\in \Omega^1({\mathbb{G}}_m)$
est invariant par l’action de
$\varpi$
.
Démonstration. On propose une alternative à la fin de la preuve de [Reference Besser and de ShalitBdS16, Proposition 3.3]. On note
$E:= {\mathbb{G}}_m/\varpi^{{\mathbb{Z}}}$
la courbe de Tate de paramètre
$\varpi$
. La classe de cohomologie définie par la forme différentielle
${dz}/{z}$
engendre la filtration de de Rham
$\mathrm{Fil}^1\subset {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}}(E)$
et la preuve se ramène à montrer que
$\mathrm{Fil}^1$
est annulé par
$\varphi-p$
pour la structure de
$(\varphi,N)$
-module sur
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}}(E)$
induite par l’isomorphisme de Hyodo-Kato
\begin{align*}{\iota_{\mathrm{HK},\varpi}}\colon {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}(E)\xrightarrow{\sim}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}}(E).\end{align*}
Or, (cf. par exemple [Reference BrinonBri19, § 3.1])
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}(E,{\mathbb{Q}}_p(1))\cong V_{{\mathcal{L}}}$
où
${\mathcal{L}}=({\log \varpi}/{v_p(\varpi)})=0$
. Ainsi, par les théorèmes de comparaison p-adique pour les variétés propres et semi-stables (cf. [Reference TsujiTsu99]), en tant que
$(\varphi,N)$
-module filtré
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{dR}}(E)\cong D_0^{(0,1)}[1],\end{align*}
comme défini au numéro 12. C’est-à-dire que
$\mathrm{Fil}^1=Le_1\subset D_0^{(0,1)}[1]$
et
$\varphi(e_1)=pe_1$
, ce qui termine la preuve.
On donne maintenant la preuve de la proposition 12.8.
Démonstration. Soit
${\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\hookrightarrow{\mathbb{G}}_m$
l’inclusion naturelle T-équivariante pour
$T\subset G$
le sous-groupe des matrices diagonales. Elle fournit un diagramme commutatif à lignes exactes.
On remarque que les flèches verticales sont bien injectives. Supposons que l’extension du haut n’est pas scindée et donc (cf. Lemme 8.4) il existe
${\mathcal{L}}\in L\cup\{\infty\}$
tel que
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{fp},\varpi}({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p},1)\cong \Sigma^{(0,1)}_{{\mathcal{L}}}$
en tant que L-représentation localement analytique de G. On veut montrer que
${\mathcal{L}}=-\log(u)$
. Soit
$\omega_{\varpi}\in {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{fp},\varpi}({\mathbb{G}}_m,1)$
un relèvement de
${dz}/z$
que l’on voit comme un élément de
$\Sigma^{(0,1)}_{{\mathcal{L}}}$
. D’après [Reference BreuilBre04, Proposition 3.2.2],
$\omega_{\varpi}= c_{\varpi}\log_{{\mathcal{L}}}(z)$
comme fonction sur
${\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
où
$c_{\varpi}\in L^{\times }$
. Comme l’inclusion
${\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\hookrightarrow{\mathbb{G}}_m$
est T-équivariante, l’action de
$g_{\varpi}:=\begin{pmatrix}\!\varpi&\;0\\0&\;1\!\end{pmatrix}$
sur
$c_{\varpi}\log_{{\mathcal{L}}}(z)$
correspond à l’action de
$\varpi$
sur
$\omega_{\varpi}$
et donc, par le lemme 12.9,
$c_{\varpi}\log_{{\mathcal{L}}}(z)$
est donc fixé par
$g_{\varpi}$
. On obtient
\begin{align*}\log_{{\mathcal{L}}}(z)=g_{\varpi}\cdot \log_{{\mathcal{L}}}(z) = \log_{{\mathcal{L}}}(p) + \log_{{\mathcal{L}}}(z).\end{align*}
Donc
${\mathcal{L}}=-\log u$
, c’est-à-dire que
$f_{\varpi}=c_{\varpi}(\log-\log(u) v_p)$
pour
$c_{\varpi}\in L$
(
$c_{\varpi}=0$
si l’extension est scindée).
Finalement, le corollaire [Reference Besser and de ShalitBdS16, Corollary 3.4] nous donne que
$f_{\varpi}-f_{p}=-\log(u)v_p$
, ce qui prouve que
$c_{\varpi}=1$
.
Remarque 12.10. Les résultats de cette section devraient permettre d’établir la relation
$\iota_{p}= \iota_{\varpi}\circ\exp(\log(u)N)$
qui ne semble pas connue pour le demi-plan p-adique.
12.3 Cohomologie isotriviale du demi-plan p-adique
12.3.1 Cohomologie de de Rham et de Hyodo-Kato isotriviale
On va maintenant décrire les cohomologies de de Rham et de Hyodo-Kato isotriviales en niveau zéro. La difficulté est que côté automorphe, on doit calculer un entrelacement dérivé. Cette difficulté apparat déjà dans les travaux de Schraen (cf. [Reference SchraenSch10]), dont on va expliquer et reformuler légèrement le résultat. Notons
${\mathscr{D}}(G,L)$
l’algèbre des distributions localement analytiques sur G à valeurs dans L. On travaillera dans la catégorie dérivée des modules sur
${\mathscr{D}}(G,L)$
de caractère central fixéFootnote
29
et on note
${\mathbf{Hom}}$
les homomorphismes dans cette catégorie : c’est en particulier le
${{\mathrm{H}}}^0$
du bifoncteur dérivé
${{\mathrm{R}}}\mathrm{Hom}$
. De même, on note
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]}$
le groupe des extensions dans la catégorie des
${\mathscr{D}}(G,L)$
-modules à caractère central fixé.
En tensorisant le scindage s du numéro 12.2 par
$W_{\lambda}$
on obtient un scindage
\begin{align*}s_{\lambda}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) \xrightarrow{\sim}{\mathcal{H}}_{\lambda}\end{align*}
où
${\mathcal{H}}_{\lambda}$
est le complexe de L-représentations de G, défini par
\begin{equation}{\mathcal{H}}_{\lambda}:= W_{\lambda}\oplus (\mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda})'[-1].\end{equation}
Proposition 12.11. L’isomorphisme de Hyodo-Kato
\begin{align*}\iota_{\mathrm{HK}}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) \xrightarrow{\sim}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} )\end{align*}
munit le complexe de de Rham d’une structure de
$(\varphi,N)$
-module filtré et on a un isomorphisme
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( ( {{}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) ) \cong D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}.\end{align*}
12.3.2 Rappels du résultat de Schraen
Dans ce paragraphe, on explique le résultat principal de [Reference SchraenSch10], mais en tordant par une puissance du déterminant ce qui ne change rien à l’argument.
Proposition 12.12.
On peut munir
${\mathcal{H}}_{\lambda}$
d’une structure de
$(\varphi,N)$
-module filtré, commutant à l’action de G, de sorte qu’on obtient un isomorphisme de L-
$(\varphi,N)$
-modules filtrés
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( ( {\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'[-1]\, , \, {\mathcal{H}}_{\lambda} ) \cong D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}.\end{align*}
Dans cet énoncé, le membre de gauche est muni d’un frobenius, d’une monodromie et d’une filtration ‘à la main’;Footnote 30 on va les définir en expliquant la preuve. On commence par rappeler plusieurs résultats préliminaires démontrés dans [Reference SchraenSch10].
Lemme 12.13.
Soit
$\lambda\in P_+$
, alors
-
–
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W^*_{\lambda}\, , \, \Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda} ) $
est un L-espace vectoriel de dimension 1, -
–
$\mathrm{Hom}_{L[ G]} ( \mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\, , \, \Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda} ) $
et
$\mathrm{Hom}_{L[ G]} ( \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}\, , \, \Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda} ) $
sont des L-espaces vectoriels de dimension 1, -
– l’application naturelle
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( \boldsymbol{1}\, , \, \mathrm{St }^{\infty}_L ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda} ) $
, où les extensions sont considérées dans la catégorie des L-représentations localement algébriques de G, est un isomorphisme, -
– l’image de l’application naturelle
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda} ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda} ) \cong \mathrm{Hom} ( {\mathbb{Q}}_p^{\times }\, , \, L ) $
est la L-droite engendrée par
$v_p$
. -
– On a un isomorphisme naturel
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( \boldsymbol{1}\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{L} ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda} ) $
tel que si on le compose et précompose aux isomorphisme avec
$\mathrm{Hom}({\mathbb{Q}}_p^{\times },L)$
, on obtient l’identité.
Démonstration. Le premier point est le contenu de [Reference SchraenSch10, Corollaire 4.11].
Le second point provient de la description des composantes de Jordan-Hölder de
$\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
(cf. (12.1).
Le troisième point est le contenu de [Reference SchraenSch10, Proposition 4.14].
Le quatrième point est le contenu de [Reference SchraenSch10, Corollaire 4.16].
Pour le dernier point on remarque que
$\mathrm{St }_L^{\mathrm{lan}}\hookrightarrow \mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lan}}\otimes_LW_{\lambda}$
s’identifie au sous-espace de caractère infinitésimal trivial ce qui donne l’application
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( \boldsymbol{1}\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{L} ) \xrightarrow{\sim}\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda} ) $
. La forme de l’isomorphisme explicite avec
$\mathrm{Hom}({\mathbb{Q}}_p^{\times },L)$
(cf. [Reference ColmezCol14, Lemme 2.10]) permet de conclure.
