APPENDICE I: TRADUCTIONFootnote ⁶⁰

[74^r]

[74^v]

Le cadi Abū ʿAbd Allāh Muḥammad Ibn Muʿāḏ al-Jayyānī (que Dieu soit satisfait de lui) a dit: Nous voulons éclaircir ce qui, dans le cinquième Livre de l'ouvrage d'Euclide, pourrait poser un problème à celui qui ne s'y est pas exercé l'esprit; même si je crois fermement que le propos et les desseins et les objectifs d'Euclide sont plus clairs et plus évidents (pour celui qui les examine d'un œil véritable et se laisse conduire par la bride de la justice) que les nombreuses sections par lesquelles certains ont tenté de l'éclaircir et par lesquelles ils ont voulu l'élucider: à l'exception des choses qu'il a omises, car son propos et l'agencement de son ouvrage ont le pouvoir de les faire saisir et de les actualiser.

Quant à ce qu'il a traité et que certains ont estimé n'être pas achevé ou pas clair, ils l'ont achevé ou l'ont éclairci à leurs yeux; car leur propos sur cela est plus propre à être éclairci et a plus besoin d'être démontré que l'ouvrage d'Euclide. Comme ce que nous avons vu dans l'ouvrage attribué à Sīndūs; en effet quiconque regardera attentivement sa démonstration de ce qu'Euclide avait avancé sans démonstration – comme quand il dit: lorsque l'on mène deux lignes droites selon des angles inférieurs à deux droits, elles se rencontreront nécessairement; et le diamètre divise le cercle en deux moitiés; et deux lignes droites ne comprennent pas une surface – y verra clairement de la faiblesse et de la débilité, et le besoin d'admettre plus de choses qu'Euclide avait demandé d'admettre.

Mais peut-être que quelqu'un dira: Si le propos d'Euclide dans son ouvrage est tel que tu le mentionnes, et que personne ne l'a éclairci par quelque chose de plus évident que ce qu'il a avancé, comment veux-tu éclaircir son propos dans le cinquième Livre et révéler ce qui y est abstrus? Nous disons donc: Nous n'avons avancé cet ouvrage que pour montrer que le propos d'Euclide dans ce Livre est vrai, et que sa démarche est évidente; car beaucoup estiment qu'Euclide est entré dans l'explication du rapport par la mauvaise porte, et qu'il l'a introduit par le mauvais chemin en le définissant à l'aide de certains multiples, et en s'abstenant de le définir à l'aide de son essence, celle qui est comprise à partir de l'idée de rapport; et ils considèrent qu'il n'y a pas de lien apparent entre le rapport et certains multiples. Mais par ma vie! rien n'est lié d'une manière plus forte au rapport que certains multiples de la grandeur rapportée et de celle à laquelle elle est rapportée.

Dans l'ensemble je dis: Le cinquième Livre est abstrus et son étude difficile, mais la recherche doit être à la mesure de la sublimité de la chose recherchée: Que celui qui épouse la Belle apporte sa dot! Footnote ⁶¹ Car l'ouvrage à partir de là est comme les âmes, et ce qui précède comme les corps. Nous dirons sur ce sujet des choses en espérant que Dieu les rendra utiles à celui qui les lira, et qu'elles aideront à dénouer ce qu'il [i.e. le cinquième Livre] a d'inextricable. À Lui le Très-Haut, le seul à dispenser la grâce, je présente ma soumission pour réussir avec droiture et être préservé de l'erreur et de la suffisance. Il est le Tout-Puissant; il n'y a aucun dieu sauf Lui.

Je dis (mais le succès est avec Dieu): Les choses tombant sous la quantité utilisées dans l'art de la géométrie sont [au nombre de] cinq: le nombre [75^r] (la première et la plus simple d'entre elles), la ligne, la surface, l'angle et le solide. Posons que le nom d'ensemble de ces choses, qui sera pour elles comme le genre tombant sur elles, est la grandeur;Footnote ⁶² et lorsque les grandeurs sont d'un même genre d'entre ces cinq genres, qu'elles soient appelées homogènes. Et ce sont celles qui sont telles, qu'il est possible en multipliant continuellement la plus petite d'entre elles, qu'elle atteigne la plus grande ou qu'elle l'excède; et qu'il est aussi possible en divisant continuellement la plus grande, qu'elle soit égale à la plus petite ou inférieure à elle.

