2.1.1

Soit $F$ un corps de caractéristique $0$ et $G$ un groupe algébrique défini sur $F$. Suivant les notations d'Arthur (cf. [Reference ArthurArt78]), soit $X^{*}(G)$ le groupe des caractères rationnels de $G$ définis sur $F$ et $\mathfrak {a}_G^{*}=X^{*}(G)\otimes _\mathbb {Z} \mathbb {R}$. Soit $\mathfrak {a}_G$ son espace dual. Pour tout groupe $H$ (algébrique, défini sur $F$, bien souvent un sous-groupe de $G$), on introduit le signe

\[ \varepsilon_H^{G}=({-}1)^{\dim_\mathbb{R}(\mathfrak{a}_H)-\dim_\mathbb{R}(\mathfrak{a}_G)}.\]

2.1.2

Supposons de plus $G$ réductif. Soit $A_0$ un sous-tore déployé sur $F$ et maximal pour cette propriété. Dans la suite, sauf mention contraire, un sous-groupe parabolique de $G$ est supposé défini sur $F$ et contenant $A_0$ (on dira aussi « semi-standard »). Soit $P$ un tel sous-groupe parabolique. Il admet alors une décomposition de Levi $P=M N_P$ où $N_P$ est le radical unipotent de $P$ et $M=M_P$ est l'unique facteur de Levi contenant $A_0$. Un tel groupe $M_P$ est appelé simplement sous-groupe de Levi de $G$ dans la suite. Soit $A_P=A_M$ le tore central $F$-déployé maximal de $M$. Soit $\Sigma _P$ l'ensemble des racines du tore $A_P$ dans $P$. Soit $\Delta _P\subset \Sigma _P$ le sous-ensemble des racines simples et $\hat {\Delta }_P$ l'ensemble des poids. Ces ensembles s'identifient à des parties de $\mathfrak {a}_P^{*}= \mathfrak {a}_M^{*}$ qui engendrent un sous-espace noté $(\mathfrak {a}_P^{G})^{*}=(\mathfrak {a}_M^{G})^{*}$.

Soit $M_0$ le centralisateur de $A_0$ dans $G$ (c'est un sous-groupe de Levi minimal de $G$) et $\mathfrak {a}_0^{*}=\mathfrak {a}_{M_0}^{*}$. On a une inclusion naturelle $\mathfrak {a}_P^{*}\hookrightarrow \mathfrak {a}_0^{*}$ et une somme directe

\[ \mathfrak{a}_0^{*}=(\mathfrak{a}_0^{P} )^{*}\oplus (\mathfrak{a}_P)^{*}. \]

où l'on pose $(\mathfrak {a}_0^{P} )^{*}=(\mathfrak {a}_0^{M} )^{*}$.

2.1.3

Pour tout sous-groupe $H\subset G$, soit $\mathcal {F}^{G}(H)$ l'ensemble des sous-groupes paraboliques de $G$ qui contiennent $H$. Si, de plus, $H$ est un sous-groupe de Levi, soit $\mathcal {P}^{G}(H)\subset \mathcal {F}^{G}(H)$ le sous-ensemble des $P$ tels que $M_P=H$. Si le contexte est clair, on pourra omettre l'exposant $G$.

2.1.4 Fonctions $\tau$ et $\hat {\tau }$

Plus généralement pour des sous-groupes paraboliques $P\subset Q$, on dispose d'ensembles $\Delta _P^{Q}\subset \Delta _P$ et $\hat {\Delta }_P^{Q}$, d'une décomposition

\[ \mathfrak{a}_P^{*}=(\mathfrak{a}_P^{Q} )^{*}\oplus (\mathfrak{a}_P)^{*} \]

et une décomposition duale (notée sans exposant $*$) :

\[ \mathfrak{a}_P=(\mathfrak{a}_P^{Q} )\oplus (\mathfrak{a}_P). \]

Soit $\tau _P^{Q}$ et $\hat {\tau }_P^{Q}$ les fonctions caractéristiques respectives des cônes

\[ \{H\in \mathfrak{a}_{0} \mid \alpha(H) > 0, \ \forall \ \alpha \in \Delta_{P}^{Q} \} \]

et

\[ \{H\in \mathfrak{a}_{0} \mid \varpi(H) > 0, \ \forall \ \varpi \in \hat{\Delta}_P^{Q} \}. \]

2.1.5 Groupe de Weyl

Le groupe de Weyl $W$ de $(G,M_0)$ agit sur $\mathfrak {a}_0$. On fixe alors un produit scalaire $W$-invariant sur $\mathfrak {a}_0$ et ce dernier est muni de la mesure euclidienne ainsi que tous ses sous-espaces.

2.1.6 Algèbres de Lie

Sauf mention expresse du contraire, l'algèbre de Lie d'un sous-groupe de $G$ est noté par la même lettre en gothique, ici $\mathfrak {g}$.

2.1.7 Quotient catégorique

Soit $X$ une variété affine sur $F$ sur laquelle le groupe $G$ agit. Soit $X//G$ le quotient catégorique ; celui-ci existe et c'est le spectre de l'algèbre $F[X]^{G}$ des fonctions régulières sur $X$ et $G$-invariantes. Soit

\[ \underline{a}: X \to X/{/}G \]

le morphisme canonique. Pour tout $a\in X//G$, soit $X_a$ la fibre du morphisme canonique au-dessus de $a$. Soit $x\in X$ un point géométrique. On dit que $x$ est ($G$-)semi-simple si l'orbite de $x$ sous $G$ est fermée dans $X$. On dit que $x$ est ($G$)-régulier si son orbite est de dimension maximale. Les points réguliers forment un ouvert de $X$.

2.2.1

Soit $F$ est un corps de nombres et $\mathbb {A}=\mathbb {A}_F$ l'anneau des adèles de $F$. Soit $|\cdot |_\mathbb {A}$ la valeur absolue adélique normalisée. Soit $\mathcal {V}$ l'ensemble des places de $F$ et $\mathcal {V}_\infty \subset \mathcal {V}$ l'ensemble des places archimédiennes. Pour $v\in \mathcal {V}$, soit $F_v$ le complété de $F$ en $v$. Si $v$ est non-archimédienne soit $\mathcal {O}_v\subset F_v$ l'anneau des entiers. Pour tout ensemble $S\subset \mathcal {V}$, on note $\mathbb {A}_S$ et $\mathbb {A}^{S}$ respectivement l'anneau des adèles dans $S$ et hors $S$. Si $S=\{v\}$, on a $\mathbb {A}_S=F_v$. Soit $\mathcal {O}^{S}= \prod _{v\notin S} \mathcal {O}_v$.

2.2.2

Soit $G$ un groupe réductif connexe défini sur $F$. Soit

\[ G(\mathbb{A})^{1}=\bigcap_{\chi \in X^{*}(G)} \ker |\chi|_\mathbb{A}~; \]

c'est un sous-groupe de $G(\mathbb {A})$. Soit $A_G^{\infty }$ le sous-groupe central obtenu comme la composante neutre du groupe des $\mathbb {R}$-points du sous-tore $\mathbb {Q}$-déployé maximal de la restriction des scalaires de $F$ à $\mathbb {Q}$ de $A_G$. Le groupe $G(\mathbb {A})$ est alors isomorphe au produit $A_G^{\infty }\times G(\mathbb {A})^{1}$. On définit

\[ [G]=G(F)\backslash G(\mathbb{A}). \]

2.2.3 Application $H_P$

Soit $K=\prod _{v\in \mathcal {V}}K_v$ un sous-groupe compact maximal de $G(\mathbb {A})$ admissible vis-à-vis du sous-groupe de Levi minimal $M_0$ (au sens de [Reference ArthurArt81] section 1). Pour tout sous-groupe parabolique $P$ de $G$, on dispose de la décomposition d'Iwasawa et de l'application

\[ H_P: G(\mathbb{A})\to \mathfrak{a}_P \]

qui vérifie

\[ \chi(H_{P}(g))=\log |\chi(p)|_{\mathbb{A}} \]

pour tout $g\in pK$, $p\in P(\mathbb {A})$ et $\chi \in X^{*}(P)$.

2.2.4 Espaces de Schwartz–Bruhat

Soit $V$ un $F$-espace vectoriel. Soit $\mathcal {S}(V(\mathbb {A}))$ l'espace de Schwartz–Bruhat des fonctions sur $V(\mathbb {A})$ à valeurs complexes. On définit également pour $S$ fini l'espace $\mathcal {S}(V(\mathbb {A}_S))$. Soit $S_\infty =S\cap \mathcal {V}_\infty$ et $S^{\infty }=S\setminus S_\infty$. On a alors $\mathcal {S}(V(\mathbb {A}_S))=\mathcal {S}(V(\mathbb {A}_{S_\infty }))\otimes _\mathbb {C} {C_c^{\infty }}(V(\mathbb {A}_{S^{\infty }}))$. L'espace $\mathcal {S}(V(\mathbb {A}_{S_\infty }))$ est l'espace de Schwartz usuel muni de sa topologie habituelle.

Donnons-nous une action linéaire algébrique de $G$ sur $V$. Pour tout $g\in G(\mathbb {A})$ et $f\in \mathcal {S}(V(\mathbb {A}))$ soit $f^{g}\in \mathcal {S}(V(\mathbb {A}))$ définie par

\[ f^{g}(X)=f(g\cdot X) \]

pour tout $X\in V(\mathbb {A})$. Cela définit une action à droite de $G(\mathbb {A})$ sur $\mathcal {S}(V(\mathbb {A}))$. De même, $G(\mathbb {A}_S)$ agit à droite sur $\mathcal {S}(V(\mathbb {A}_S))$.

2.2.5 Mesures de Haar

Pour tout $F$-espace vectoriel $V$, le groupe $V(\mathbb {A})$ est muni de la mesure de Haar qui donne le volume $1$ au quotient $V(F)\backslash V(\mathbb {A})$.