On explique maintenant la preuve de la proposition 12.12 en suivant la démonstration de [Reference SchraenSch10, Théorème 5.3].
Démonstration. On obtient que
\begin{equation}D:= {\mathbf{Hom}} ( ( {\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'[-1]\, , \, {\mathcal{H}}_{\lambda} ) = D_0 \oplus D_1,\end{equation}
où
-
–
$D_0= \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( ( {\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'\, , \, W_{\lambda} ) \cong \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda} ) $
qui est un L-espace vectoriel de dimension 1 d’après le lemme 12.13, -
–
$D_1=\mathrm{Hom}_{L[\bar G]} ( ( {\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'\, , \, ( {\mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}} )' ) \cong \mathrm{Hom}_{L[\bar G]} ( \mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\, , \, \Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda} ) $
qui est un L-espace vectoriel de dimension 1 d’après le lemme 12.13.
Schraen munit alors
${\mathcal{H}}_{\lambda}$
d’une structure de
$(\varphi,N)$
-module en posant
-
–
$\varphi:= p^{-\frac{\lvert \lambda \rvert-1}{2}}$
sur
$W_{\lambda}$
(et donc sur
$D_0$
) puis
$\varphi:= p^{-\frac{\lvert \lambda \rvert -3}{2}}$
sur
$(\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lalg}})'[-1]$
(et donc sur
$D_1$
), -
–
$N:= {\mathcal{H}}_{\lambda}\rightarrow {\mathcal{H}}_{\lambda}$
défini par
$N=-v_p$
dans
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( \boldsymbol{1}\, , \, \mathrm{St }^{\infty}_L ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda} ) $
(cf. troisième point du lemme 12.13). En particulier,
$N\colon D_1\rightarrow D_0$
est non nul.
On en déduit un isomorphisme
$D\cong \mathrm{Sp}_L(\lvert \lambda \rvert-2)$
.
On définit une filtration sur
${\mathcal{H}}_{\lambda}$
par
\begin{align*}\mathrm{Fil}^i{\mathcal{H}}_{\lambda}=\begin{cases}{\mathcal{H}}_{\lambda}& \text{ si } i\leqslant -\lambda_2+1,\\(\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda})'[-1]& \text{ si } -\lambda_2+2\leqslant i \leqslant -\lambda_1+1,\\0 & \text{ si } -\lambda_1+2\leqslant i,\end{cases}\end{align*}
où le cran intermédiaire de la filtration est défini par
$f\colon (\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda})'[-1]\rightarrow {\mathcal{H}}_{\lambda}$
donnée par
\begin{equation}f:= (1,\log)\in \mathrm{Hom}_G((\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda})',(\mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda})')\times \mathrm{Hom}_G((\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda})',W_{\lambda})\cong L\times \mathrm{Hom}({\mathbb{Q}}_p^{\times },L).\end{equation}
Ceci signifie que sur D, le cran intermédiaire de la filtration est défini par l’image de
$\mathrm{Hom}_G((\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda})',f)$
. Ainsi, pour i un entier tel que
$-\lambda_2+2\leqslant i \leqslant -\lambda_1+1$
, on définit
\begin{align*}{\mathbf{F}}:={\mathbf{Hom}} ( ( {\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'[-1]\, , \, \mathrm{Fil}^i{\mathcal{H}}_{\lambda} ) \cong \mathrm{Hom}_{L[\bar G]} ( ( {\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'\, , \, ( {\mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )' ) .\end{align*}
D’après le lemme 12.13,
${\mathbf{F}}$
est un L-espace vectoriel de dimension 1. On a deux projections.
On choisit
$v\in {\mathbf{F}}$
l’unique élément tel que
$v_1:= p_1(v)$
correspond à l’application naturelle
$\mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\rightarrow \Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
. On a
-
–
$N(v_1) = -v_p$
, naturellement obtenu par l’application
\begin{align*}\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \,\Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda} ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lan}} ),\end{align*}
-
–
$v_0{\kern-.5pt}:={\kern-.5pt} p_0(v){\kern-1pt}={\kern-2pt} \log$
, obtenu par l’application naturelle
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda} ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda} ) $
.
Or, dans
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( W_{\lambda}^*\, , \, \Sigma_{{\mathcal{L}}}^{\lambda} ) $
, on a par définition
$\log={\mathcal{L}} v_p$
. Ainsi
$v_0={\mathcal{L}} v_1$
et donc
$v=v_1-{\mathcal{L}} N(v_1)$
dans D, ce qui conclut que la filtration introduite est bien celle de
$D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
.
12.3.3 Preuve de la proposition 12.11
Pour résumer, il faut justifier trois choses pour obtenir la proposition 12.11 à partir de la proposition 12.12. On doit montrer :
-
(1) que le scindage
$s_{\lambda}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) \xrightarrow{\sim}{\mathcal{H}}_{\lambda}$
muni
${\mathcal{H}}_{\lambda}$
d’une structure de L-
$(\varphi,N)$
-module qui est la même que celle de la proposition 12.12, -
(2) que la filtration sur
${\mathcal{H}}_{\lambda}$
définie par la filtration de de Rham
$\mathrm{Fil}^{\bullet}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) $
composée au scindage
$s_{\lambda}\circ (\iota_{\mathrm{HK}})^{-1}\colon {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) \xrightarrow{\sim}{\mathcal{H}}_{\lambda}$
est la même que celle de la proposition 12.12, -
(3) que l’on obtient le même résultat en remplaçant
$\Sigma^{\lambda}_{{\mathcal{L}}}$
par
${}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
.
Pour le premier point, on veut montrer que
$s_{\lambda}$
induit un isomorphisme de L-
$(\varphi,N)$
-module
\begin{align*}D:= {\mathbf{Hom}} ( ( {{\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) ) \cong \mathrm{Sp}_L(\lvert \lambda \rvert -2).\end{align*}
Notons D le terme de gauche. On va décomposer le calcul en deux étapes en utilisant la preuve de 12.12.
-
– Montrons que les frobenius concident. Rappelons que d’après la proposition 9.5
$\varphi^2=p^{1-\lvert \lambda \rvert}$
sur
${\mathbb{D}}_{\lambda}$
. D’après (12.12) on obtient la décomposition
$D=D_0\oplus D_1$
avec
$D_0$
et
$D_1$
de dimension 1 sur L. On a :-
*
$D_0:= \mathrm{Ext}^1_{L[\bar{G}]} (({\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda})'\, , \,{{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \,{\mathbb{D}}_{\lambda} ) ) $
et comme
$\varphi=1$
sur
${{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{HK}}({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
on obtient que
$\varphi^2=p^{1-\lvert \lambda \rvert}$
sur
$D_0$
. Comme ce dernier est de dimension 1, on obtient
$\varphi=p^{({1-\lvert \lambda \rvert})/{2}}$
. -
*
$D_1:= \mathrm{Hom}_{L[G]} (({\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda})'\, , \,{{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \,{\mathbb{D}}_{\lambda} ) ) $
et comme
$\varphi=p$
sur
${{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{HK}}({\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
on obtient que
$\varphi^2=p^{3-\lvert \lambda \rvert}$
sur
$D_1$
. Comme ce dernier est de dimension 1, on obtient
$\varphi=p^{({3-\lvert \lambda \rvert})/{2}}$
.
-
Ceci montre que les
$\varphi$
-modules concident bien.
-
– Pour la monodromie, d’après la proposition 12.5 dans le cas
$\lambda=(1,0)$
on a
$N=-v_p$
et on conclut que les monodromies concident en utilisant le point 3 de Lemme 12.13 comme dans la preuve de 12.12.
Pour le second point rappelons qu’on a
\begin{align*}\mathrm{Fil}^{i}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) =\begin{cases}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) & \text{ si } i\leqslant -\lambda_2+1,\\\omega_{\lambda}[-1]& \text{ si } -\lambda_2+2\leqslant i \leqslant -\lambda_1+1,\\0 & \text{ si } -\lambda_1+2\leqslant i.\end{cases}\end{align*}
où l’on rappelle que par l’isomorphisme de Morita (cf. Proposition 8.6)
$\omega_{\lambda}\cong (\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lan}})'$
. Il suffit donc de montrer que la composée
\begin{equation}f_{\mathrm{dR}}:= (\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lan}})'[-1]\cong \omega_{\lambda}[-1]\rightarrow {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) \xrightarrow{(\iota_{\mathrm{HK}})^{-1}} {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathbb{D}}_{\lambda} ) \xrightarrow{s_{\lambda}}{{\mathcal{H}}_{\lambda}}\end{equation}
est donnée par
$f\colon (\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lan}})'[-1]\rightarrow {{\mathcal{H}}_{\lambda}}$
défini en (12.13). D’après le troisième point du lemme 12.4 combiné à la remarque 8.7, la première composante de
$f_{\mathrm{dR}}$
est donnée par le dual de l’inclusion naturelle
$\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lalg}}\hookrightarrow \mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lan}}$
. D’après la proposition 12.8 combiné au dernier point du lemme 12.13, la seconde composante de
$f_{\mathrm{dR}}$
est
$\log$
. Ainsi
$f_{\mathrm{dR}}=f$
.