Lorsque l'on a deux grandeurs homogènes et que la petite mesure la grande, on dit que la petite est une partie de la grande; et l'on dit que la grande est un multiple, et l'on dit aussi qu'elle est homonyme de cette partie. Lorsque la plus petite de deux grandeurs homogènes mesure la plus grande d'entre elles, ou qu'il existe une troisième grandeur du même genre qui mesure chacune d'elles, on dit qu'elles sont commensurables; et lorsque la plus petite ne mesure pas la plus grande, et qu'il n'existe pas une troisième grandeur qui les mesure, on dit qu'elles sont incommensurables.

Le rapport est la mesure d'une grandeur relativement à une autre grandeur homogène à elle; c'est-à-dire que l'on compare entre elles deux grandeurs afin de connaître la mesure de l'une d'elles relativement à l'autre. La proportion est l'égalité [sic] des rapports. Quand on rapporte une grandeur à une autre grandeur, on appelle la grandeur à laquelle on rapporte conséquent, et la grandeur que l'on rapporte antécédent; et l'on appelle chacun de l'antécédent et du conséquent le conjoint de l'autre.

Le tout est plus grand que la partie. Et de même l'usage et l'habitude veulent que la partie soit plus petite que le tout, et que l'on ne prenne du tout que des parties qui n'atteignent pas le tout; donc lorsqu'elle excède le tout, elle est appelée plus grande que lui ou son multiple, et on lui retire le nom de la partition. Mais nous admettrons dans cet ouvrage à nous que lorsque nous prendrons des parties d'une certaine grandeur, nous ne nous soucierons pas du fait que ces parties atteignent cette grandeur de laquelle on les a prises, ou qu'elles sont inférieures à elle, ou qu'elles la dépassent. Car cela évitera le besoin de se répéter et de rallonger le discours dans ce que nous voulons éclaircir après (si Dieu le veut); et du fait que cela ne nuit en rien à la démonstration, et n'est pas contraire ni opposé à un principe établi. Nous faisons cela uniquement pour rendre le discours plus aisé et plus concis, en nous évitant de devoir connaître à chaque endroit quelle grandeur est la plus grande avant d'en prendre des parties.

Si les deux grandeurs sont commensurables, il y aura dans l'une d'elles des parties achevées de l'autre qui l'épuiseront. Car lorsque l'on extrait la troisième grandeur qui les mesure, la troisième sera une partie de chacune d'elles; donc lorsque tu divises l'une des deux grandeurs par cette troisième grandeur, elle la mesurera et l'épuisera par la mesure; donc celle des deux qui a été mesurée sera des parties de l'autre. Et lorsque les deux grandeurs sont incommensurables, il n'y aura dans aucune d'elles des parties achevées de son conjoint.

Quant aux grandeurs proportionnelles, ce sont celles qui sont telles, qu'il y a dans la première d'entre elles, des parties de la deuxième, comme ce qu'il y a dans la troisième, de ces [mêmes] parties de la quatrième. Ceci est évident et manifeste et n'a pas besoin d'une démonstration; et c'est ainsi qu'Euclide utilise [75^v] ceci dans le septième Livre.Footnote ⁶³ Sauf que ceci n'aboutit pas à moins que la première grandeur soit commensurable à la deuxième, et que la troisième soit commensurable à la quatrième, de sorte qu'il y ait dans chacune des parties achevées de son conjoint.

Mais lorsque les deux conjoints sont incommensurables, et qu'il n'est pas possible d'exprimer la mesure de chaque antécédent relativement à son conséquent et d'en extraire la partie et de l'énoncer par les parties, il est évident, même si cette manière reconnue, je veux dire le fait d'exprimer les parties, fait défaut et a été retirée, et que les parties des conséquents n'épuisent pas chacun des deux antécédents d'une manière parfaite et achevée sans qu'il en reste un excès; il est évident, dis-je, qu'il n'est pas possible que le rapport de la première à la deuxième soit comme le rapport de la troisième à la quatrième, et qu'il y ait dans la première, des parties de la deuxième, plus que ce qu'il y a dans la troisième, de <ces> parties de la quatrième; ni moins. Et ceci est une chose qui n'a pas besoin d'une démonstration pour que l'intelligence l'accepte immédiatement. Car lorsqu'il y a dans une grandeur, des parties d'une deuxième grandeur, plus que ce qu'il y a dans une troisième grandeur, de ces parties de la quatrième grandeur, la mesure de la première relativement à la deuxième ne sera pas comme la mesure de la troisième relativement à la quatrième. Ceci est une chose manifeste et qui ne deviendra pas plus claire en multipliant le propos à son sujet. Et de même les choses qui sont claires et évidentes à l'intelligence sans avoir besoin d'une démonstration, et qui ne deviendront pas plus claires en multipliant les éclaircissements à leur sujet; car il n'y a aucun moyen d'éclaircir ce qui y est évident.