2.2.6 Transformation de Fourier partielle

Soit $\psi$ un caractère additif, continu et non-trivial

\[ \psi: F\backslash \mathbb{A} \to \mathbb{C}^{{\times}}. \]

Soit

\[ \langle {\cdot}\,{,}\,{\cdot} \rangle: V \times V \to F \]

une forme bilinéaire symétrique, non dégénérée et $G$-invariante. Pour tout sous-espace $V_1\subset V$ qui est $G$-invariant et non dégénéré pour $\langle {\cdot }\,{,}\,{\cdot } \rangle$, soit $V_2$ son orthogonal. Tout $X\in V$ s’écrit $X_1+X_2$ selon la décomposition $V=V_1\oplus V_2$. On définit alors la transformée de Fourier partielle par

(2.2.6.1)\begin{equation} \hat{f}_{V_1}(X_1+X_2)=\int_{V_1(\mathbb{A}) } f(Y+X_2) \psi(\langle X_1,Y\rangle) \, dY. \end{equation}

On obtient ainsi un automorphisme de $\mathcal {S}(V(\mathbb {A}))$.

On définit de même un analogue local (sur $\mathbb {A}_S$ pour un ensemble fini $S$ de places) de cette transformation en prenant comme mesure la mesure auto-duale.

3.1.1

Soit $F$ un corps de caractéristique $0$ et $V$ un $F$-espace vectoriel de dimension $n$. Soit $\widetilde {\mathfrak {gl}}_F(V)$ l'espace vectoriel défini comme la somme directe

\[ \widetilde{\mathfrak{gl}}_F(V)=\mathfrak{gl}_F(V)\oplus V\oplus V^{*} \]

où $\mathfrak {gl}_F(V)$ est l'espace vectoriel des endomorphismes de $V$ et $V^{*}$ est l'espace vectoriel dual de $V$. Lorsque le contexte est clair, on omet l'indice $F$. Le groupe $GL(V)$ des automorphismes de $V$ agit à gauche sur $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$ de la manière suivante : soit $X=(A,b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$ alors

\[ g\cdot X= (gAg^{{-}1},gb,cg^{{-}1}). \]

3.1.2

Suivant § 2.1.7, on introduit le quotient catégorique

\[ \mathcal{A}_V=\widetilde{\mathfrak{gl}}(V)/{/}GL(V), \]

le morphisme canonique

(3.1.2.1)\begin{equation} \underline{a}:\widetilde{\mathfrak{gl}}(V)\to \mathcal{A}_V. \end{equation}

Pour $a\in \mathcal {A}_V$, on note $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)_a$ la fibre en $a$ du morphisme (3.1.2.1). Lorsque le contexte est clair, on note simplement $\mathcal {A}=\mathcal {A}_V$.

3.1.3

Soit $X=(A,b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$. Soit $t^{n}+a_1t^{n-1}+\cdots +a_n\in F[t]$ le polynôme caractéristique de $A$. Pour $1\leqslant i\leqslant n$, les fonctions $a_i$ et $b_i=cA^{i-1}b$ sont algébriquement indépendantes, invariantes sous $GL(V)$ et engendrent l'algèbre $F[\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)]^{GL(V)}$ (cf. [Reference ZhangZha14b] lemme 3.1). On utilise ces fonctions pour l'identification

\[ \mathcal{A} \simeq \mathbb{A}_{2n} \]

de $\mathcal {A}$ avec l'espace affine de dimension $2n$.

3.1.4

Pour tout entier $r\geqslant 1$ et tout $X=(A,b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$ soit la matrice carrée de taille $r$

\[ \Delta_r(X)= (cA^{i+j}b)_{0\leqslant i,j\leqslant r-1} \]

et $d_r(X)=\det (\Delta _r(X))$. Par commodité, on pose $d_0=1$. Ce sont des éléments de $F[\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)]^{GL(V)}$, qui sont nuls pour $r>n$. Pour tout $r\geqslant 0$, on définit une partie localement fermée $\mathcal {A}^{(r)}$ par la condition $d_r\not =0$ et $d_i=0$ pour tout $i>r$. Deux telles parties distinctes sont d'intersection vide. Bien sûr, $\mathcal {A}^{(r)}\not =\emptyset$ si et seulement si $r\leqslant n$. La partie $\mathcal {A}^{(0)}$ est un fermé et $\mathcal {A}^{(n)}$ est un ouvert dense de $\mathcal {A}$ : c'est l'ouvert « régulier semi-simple » noté

\[ \mathcal{A}^{\operatorname{rss}}=\mathcal{A}^{(n)}. \]

On définit des fermés

\[ \mathcal{A}^{(\leqslant r)}=\bigcup_{0\leqslant i\leqslant r} \mathcal{A}^{(i)} \]

qui sont les adhérences des $\mathcal {A}^{(r)}$ et des ouverts

\[ \mathcal{A}^{(\geqslant r)}=\bigcup_{r \leqslant i} \mathcal{A}^{(i)}. \]

On définit de même (ou si l'on préfère par image inverse par $\underline {a}$) une partie localement fermée $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(r)}$ et un ouvert $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(\geqslant r)}$ de $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$. L'ouvert dense $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{\operatorname {rss}}=\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(n)}$ est formé des éléments réguliers et semi-simples (cf. [Reference Rallis and SchiffmanRS08] théorème 6.1). Ceux-ci sont de centralisateur triviaux.

3.2.1 Somme directe canonique $V^{+}\oplus V^{-}$ associé à $X$

Soit $0\leqslant r\leqslant n$ et $X=(A,b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(r)}$. Soit $V^{+}$ le sous-espace de $V$ engendré par $A^{i}b$ pour $0\leqslant i\leqslant r-1$ et $V^{-}$ l'orthogonal dans $V$ de la famille des $cA^{i}$ pour $0\leqslant i\leqslant r-1$. Il résulte de la définition de $r$, qu'on a $\dim (V^{+})=\mathrm {codim}(V^{-})=r$ et que $V^{-}\cap V^{+}=(0)$. On a donc

(3.2.1.1)\begin{equation} V=V^{+}\oplus V^{-}. \end{equation}

C'est la somme directe canonique associée à $X$.

3.2.2 Morphisme associé à une somme directe

Soit

(3.2.2.2)\begin{equation} V=V^{+}\oplus V^{-} \end{equation}

une décomposition en somme directe. Soit

\[ V^{*}=(V^{+})^{*}\oplus (V^{-})^{*} \]

la décomposition duale où, par exemple, on identifie le dual $(V^{+})^{*}$ de $V^{+}$ à l'orthogonal $(V^{-})^{\perp }$ de $V^{-}$. Soit $r=\dim (V^{+})$ et $\tilde {\mathfrak {s}}(V^{+},V^{-})\subset \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$ la partie localement fermée formée des triplets $X=(A,b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$ tels que $V^{+}$ soit le sous-espace de $V$ engendré par $A^{i}b$ pour $0\leqslant i\leqslant r-1$ et $V^{-}$ soit l'orthogonal dans $V$ de la famille des $cA^{i}$ pour $0\leqslant i\leqslant r-1$.

Lorsque $r\geqslant 1$ et $(A,b,c)\in \tilde {\mathfrak {s}}(V^{+},V^{-})$, on définit des vecteurs $c'\in (V^{+})^{*}$ et $b'\in V^{+}$ par les conditions

(3.2.2.3)\begin{equation} c'A^{i}b=\bigg\{ \begin{array}{@{}ll} 0 & \text{si } 0\leqslant i < r-1, \\ 1 & \text{si } i=r-1. \end{array} \end{equation}

et

(3.2.2.4)\begin{equation} cA^{i}b'=\bigg\{ \begin{array}{@{}ll} 0 & \text{si } 0\leqslant i < r-1, \\ 1 & \text{si } i=r-1. \end{array} \end{equation}

Suivant la décomposition (3.2.2.2), on écrit matriciellement

\[ A= \begin{pmatrix} A^{+} & L^{+} \\ L^{-} & A^{-} \end{pmatrix}. \]

Observons que $(A^{+},b,c) \in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{+})^{(r)}$. Regardons $L^{-}$ comme un élément de $\operatorname {Hom}(V^{+},V^{-})$. Pour $0\leqslant i \leqslant r-2$, on a $L^{-}A^{i}b=0$. Par conséquent, on a $L^{-}=vc'$ pour $c'\in (V^{+})^{*}$ défini par la condition (3.2.2.3) et un unique $v\in V^{-}$. De même, $L^{+}=b'w$ pour $b'\in V^{+}$ défini par la condition (3.2.2.4) et un unique $w\in (V^{-})^{*}$. On définit alors un isomorphisme

(3.2.2.5)\begin{equation} \iota=\iota_{V^{+}\oplus V^{-}}: \widetilde{\mathfrak{gl}}(V^{+})^{(r)} \times \widetilde{\mathfrak{gl}}(V^{-}) \to \tilde{\mathfrak{s}}(V^{+},V^{-}) \end{equation}

par

\[ \iota((A,b,c),(A',v,w))= \bigg( \begin{pmatrix} A & b'w \\ vc' & A' \end{pmatrix}, b,c\bigg) \]

où $b'$ et $c'$ sont les vecteurs définis par les conditions (3.2.2.4) et (3.2.2.3). Si $r=n$ alors $V^{+}=V$ et $\iota$ est l'immersion ouverte de $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(n)}$ dans $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$. Si $r=0$ on a $V^{-}=V$ et le morphisme est alors par définition l'identité.

Pour tout $X\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(r)}$, on a une décomposition associée $V=V^{+}\oplus V^{-}$, cf. (3.2.1.1). On pose alors

\[ \iota_X=\iota_{V^{+}\oplus V^{-}}. \]

L'inverse de $\iota$ est donné par

\[ \bigg(\begin{pmatrix} A^{+} & L^{+}\\ L^{-} & A^{-} \end{pmatrix}, b,c\bigg) \mapsto ((A^{+},b,c),(A^{-}, L^{-}(A^{+})^{r-1}b, c(A^{+})^{r-1}L^{+}) \]

Le morphisme $\iota$ est $GL(V^{+})\times GL(V^{-})$-équivariant si l'on identifie $GL(V^{+})\times GL(V^{-})$ au sous-groupe de de $GL(V)$ qui stabilise à la fois $V^{+}$ et $V^{-}$. Il passe donc au quotient catégorique : on obtient un morphisme encore noté $\iota$

(3.2.2.6)\begin{equation} \iota: \mathcal{A}_{V^{+}}^{(r)}\times \mathcal{A}_{V^{-}} \to \mathcal{A}_V. \end{equation}

Demonstration Tout d'abord $\tilde {\mathfrak {s}}(V^{+},V^{-})$ est un fermé de $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(\geqslant r)}$. Compte tenu de l'isomorphisme (3.2.2.5), il suffit de voir que l'inclusion de $\tilde {\mathfrak {s}}(V^{+},V^{-})$ dans $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(\geqslant r)}$ induit un isomorphisme

\[ \tilde{\mathfrak{s}}(V^{+},V^{-})/{/} GL(V^{+})\times GL(V^{-}) \to \widetilde{\mathfrak{gl}}(V)^{(\geqslant r)}/{/} GL(V)=\mathcal{A}_V^{(\geqslant r)}. \]

Il est facile de voir que chaque $GL(V)$-orbite dans $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(\geqslant r)}$ rencontre $\tilde {\mathfrak {s}}(V^{+},V^{-})$ en une unique $GL(V^{+})\times GL(V^{-})$-orbite. La conclusion s'ensuit aisément (cf. [Reference Luna and RichardsonLR79] théorème 2.2).