Pour le troisième point, on utilise la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow {\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\rightarrow {}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\rightarrow {\widetilde{B}}^{\lambda}\rightarrow 0.\end{align*}
Ainsi, il suffit de montrer que
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( ( {{\widetilde{B}}_{\lambda}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, {\mathcal{E}}_{\lambda} ) ) \cong 0.\end{align*}
Mais puisque le complexe de de Rham est scindé, on écrit cet entrelacement dérivé comme la somme directe
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( {\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\, , \, {{\widetilde{B}}^{\lambda}} ) \oplus \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( {W}^*_{\lambda}\, , \, {{\widetilde{B}}^{\lambda}} ) ,\end{align*}
où l’on rappelle que les entrelacements et extensions sont considérés dans la catégorie des L-représentations localement analytiques à caractère central fixé. Le terme de droite, le groupe des extensions, est nul d’après le lemme 8.11. Il est clair que le terme de gauche est nul : ce sont deux représentations irréductibles non isomorphes.
Ceci achève la démonstration de la proposition 12.11.
12.3.4 Le diagramme fondamental
On rappelle la forme que prend le diagramme dans ce cas. Les notations sont presque les mêmes qu’au numéro 9.2.3, la différence est que l’on travaille avec
${\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
plutôt que
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{{\mathbb{Q}}_p}^{\infty}$
. On note en particulier
\begin{align*}{\mathcal{O}}_{\lambda}&:={\mathcal{O}}\{1-w(\lambda),1-\lambda_2\}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot\lvert \det \rvert_p^{({1-\lvert \lambda \rvert})/{2}},\\\omega_{\lambda}&:={\mathcal{O}}\{1+w(\lambda),1-\lambda_1\}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L\cdot\lvert \det \rvert_p^{({1-\lvert \lambda \rvert})/{2}},\\{{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}&:= {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) .\end{align*}
Rappelons qu’on a l’isomorphisme de Morita
$\omega_{\lambda}\cong ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )'$
(cf. 8.3.2). On note de plus (cf. la remarque 9.11 pour les inclusions qui définissent les
$Q_{\lambda}^i$
).
\begin{align*}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}&:= t^{\lambda_1}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+/t^{\lambda_2}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+,\quad {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0:= t^{\lambda_1}( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi^2=p^{w(\lambda)+1}},\quad {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^1:= t^{\lambda_1}( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+} )^{\varphi^2=p^{w(\lambda)-1}}, \\Q_{\lambda}^0&:= \frac{{{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L}{{{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L},\quad Q_{\lambda}^1:= \frac{{{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L}{{{\mathrm{U}}}_{\lambda}^1\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L}.\end{align*}
La proposition est la suivante, elle découle directement du théorème 9.10.
Proposition 12.14.
Soit
$\lambda \in P_+$
tel que
$w(\lambda)\gt 1$
. On a un diagramme commutatif,
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G$
-équivariant d’espaces de Fréchet dont les lignes sont exactes.
Les flèches verticales sont d’images fermées.
Si on prend le quotient par les deux termes de gauche dans le diagramme et que l’on applique le lemme du serpent, on obtient le corollaire suivant.
Corollaire 12.15.
On a une suite exacte stricte
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\times G$
-équivariante d’espaces de Fréchet
\begin{align*}0\rightarrow Q_{\lambda}^0\otimes_L W_{\lambda}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}\omega_{\lambda}\rightarrow Q_{\lambda}^1\widehat{\otimes}_L ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}} )'\rightarrow 0.\end{align*}
Remarque 12.16. Par l’isomorphisme de Morita (cf. 8.6), la suite exacte courte obtenue à partir du petit complexe de de Rham
\begin{align*}0\rightarrow {\mathcal{O}}_{\lambda}/W_{\lambda}\xrightarrow{\partial^{w(\lambda)}} \omega_{\lambda}\rightarrow (\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lalg}})'\rightarrow 0,\end{align*}
est le dual de la suite exacte du lemme 8.4
\begin{align*}0\rightarrow \mathrm{St }^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\rightarrow \mathrm{St }^{\mathrm{lan}}_{\lambda}\xrightarrow{(u^+)^{w(\lambda)}}B^{\lambda}\rightarrow 0.\end{align*}
12.4 Entrelacements automorphes
Le but de ce numéro est de démontrer le théorème suivant.
Théorème 12.17.
Soit
$\lambda\in P_+$
tel que
$w(\lambda)\neq 1$
. Soit
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire, admissible et absolument irréductible de G. Alors, en tant que L-représentation de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
on a
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ) \cong \begin{cases} V^{\lambda}_{{\mathcal{L}}} & \text{si $\Pi=\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$,}\\ 0& \text{si $\Pi$ n'est pas spéciale.}\\\end{cases}\end{align*}
Ce qui combiné au corollaire 10.11 donne le corollaire suivant.
Corollaire 12.18.
Soit
$\lambda\in P_+$
tel que
$w(\lambda)\neq 1$
. Soit
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire, admissible et absolument irréductible de G. Alors, en tant que L-représentation de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
on a
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) \cong \begin{cases} V^{\lambda}_{{\mathcal{L}}} & \text{si $\Pi=\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$,}\\ 0& \text{si $\Pi$ n'est pas spéciale.}\\\end{cases}\end{align*}
Rappelons que pour
$\star\in \{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}\}$
on a
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^1_{\star} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) =\bigoplus_{\lambda\in P_+} {{\mathrm{H}}}^1_{\star} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ,\end{align*}
Ainsi, il suffit de calculer les entrelacement avec
${{\mathrm{H}}}^1_{\star} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) $
, comme on le fera.
12.4.1 Réduction de l’entrelacement dérivé
On commence par un lemme pour montrer qu’on peut se ramener au calcul dans la catégorie dérivée.
Lemme 12.19.
Soit
$\lambda \in P_+$
tel que
$w(\lambda)\neq 1$
et soit
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire, admissible, absolument irréductible de G. Alors
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ) ={\mathbf{Hom}} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ) ,\end{align*}
Remarque 12.20. Dans le cas où
$w(\lambda)=1$
, le
${{\mathrm{H}}}^0$
n’est pas nul et ce résultat est faux. Dans le cas des coefficients non-triviaux, toute l’information du complexe proétale est contenue dans le premier groupe de cohomologie.
Démonstration. Notons
${{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:= {{\mathrm{H}}}^i_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) $
et
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:={{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) $
. On a une suite spectrale qui calcule le terme de droite
\begin{align*}E^{i+1,j}_2:= \mathrm{Ext}^{i+1}_{L[\bar G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^j_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \implies {{\mathrm{H}}}^{i+j}{{\mathrm{R}}}\mathrm{Hom}_{L[\bar G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) .\end{align*}
Or, puisque
${{\mathrm{H}}}^j_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}=0$
si
$j\neq 1$
d’après le corollaire 10.7, cette suite spectrale est concentrée sur la colonne
$j=1$
et dégénère dès la seconde page. On en déduit le résultat, puisque le seul terme qui contribue au
${{\mathrm{H}}}^0$
à droite est
$\mathrm{Hom}_{L[G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) $
.
12.4.2 Le cas
$\Pi=\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
À partir de la définition de la cohomologie syntomique et de l’isomorphisme de comparaison, on déduit de la proposition 12.11 la proposition suivante. En combinant cette proposition au lemme 12.19, on obtient la première partie du théorème 12.17.
Théorème 12.21.
Soit
$\lambda\in P_+$
et
${\mathcal{L}}\in L\cup \{\infty\}$
, alors
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( ( {{}^{\mathrm{lan}}{}{\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ) =V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}.\end{align*}
Démonstration. Notons
$\Pi={\Pi}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
et
${{\mathrm{R}}}\Gamma_{\star}$
le complexe de cohomologie isotriviale de
${\mathbb{H}}_C$
à coefficients dans
${\mathbb{V}}_{\lambda}(1)$
pour
$\star\in \{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t},\mathrm{syn},\mathrm{HK},\mathrm{dR} \}$
. Par définition on a un triangle distingué
\begin{align*}{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}}\rightarrow ({{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+)^{\varphi=p}\rightarrow ( {{{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+} )/\mathrm{Fil}^1.\end{align*}
On applique
${{\mathrm{R}}}\mathrm{Hom} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, \cdot ) $
. D’après la proposition, 12.11 on a
\begin{align*}\begin{gathered}{\mathbf{Hom}} ( ( {\Pi^{\mathrm{lan}}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{HK}} ) =D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda},\\{\mathbf{Hom}} ( ( {\Pi^{\mathrm{lan}}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{dR}} ) =D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}.\end{gathered}\end{align*}
On en déduit la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow {\mathbf{Hom}} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} ) \rightarrow X_{\mathrm{st}}^1 ( D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda} )\rightarrow ( D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+)/\mathrm{Fil}^1.\end{align*}
Or, la dernière flèche provient de l’inclusion naturelle
$X_{\mathrm{st}}^1(D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda})\hookrightarrow ( D_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+)$
, donc la définition de
$V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
assure que
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( ( {\Pi^{\mathrm{lan}}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} ) \cong V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}.\end{align*}
Mais la suite spectrale
$E_2^{i,j}$
qui calcule le terme de gauche est nulle en dehors des colonnes
$j=0,1$
en vertu du corollaire 10.7. Finalement, le théorème 6.1 nous donne un isomorphisme
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( ( {\Pi^{\mathrm{lan}}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{syn}} ) \cong {\mathbf{Hom}} ( ( {\Pi^{\mathrm{lan}}} )'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) ,\end{align*}
ce qui achève la preuve.