Et l'on ne porte pas préjudice à cette prémisse du fait que l'on n'y énonce pas des parties qui coïncident avec chacun des deux antécédents, mais seulement le moins et le plus, quoique le moins d'une chose ne soit pas défini et de même le plus, et que seul ce qui est égal soit défini; car nous pourrions trouver beaucoup d'exemples de cela dans cet art. Notamment la circonférence du cercle: lorsque nous voulons connaître son montant et sa mesure relativement au diamètre, nous le connaissons par le moins et le plus, dès lors que la similitude et l'égalité y font défaut: en effet une égalité entre une ligne circulaire et une ligne droite n'a jamais lieu, car elles ne sont pas d'une même espèce. Et de même l'incommensurabilité et la commensurabilité dans les grandeurs, comme si elles n'étaient pas d'une même espèce.Footnote ⁶⁴ Il est en effet impossible d'énoncer dans le cas des incommensurables des parties, ni dans le cas de la circonférence et du diamètre une certaine mesure propre qui ait un certain nom. L'on dit seulement dans le cas de la circonférence, qu'elle est plus grande que les côtés de chaque figure inscrite dans le cercle, et plus petite que les côtés de chaque figure circonscrite au cercle. De même nous disons: Lorsque nous rapportons une certaine grandeur à une grandeur incommensurable avec elle, et que nous devons pour une certaine raison l'exprimerFootnote ⁶⁵ ou l'approcher d'un rapport exprimable, nous disons qu'elle est plus grande que telles et telles de ses parties,Footnote ⁶⁶et plus petite que telles et telles de ses parties. Et de même si nous devons évaluer des racines sourdes à l'aide de parties, nous disons que la racine d'un nombre donné non carré est plus grande que la racine de chaque carré plus petit que le nombre donné, et plus petite que la racine de chaque carré plus grand que le nombre donné. Et le fait qu'on ne l'énonce pasFootnote ⁶⁷ et que c'est impossible, ne nuit pas à ce que l'on vise en faisant cela, et ne [76^r] viole ni ne change un principe vrai.

Dès lors que ce que nous avons mentionné sur cela est vrai, nous ne ferons que l'étendre et le fonder et l'affirmer abstraitement, afin que ce soit un fondement sur lequel on puisse se baser dans ce qui va suivre (si Dieu le veut), à savoir: Lorsque le rapport de la première à la deuxième est comme le rapport de la troisième à la quatrième, il n'est pas possible qu'il y ait dans la première, de n'importe quelles parties de la deuxième, quoique ce soit de plus que ce qu'il y a dans la troisième, de ces parties prises de la quatrième; ni moins. Et l'on ne doit pas méconnaître notre énoncé de n'importe quelles parties de la deuxième, quoique ce soit. En effet lorsqu'une différence a lieu entre les noms des parties de la deuxième qu'il y a dans la première, et entre les noms des parties de la quatrième qu'il y a dans la troisième, l'altérité a lieu dans les deux rapports et leur égalité est retirée, sans considérer quelles sont les parties avec lesquelles cela a lieu. Nous voulons en cet endroit une explication, et nous allons l'exemplifier par des exemples d'entre les cas individuels; car il y a en cela une aide que personne ne rejettera, même si nous l'avions suffisamment établi par un propos général qui recouvrait tous les cas individuels; néanmoins nous voudrions rendre cela plus clair.

Nous disons donc: Lorsque quelqu'un pose que le rapport de la grandeur AB relativement à CD est comme le rapport de EF relativement à GH, ce que l'on en dira lorsque AB et CD sont commensurables est clair, à savoir, qu'il y a dans AB, des parties de CD, comme ce qu'il y a dans EF, de ces parties de GH. Mais si elles sont incommensurables, alors, même si le fait d'énoncer ce qu'il y a dans AB, des parties de CD, nous fait défaut, il n'est pas permis à celui qui pose que ces grandeurs sont proportionnelles, de dire par exemple que AB est plus grande que deux tiers de CD, et que EF est plus petite que deux tiers de GH, ou [égale à] ses deux tiers; ni de dire que AB est deux tiers de CD, et EF plus grande que deux tiers de GH, ou plus petite; ni de dire que AB est plus petite que deux tiers de CD, et EF plus grande que deux tiers de GH, ou [égale à] ses deux tiers. Ceci est l'absurdité même.