Lemme 3.2.2.2 SoitFootnote ¹ $(X,Y)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{+})^{(r)} \times \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{-})$ et $k\in \mathbb {N}$. On a

(3.2.2.7)\begin{equation} d_{r+k}( \iota(X,Y))= d_r(X) \,d_k(Y). \end{equation}

En particulier, $Y\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{-})^{(k)}$ si et seulement si $\iota (X,Y)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(r+k)}$.

Demonstration Soit $X=(A,b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{+})^{(r)}$ et $Y=(B,v,w)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{-})$. Alors

\[ \iota(X,Y)=( Z , b,c) \]

où l'endomorphisme $Z$ s’écrit matriciellement relativement à la décomposition (3.2.1.1)

\[ Z= \begin{pmatrix} A & b'w \\ vc' & B \end{pmatrix}. \]

Pour $0\leqslant i \leqslant r-1$, on a $cZ^{i}b=cA^{i}b$. Par ailleurs, on a

\begin{align*} Z^{r}b&= Z Z_{}^{r-1}b\\ &= Z A^{r-1}b\\ &\in v c'A_{}^{r-1}b + V^{+}\\ &\in v + V^{+}. \end{align*}

On en déduit que $Z(V^{+}) \subset V^{+}\oplus \operatorname {vect}(v)$. En réitérant, on obtient

\[ Z^{r+1}b\in B v + V^{+}\oplus \operatorname{vect}(v) \]

puis par récurrence pour $i\geqslant 0$

\[ Z^{r+i}b\in B^{i} v + V^{+}\oplus \operatorname{vect}(v, B v,\ldots, B^{i-1}v). \]

Il s'ensuit que par des manipulations sur les colonnes on a

\begin{align*} d_{r+k}(Z,b,c)&=\det((cZ^{i+j}b)_{0\leqslant i,j \leqslant r+k-1} ) \\ &= \det\begin{pmatrix} (c A^{i+j}b)_{0\leqslant i,j\leqslant r-1} & 0 \\ (c Z^{i+j}b)_{\scriptsize{ \begin{array}{l} r\leqslant i\leqslant r+k-1\\ 0\leqslant j \leqslant r-1 \end{array}}} & (c Z^{i} B^{j}v)_{\scriptsize{ \begin{array}{l} r\leqslant i\leqslant r+k-1\\ 0\leqslant j \leqslant k-1 \end{array}}} \end{pmatrix}\\ &= \det((c A^{i+j}b)_{0\leqslant i,j\leqslant r-1})\cdot \det\bigg( (c Z^{i} B^{j}v)_{\scriptsize{ \begin{array}{l} r\leqslant i\leqslant r+k-1\\ 0\leqslant j \leqslant k-1 \end{array}}}\bigg). \end{align*}

Dualement, par un raisonnement analogue, on obtient pour $i\geqslant 0$

\[ cZ^{r+i}\in w B^{i} + (V^{+})^{*} \oplus\operatorname{vect}(w,w B,\ldots wB^{i-1}). \]

Par des manipulations sur les lignes, on voit que

\begin{align*} \det\bigg( (c Z^{i} B^{j}v)_{\scriptsize{ \begin{array}{l} r\leqslant i\leqslant r+k-1\\ 0\leqslant j \leqslant k-1 \end{array}}}\bigg)&= \det\bigg( (w B^{i} B^{j}v)_{\scriptsize{ \begin{array}{l} 0\leqslant i\leqslant k-1\\ 0\leqslant j \leqslant k-1 \end{array}}}\bigg)\\ &= d_k(Y). \end{align*}

Cela conclut.

3.3.1

Le but de cette section est de donner une construction canonique d'une décomposition de Jordan pour tout $X\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$. On a la notion d’élément semi-simple de $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$ (cf. § 2.1.7). On dit que $X$ est nilpotent si $\underline {a}(X)=\underline {a}(0)$. On a le lemme suivant.

3.3.2

Demonstration Deux éléments semi-simples dans $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)_a(F)$ sont géométriquement conjugués. Deux éléments semi-simples de $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)(F)$ géométriquement conjugués le sont sur $G(F)$. Pour cela il suffit de vérifier que pour tout $X$ semi-simple, l'ensemble de cohomologie galoisienne $H^{1}(F,G_X)$ associé au centralisateur $G_X$ dans $G$ est trivial. Or, d'après le lemme 3.3.1.1, un tel élément semi-simple s’écrit $X=(A^{+}+A^{-},b,c)$ avec $V=V^{+}\oplus V^{-}$, $(A^{+},b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{+})^{\operatorname {rss}}$ et $A^{-}\in \operatorname {End}(V^{-})$ est semi-simple. Le groupe $G_X$ s'identifie alors au centralisateur de $A^{-}$ dans $GL(V^{-})$ et ce dernier groupe est à restriction des scalaires près un produit de groupes linéaires d'où la trivialité du $H^{1}$ associé.

Il nous reste à voir que $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)_a(F)$ possède des éléments semi-simples. Soit $r$ tel que $a\in \mathcal {A}^{(r)}(F)$. D'après le § 3.2.2, pour toute décomposition $V^{+}\oplus V^{-}$ en sous-$F$-espaces, on a un diagramme commutatif

de $F$-morphismes, la flèche horizontale du bas étant un isomorphisme (cf. les lemmes 3.2.2.1 et 3.2.2.2). On est donc ramené aux deux cas suivants $r=0$ et $r=\dim (V)$. Le premier cas est évident puisque tout polynôme est polynôme caractéristique d'un endomorphisme semi-simple de $V$. Le second résulte de ce que pour tout $a\in \mathcal {A}(F)$, la fibre $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)_a(F)$ est non vide (il y a en fait une section de $a$ définie sur $F$, cf. [Reference ZhangZha14b] preuve du lemme 3.1) et que pour $a\in \mathcal {A}^{\operatorname {rss}}(F)$ cette fibre est composée d’éléments semi-simples réguliers.

3.3.3 Décomposition de Jordan : cas extrêmes

Soit $X\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$. Si $X$ appartient à la strate ouverte $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{\operatorname {rss}}$ alors $X$ est semi-simple régulier. On pose dans cas $X_s=X$ et $X_n=0$. Supposons à l'opposé que $X=(A,b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(0)}$. Soit $A=A_s+A_n$ la décomposition de Jordan usuelle de $A$. On pose alors

\[ X_s=(A_s,0,0) \]

et

\[ X_n=(A_n,b,c). \]

3.3.4 Décomposition de Jordan : cas intermédiaires

Soit $1\leqslant r < n$ et $X=(A,b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(r)}$. Reprenons les constructions du § 3.2.1. Il existe alors un unique $X^{+}\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{+})^{(r)}$ et $X^{-}\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{-})$ tels que $X=\iota _X(X^{+},X^{-})$. D'après le lemme 3.2.2.2, on a nécessairement $X^{-}\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{-})^{(0)}$. D'après § 3.3.3, on sait définir $X^{+}_s=X^{+}$ et $X^{-}_s$. On pose alors

(3.3.4.1)\begin{equation} X_s=\iota_X(X^{+}_s,X^{-}_s) \end{equation}

et

(3.3.4.2)\begin{equation} X_n=X-X_s. \end{equation}

Demonstration Écrivons $X^{-}=(B,v,w)$. On a alors $X^{-}_s=(B_s,0,0)$ où $B=B_s+B_n$ est la décomposition de Jordan usuelle dans $\mathfrak {gl}(V^{-})$. Il résulte du lemme 3.3.1.1 que $X_s=\iota (X^{+},(B_s,0,0))$ est semi-simple. L’égalité $\underline {a}(X_s)=\underline {a}(X)$ résulte immédiatement des égalités $\underline {a}(X^{+})=\underline {a}(X^{+}_s)$ et $\underline {a}(X^{-})=\underline {a}(X^{-}_s)$ (cf. lemme 3.3.3.1). On a $X_n=( Z, 0,0)$ où $Z=\big (\begin {smallmatrix} 0 & b'w \\ vc' & B_n \end {smallmatrix}\big )$. Il s'agit de voir que $Z$ est nilpotent au sens usuel. Mais cela résulte immédiatement de la formule

\[ Z^{k}= \begin{pmatrix} 0 & b'w B_n^{k-1} \\ B_n^{k-1} vc' & B_n^{k} + (c'b') \sum_{i=0}^{k-2} B_n^{i} vw B_n^{k-2-i} \end{pmatrix}. \]

3.3.5 On a le lemme suivant

Demonstration Soit $V=V^{+}\oplus V^{-}$ la somme canonique associée à $X$. Alors $\delta V^{+}\oplus \delta V^{-}$ est la décomposition canonique de $\delta \cdot X$ et

(3.3.5.3)\begin{equation} \iota_{\delta\cdot X}=\delta \iota_X(\delta^{{-}1}\cdot,\delta^{{-}1}\cdot). \end{equation}

On est alors ramené à prouver la propriété dans les cas extrêmes $X\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(n)}$ ou $X\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V)^{(0)}$ qui sont évidents.