12.4.3 Exclusivité
On montre maintenant la seconde partie du théorème 12.17.
Proposition 12.22.
Soit
$\lambda\in P_+$
tel que
$w(\lambda)\neq 1$
. Soit
$\Pi$
une L-représentation de Banach unitaire admissible absolument irréductible de G. Si
$\Pi$
n’est pas de la forme
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
, alors
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ) =0.\end{align*}
Démonstration. On utilise la suite exacte du corollaire 12.15, issue du diagramme fondamental, pour obtenir une suite exacte courte :
\begin{align*}0\rightarrow Q_{\lambda}^0\otimes_L W_{\lambda}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\rightarrow K\rightarrow 0,\end{align*}
où
$K:= \mathrm{Ker}({{\mathrm{B}}}_{\lambda}\widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}\omega_{\lambda}\rightarrow Q_{\lambda}^1\widehat{\otimes}_L ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}} )')$
. De plus, la dualité de Morita assure que
$\omega_{\lambda}\cong ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )'$
et comme
$\Pi^{\mathrm{lan}}\not \cong W_{\lambda}$
puisque
$\Pi$
est supposé unitaire on obtient des plongements fermés
\begin{equation}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \hookrightarrow \mathrm{Hom}_{L[G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, K ) \hookrightarrow \mathrm{Hom}_{L[G]} ( {\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lan}}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) \widehat{\otimes}_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}.\end{equation}
Montrons que si
$\Pi^{\mathrm{lalg}} = 0$
, alors
$\mathrm{Hom}_{L[G]} ( {\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lan}}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) = 0$
. Puisque d’après le lemme 8.4 on a la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow {\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\rightarrow {\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}\xrightarrow{(u^+)^{w(\lambda)}}B^{\lambda}\rightarrow 0,\end{align*}
et que
$\mathrm{Hom}_{L[G]} ( {\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) =\mathrm{Hom}_{L[G]} ( {\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}\, , \, \Pi^{\mathrm{lalg}} ) =0$
, on en déduit que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( {\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lan}}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) \cong \mathrm{Hom}_{L[G]} ( B^{\lambda}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) .\end{align*}
Il faut justifier que
$\mathrm{Hom}_{L[G]} ( B^{\lambda}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) =0$
. Soit
$B^{\lambda}\rightarrow \Pi^{\mathrm{lan}}$
une application L-linéaire, continue et G-équivariante. Par la propriété universelle du complété unitaire universel, la composée
$B^{\lambda}\rightarrow \Pi^{\mathrm{lan}}\hookrightarrow \Pi$
se factorise à travers le complété unitaire universel de
$B^{\lambda}$
. Or, ce complété est nul d’après le critère donné par [Reference EmertonEme05, Lemma 2.1] et donc la flèche initiale
$B^{\lambda}\rightarrow \Pi^{\mathrm{lan}}$
est nulle.
Supposons que
$\mathrm{Hom}_{L[G]} ( (\Pi^{\mathrm{lan}})'\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \neq 0$
. On déduit de l’injection (12.12) que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( {\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lan}}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) \neq 0.\end{align*}
Soit
$f\colon {\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lan}}\rightarrow {\Pi^{\mathrm{lan}}}$
une application non nulle. Comme précédemment, puisqu’on a
$\mathrm{Hom}_{L[G]} ( B^{\lambda}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) =0$
, la restriction de f à
$\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lalg}}$
donne une application non nulle
${\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lalg}}\rightarrow \Pi^{\mathrm{lan}}$
qui est injective puisque
${\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lalg}}$
est irréductible. Cette application induit, en composant avec l’injection
$\Pi^{\mathrm{lan}}\hookrightarrow \Pi$
, une injection
${\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lalg}}\hookrightarrow \Pi$
. Mais d’après [Reference Colmez, Dospinescu and PaškūnasCDP14, Theorem 1.3], les complétés unitaires admissibles absolument irréductibles de
${\mathrm{St }}_{\lambda}^{\mathrm{lalg}}$
sont les
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
et on en déduit qu’il existe un
${\mathcal{L}}\in L\cup \{\infty\}$
tel que
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\cong \Pi$
.
12.4.4 Le cas réductible
Dans le cas où
$w(\lambda)=1$
les représentations
$V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
et
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
sont réductibles et le théorème 12.17 et son corollaire tombent en défaut sous cette forme puisque comme
${{\mathrm{H}}}^0_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{Q}}_p(\lambda_1) ) \neq 0$
. Néanmoins, à partir du théorème 12.21, on peut toutefois calculer la multiplicité d’une représentation indécomposable de G dans le complexe de cohomologie étale et obtenir le résultat attendu. On n’obtient qu’une exclusivité partielle que l’on énonce à l’aide de la théorie des blocs de Paskunas (cf. [Paš13]).
Proposition 12.23.
Soit
$\lambda\in P_+$
. Soit
$\Pi$
une L-représentation unitaire, admissible et indécomposable de G, alors
\begin{align*}{\mathbf{Hom}} ( \Pi'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ) =\begin{cases} V^{\lambda}_{{\mathcal{L}}} & \text{ si $\Pi$ est de la forme $\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$,}\\ 0 & \text{ si $\Pi$ n'est pas dans le bloc de la Steinberg.}\end{cases}\end{align*}
Démonstration. On a démontré ce résultat dans le cas où
$w(\lambda)\neq 1$
donc on peut supposer
$w(\lambda)=1$
et même
$\lambda_1=0$
, quitte à tordre par une puissance du caractère cyclotomique. Notons
${{\mathrm{H}}}^i_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}={{\mathrm{H}}}^i_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{Q}}_p(1) ) $
, alors la suite spectrale
\begin{align*}E^{i+1,j}_2:= \mathrm{Ext}^{i+1}_{L[\bar G]} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^j_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \implies {{\mathrm{H}}}^{i+j}{{\mathrm{R}}}\mathrm{Hom} ( \Pi'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} )\end{align*}
nous donne la suite exacte courte
\begin{align*}0\rightarrow \mathrm{Ext}^{1}_{L[\bar G]} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \rightarrow {\mathbf{Hom}} ( \Pi'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \rightarrow \mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \rightarrow 0,\end{align*}
où
${\mathbf{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}:= {\mathbf{Hom}} ( \Pi'[-1]\, , \, {{\mathrm{R}}}\Gamma_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) $
. Puisque
${{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\cong L(1)$
et
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\cong ( {\mathrm{St }_L^0} )'$
, la suite exacte ci-dessus s’écrit
\begin{align*}0\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1 ( G\,; \, \Pi ) (1)\rightarrow {\mathbf{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\rightarrow \mathrm{Hom}_{L[G]} ( \mathrm{St }^0_L\, , \, \Pi ) \rightarrow 0.\end{align*}
-
– Si
$\Pi$
n’est pas dans le bloc de la Steinberg, alors
$\mathrm{Hom}_{L[G]} ( \mathrm{St }^0_L\, , \, \Pi ) =0$
et comme la représentation triviale est aussi dans ce bloc, on obtient
${{\mathrm{H}}}^1 ( G\,; \, \Pi ) =0$
. Ainsi
${\mathbf{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}=0$
dans ce cas. -
– Supposons maintenant que
$\Pi=\Pi_{{\mathcal{L}}}^{(0,1)}$
pour
${\mathcal{L}}\in L\cup\{\infty\}$
. On obtient la même suite exacte que précédemment pour la cohomologie proétale : Montrons que
\begin{align*}0\rightarrow {{\mathrm{H}}}^1 ( G\,; \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) (1)\rightarrow {\mathbf{H}}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\rightarrow \mathrm{Hom}_{L[G]} ( ( {\Pi^{\mathrm{lan}}} )'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \rightarrow 0.\end{align*}
$\mathrm{Hom}_{L[G]} ( ( {\Pi^{\mathrm{lan}}} )'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \cong \mathrm{Hom}_{L[G]} ( \mathrm{St }^{\infty}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) $
. On a une flèche naturelle, qui provient du diagramme de la proposition 12.14 Pour montrer que cette flèche est un isomorphisme on considère le diagramme commutatif suivant.
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( ( {\Pi^{\mathrm{lan}}} )'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \rightarrow \mathrm{Hom}_{L[G]} ( \mathrm{St }^{\infty}\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) .\end{align*}
La flèche horizontale en haut est un isomorphisme, puisque
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\cong ( {\mathrm{St }^{0}} )'$
. Comme
$\mathrm{St }^0$
est le complété unitaire universel de
$\mathrm{St }^{\infty}$
et
$\Pi$
celui de
$\Pi^{\mathrm{lan}}$
d’après [Reference Colmez and DospinescuCD14], la flèche verticale de droite est un isomorphisme. Finalement, d’après le corollaire 10.11, la flèche verticale de gauche est un isomorphisme. On en déduit que la flèche horizontale en bas est un isomorphisme, comme on voulait.