Et de même lorsque nous envisageons le reste des parties et que nous les examinons, ce qui était impossible dans le cas des parties que nous avons nommées sera de la même manière impossible dans le cas des autres, même si les parties sont extrêmement petites. En effet si quelqu'un prétend que ces grandeurs sont proportionnelles, et dit par exemple que AB est plus grande que trois cent soixante-sept dix-millièmes de CD, et que EF est plus petite que ces parties définies de GH, ou comme elles, il n'y aura pas de différence entre ceci et entre ce qui a précédé.

Nous avons présenté ceci, même si notre propos pouvait s'en passer, uniquement pour montrer que la proposition est universelle, de sorte que la condition a lieu dans toutes les parties, petites et grandes, sans individualiser certaines parties plutôt que d'autres; c'est-à-dire: Lorsque les grandeurs sont proportionnelles, le rapport de la première à la deuxième comme le rapport de la troisième à la quatrième, il est impossible que l'on prenne de la deuxième et de la quatrième des parties égales en nombre et en dénomination, quelles que soient les parties, et que les parties de la deuxième soient supérieures à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient supérieures à la troisième grandeur [76 ^v]; ou que les parties de la deuxième soient égales à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient égales à la troisième grandeur; ou que les parties de la deuxième soient inférieures à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient inférieures à la troisième grandeur. Car si les parties de la deuxième étaient supérieures à la première tandis que les parties de la quatrième sont égales à la troisième ou plus petites, il y aurait dans la première, des parties de la deuxième, moins que ce qu'il y a dans la troisième, des parties de la quatrième; et nous avons déjà montré que ceci est impossible. De même si les parties de la deuxième étaient égales à la première grandeur tandis que les parties de la quatrième sont inférieures ou supérieures à la troisième grandeur, il y aurait dans la première, des parties de la deuxième, moins ou plus que ce qu'il y a dans la troisième, des parties de la quatrième. De même si les parties de la deuxième étaient inférieures à la première grandeur tandis que les parties de la quatrième sont égales à la troisième grandeur ou supérieures à elle, il y aurait dans la première, des parties de la deuxième, plus que ce qu'il y a dans la troisième, des parties de la quatrième. Et tout ceci est absurde.

Il nous reste à savoir si cette prémisse se convertit par conversion simpleFootnote ⁶⁸ ou non. Nous disons donc qu'elle se convertit; c'est-à-dire que nous disons: Lorsque l'on a quatre grandeurs, et que toutes les parties égales en nombre et en noms que l'on prend de la deuxième et de la quatrième sont telles, que les parties de la deuxième ne sont pas supérieures à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient supérieures à la troisième grandeur, et que les parties de la deuxième ne sont pas égales à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient égales à la troisième grandeur, et que les parties de la deuxième ne sont pas inférieures à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient inférieures à la troisième grandeur; alors le rapport de la première à la deuxième est comme le rapport de la troisième à la quatrième.

Exemple. Nous posons quatre grandeurs AB, C, DE et F, et nous supposons que toutes les parties égales de C et de F sont telles, que les parties de C ne sont pas plus grandes que AB sans que les parties de F soient plus grandes que DE, et que les parties de C ne sont pas égales à AB sans que les parties de F soient égales à DE, et que les parties de C ne sont pas inférieures à AB sans que les parties de F soient inférieures à DE; je dis alors que le rapport de AB à C est comme le rapport de DE à F.