3.4.1

Soit $F$ un corps de caractéristique $0$. Soit $I$ un ensemble fini et pour tout $i\in I$ soit $F_i$ une extension finie de $F$ de degré notée $d_i\geqslant 1$. Soit $V_i$ un $F_i$-espace vectoriel de dimension $n_i\geqslant 1$. Soit $\tilde {\mathfrak {h}}^{-}= \prod _{i\in I} \widetilde {\mathfrak {gl}}_{F_i}(V_i)$ qu'on verra comme un $F$-espace vectoriel. Soit $V^{-}=\bigoplus _{i\in I} V_i$ vu comme $F$-espace vectoriel de dimension

\[ n_-{=}\sum_{i\in I} n_id_i. \]

Soit $H^{-}=\prod _{i\in I}GL_{F_i}(V_i)$ qu'on identifie naturellement à un sous-$F$-groupe de $GL_F(V^{-})$. On a une application $F$-linéaire

(3.4.1.1)\begin{equation} \iota_{H^{-}}: \tilde{\mathfrak{h}}^{-}\to \widetilde{\mathfrak{gl}}_F(V^{-}) \end{equation}

donnée par

\[ ((A_i,b_i,c_i))_{ i\in I}\mapsto \bigg(\bigoplus_{i\in I} A_i,\bigoplus_{i\in I} b_i,\bigoplus_{i\in I} c_i\bigg). \]

Par abus, pour la composante $c_i$ on a utilisé implicitement l'identification de $F$-espaces vectoriels

\[ V_i^{*}=\operatorname{Hom}_{F_i}(V_i,F_i) \simeq \operatorname{Hom}_{F}(V_i,F) \]

donnée par

\[ c_i\mapsto (v_i\in V_i \mapsto \operatorname{trace}_{F_i/F}(c_i(v_i))). \]

L'application (3.4.1.1) est $H^{-}$-équivariante. On en déduit un morphisme encore noté $\iota _{H^{-}}$

(3.4.1.2)\begin{equation} \iota_{H^{-}}: \mathcal{A}_{H^{-}}=\prod_{i\in I} \mathcal{A}_{V_i} \to \mathcal{A}_{V^{-}}. \end{equation}

Soit $X_{H^{-}}=(A_i,b_i,c_i)_{ i\in I}\in \tilde {\mathfrak {h}}^{-}$ et $X=(A,b,c)=\iota _{H^{-}}((A_i,b_i,c_i)_{ i\in I})$. Pour tout $i\in I$, soit $\chi _{A_i,F}$, resp. $\chi _{A_i,F_i}$, le polynôme caractéristique de $A_i$ vu comme $F$-endomorphisme (resp. $F_i$-endomorphisme) de $V_i$. On dispose aussi du polynôme caractéristique $\chi _{A,F}$ de $A$. Pour tous polynômes $P$ et $Q$, soit $\operatorname {disc}(P)$ le discriminant de $P$ et $\mathrm {Res}(P,Q)$ le résultant de $P$ et $Q$. Soit $D_{H^{-}}^{V^{-}}$ la fonction régulière sur $\mathcal {A}_{H^{-}}$ définie par

\begin{align*} D_{H^{-}}^{V^{-}}(X_{H^{-}})&= \frac{ \operatorname{disc}(\chi_{A,F}) }{\prod_{i\in I} \operatorname{disc}(\chi_{A_i,F})}\\ &= ({\pm}) \prod_{ (i,j) \in I^{2}, \, i\not=j} \mathrm{Res}(\chi_{A_i,F},\chi_{A_j ,F}) \end{align*}

où $(\pm )$ désigne un signe élémentaire non explicité.

Lemme 3.4.1.1 Avec les notations ci-dessus, on a

\begin{align*} d_{n_-}(X)&= \operatorname{disc}(\chi_{A,F}) \cdot \prod_{i\in I} N_{F_i/F}\bigg( \frac{d_{n_i}(A_i,b_i,c_i)}{\operatorname{disc}(\chi_{A_i,F_i})}\bigg)\\ &= D_{H^{-}}^{V^{-}}(X_{H^{-}}) \cdot \prod_{i\in I} \frac{\operatorname{disc}(\chi_{A_i,F}) }{N_{F_i/F}(\operatorname{disc}(\chi_{A_i,F_i}))} \cdot \prod_{i\in I} N_{F_i/F}(d_{n_i}(A_i,b_i,c_i)) \end{align*}

où dans la seconde ligne chacun des trois facteurs est régulier.

Demonstration Le passage de la première ligne à la seconde est immédiat. Montrons donc la première égalité.

Traitons d'abord le cas où $I=\{1,2\}$ et $F_1=F_2=F$. Soit $e_1$ et $e_2$ des bases respectives de $V_1$ et $V_2$. Soit $e=e_1\cup e_2$ la base de $V^{-}$ qui s'en déduit. Pour tout $(A,b,c)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V^{-})$, on a alors

\[ d_{n_-}(A,b,c)= {\det}_e(b,Ab,\ldots,A^{n_-{-}1}b) {\det}_{e^{*}}(c,cA,\ldots,cA^{n_-{-}1}) \]

où ${\det }_e$ et ${\det }_{e^{*}}$ désignent le déterminant pris respectivement dans la base $e$ de $V^{-}$ et dans la base duale $e^{*}$ de $(V^{-})^{*}$. Pour $i\in \{1,2\}$, soit $X_i=(A_i,b_i,c_i)\in \widetilde {\mathfrak {gl}}(V_i)$. Soit $(A,b,c)=\iota _{H^{-}}(X_1,X_2)$. Pour alléger les notations, on pose $P_1=\chi _{A_1,F}$. Par des manipulations sur les colonnes, on voit qu'on a

\begin{align*} {\det}_e(b,Ab,\ldots,A^{n_-{-}1}b)&= {\det}_e(b_1+b_2,A_1b_1+A_2b_2,\ldots,A_1^{n_-{-}1}b_1+A_2^{n_-{-}1}b_2)\\ &= {\det}_e(b_1+b_2,\ldots,A_1^{n_1-1}b_1+A_2^{n_1-1}b_2, P_1(A_2)b_2, \ldots, P_1(A_2)A_2^{n_2-1}b_2)\\ &= {\det}_{e_1}(b_1,\ldots,A_1^{n_1-1}b_1) {\det}_{e_2}(P_1(A_2)b_2, \ldots, P_1(A_2)A_2^{n_2-1}b_2)\\ &= {\det}_{e_1}(b_1,\ldots,A_1^{n_1-1}b_1) {\det}_{e_2}(b_2, \ldots, A_2^{n_2-1}b_2) \det(P_1(A_2)). \end{align*}

Par un calcul analogue sur le déterminant ${\det }_{e^{*}}(c,cA,\ldots ,cA^{n_--1})$, on aboutit immédiatement au résultat vu qu'on a

\[ \det(P_1(A_2))^{2}= \frac{\operatorname{disc}(\chi_{A,F})}{\operatorname{disc}(\chi_{A_1,F}) \operatorname{disc}(\chi_{A_2,F})}. \]

Par une récurrence immédiate, on obtient le lemme pour un ensemble $I$ quelconque pour lequel $F_i=F$ pour tout $i\in I$.

Traitons ensuite le cas du singleton $I=\{1\}$ et d'une extension $F_1$ de $F$. Fixons une base de $V_1$ de sorte qu'on identifie $V_1$ à $F_1^{n_1}$, de même pour son dual etc. Pour vérifier la formule annoncée, on peut faire un changement de base de $F$ à $\bar {F}$ une clôture algébrique de $F$. Soit $\Gamma =\operatorname {Hom}_{F}(F_1,\bar {F})$ l'ensemble des $F$-homomorphismes de corps de $F_1$ dans $\bar {F}$. Pour tout ensemble $X$ soit $X^{\Gamma }$ l'ensemble des applications de $\Gamma$ dans $X$. On a un isomorphisme de $\bar {F}$-espaces vectoriels

\[ \widetilde{\mathfrak{gl}}_{F_1}( F_1^{n_1}){\bigotimes_F} \bar{F} \simeq \widetilde{\mathfrak{gl}}_{\bar{F}}( \bar{F}^{n_1})^{\Gamma} \]

donné par $(A_1,b_1,c_1)\otimes 1 \mapsto (A^{\sigma }_1,b^{\sigma }_1,c^{\sigma }_1)_{\sigma \in \Gamma }$. L'application $\iota _{H^{-}}$ devient

\[ (A^{\sigma}_1,b^{\sigma}_1,c^{\sigma}_1)_{\sigma \in \Gamma}\mapsto \bigg(\bigoplus_{\sigma\in \Gamma} A^{\sigma}_1,\bigoplus_{\sigma\in \Gamma}b^{\sigma}_1, \bigoplus_{\sigma\in \Gamma}c^{\sigma}_1\bigg). \]

D'après ce que l'on vient de faire, on a

\begin{align*} d_{n_-}(\iota_{H^{-}}(A_1,b_1,c_1))&= \operatorname{disc}(\chi_{A,F}) \prod_{\sigma\in \Gamma} \frac{d_{n_1}(A^{\sigma}_1,b^{\sigma}_1,c^{\sigma}_1)}{\operatorname{disc}\chi_{A^{\sigma}_1,\bar{F}} }\\ &= \operatorname{disc}(\chi_{A,F}) N_{F_1/F }\bigg(\frac{d_{n_1}(A_1,b_1,c_1)}{ \operatorname{disc} \chi_{A_1,F_1}}\bigg). \end{align*}

Le cas général se déduit aussitôt des cas que nous venons de traiter.

Soit $\mathcal {A}_{H^{-}}'$ l'ouvert de $\mathcal {A}_{H^{-}}$ défini par $D_{H^{-}}^{V^{-}}\not =0$. Le morphisme (3.4.1.2) est étale sur l'ouvert $\mathcal {A}_{H^{-}}'$ (cf. [Reference ZhangZha14b] appendice B). Soit $\mathcal {A}_{H^{-}}^{(n_-)}$ l'ouvert de $\mathcal {A}_{H^{-}}$ défini comme l'image inverse par $\iota _{H^{-}}$ de $\mathcal {A}^{\operatorname {rss}}_{V^{-}}$. Il résulte du lemme 3.4.1.1 qu'on a

(3.4.1.3)\begin{equation} \mathcal{A}_{H^{-}}^{(n_-)}\subset \mathcal{A}_{H^{-}}'. \end{equation}

3.4.2

Soit $V^{+}$ un $F$-espace vectoriel de dimension $r\geqslant 0$. Soit $\tilde {\mathfrak {h}}^{+}=\widetilde {\mathfrak {gl}}_{F}(V^{+})$ muni de l'action de $H^{+}=GL_F(V^{+})$ de quotient $\mathcal {A}_{H^{+}}=\mathcal {A}_{V^{+}}$ . Soit le $F$-espace

\[ \tilde{\mathfrak{h}}=\tilde{\mathfrak{h}}^{+} \times \tilde{\mathfrak{h}}^{-} \]

muni de l'action du $F$-groupe $H=H^{+}\times H^{-}$ et

\[ \underline{a}: \tilde{\mathfrak{h}} \to \mathcal{A}_H= \mathcal{A}_{H^{+}} \times \mathcal{A}_{H^{-}} \]

le morphisme canonique de $\tilde {\mathfrak {h}}$ vers son quotient. Soit l'ouvert $\mathcal {A}_H'=\mathcal {A}_{H^{+}}^{\operatorname {rss}} \times \mathcal {A}_{H^{-}}'$ et $\tilde {\mathfrak {h}}'$ l'ouvert de $\tilde {\mathfrak {h}}$ obtenu comme l'image inverse de $\mathcal {A}_H'$.