D’après le théorème 12.21, on sait que
${\mathbf{H}}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\cong V_{{\mathcal{L}}}^{(0,1)}$
et on obtient un diagramme commutatif,
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
-équivariant à lignes exactes.
Pour justifier que la flèche verticale de gauche est bien injective, il faut montrer qu’une extension de L par
$\Pi$
, qui se scinde lorsqu’on prend les vecteurs localement analytiques, est scindée. Supposons que
${\mathbf{E}}$
est une L-représentation de Banach unitaire de G, extension de L par
$\Pi$
:
\begin{align*}0\rightarrow \Pi \rightarrow {\mathbf{E}}\rightarrow L\rightarrow 0.\end{align*}
Supposons que cette extension se scinde lorsqu’on prend les vecteurs localement analytiques, i.e.
${\mathbf{E}}^{\mathrm{lan}}\cong \Pi^{\mathrm{lan}}\oplus L$
. On prend maintenant le complété unitaire universel pour obtenir
${\mathbf{E}}\cong \Pi\oplus L$
(cf. [Reference Colmez and DospinescuCD14]), c’est-à-dire que l’extension initiale était scindée.
De plus, comme
$\dim_L\mathrm{Hom}_{L[G]} ( \mathrm{St }^{\infty}_L\, , \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) =1$
et
$\dim_LV_{{\mathcal{L}}}^{(0,1)}=2$
, on obtient que
$\dim_L{{\mathrm{H}}}^1 ( G\,; \, \Pi^{\mathrm{lan}} ) =1$
. Ainsi,
$\dim_L{{\mathrm{H}}}^1 ( G\,; \, \Pi ) $
est 0 ou 1 et il reste à prouver que
${{\mathrm{H}}}^1 ( G\,; \, \Pi ) \neq 0$
. Or si
${{\mathrm{H}}}^1 ( G\,; \, \Pi ) =0$
, le diagramme (12.16) fournit une injection
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
-équivariante
$L\hookrightarrow V_{{\mathcal{L}}}^{(0,1)}$
ce qui est impossible, donc
$\dim_L{{\mathrm{H}}}^1 ( G\,; \, \Pi ) =1$
.
Finalement, les flèches verticales dans le diagramme (12.16) sont des isomorphismes pour des raisons de dimension et on a bien démontré que
${\mathbf{H}}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\cong V_{{\mathcal{L}}}^{(0,1)}$
.
12.5 Entrelacement des
$V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
Le but de ce numéro est de montrer le théorème suivant.
Théorème 12.24.
Soit
$\lambda \in P_+$
tel que
$w(\lambda)\neq1$
,
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) ) \cong ( {{\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'\oplus {W}_{\lambda}.\end{align*}
Une conséquence de ce théorème et du théorème 10.1 est la multiplicité étale : en effet,
${W}_{\lambda}$
n’a pas de vecteurs G-bornés comme
$w(\lambda)\gt 1$
et le complété unitaire universel de
${\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
et
$\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
comme on l’a rappelé au numéro 12.1.
Corollaire 12.25.
Soit
$\lambda \in P_+$
tel que
$w(\lambda)\neq1$
,
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_{{\mathbb{Q}}_p}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) \cong (\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda})'.\end{align*}
On supposera toujours que
$w(\lambda)\neq1$
.
12.5.1 Les L-presque-C-représentations
On va utiliser
${\mathcal{C}}_L$
la catégorie des L-presque-C-représentations, construite à partir de la catégorie des presque-C-représentations (cf. [Reference FontaineFon03]), noté
${\mathcal{C}}$
, munis d’une structure de L-espace vectoriel. Comme pour les presque-C-représentations,
${\mathcal{C}}_L$
est muni d’une L-hauteur
$h_L$
et d’une dimension principale d. Si X et Y sont des L-presque-C-représentations, les groupes
$\mathrm{Ext}^n_{{\mathcal{C}}_L}(X,Y)$
sont des L-espaces vectoriels de dimension finie, nuls si
$n\geqslant 3$
et pour
$i=0,1,2$
, on a une dualité parfaite
\begin{align*}\mathrm{Ext}_{{\mathcal{C}}_L}^i(X,Y)\times \mathrm{Ext}_{{\mathcal{C}}_L}^{2-i}(Y,X(1))\rightarrow L.\end{align*}
où X(1) est le tordu de X par le caractère cyclotomique. De plus, on a une formule d’Euler-Poincaré qui s’écrit
$\chi_L(X,Y) = -h_L(X)h_L(Y)$
où
\begin{align*}\chi_L(X,Y):= \sum_{i=0}^2(-1)^i\dim_{L}\mathrm{Ext}_{{\mathcal{C}}_L}^i(X,Y).\end{align*}
Tous ces résultats se déduisent directement des résultats correspondant dans
${\mathcal{C}}$
.
On peut réinterpréter les presque-C-représentations (et sûrement aussi les L-presque-C-représentations ce qui ne sera pas nécessaire) en termes de fibrés sur la courbe de Fargues-Fontaine
${\mathcal{X}}_{\mathrm{FF}}={\mathcal{X}}_{\mathrm{FF},C}$
. Notons
${\mathcal{M}}$
la catégorie des
${\mathcal{O}}_{\mathrm{FF}}:= {\mathcal{O}}_{{\mathcal{X}}_{\mathrm{FF}}}$
-modules cohérents
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
-équivariants sur la courbe. Cette catégorie a une théorie des pentes de Harder-Narasimhan et on peut considérer la sous-catégorie
${\mathcal{M}}^+\subset {\mathcal{M}}$
des fibrés effectifs, i.e. ceux qui sont de pentes positives (cf. [Reference Fargues and FontaineFF18]). On rappelle le théorème A de [Reference FontaineFon20] sous la forme d’une proposition.
Proposition 12.26.
Il existe un foncteur
${\mathcal{F}}\mapsto {{\mathrm{H}}}^0 ( {\mathcal{X}}_{\mathrm{FF}}\,; \, {\mathcal{F}} ) $
de sections globales, à valeurs dans
${\mathcal{C}}$
, qui induit une équivalence de catégories
${\mathcal{M}}^+\cong {\mathcal{C}}^+$
.
Soit
$d=[L\colon {\mathbb{Q}}_p]$
, alors par hypothèse, les presque-C-représentations qui apparaissent dans le diagramme sont les suivantes :
-
–
${{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L):= {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L$
de dimension principale
$d\cdot w(\lambda)$
et de L-hauteur 0, -
–
${{\mathrm{U}}}_{\lambda}^i(L):={{\mathrm{U}}}_{\lambda}^i\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2} }L$
, pour
$i=0,1$
, de L-hauteur 1 et de dimension principale
${d}/{2}\cdot w(\lambda)$
; rappelons qu’on a les suites exactes (cf. [Reference ColmezCol08a, Proposition 2.10])
\begin{align*}\begin{gathered}0\rightarrow {\mathbb{Q}}_{p^2} t^{\lambda_1}t_2^{w(\lambda)+1}\rightarrow {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\rightarrow 0,\\0\rightarrow {\mathbb{Q}}_{p^2} t^{\lambda_1}t_2^{w(\lambda)-1}\rightarrow {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^1\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\rightarrow 0,\end{gathered}\end{align*}
-
–
$Q_{\lambda}^i={{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)/{{\mathrm{U}}}_{\lambda}^i(L)$
pour
$i=0,1$
est de L-hauteur
$-1$
et de dimension principale
${d}/{2}\cdot w(\lambda)$
.
On commence par un lemme préliminaire.
Lemme 12.27.
Soit V une L-représentation de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
de dimension finie et
$U\in \{{{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L),{{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L),$
${{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)/{{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L)\}$
. Alors
\begin{align*}\mathrm{Ext}^2_{{\mathcal{C}}_{L}} ( V\, , \, U ) =0.\end{align*}
Démonstration. On pose
$w:= w(\lambda)$
, il suffit de montrer le résultat pour
$\lambda_1=0$
, quitte à tordre par
$t^{\lambda_1}$
(ainsi
$w=\lambda_2$
). En utilisant la dualité de Poincaré, il suffit de montrer que
$\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}_{L}} ( U\, , \, V ) =0$
. Commençons par le montrer pour
${{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L)$
ce qui revient à le montrer dans
${\mathcal{C}}$
pour
$U={{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0$
. Or U est une presque-C-représentation effective et on utilise la proposition 12.26, ce qui donne
\begin{align*}{{\mathrm{H}}}^0 ( {\mathcal{X}}_{\mathrm{FF}}\,; \, {\mathcal{O}}( {\tfrac {w+1} 2} ) ) = U,\ {{\mathrm{H}}}^0 ( {\mathcal{X}}_{\mathrm{FF}}\,; \, {\mathcal{O}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} V ) = V.\end{align*}
Comme
$(({w+1})/2)\gt 0$
, on a
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{{\mathcal{X}}_{\mathrm{FF}}} ( {\mathcal{O}}( {\tfrac {w+1} 2} )\, , \, {\mathcal{O}}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p} V ) =0.\end{align*}
Ainsi, d’après la proposition 12.26, a fortiori
$\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}} ( U\, , \, V ) =0$
et de même
$\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}_{L}} ( {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L)\, , \, V ) =0$
. Pour
$U={{\mathrm{B}}}_{\lambda}$
, comme on a une surjection
${{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}$
on en déduit une injection
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}} ( {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\, , \, V ) \hookrightarrow\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}} ( {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0\, , \, V ) =0,\end{align*}
et donc
$\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}} ( {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\, , \, V ) =0$
et de même
$\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}_L} ( {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\, , \, V ) =0$
. Finalement, la surjection
${{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\rightarrow Q_{\lambda}^0$
donne l’injection
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}_L} ( Q_{\lambda}^0\, , \, V ) \hookrightarrow\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}_L} ( {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\, , \, V ) =0,\end{align*}
ce qui démontre que
$\mathrm{Hom}_{{\mathcal{C}}_L} ( Q_{\lambda}^0\, , \, V ) =0$
.