Démonstration. Ce n'est pas possible autrement. Car sinon, que le rapport de AB à C soit comme le rapport de DG à F; <et supposons que DG est plus grande que DE.> Si donc elle [i.e. GE] est plus petite que F, nous partageons F en prenant une partie puis une autre: nous commençons par la moitié, ensuite par le tiers, puis par ce qui suit dans la partition, jusqu'à ce que l'on arrive à la première partie de F qui soit plus petite que GE; et nous posons que cette partie est H: elle est donc plus petite que GE. Et nous prenons cette même partie de C, soit I. Ensuite nous séparons de DE des [grandeurs] égales à H, en commençant la séparation du côté de D, jusqu'à ce que l'on arrive à la première séparation qui dépasse E mais qui n'arrive pas à G, car GE est plus grande que H; et que ces séparations soient DJ, JK, <KL>. Ensuite nous séparons de AB des [grandeurs] égales à I. Il y aura donc dans elle [i.e. dans AB], des [grandeurs] égales à I, comme ce qu'il y a dans DE, des [grandeurs] égales à H; et dans cet exemple on ira au-delà de B en excédant AB, comme DL excédait DE; car nous avions supposé que les grandeurs [77^r] AB, C, DE et F étaient ainsi; et que ces divisions soient AM, MN, NO. Donc AO est des parties de C, et DL ces mêmes parties de F et selon leur multitude. Mais AO est plus grande que AB, et DL est plus petite que DG; donc ce qu'il y a dans AB, des parties de C, est moindre que ce qu'il y a dans DG, des parties de F. Mais le rapport de AB à C est comme le rapport de DG à F. Ceci est absurde et impossible. Donc le rapport de AB à C n'est pas comme le rapport d'une [grandeur] plus grande que DE à F. On démontrerait de la même manière qu'il n'est pas non plus comme le rapport d'une [grandeur] plus petite que DE à F. Donc le rapport de AB à C ne peut être que comme le rapport de DE à F. Et c'est ce que nous voulions démontrer.

Et dès lors que ce que nous avons présenté et examiné de près est clair, le sens de la proportion est devenu évident pour nous et dans le cas des grandeurs commensurables dont il est possible d'exprimer les parties selon la vérité de leur montant, et dans le cas des grandeurs incommensurables même si l'on ne parvient pas à exprimer la vérité de leurs parties; donc ce que nous avons mentionné suffira (si Dieu le Très-Haut le veut). Disons donc quel est notre but dans cet ouvrage: c'est la raison qui a incité Euclide à définir le rapport à l'aide de certains multiples, à se restreindre à cela sans compléter les accidents du rapport et ses caractères adjoints, comment on l'augmente et on le diminue, à se détourner de tout cela, et à se contenter de certains multiples.

Je dis donc (mais c'est Dieu qui fait réussir avec justesse): La proportion étant conforme à ce que nous avons mentionné quant à la considération des parties et leurs comparaisons, chaque chose qui survient en fait d'excès, de défaut ou d'égalité dans les parties que l'on prend, surviendra de même dans les multiples; et tout ce qui est impossible dans les parties sera impossible dans les multiples. Car la multiplication et la partition appartiennent à un même chapitre; car les deux partent d'une unité, sauf que la multiplication part d'elle en allant vers la multiplicité et l'augmentation, tandis que la partition part d'elle en revenant à la réduction et la diminution; et toutes les deux sont soumises à une même loi. Ne vois-tu pas que lorsque l'on a deux grandeurs, et qu'il est possible de trouver des parties de l'une qui sont égales à certaines parties de l'autre, il sera possible de prendre un certain multiple de l'une qui est égal à un certain multiple de l'autre, ce dans le cas où les deux grandeurs sont commensurables; et lorsqu'il est absolument impossible de trouver des parties de l'une qui soient égales à des parties de l'autre, il sera impossible qu'un certain multiple de l'une soit égal à un certain multiple de l'autre, ce dans le cas où les deux grandeurs sont incommensurables. De même lorsqu'on trouve une troisième grandeur plus petite que les deux grandeurs différentes qui mesure chacune des deux et en est une partie, on trouvera de même un multiple des deux qui l'est de chacune des deux.

Et nous allons rendre plus claire la similitude entre les états des multiples et les états des parties; mais je présente avant <une chose dont> on aura besoin. Exemple. A est un certain multiple de B, et l'on a pris de A et de B des équimultiples, soit CD et EF; je dis alors [77^v] que le multiple que CD est de EF, le même multiple A l'est de B Footnote ⁶⁹.

Démonstration. Nous divisons CD par le nombre du multiple de A, soit CG et GD; et nous divisons EF par le nombre du multiple de B, soit EH, HF. Donc CG est égale à A, et EH est égale à B; et de même GD est égale à A, et HF est égale à B. Donc le multiple que A est de B, le même multiple CG l'est de EH, et le même multiple GD l'est de HF. Donc le multiple que le tout CD est de EF, le même multiple A l'est de B. La démonstration est achevée.