3.4.3

Soit $V=V^{+}\oplus V^{-}$ et $\tilde {\mathfrak {g}}=\widetilde {\mathfrak {gl}}_F(V)$ muni de l'action de $G=GL_F(V)$. Soit $n=r+\sum _{i\in I}n_i d_i$. En composant (3.2.2.5) avec (3.4.1.1), on obtient un morphisme

(3.4.3.4)\begin{equation} \iota_H : \tilde{\mathfrak{h}}' \to \tilde{\mathfrak{g}} \end{equation}

qui est $H$-équivariant lorsqu'on identifie naturellement $H$ à un sous-groupe de $G$. Il induit donc un morphisme homonyme sur les quotients

(3.4.3.5)\begin{equation} \iota_H : \mathcal{A}_H' \to \mathcal{A}. \end{equation}

Ce dernier morphisme est étale (cf. [Reference ZhangZha14b] appendice B). Soit $\mathcal {A}_H^{\operatorname {\mathit {G}\text {-}rss}}$ l'ouvert de $\mathcal {A}_H'$ défini comme l'image inverse de l'ouvert $\mathcal {A}^{\operatorname {rss}}$. Il résulte de l'inclusion (3.4.1.3) et des lemmes 3.2.2.1 et 3.2.2.2 qu'on a

(3.4.3.6)\begin{equation} \mathcal{A}_H^{\operatorname{\mathit{G}\text{-}rss}}=\mathcal{A}_{H^{+}}^{\operatorname{rss}} \times \mathcal{A}_{H^{-}}^{(n_-)}. \end{equation}

On a ensuite un isomorphisme (cf. [Reference ZhangZha14b] appendice B)

(3.4.3.7)\begin{equation} G \times^{H} \tilde{\mathfrak{h}}' \to \tilde{\mathfrak{g}} \times_{\mathcal{A}} \mathcal{A}_H' \end{equation}

qui est donné par $(g,Y) \mapsto (g\cdot \iota _H(Y), \underline {a}(Y))$ et où la source désigne le quotient de $G \times \tilde {\mathfrak {h}}'$ par l'action à droite (libre) de $H$ donnée par $(g,Y)\cdot h=(gh,h^{-1}\cdot Y)$.

3.4.4

On suppose de plus que $F$ est un corps de nombres ; on utilise les notations de la section 2.2. On aura besoin des constructions et des résultats précédents sur une base un peu plus générale. On procède comme suit : on considère $A$ l'anneau des entiers de $F$ « hors $S$ » où $S$ est un ensemble fini de places de $F$, assez grand, qui contient les places archimédiennes. Soit $A_i$ la clôture intégrale de $A$ dans $F_i$. Lorsque $S$ est assez grand, $A$ est principal, $A_i$ est un $A$-module libre de rang $d_i$ et le morphisme $A\to A_i$ est étale. En considérant $V$ un $A$-module libre de rang $n$, on définit de manière évidente un $A$-module libre $\tilde {\mathfrak {g}}=\widetilde {\mathfrak {gl}}_A(V)$ muni de l'action du $A$-schéma en groupes réductifs $GL_{A}(V)$ et on obtient un $A$-schéma quotient $\mathcal {A}$. De même, on définit $\widetilde {\mathfrak {gl}}_A(V^{+})$ et $\widetilde {\mathfrak {gl}}_{A_i}(V_i)$ puis $\tilde {\mathfrak {h}}$. Par restriction des scalaires à la Weil, ce dernier est muni d'une action du $A$-schéma en groupes réductifs $H=H^{+}\times H^{-}$ avec $H^{+}=GL_A(V^{+})$ et $H^{-}=\prod _{i\in I} \operatorname {Res}_{A_i/A}GL_{A_i}(V_i)$. Soit $\mathcal {A}_H$ le quotient. On a un ouvert $\mathcal {A}_H'$ défini comme avant.

3.4.5

On continue avec la situation du paragraphe précédent. Soit $v\notin S$ une place finie de $F$ et $\mathcal {O}_v$ l'anneau des entiers du complété $F_v$.

Demonstration Prouvons d'abord l'assertion 1. Il est clair que 1.(b) implique 1.(a). Supposons 1.(a). Le couple $(g^{-1},Y)$ définit donc un élément de $(G \times ^{H} \tilde {\mathfrak {h}}')(F_v)$ dont l'image $(g^{-1}\cdot \iota _H(Y),a)$ par (3.4.3.7) est un $\mathcal {O}_v$-point de $\tilde {\mathfrak {g}} \times _{\mathcal {A}} \mathcal {A}_H'$. Comme (3.4.3.7) est un $\mathcal {O}_v$-isomorphisme, cet élément appartient en fait à $(G \times ^{H} \tilde {\mathfrak {h}}')(\mathcal {O}_v)$. Or l'application naturelle

(3.4.5.8)\begin{equation} (G(\mathcal{O}_v)\times \tilde{\mathfrak{h}}'(\mathcal{O}_v) ) \to (G \times^{H} \tilde{\mathfrak{h}}')(\mathcal{O}_v) \end{equation}

est surjective. En effet, la surjectivité est vraie pour les points à valeurs dans le corps résiduel par le lemme de Lang. La surjectivité de (3.4.5.8) est alors une conséquence de la lissité du morphisme canonique $G\times \tilde {\mathfrak {h}}' \to G \times ^{H} \tilde {\mathfrak {h}}'$. Par conséquent, il existe un couple $(g_0,Y_0)\in G(\mathcal {O}_v)\times \tilde {\mathfrak {h}}'(\mathcal {O}_v)$ et $h\in H(F_v)$ tels que $g^{-1}h=g_0$ et $h^{-1}\cdot Y= Y_0$. Cela conclut.

L'assertion 2 est essentiellement un cas particulier de l'assertion 1. En effet, si l'on suppose 2.(a), alors d'après l'assertion 1, Il existe $h\in H(F_v)$ tel que $h\in G(\mathcal {O}_v)$ et $h^{-1}\cdot Y\in \tilde {\mathfrak {h}}(\mathcal {O}_v)$. Or $H(F_v)\cap G(\mathcal {O}_v)=H(\mathcal {O}_v)$ d'où $Y\in \tilde {\mathfrak {h}}(\mathcal {O}_v)$.

Enfin, l'assertion 3 résulte immédiatement de [Reference Rallis and SchiffmanRS08] proposition 6.2.

3.4.6

Soit $v$ une place quelconque de $F$.

Lemme 3.4.6.1 Soit $a\in \mathcal {A}_H'(F_v)$ et $\Omega \subset \tilde {\mathfrak {g}}(F_v)$ un ensemble compact. Il existe un compact $C$ de $G(F_v)$ qui vérifie la propriété suivante. Pour tous $g \in G(F_v)$ et $Y\in \tilde {\mathfrak {h}}_a(F_v)$ tels que

\[ g^{{-}1}\iota_H(Y)\in \Omega \]

on a $g\in H(F_v)C$.

4.1.1

Soit $V$ un espace vectoriel de dimension $n\geqslant 0$ sur $F$ un corps de caractéristique $0$. Soit $G=GL(V)$. On considère l'espace $\tilde {V}=V\oplus F e_0$ de dimension $n+1$ (pour un certain vecteur $e_0$) et $\tilde {G}=GL(\tilde {V})$. On identifie $G$ au sous-groupe de $\tilde {G}$ qui stabilise $V$ et fixe $e_0$. Contrairement aux notations de la section 2.1, $\tilde {\mathfrak {g}}$ ne désigne pas l'algèbre de Lie de $\tilde {G}$ (qui n'apparaïtra pas dans cette section). On réserve la notation $\tilde {\mathfrak {g}}$ pour l'espace $\widetilde {\mathfrak {gl}}(V)$.

4.1.2 Les projections $r_i$ et $\hat {r}_i$

Soit $(e_1,\ldots ,e_n)$ une base de $V$ d'où une base $(e_1,\ldots ,e_n,e_0)$ de $\tilde {V}$. Soit $T_0 \subset \tilde {T}_0$ les sous-tores maximaux respectifs de $G$ et $\tilde {G}$ qui stabilisent les droites engendrées par les vecteurs de base. Ce sont donc des tores déployés maximaux respectivement de $G$ et $\tilde {G}$.

On pose alors

\[ \mathfrak{a}_0=\mathfrak{a}_{T_0}\quad \text{et}\quad \mathfrak{a}_{\tilde{0}}=\mathfrak{a}_{\tilde{T}_0} \]

et on a une inclusion naturelle $\mathfrak {a}_0\subset \mathfrak {a}_{\tilde {0}}$. Le choix de la base identifie cette inclusion à celle de $\mathbb {R}^{n}$ dans $\mathbb {R}^{n+1}$ qui consiste à rajouter une coordonnée nulle en position $n +1$. Le produit scalaire choisi sur ces espaces s'identifie au produit scalaire canonique.

Soit $\mathfrak {a}_{\tilde {0}}^{0}$ l'orthogonal de $\mathfrak {a}_{0}$ dans $\mathfrak {a}_{\tilde {0}}$. Les deux décompositions suivantes de $\mathfrak {a}_{\tilde {0}}$ en sommes directes (non-orthogonales) vont intervenir :

\[ \mathfrak{a}_{\tilde{0}} = \mathfrak{a}_{0} \oplus \mathfrak{a}_{\tilde{G}} = \mathfrak{a}_{\tilde{0}}^{\tilde{G}} \oplus \mathfrak{a}_{\tilde{0}}^{0}. \]

Soit $r_{1}$, $r_{2}$, $\hat r_{1}$ et $\hat r_{2}$ les projections respectivement sur $\mathfrak {a}_{0}, \mathfrak {a}_{\tilde {G}},\mathfrak {a}_{\tilde {0}}^{\tilde {G}}$ et $\mathfrak {a}_{\tilde {0}}^{0}$ relativement à ces décompositions.