Lemme 12.28.
Soit
$V=V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
. Alors,
-
(1)
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) $
s’annule si
${\mathcal{L}}\neq \infty$
, est L-espace vectoriel de dimension 1 si
${\mathcal{L}}= \infty$
, -
(2)
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^1(L) ) $
est un L-espace vectoriel de dimension 1, -
(3)
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) $
et
$\mathrm{Ext}^1_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) $
sont des L-espaces vectoriels de dimension 1, -
(4)
$\mathrm{Ext}^1_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) $
est un L-espace vectoriel de dimension 2 si
${\mathcal{L}}\neq \infty$
, de dimension 3 si
${\mathcal{L}}=\infty$
, -
(5)
$\mathrm{Ext}^1_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, Q_{\lambda}^0 ) =0$
et
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, Q_{\lambda}^0 ) $
est un L-espace vectoriel de dimension 2.
Démonstration. On omettra les indices de Hom et Ext, qui sont tous dans la catégorie
${\mathcal{C}}_L$
. Comme précédemment, posons
$w:= w(\lambda)$
et supposons que
$\lambda_1=0$
(ainsi
$w=\lambda_2$
); le cas
$\lambda_1\gt 0$
s’en déduit directement en multipliant par
$t^{\lambda_1}$
.
-
– On commence par les deux premiers points pour
${\mathcal{L}}\neq \infty$
. Rappelons que
${\mathbf{D}}_{\mathrm{st}}(V^*)=\mathrm{Sp}_L(w)^*=Le_0^{*}\oplus Le_1^{*}$
avec
$\varphi(e_0^{*})=p^{(w+1)/2}e_0^*$
,
$\varphi(e_1^{*})=p^{(w-1)/2}e_1^*$
,
$Ne_0^*=e_1^*$
et
$Ne_1^*=0$
. De plus,
${{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}^+={{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+[u]$
avec
$Nu=-1$
,
$\varphi(u)=pu$
et l’action de
$g\in {\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
est donnée par
$g\cdot u = u+\omega(g)t$
où
$\omega$
est le caractère cyclotomique. On commence par remarquer que, comme V est semi-stable, on a ce qui donne, comme V est à poids de Hodge-Tate positifs
\begin{align*}V^*\otimes_{{\mathbb{Q}}_p }{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}\cong ( {\mathrm{Sp}_L(w)^*\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{st}}} )^{N=0}=e_1^*{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}(L)\oplus (e_0^*+ue_1^*){{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}(L).\end{align*}
Ceci nous donne les deux premiers points puisque
\begin{align*}V^*\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+})^{\varphi^2=p^{w+1}}&\cong e_1^*( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+(L)} )^{\varphi^2=p^{2}}\oplus (e_0^*+ue_1^*)( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+(L)} )^{\varphi^2=1},\\V^*\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+})^{\varphi^2=p^{w-1}}&\cong e_1^*( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+(L)} )^{\varphi^2=1}\oplus (e_0^*+ue_1^*)( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+(L)} )^{\varphi^2=p^{-2}}.\end{align*}
$( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+(L)} )^{\varphi^2=p^{-2}}$
et
$( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+(L)} )^{\varphi^2=p^2}$
n’ont pas d’invariants sous
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
, les invariants sous
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
de
$( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+(L)} )^{\varphi^2=1}$
sont L et
$(e_0^*+ue_1^*)( {{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+(L)} )^{\varphi^2=1}$
n’est pas stable sous l’action de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
. Pour
${\mathcal{L}}=\infty$
, le calcul est le même à partir de
\begin{align*}V^*\otimes_{{\mathbb{Q}}_p }{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}^+\cong e_1^*{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}(L)\oplus e_0^*{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{cr}}(L).\end{align*}
-
– Passons au troisième point. Comme V est de Rham, on a
On choisit une base compatible avec la filtration
\begin{align*}V^*\otimes_{L}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\cong \mathrm{Fil}^0( {{\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V^*)\otimes_{L}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}(L)} )/\mathrm{Fil}^w( {{\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V^*)\otimes_L{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}(L)} ).\end{align*}
${\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V^*)=Lf_{w}\oplus L f_0$
, ce qui donne Donc
\begin{align*}\mathrm{Fil}^0({{\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V^*)\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}} )&=t^{-w}f_w{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+(L)\oplus f_0{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+(L),\\\mathrm{Fil}^w({{\mathbf{D}}_{\mathrm{dR}}(V^*)\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}} )&=f_w{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+(L)\oplus t^{w}f_0{{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+(L).\end{align*}
$V^*\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}{{\mathrm{B}}}_{\lambda} \cong f_w t^{-w}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}\oplus f_0{{\mathrm{B}}}_{\lambda}$
, dont la première composante n’a pas d’invariant sous
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
et la seconde a exactement L comme invariants sous
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
; ainsi
$\mathrm{Hom} ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) =L$
. Pour la seconde partie du second point on remarque que
$\chi_L(V,{{\mathrm{B}}}_{\lambda})=0$
mais comme par le lemme 12.27
$\mathrm{Ext}^2 ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) =0$
, ceci donne
$\dim_L\mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) =\dim_L\mathrm{Hom} ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) =1$
, ce qui finit la preuve du second point.
-
– Pour le quatrième point, la formule d’Euler-Poincaré donne
$\chi_L(V,{{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L))=-2$
. Le lemme 12.27 donne
$\mathrm{Ext}^2 ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) =0$
. Donc
$\dim_L\mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) =2+\dim_L\mathrm{Hom} ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) $
ce qui permet de conclure en vertu du premier point. -
– Le dernier point est plus délicat, commençons par montrer que les deux énoncés sont équivalents. La formule d’Euler-Poincaré nous assure que
et, par le lemme 12.27,
\begin{align*}\chi_L(V,Q_{\lambda}^0)=2,\end{align*}
$\mathrm{Ext}^2 ( V\, , \, Q_{\lambda}^0 ) =0$
, ce qui donne Il reste à montrer
\begin{align*}\dim_L\mathrm{Hom} ( V\, , \, Q_{\lambda}^0 ) =2+\dim_L\mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, Q_{\lambda}^0 ) .\end{align*}
$\mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, Q_{\lambda}^0 ) =0$
. On applique
$\mathrm{Hom} ( V\, , \, \ \cdot \ ) $
à la suite exacte courte pour obtenir la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L)\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\rightarrow Q_{\lambda}^0\rightarrow 0,\end{align*}
où le zéro à droite provient de l’annulation de
\begin{align*}\mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, Q_{\lambda}^0 ) \rightarrow 0,\end{align*}
$\mathrm{Ext}^2 ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) $
donnée par le lemme 12.27. Il suffit de montrer que l’application est surjective. On applique maintenant
\begin{align*}\mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ),\end{align*}
$\mathrm{Hom} ( V\, , \, \ \cdot \ ) $
à la suite exacte fondamentale (à laquelle on a appliqué
$\cdot \ \otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L$
) pour obtenir la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow L\cdot t_2^{w+1} \rightarrow {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L)\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L\rightarrow 0,\end{align*}
Mais par la dualité
\begin{align*}\mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L ) \rightarrow \mathrm{Ext}^2 ( V\, , \, L\cdot t_2^{w+1} ) .\end{align*}
$\mathrm{Ext}^2 ( V\, , \, L\cdot t_2^{w+1} ) \cong \mathrm{Hom} ( L\cdot t_2^{w+1}\, , \, V(1) ) =0$
puisque les deux représentations sont irréductibles et ne sont pas isomorphes. Ainsi
$\mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^0(L) ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L ) $
est surjective. Il suffit de montrer que l’application naturelle est un isomorphisme ; elle est induite par la surjection naturelle
\begin{align*}g\colon \mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) \rightarrow \mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L )\end{align*}
$p\colon {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}L={{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L$
. Il existe
$\alpha'\in {{\mathrm{B}}}_{\mathrm{dR}}^+$
et
$\alpha\in L$
tels que le noyau de p soit engendré par
$e:= \alpha'\otimes 1 - 1\otimes \alpha$
, i.e.
$\mathrm{Ker} p = e\cdot {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)$
. Notons que
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
agit non-trivialement sur e au travers de son quotient non ramifié
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}\rightarrow {\mathbb{Z}}/2{\mathbb{Z}}$
(soit au travers du caractère non ramifié
$\chi_2$
). Ainsi, par la suite exacte longue que l’on obtient en appliquant
$\mathrm{Hom} ( V\, , \, \cdot ) $
à il suffit de montrer que
\begin{align*}0\rightarrow \mathrm{Ker} p \rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}\otimes_{{\mathbb{Q}}_{p^2}}L\rightarrow 0,\end{align*}
$\mathrm{Ext}^1 ( V\, , \, \mathrm{Ker} p ) =0$
et
$\mathrm{Ext}^2 ( V\, , \, \mathrm{Ker} p ) = 0$
. Or, d’après le lemme 12.27,
$\mathrm{Ext}^2 ( V\otimes \chi_2\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) = 0$
et comme
$\chi_L(V,\mathrm{Ker} p)=0$
, il reste à montrer que
$\mathrm{Hom} ( V\, , \, \mathrm{Ker} p ) =0$
pour conclure, ce que l’on fait par la même méthode que pour le troisième point. En gardant les mêmes notations, on obtient qui n’a pas d’invariant sous
\begin{align*}V^*\otimes_{{\mathbb{Q}}_p}\mathrm{Ker} p \cong e f_w t^{-w}{{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\oplus e f_0{{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L),\end{align*}
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
puisqu’il agit non-trivialement sur e au travers d’un quotient fini. Ainsi,
$\mathrm{Hom} ( V\, , \, \mathrm{Ker} p ) =0$
et on obtient que g est un isomorphisme, ce qui achève la preuve du lemme.
12.5.2 Preuve du théorème 12.24
On se donne
$\lambda\in P_+$
et
${\mathcal{L}}\in L\cup\{\infty\}$
. On commence par appliquer
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\, , \, \ \cdot\ ) $
à la suite exacte du corollaire 12.15. Posons
\begin{align*}E_2:= \mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\, , \, Q_{\lambda}^0 ) ,\end{align*}
qui est un L-espace vectoriel de dimension 2 d’après le 5 du lemme 12.28. On obtient la proposition suivante.
Proposition 12.29. On a une suite exacte stricte de L-représentations de Fréchet de G
\begin{equation}0\rightarrow E_2\otimes_L{W}_{\lambda}\rightarrow \mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) \rightarrow ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )'\rightarrow 0.\end{equation}
Démonstration. Notons
$V=V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
et simplement
$\mathrm{Hom}=\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}]}$
et
$\mathrm{Ext}^1=\mathrm{Ext}^1_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}]}$
comme précédemment. À partir du corollaire 12.15 on obtient la suite exacte
\begin{equation}0\rightarrow Q_{\lambda}^0\otimes_L W_{\lambda}\rightarrow {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\rightarrow K\rightarrow 0,\end{equation}
avec
$K:= \mathrm{Ker}({{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\otimes_{L}\omega_{\lambda}\rightarrow Q_{\lambda}^1\widehat{\otimes}_L ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lalg}}_{\lambda}} )')$
. On va montrer que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, K ) \cong \omega_{\lambda}.\end{align*}
Comme
$K\hookrightarrow{{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\otimes_{L}\omega_{\lambda}$
, on obtient une inclusion
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, K ) \hookrightarrow \omega_{\lambda}$
puisque
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L) ) \cong L$
d’après le lemme 12.28. On dévisse K en appliquant le lemme du serpent.
On obtient la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow {{\mathrm{B}}}_{\lambda}(L)\widehat{\otimes}_{L} {\mathcal{O}}_{\lambda}/W_{\lambda} \rightarrow K \rightarrow {{\mathrm{U}}}_{\lambda}^1\otimes_{L}(\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lalg}})'\rightarrow 0.\end{align*}
On lui applique
$\mathrm{Hom}(V,\cdot)$
pour obtenir, à l’aide du lemme 12.28, la suite exacte
\begin{equation}0\rightarrow {\mathcal{O}}_{\lambda}/W_{\lambda}\rightarrow \mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}]}(V,K)\rightarrow (\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lalg}})'\xrightarrow{0}{\mathcal{O}}_{\lambda}/W_{\lambda},\end{equation}
où la dernière flèche est nulle puisque
$(\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lalg}})'$
et
${\mathcal{O}}_{\lambda}/W_{\lambda}$
sont deux L-représentations irréductibles de G non-isomorphes. Or
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}]}(V,K)\hookrightarrow \omega_{\lambda}$
et comme elles ont les mêmes composantes d’après la suite exacte (12.16) (cf. la remarque 12.16) cette inclusion est un isomorphisme. Finalement, on applique
$\mathrm{Hom}(V,\ \cdot \ )$
à 12.18 pour obtenir la suite exacte
\begin{align*}0\rightarrow E_2\otimes_L W_{\lambda}\rightarrow \mathrm{Hom}(V,{{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})\rightarrow (\mathrm{St }_{\lambda}^{\mathrm{lan}})'\rightarrow 0,\end{align*}
puisque
$\mathrm{Ext}^1(V,Q_{\lambda}^0)=0$
d’après le dernier point du lemme 12.28, ce qui conclut la preuve de la proposition.
On peut maintenant démontrer le théorème 12.24. Notons
${{\mathrm{H}}}_{{\mathcal{L}}}:= \mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) $
. Il suffit d’analyser l’extension que l’on obtient dans la proposition 12.29. Pour commencer, on applique
$\mathrm{Hom}_{L[G]} ( ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )'\, , \, \ \cdot\ ) $
à (12.17). Rappelons (cf. lemme 8.4) que
$\mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )'\, , \, {W}_{\lambda} ) \cong \mathrm{Ext}^1_{L[\bar G]} ( {W}^*_{\lambda}\, , \, {\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda} ) \cong \mathrm{Hom} ( {\mathbb{Q}}_p^{\times }\, , \, L ) $
qui est un L-espace vectoriel de dimension 2. Ainsi, l’extension (12.17) nous donne un sous-espace
$L\cdot e \in {\mathbb{P}}( {\mathrm{Hom} ( {\mathbb{Q}}_p^{\times }\, , \, L ) } )$
correspondant à
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) $
; on veut montrer qu’il n’est pas nul et que par l’identification
${\mathbb{P}}( {\mathrm{Hom} ( {\mathbb{Q}}_p^{\times }\, , \, L ) } )\cong {\mathbb{P}}^1(L)$
du paragraphe 8.3.1, il correspond à
${\mathcal{L}}\in L\cup\{\infty\}$
.
Soit
${\mathcal{L}}_1\in L\cup \{\infty\}$
et considérons l’extension non-scindée associée à
${\mathcal{L}}_1$
:
\begin{equation}0\rightarrow {W}_{\lambda}\rightarrow ( {{\Sigma}_{{\mathcal{L}}_1}^{\lambda}} )'\rightarrow ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )'\rightarrow 0.\end{equation}
Alors, d’après le théorème 12.17, et comme les actions de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} $
et G commutent sur
${{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
, on en déduit que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( ( {{\Sigma}_{{\mathcal{L}}_1}^{\lambda}} )'\, , \, {{\mathrm{H}}}_{{\mathcal{L}}} ) \cong \mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\, , \, \mathrm{Hom}_{L[G]} ( ( {{\Sigma}_{{\mathcal{L}}_1}^{\lambda}} )'\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\mathrm{p}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) ) \cong \begin{cases} L & \text{ si }{\mathcal{L}}_1={\mathcal{L}},\\ 0 & \text{ si }{\mathcal{L}}_1\neq {\mathcal{L}}.\end{cases}\end{align*}
En particulier, l’extension (12.17) ne peut pas être triviale et il reste à montrer que ce n’est pas ‘l’extension universelle’. Plus concrètement, on veut montrer
$H_{{\mathcal{L}}}\cong W_{\lambda}\oplus ( {{\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'$
. On vient de montrer que
$( {{\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'\hookrightarrow H_{{\mathcal{L}}}$
et en analysant les composantes de Jordan-Hölder, données par la suite exacte (12.17), on obtient la suite exacte courte
\begin{equation}0\rightarrow ( {{\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )'\rightarrow H_{{\mathcal{L}}}\rightarrow W_{\lambda}\rightarrow 0.\end{equation}
Il suffit de montrer que cette suite exacte est scindée ; pour cela, on lui applique
$\mathrm{Hom}_G ( W_{\lambda}\, , \, \cdot ) $
et on obtient
\begin{equation}0\rightarrow {\mathrm{Hom}_G ( W_{\lambda}\, , \,({\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda})' ) }\rightarrow {\mathrm{Hom}_G (W_{\lambda}\, , \, H_{{\mathcal{L}}} ) }\xrightarrow{f}{\mathrm{Hom}_G ( W_{\lambda}\, , \, W_{\lambda} ) \xrightarrow{\delta}\mathrm{Ext}^1_G ( W_{\lambda}\, , \, ({\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda})' ) }.\end{equation}
On va montrer que f est surjective, ce qui implique
$\delta=0$
comme on le veut. On calcule les trois premiers termes de la suite exacte précédente :
-
–
${\mathrm{Hom}_G ( W_{\lambda}\, , \, ({\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda})' ) }=L$
d’après le lemme de Schur, -
–
$\mathrm{Hom}_G ( W_{\lambda}\, , \, H_{{\mathcal{L}}} ) =E_2\cong L^2$
en appliquant
$\mathrm{Hom}_G ( W_{\lambda}\, , \, \cdot ) $
à la suite exacte (12.17) et en utilisant que
$\mathrm{Hom}_G ( W_{\lambda}\, , \, ( {{\mathrm{St }}^{\mathrm{lan}}_{\lambda}} )' ) =0$
(cf. (12.1)). -
–
$\mathrm{Hom}_G ( W_{\lambda}\, , \, W_{\lambda} ) =L$
par le lemme de Schur.