4.1.3

Soit

\[ (0)=W_0\subsetneq W_1 \subsetneq \cdots \subsetneq W_r=V \]

un drapeau. Soit $i$ et $j$ deux éléments de $\{0,1,\ldots ,r\}$ qui vérifient $0\leqslant j-i\leqslant 1$. On note $\tilde {P}$ une telle donnée. On lui associe les objets suivants

• • le sous-groupe parabolique $P\subset G$ qui stabilise le drapeau et $\mathfrak {p}$ son algèbre de Lie ;

• • sous-espace $V_{\tilde {P}}=W_i$ de $V$ ;

• • le sous-espace $V_{\tilde {P}}'=(W_j)^{\perp }$ de $V^{*}$ ;

• • le sous-espace $\tilde {\mathfrak {p}}=\mathfrak {p}\oplus (V_{\tilde {P}}')^{\perp } \oplus V_{\tilde {P}}^{\perp }$ de $\tilde {\mathfrak {g}}$ ;

• • le sous-espace $\tilde {\mathfrak {n}}=\tilde {\mathfrak {n}}_{\tilde {P}}=\mathfrak {n}\oplus V_{\tilde {P}} \oplus V_{\tilde {P}}'$ de $\tilde {\mathfrak {g}}$ où $\mathfrak {n}$ est l'algèbre de Lie du radical unipotent $N_P$ de $P$.

Observons que $\tilde {\mathfrak {p}}$ et $\tilde {\mathfrak {n}}$ sont tous deux stables sous l'action du sous-groupe $P$ et qu'on a toujours $V_{\tilde {P}}'\subset V_{\tilde {P}}^{\perp }$ avec égalité si et seulement si $i=j$. Dans la suite, $\tilde {\mathfrak {p}}$ est appelé un sous-espace parabolique de $\tilde {\mathfrak {g}}$.

4.1.4

La donnée $\tilde {P}$ est équivalente à celle d'un sous-groupe parabolique encore noté $\tilde {P}$ de $\tilde {G}$ dont l'intersection avec $G$ est le sous-groupe parabolique $P$ de $G$. La donnée $\tilde {P}$ est dite semi-standard si $P$ est un sous-groupe parabolique semi-standard de $G$ (c'est-à-dire qu'il contient $T_0$). Les données semi-standardFootnote ² sont en correspondance bijective avec les sous-groupes paraboliques semi-standard de $\tilde {G}$ (relativement au tore $\tilde {T}_0$). Lorsqu'on aura fixé un sous-groupe de Borel de $G$, on dira que $\tilde {P}$ est relativement standard s'il contient $B$.

Plus précisément, à la donnée de $\tilde {P}$, on associe le drapeau

\[ (0)=W_0\subsetneq W_1 \subsetneq W_i \subsetneq W_{i+1}\oplus Fe_0\subsetneq \cdots \subsetneq W_r\oplus Fe_0 =\tilde{V} \]

si $j=i+1$ et

\[ (0)=W_0\subsetneq W_1 \subsetneq W_i \subsetneq W_{i}\oplus Fe_0 \subsetneq W_{i+1}\oplus Fe_0 \subsetneq \cdots \subsetneq W_r\oplus Fe_0 =\tilde{V} \]

si $j=i$. Dans la suite, on passera sans plus de commentaire d'un point de vue à l'autre.

4.1.5 Facteur de Levi

La donnée supplémentaire d'un facteur de Levi $\tilde {M}$ du sous-groupe parabolique $\tilde {P}$ de $\tilde {G}$ comme ci-dessus est, par définition, la donnée d'une somme directe

\[ V=V_1\oplus\cdots\oplus V_r \]

telle que $W_i=V_1\oplus \cdots \oplus V_i$. Donc, donner un facteur de Levi de $\tilde {P}$ revient à donner un facteur de Levi de $P$. On a donc une décomposition duale

\[ V^{*}=V_1^{*}\oplus\cdots\oplus V_r^{*} \]

et une décomposition de Levi $P=M N_P$ où $M=GL(V_1)\times \cdots \times GL(V_r)$. On définit un sous-espace $\tilde {\mathfrak {m}} = \tilde {\mathfrak {m}}_{\tilde {P}}$ stable par $M$ de $\tilde {\mathfrak {g}}$ tel que

\[ \tilde{\mathfrak{p}}=\tilde{\mathfrak{m}}_{\tilde{P}}\oplus \tilde{\mathfrak{n}}_{\tilde{P}} \]

de la façon suivante :

• • soit $V_{\tilde {P}}' = V_{\tilde {P}}^{\perp }$ et l'on pose $\tilde {\mathfrak {m}}_{\tilde {P}}=\mathfrak {m}$ (algèbre de Lie de $M$) ;

• • soit on a des décompositions $( V_{\tilde {P}}')^{\perp }= V_{\tilde {P}}\oplus V_j$ et $V_{\tilde {P}}^{\perp }= V_{\tilde {P}}'\oplus V_j^{*}$ et on pose

  \[ \tilde{\mathfrak{m}}_{\tilde{P}}=\mathfrak{m} \oplus V_j \oplus V_j^{*}= \mathfrak{gl}(V_1)\oplus\cdots \oplus \widetilde{\mathfrak{gl}}(V_j)\oplus\cdots \oplus\mathfrak{gl}(V_r). \]

4.1.6

Si $\tilde {P}\subset \tilde {Q}$, on pose

\[ \tilde{\mathfrak{n}}_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}}=\tilde{\mathfrak{m}}_{\tilde{Q}}\cap \tilde{\mathfrak{n}}_{\tilde{P}}. \]

4.1.7 Décomposition d'un facteur de Levi

Le facteur de Levi $\tilde {M}$ de $\tilde {P}$ se décompose en

\[ \tilde{M} = \mathbf{M}_{\tilde{P}} \times \tilde{G}_{\tilde{P}} \]

où l'on pose

• • pour $j=i$, $\mathbf {M}_{\tilde {P}} = M= \prod _{k}GL(V_{k})$ et $\tilde {G}_{\tilde {P}} = GL(Fe_0)$ ;

• • pour $j = i+1$, $\mathbf {M}_{\tilde {P}} = \prod _{k \neq j}GL(V_{k})$ et $\tilde {G}_{\tilde {P}} = GL(V_{j}\oplus Fe_0)$.

Cette décomposition ne dépend réellement que de $\tilde {M}$ (et non du choix de $\tilde {P}$ qui admet $\tilde {M}$ comme facteur de Levi). On introduit aussi le sous-groupe $G_{\tilde {P}}\subset \tilde {G}_{\tilde {P}}$ qui fixe $e_0$ et préserve $V_j$ si $j=i+1$. Si $j=i$ le groupe $G_{\tilde {P}}$ est trivial et on pose $\tilde {\mathfrak {g}}_{\tilde {P}}=(0)$. Si $j=i+1$, le groupe $G_{\tilde {P}}$ s'identifie à $GL(V_j)$ et l'on pose $\tilde {\mathfrak {g}}_{\tilde {P}}= \widetilde {\mathfrak {gl}}(V_j)$. Dans chaque cas, $G_{\tilde {P}}$ agit sur $\tilde {\mathfrak {g}}_{\tilde {P}}$.

4.1.8 Espace $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}$

Désormais , les sous-groupes paraboliques de $G$ (resp. $\tilde {G}$) seront supposés contenir $T_0$ (resp. $\tilde {T}_0$) et les constructions afférentes aux sous-groupes paraboliques seront relatives à ces sous-tores. Soit $\tilde {P}$ un sous-groupe parabolique de $\tilde {G}$ comme au § 4.1.3. Dans ce cas, $M_{\tilde {P}}$ est l'unique facteur de Levi de $\tilde {P}$ qui contient $\tilde {T}_0$. La décomposition $M_{\tilde {P}} = \mathbf {M}_{\tilde {P}} \times \tilde {G}_{\tilde {P}}$ induit des décompositions orthogonales

\[ \mathfrak{a}_{\tilde{P}} = \mathfrak{z}_{\tilde{P}} \oplus \mathfrak{a}_{\tilde{G}_{\tilde{P}}}, \quad \mathfrak{a}_{\tilde{P}}^{*} = \mathfrak{z}_{\tilde{P}}^{*} \oplus \mathfrak{a}_{\tilde{G}_{\tilde{P}}}^{*}, \]

où, pour alléger les notations, on pose $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}=\mathfrak {a}_{\mathbf {M}_{\tilde {P}}}$ et $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}^{*}=\mathfrak {a}_{\mathbf {M}_{\tilde {P}}}^{*}$. Notons qu'on a naturellement $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}\subset \mathfrak {a}_0$. En fait, $\mathfrak {z}_{\tilde {P}} = \mathfrak {a}_{0} \cap \mathfrak {a}_{\tilde {P}}$. Pour un sous-groupe de Levi $\tilde {M}$ de $\tilde {G}$ contenant $\tilde {T}_0$, on pose $\mathfrak {z}_{\tilde {M}}=\mathfrak {z}_{\tilde {P}}$ où $\tilde {P}$ est un sous-groupe parabolique de $\tilde {G}$ ayant $\tilde {M}$ comme facteur de Levi. Cette définition ne dépend pas du choix de $\tilde {P}$.

4.2.1 Ensembles $\Pi$ et $\hat {\Pi }$

On continue avec les notations des §§ 4.1.3 et 4.1.7. Pour $1\leqslant k \leqslant i$ soit $\delta _k\in X^{*}(\mathbf {M}_{\tilde {P}})$ le déterminant de l'action de $\mathbf {M}_{\tilde {P}}$ sur $W_k$. De même, pour $j\leqslant k \leqslant r-1$ soit $\delta _k^{-}\in X^{*}(\mathbf {M}_{\tilde {P}})$ le déterminant de l'action de $\mathbf {M}_{\tilde {P}}$ sur $W_k^{\perp }$. Soit $\hat {\Pi }_{\tilde {P}}$ l'ensemble des $\delta _k$, $1\leqslant k \leqslant i$, et $\delta _k^{-}$ pour $j\leqslant k \leqslant r-1$. On identifie naturellement $\hat {\Pi }_{\tilde {P}}$ à une partie de $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}^{*}$.

Soit $\tilde {P}\subset \tilde {Q}$ une inclusion de sous-groupes paraboliques. On a $\hat {\Pi }_{\tilde {Q}} \subset \hat {\Pi }_{\tilde {P}}$. On définit

\[ \mathfrak{z}^{\tilde{Q}}_{\tilde{P}} := \{X \in \mathfrak{z}_{\tilde{P}} \,|\, \delta(X) = 0, \ \forall \, \delta \in \hat{\Pi}_{\tilde{Q}}\}. \]

Soit $\Pi _{\tilde {P}}\subset \mathfrak {z}_{\tilde {P}}^{*}$ l'ensemble obtenu par restriction des éléments de $\Delta _{\tilde {P}}$. Soit $\Pi _{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}\subset \Pi _{\tilde {P}}$ le sous-ensemble obtenu par restriction des éléments de $\Delta _{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}$. On a $\mathfrak {z}_{\tilde {Q}} \subset \mathfrak {z}_{\tilde {P}}$ et plus précisément

\[ \mathfrak{z}_{\tilde{Q}} = \mathfrak{z}_{\tilde{P}} \cap \mathfrak{a}_{\tilde{Q}}=\big\{X \in \mathfrak{z}_{\tilde{P}}\, | \, \gamma(X) = 0, \ \forall \, \gamma \in \Pi^{\tilde{Q}}_{\tilde{P}}\big\}. \]

On a de plus

\[ \mathfrak{z}_{\tilde{P}} = \mathfrak{z}_{\tilde{Q}} \oplus \mathfrak{z}^{\tilde{Q}}_{\tilde{P}} \]

et par dualité

\[ \mathfrak{z}_{\tilde{P}}^{*} = \mathfrak{z}_{\tilde{Q}}^{*} \oplus (\mathfrak{z}^{\tilde{Q}}_{\tilde{P}})^{*}. \]

On définit alors $\hat {\Pi }^{\tilde {Q}}_{\tilde {P}}$ comme la projection des éléments de $\hat {\Pi }_{\tilde {P}} \setminus \hat {\Pi }_{\tilde {Q}}$ sur $(\mathfrak {z}_{\tilde {P}}^{\tilde {Q}})^{*}$.

On a

\begin{align*} \mathfrak{a}_{\tilde{0}}^{*} &= \mathfrak{a}_{\tilde{P}}^{*} \oplus (\mathfrak{a}_{\tilde{0}}^{\tilde{P}})^{*}\\ &= (\mathfrak{z}_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}})^{*} \oplus \mathfrak{z}_{\tilde{Q}}^{*} \oplus \mathfrak{a}_{\tilde{G}_{\tilde{P}}}^{*} \oplus (\mathfrak{a}_{\tilde{0}}^{\tilde{P}})^{*} \end{align*}

de sorte que les ensembles $\Pi _{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}$ et $\hat {\Pi }_{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}$ seront vus comme des parties de $\mathfrak {a}_{\tilde {0}}^{*}$.

4.2.2 Fonctions $\sigma$ et $\hat {\sigma }$

Soit

\[ \sigma_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}}\quad \text{et}\quad \hat{\sigma}_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}} \]

les fonctions caractéristiques respectivement des cônes

\[ \big\{H\in \mathfrak{a}_{\tilde{0}} \mid \gamma(H) > 0, \ \forall \ \gamma \in \Pi_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}} \big\} \]

et

\[ \big\{H\in \mathfrak{a}_{\tilde{0}} \mid \delta(H) > 0, \ \forall \ \delta \in \hat{\Pi}_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}} \big\}. \]

Notons les relations suivantes pour tous $X \in \mathfrak {a}_{\tilde {P}}$ et $Y \in \mathfrak {a}_{\tilde {0}}$ :

(4.2.2.1)\begin{equation} \tau_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}} (X) = \sigma_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}} (r_{1}(X)), \quad \hat \sigma_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}} (Y) = \hat \tau_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}} (\hat r_{1}(Y)), \end{equation}

où $\hat r_{1}$ et $r_{1}$ sont les projections définies au § 4.1.2.

4.2.3 Lemmes géométriques

Demonstration Soit $\tilde {T}_0\subset \tilde {B}\subset \tilde {P}$ un sous-groupe de Borel. Les poids de $\tilde {T}_0$ sur les vecteurs de la base $(e_{1}, \ldots , e_{n})$ forment une base de $\mathfrak {a}_0^{*}$ notée $(\varepsilon _i)_{1\leqslant i \leqslant n}$. Soit $i$ la dimension du sous-espace $V_{\tilde {B}}\subset V$ (cf. § 4.1.3). On peut supposer que la base est indexée de sorte qu'on ait

\begin{align*} \Pi_{\tilde{B}} &= \{\varepsilon_{1} - \varepsilon_{2}, \ldots, \varepsilon_{i-1} - \varepsilon_{i}, \varepsilon_{i}, -\varepsilon_{i+1}, \varepsilon_{i+1} - \varepsilon_{i+2}, \ldots, \varepsilon_{n-1} - \varepsilon_{n}\}, \\ \hat{\Pi}_{\tilde{B}} &= \{\varepsilon_{1}, \varepsilon_{1} + \varepsilon_{2}, \varepsilon_{1} + \cdots + \varepsilon_{i}, -\varepsilon_{n}, -(\varepsilon_{n} +\varepsilon_{n-1}), \ldots, -(\varepsilon_{n} + \cdots + \varepsilon_{i+1})\} \end{align*}

où $\varepsilon _{k} = 0$ si $k \notin \{1, \ldots , n\}$. On vérifie immédiatement l’énoncé pour $\tilde {Q}=\tilde {G}$ et $\tilde {P}=\tilde {B}$. L'ensemble $\Pi _{\tilde {P}}$ est aussi l'ensemble des projections des éléments de $\Pi _{\tilde {B}} \setminus \Pi _{\tilde {B}}^{\tilde {P}}$ sur $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}^{*}$. Il en résulte que, en vertu du lemme 1.2.4 de [Reference Labesse and WaldspurgerLW13], la base $\Pi _{\tilde {P}}$ de $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}^{*}$ est aussi obtuse de même que $\Pi _{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}\subset \Pi _{\tilde {P}}$. Les ensembles $\Pi _{\tilde {B}}^{\tilde {Q}}$ et $\hat {\Pi }_{\tilde {B}} \setminus \hat {\Pi }_{\tilde {Q}}$ sont en dualité pour le produit scalaire. Il en résulte que $\hat {\Pi }_{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}$ et $\Pi _{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}$ sont aussi en dualité. Finalement, le fait que $\hat {\Pi }_{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}$ soit aiguë résulte maintenant de cette dualité et du fait que $\Pi _{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}$ soit obtuse, comme le démontre le lemme 1.2.6. de [Reference Labesse and WaldspurgerLW13].

Lemme 4.2.3.2 Pour tous sous-groupes paraboliques $\tilde {P} \subset \tilde {Q}$ semi-standard de $\tilde {G}$ et tout $H \in \mathfrak {a}_{\tilde {0}}$ on a

\[ \sum_{\tilde{P} \subset \tilde{S} \subset \tilde{Q}}\varepsilon_{\tilde{P}}^{\tilde{S}} \sigma_{\tilde{P}}^{\tilde{S}}(H) \hat{\sigma}_{\tilde{S}}^{\tilde{Q}}(H) = \begin{cases} 0 & \text{si }\tilde{P} \neq \tilde{Q}, \\ 1 & \text{si }\tilde{P} = \tilde{Q}. \end{cases} \]

et

\[ \sum_{\tilde{P} \subset \tilde{S} \subset \tilde{Q}}\varepsilon_{\tilde{P}}^{\tilde{S}} \hat\sigma_{\tilde{P}}^{\tilde{S}}(H) {\sigma}_{\tilde{S}}^{\tilde{Q}}(H) = \begin{cases} 0 & \text{si }\tilde{P} \neq \tilde{Q}, \\ 1 & \text{si }\tilde{P} = \tilde{Q}. \end{cases} \]

Demonstration En formulant l’énoncé en termes de produit de matrices (cf. [Reference Labesse and WaldspurgerLW13], proposition 1.7.2.) on voit que la seconde assertion est équivalente à la première. Montrons cette dernière. Il suffit de considérer le cas $H\in \mathfrak {z}_{\tilde {P}}^{\tilde {Q}}$, restriction que l'on fait dans la suite. Rappelons qu'on a une décomposition $M_{\tilde {Q}}=\mathbf {M}_{\tilde {Q}}\times \tilde {G}_{\tilde {Q}}$. Soit $P_1= \mathbf {M}_{\tilde {Q}}\cap \tilde {P}$ et $\tilde {P}_2= \tilde {G}_{\tilde {Q}}\cap \tilde {P}$. On a alors une décomposition

\[ \mathfrak{z}_{\tilde{P}}^{\tilde{Q}}=\mathfrak{a}_{P_1}^{\mathbf{M}_{\tilde{Q}}} \oplus \mathfrak{z}_{\tilde{P}_2} \]

où la notation $\mathfrak {z}_{\tilde {P}_2}$ est celle du § 4.1.8 relativement au couple $(G_{\tilde {Q}},\tilde {G}_{\tilde {Q}})$. Suivant cette décomposition, on écrit $H=H_1+H_2$. L'application $\tilde {R}\mapsto (R_1,\tilde {R}_2)=(\mathbf {M}_{\tilde {Q}}\cap \tilde {R},\tilde {G}_{\tilde {Q}}\cap \tilde {R})$ induit une bijection de l'ensemble des $\tilde {R}$ tels que $\tilde {P} \subset \tilde {R} \subset \tilde {Q}$ sur le produit

\[ \{R_1\mid P_1\subset R_1\subset \mathbf{M}_{\tilde{Q}} \} \times \{\tilde{R}_2\mid \tilde{P}_2\subset \tilde{R}_2\subset \tilde{G}_{\tilde{Q}} \}. \]

Pour cette bijection, pour tout $\tilde {P} \subset \tilde {S} \subset \tilde {R} \subset \tilde {Q}$, on a

\[ \sigma_{\tilde{S}}^{\tilde{R}}(H)=\tau_{S_1}^{R_1}(H_1) \sigma_{\tilde{S}_2}^{\tilde{R}_2}(H_2) \]

et

\[ \hat{\sigma}_{\tilde{S}}^{\tilde{R}}(H)=\hat{\tau}_{S_1}^{R_1}(H_1) \hat{\sigma}_{\tilde{S}_2}^{\tilde{R}_2}(H_2). \]

Il s'ensuit que la somme en question est égale à

\[ \bigg( \sum_{P_1 \subset R_1 \subset \mathbf{M}_{\tilde{Q}}}\varepsilon_{P_1}^{R_1} \tau_{P_1}^{R_1}(H_1) \hat{\tau}_{R_1}^{\mathbf{M}_{\tilde{Q}}}(H_1) \bigg). \bigg( \sum_{\tilde{P}_2\subset \tilde{R}_2 \subset \tilde{G}_{\tilde{Q}}}\varepsilon_{\tilde{P}_2}^{\tilde{R}_2} \sigma_{\tilde{P}_2}^{\tilde{R}_2}(H_2) \hat{\sigma}_{\tilde{R}_2}^{\tilde{G}_{\tilde{Q}}}(H_2) \bigg). \]

Le premier facteur vaut $1$ si $P_1=\mathbf {M}_{\tilde {Q}}$ et $0$ sinon (lemme de Langlands cf. [Reference Labesse and WaldspurgerLW13], proposition 1.7.2). L'autre facteur vaut $1$ si $\tilde {P}_2=\tilde {G}_{\tilde {Q}}$ et $0$ sinon ; la preuve est la même que celle du lemme de Langlands, il suffit de remplacer les ensembles de racines simples par les ensembles $\Pi$ correspondant, la preuve de la proposition 1.7.2 de [Reference Labesse and WaldspurgerLW13] reposant seulement sur le lemme 1.2.6 de [Reference Labesse and WaldspurgerLW13] qui est le lemme 4.2.3.1 ci-dessus.