Ainsi, la suite exacte (12.22) devient
\begin{align*}0\rightarrow L \rightarrow L^2 \xrightarrow{f} L,\end{align*}
ce qui montre bien que f est surjective, donc que la suite exacte courte (12.21) est scindée. On obtient donc
\begin{align*}H_{{\mathcal{L}}}\cong W_{\lambda}\oplus ({{\Sigma}_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}} )',\end{align*}
comme on voulait.
13. Fin de la preuve
Le but de cette ultime section est de finir la démonstration du théorème principal.
Théorème 13.1.
Soit V une L-représentation absolument irréductible de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} $
de dimension
$\geqslant 2$
.
-
(1) Si V est spéciale ou cuspidale, de dimension 2,
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}]} ( V\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) \cong {\boldsymbol{\Pi}}(V)'\otimes_{L}\mathrm{JL}^{\mathrm{lalg}}(V).\end{align*}
-
(2) Dans tous les autres cas,
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p}]} ( V\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) = 0.\end{align*}
Nos efforts précédents ont abouti au corollaire suivant.
Corollaire 13.2.
Soit
$\Pi$
une L-représentation de Banach, unitaire, admissible et absolument irréductible de G, alors
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}^{\infty}_{C}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) \cong \begin{cases} V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\otimes_L \mathrm{JL}_M^{\lambda} & \text{si $\Pi=\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$ spéciale ou cuspidale,}\\ 0& \text{si $\Pi$ n'est pas du type ci-dessus.}\end{cases}\end{align*}
Démonstration. On utilise les notations du numéro 9.1. D’après le corollaire 9.4 il existe
$\chi\colon {\mathbb{Q}}_p^{\times }\rightarrow L^{\times }$
un caractère lisse tel que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) = \mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \, {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}\otimes (\chi\circ \nu) ) ,\end{align*}
et quitte à tordre par
$\chi$
on peut donc supposer que
$\chi=1$
. Comme l’action de
$\check {G}$
est lisse sur
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}$
et se factorise par un quotient compact, on a
\begin{equation}{}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}=\bigoplus_{\lambda\in P_+}\bigoplus_{M\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^p}{}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M]\otimes_L \mathrm{JL}_M^{\lambda},\end{equation}
où
${}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M]:= \mathrm{Hom}_{L[\check {G}]} ( \mathrm{JL}_M^{\lambda}\, , \, {}^{p}{}{{{\mathrm{H}}}}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) $
. Ainsi, il existe
$\lambda\in P_+$
et
$M\in \Phi N_{\lvert \lambda \rvert}^p$
tel que
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) =\mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M] ) \otimes_L\mathrm{JL}_M^{\lambda}\end{align*}
Supposons que cet espace n’est pas nul.
-
– Si M est cuspidal, alors d’après le corollaire 11.16,
$\Pi=\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
pour
${\mathscr{L}}\subset M_{\mathrm{dR}}$
et
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \, \breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) = V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\otimes_L\mathrm{JL}_M^{\lambda}.\end{align*}
-
– Si M est spécial, on suppose
$w(\lambda)\neq 1$
et comme
$\chi=1$
on a soit
$M= \mathrm{Sp}_L(\lvert \lambda \rvert-2)$
, soit
$M=\widetilde{\mathrm{Sp}}_L(\lvert \lambda \rvert-2)$
. Dans les deux cas
${{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}}[M]=({{\mathrm{H}}}^{\lambda}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}})^{\check {G}}\cong {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {\mathbb{H}}_C\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) $
(à partir de Hochschild-Serre, comme
${{\mathrm{H}}}^0_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_C^{\infty}\,; \, {\mathbb{V}}_{\lambda}(1) ) =0$
puisque
$w(\lambda)\gt 1$
). Alors, d’après le corollaire 12.18 on a
$\Pi=\Pi_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}$
pour
${\mathcal{L}}\in L\cup\{\infty\}$
et
\begin{align*} \mathrm{Hom}_{L[G]} ( \Pi'\, , \,\breve{{{\mathrm{H}}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ) =V_{{\mathcal{L}}}^{\lambda}\otimes_L{\check{W}}_{\lambda}. \end{align*}
On a déjà la première partie du théorème 13.1 que l’on résume aussi sous la forme d’un corollaire ; il se déduit à partir des théorèmes 11.9 et 12.25. Comme la preuve est exactement la même que pour le corollaire 13.2 on se permet de l’omettre.
Corollaire 13.3.
Soit M un L-
$(\varphi,N,{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p})$
-module absolument indécomposable ou exceptionnel de pente
$1-\lvert \lambda \rvert/2$
et
${\mathscr{L}}$
une L-droite de
$M_{\mathrm{dR}}$
telle que, si M est spécial, alors
$w(\lambda)\neq1$
(i.e.
$V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}$
est absolument irréductible), on a
\begin{align*} \mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda}\, , \, {{\mathrm{H}}}^{1}_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_C^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ) \cong (\Pi_{M,{\mathscr{L}}}^{\lambda})'\otimes \mathrm{JL}_M^{\lambda}. \end{align*}
En particulier, cet entrelacement n’est pas nul.
On déduit de ces théorèmes que la cohomologie étale p-adique à coefficients isotriviaux encode la correspondance de Langlands locale p-adique pour les représentations spéciales et cuspidales de dimension 2. Pour finir la démonstration du théorème 13.1 Il reste à montrer qu’à part des caractères lisses, le socle de
${{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) $
ne contient que des représentations spéciales ou cuspidales de dimension 2 de poids
$\lambda\in P_+$
. On le fait en suivant l’argument de [Reference Colmez, Dospinescu and NiziołCDN23, 5.10].
Proposition 13.4.
Soit V une L-représentation absolument irréductible de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
de dimension
$\geqslant 2$
. Si
$\mathrm{Hom}_{L[{\mathscr{W}}_{{\mathbb{Q}}_p} ]} ( V\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( \breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym} {\mathbb{V}}(1) ) ) \neq 0$
alors V est de dimension 2, spéciale ou cuspidale.
Démonstration. Comme précédemment, quitte à tordre par un caractère lisse, on peut remplacer
$\breve{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
par
${}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}$
. Montrons que si V est une L-représentation absolument irréductible de
${\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p}$
qui n’est ni spéciale, ni cuspidale ou bien de dimension
$\geqslant 3$
, alors
\begin{align*}\mathrm{Hom}_{{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} } ( V\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) = 0.\end{align*}
Supposons le contraire, on raisonne par contradiction. Posons
\begin{align*}\Pi(V):=\mathrm{Hom}_{{\mathscr{G}}_{{\mathbb{Q}}_p} } ( V\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^{\infty}\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) ',\end{align*}
qui définit une L-représentation de Banach contenant un réseau (défini à partir d’un réseau dans V et des réseaux
${\mathbb{V}}_k^+$
) que l’on note
$\Pi^+(V)$
et dont la réduction modulo l’idéal maximal
${\mathfrak{m}}_L$
de
${{\mathrm{O}}}_L$
est de longueur finie par le théorème de finitude 10.12 :
$\Pi(V)$
est donc admissible. Ainsi,
$\Pi(V)$
est une L-représentation de Banach unitaire admissible et de longueur finie. On peut donc supposer que
$\Pi(V)$
a comme quotient une L-représentation de Banach unitaire, admissible et absolument irréductible que l’on note
$\Pi$
. On en déduit une injection
$V\hookrightarrow\mathrm{Hom}_{G} ( \Pi'\, , \, {{\mathrm{H}}}^1_{\acute{\mathrm{e}}\mathrm{t}} ( {}^{p}{}{{{\mathrm{M}}}}_{C}^n\,; \, \operatorname{Sym}{\mathbb{V}}(1) ) ) $
ce qui est une contradiction avec le corollaire 13.2.
Remerciements
Cet article est issu de ma thèse que j’ai réalisée sous la direction de Pierre Colmez, que je remercie vivement pour son soutien indéfectible et sa patience. Je remercie aussi les rapporteurs, Matthew Emerton et Benjamin Schraen dont les retours éclairés ont grandement amélioré la qualité de ce texte. Je remercie aussi Zicheng Qian pour de nombreuses discussions sur le scindage du complexe de de Rham ainsi que le rapporteur anonyme pour sa relecture attentive.
Conflicts of interest
None.
Financial support
Part of this work was funded by the Morningside of Mathematics, Chinese Academy of Sciences.
Journal information
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