4.2.4 Fonctionnelle $\underline {\rho }_{\tilde {P}}$

Soit $\underline {\rho }_{\tilde {P}}$ le produit du déterminant de l'action du tore $A_{\mathbf {M}_{\tilde {P}}}$ sur $V_{\tilde {P}}$ et du déterminant de son action sur $V_{\tilde {P}}'$ (à ce propos, rappelons que $G$ agit à gauche sur $V^{*}$ par $g\cdot c=c g^{-1}$). On obtient ainsi un élément de $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}^{*}$ qui vérifie l'identité (écrite de manière additive)

\[ \underline{\rho}_{\tilde{P}} = 2\rho_{\tilde{P}} - 2\rho_{P} \]

où, comme d'habitude, $\rho _{\tilde {P}}$ et $\rho _{P}$ désignent la demi-somme des éléments de $\Sigma _{\tilde {P}}$ et $\Sigma _P$ respectivement.

4.2.5

Pour tout sous-espace parabolique $\tilde {P}$ et tous $H,X\in \mathfrak {a}_{\tilde {0}}$, soit

(4.2.5.2)\begin{equation} \mathrm{B}_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}(H,X) = \sum_{\tilde{R}\in \mathcal{F}^{\tilde{G}}(\tilde{P}) }\varepsilon^{\tilde{G}}_{\tilde{R}} \hat{\sigma}_{\tilde{R}}(H - X) \sigma_{\tilde{P}}^{\tilde{R}}(H). \end{equation}

Lorsque le contexte est clair, on omet l'exposant $\tilde {G}$.

4.2.6

La fonction $\mathrm {B}$ introduite en (4.2.5.2) est le pendant de la fonction $\Gamma '$ d'Arthur définie dans [Reference ArthurArt81] section 2. Rappelons que cette fonction $\Gamma '$ est définie par la relation (4.2.5.2) où l'on remplace $\sigma$ et $\hat \sigma$ respectivement par $\tau$ et $\hat {\tau }$. Ces deux fonctions sont étroitement reliées comme le montre le lemme suivant.

Lemme 4.2.6.1 Pour tous $H \in \mathfrak {z}_{\tilde {P}}$ et $T\in \mathfrak {a}_{\tilde {P}}^{\tilde {G}}$ on a :

\[ \Gamma_{\tilde{P}}'(H-T, \hat r_{2}(H) ) = \mathrm{B}_{\tilde{P}}(H - r_{1}(T), r_{2}(T)). \]

Demonstration En utilisant la définition de $\Gamma '$ et les formules (4.2.2.1), on a

\begin{align*} \Gamma_{\tilde{P}}'(H-T, \hat r_{2}(H) ) &= \sum_{ \tilde{P} \subset \tilde{R} }\varepsilon_{\tilde{P}}^{\tilde{R}}\hat \tau_{\tilde{R}}(H - T - \hat r_{2}(H)) \tau_{\tilde{P}}^{\tilde{R}}(H -T) \\ &= \sum_{ \tilde{P} \subset \tilde{R} } \varepsilon_{\tilde{P}}^{\tilde{R}} \hat \tau_{\tilde{R}}(\hat r_{1}(H- T)) \tau_{\tilde{P}}^{\tilde{R}}(H -T)\\ &= \sum_{ \tilde{P} \subset \tilde{R} } \varepsilon_{\tilde{P}}^{\tilde{R}} \hat \sigma_{\tilde{R}}(H- T) \sigma_{\tilde{P}}^{\tilde{R}}(r_1(H -T))\\ &= \sum_{ \tilde{P} \subset \tilde{R} } \varepsilon_{\tilde{P}}^{\tilde{R}} \hat \sigma_{\tilde{R}}(H- r_1(T)-r_2(T)) \sigma_{\tilde{P}}^{\tilde{R}}(H -r_1(T)) \end{align*}

d'où le lemme.

On utilisera la variante suivante du lemme 4.2.5.1.

Lemme 4.2.6.2 Soit $\tilde {P}\subsetneq \tilde {G}$ un sous-groupe parabolique. Pour tout sous-groupe parabolique $\tilde {P}\subset \tilde {R}\subset \tilde {G}$, il existe un polynôme $p_{\tilde {P},\tilde {R}}$ sur $\mathfrak {a}_{\tilde {G}}$ et un élément $\lambda _{\tilde {R}}$ non nul de $\mathfrak {a}_{\tilde {P}}^{\tilde {G},*}$ tels que pour tout $T\in \mathfrak {a}_{\tilde {P}}^{\tilde {G}}$ on ait

(4.2.6.3)\begin{equation} \int_{\mathfrak{z}_{\tilde{P}}}e^{\underline{\rho}_{\tilde{P}}(H)} \Gamma_{\tilde{P}}'(H-T, \hat r_{2}(H) )\,dH= \sum_{\tilde{P} \subset \tilde{R}} e^{\lambda_{\tilde{R}}(T)}p_{\tilde{P},\tilde{R}}(r_2(T)) \end{equation}

où l'intégrande dans l'intégrale de gauche est à support compact.

Demonstration La compacité du support est immédiate d'après les lemmes 4.2.6.1 et 4.2.5.1 assertion 2. En utilisant le lemme 4.2.6.1 et un changement de variables, l'expression considérée est égale à

\[ e^{\underline{\rho}_{\tilde{P}}(r_1(T))} \int_{\mathfrak{z}_{\tilde{P}}}e^{\underline{\rho}_{\tilde{P}}(H)}\mathrm{B}_{\tilde{P}}(H,r_2(T))\,dH. \]

Le lemme 4.2.5.1 donne alors la forme voulue avec $\lambda _{\tilde {R}}(T)= \underline {\rho }_{\tilde {P}}(r_1(T))+\underline {\rho }_{\tilde {R}}(r_2(T))$. Il reste à voir que $\lambda _{\tilde {R}}$ induit une forme linéaire non triviale sur $\mathfrak {a}_{\tilde {P}}^{\tilde {G}}$. Pour cela, on observe qu'on a

\[ \lambda_{\tilde{R}}(T)= \underline{\rho}_{\tilde{P}}(T) +(\underline{\rho}_{\tilde{R}}-\underline{\rho}_{\tilde{P}})(r_2(T)). \]

Notons que la projection orthogonale $T\mapsto T_{\tilde {P}}^{\tilde {G}}$ sur $a_{\tilde {P}}^{\tilde {G}}$ induit un isomorphisme de $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}$ sur $\mathfrak {a}_{\tilde {P}}^{\tilde {G}}$. On va en fait prouver que $T\mapsto \lambda _{\tilde {R}}( T_{\tilde {P}}^{\tilde {G}})$ est non identiquement nulle sur $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}$. Soit $\delta$ et $\delta '$ les éléments de $\mathfrak {z}_P^{*}$ correspondant aux déterminants de $A_{\mathbf {M}_{\tilde {P}}}$ agissant respectivement sur $V_{\tilde {P}}$ et $V_{\tilde {P}}'$. Soit $d$, $d'$, $e$ et $e'$ les dimensions respectives de $V_{\tilde {P}}$, $V_{\tilde {P}}'$, $V_{\tilde {R}}$ et $V_{\tilde {R}}'$. Soit $n=\dim (V)$. On a donc pour $T\in \mathfrak {z}_{\tilde {P}}$

\[ \underline{\rho}_{\tilde{P}}(T_{\tilde{P}}^{\tilde{G}})= \bigg(\delta+\delta'- \frac{d-d'}{n+1}(\delta-\delta')\bigg)(T). \]

Par ailleurs, on a

\[ (\underline{\rho}_{\tilde{R}}-\underline{\rho}_{\tilde{P}})(r_2(T_{\tilde{P}}^{\tilde{G}}))= \bigg(- \frac{e+d'-(e'+d)}{n+1}(\delta-\delta')\bigg)(T) \]

et

(4.2.6.4)\begin{equation} \lambda_{\tilde{R}}( T_{\tilde{P}}^{\tilde{G}})= \bigg(\frac{n+1-e+e'}{n+1}\delta+ \frac{n+1+e-e'}{n+1}\delta'\bigg)(T). \end{equation}

On a toujours $n\geqslant d\geqslant e$ et $n\geqslant d'\geqslant e'$. Si $\delta =0$, on a alors $d=0$ et donc $e=0$. Puisque $\tilde {P}\not =\tilde {G}$, on a alors $\delta '\not =0$ sur $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}$ et le coefficient de $\delta '$, à savoir $({n+1-e'})/({n+1})$ est non nul. Donc la forme linéaire (4.2.6.4) est non nulle sur $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}$. De même, on traite le cas $\delta '=0$. Si $\delta \not =0$ et $\delta '\not =0$, ces formes sont linéairement indépendantes sur $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}$. Donc la forme linéaire (4.2.6.4) ne peut pas être nulle sur $\mathfrak {z}_{\tilde {P}}$ car, la somme des coefficients de $\delta$ et $\delta '$ dans (4.2.6.4) vaut $2$.