Nous disons donc: Lorsqu'on a deux grandeurs différentes, et qu'on prend de l'une d'elles des parties et qu'on compare ces parties à l'autre grandeur, leur état quant à l'excès, au défaut et à l'égalité est comme l'état du multiple pris de la grandeur partagée avec le multiple pris de l'autre grandeur: si le multiple de la grandeur partagée est comme le nombre des parties, et de même le multiple de l'autre grandeur comme le nombre qui dénomme les parties.

Exemple. Les deux grandeurs A, B sont différentes. On a pris de A un [certain] nombre de parties, soit CD, l'une de ces parties étant CE; et l'on a pris de la grandeur A un multiple qui est comme le nombre de [grandeurs] CE contenu[es] dans CD, soit F; et l'on a pris de B un multiple qui est comme le multiple que A est de la partie CE, soit G. Je dis alors que l'état de CD avec B quant à l'égalité, à l'excès ou au défaut est l'état de F avec G (donc F qui est le multiple de A est similaire quant à l'état à CD qui est les parties de A, et G est similaire quant à l'état à B dont il est le multiple): si CD est égale à B, F sera égale à G; si CD est plus grande que B, F sera plus grande que G; et si CD est plus petite que B, F sera plus petite que G.

Démonstration. Le multiple que G est de B, le même multiple A l'est de CE; et aussi le multiple que F est de A, le même multiple CD l'est de CE. Donc A est un multiple de CE, et l'on a pris de A et CE des équimultiples, à savoir F et CD; donc le multiple que F est de CD, le même multiple A l'est de CE. Mais le multiple que A est de CE, le même multiple G l'est de B. Donc le multiple que F est de CD, le même multiple G l'est de B. Donc si CD est égale à B, son multiple, qui est F, sera égal à G, qui est le multiple de B; et si CD est plus petite que B, F sera plus petit que G; et si CD est plus grande que B, F sera plus grand que G. Et c'est ce que nous voulions démontrer.

Et dès lors que ceci est devenu évident, nous disons: Lorsque nous voulons comparer une certaine grandeur à une autre grandeur à l'aide de ses parties, et que nous substituons des multiples de chacune d'elles aux parties conformément à ce que nous avons expliqué dans cette figure, tout ce qui apparaît avec les parties quant à l'égalité, à l'excès et au défaut nous apparaîtra dans le cas des multiples. Et de même lorsque nous convertissons cette proposition [78^r] nous disons: Lorsque deux grandeurs sont différentes, et que l'on prend de chacune d'elles un multiple différent de l'autre, l'état du multiple d'une seule grandeur avec le multiple de l'autre grandeur <quant à> l'égalité, à l'excès ou au défaut est comme l'état des parties de l'une des deux grandeurs avec l'autre grandeur elle-même: lorsque les parties sont homonymes du nombre du multiple pris de la grandeur qui n'est pas partagée, et que le nombre des parties est comme le nombre du multiple pris de la grandeur partagée. Donc ce que nous avons dit et que nous avons mentionné est bien vrai, à savoir qu'en substituant des multiples aux parties, on n'abandonne ni ne contredit quoique ce soit.

Euclide donc à la place de prendre des parties de la deuxième et de la quatrième et de comparer chacune de ces parties à son conjoint – je veux dire comparer les parties de la deuxième <grandeur> à la première grandeur et comparer les parties de la quatrième grandeur à la troisième grandeur – n'a fait au lieu de cela que prendre de la deuxième et de la quatrième des équimultiples, de sorte que le multiple de chacune d'elles a été substitué à ses parties, et prendre de la première et de la troisième des équimultiples, de sorte que le multiple de chacune d'elles a été substitué à [la grandeur] elle-même; et tout ce qui apparaît dans le cas des multiples et leur advient avec les autres multiples apparaîtra dans le cas des parties et leur adviendra avec les deux autres grandeurs.

Nous allons rendre cela plus clair dans une proposition qui [l']exemplifie; nous disons donc: Lorsque l'on a quatre grandeurs, et que toutes les parties semblables en nombre et en noms que l'on prend de la deuxième et de la quatrième sont telles, que les parties de la deuxième ne sont pas supérieures à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient supérieures à la troisième grandeur, et que les parties de la deuxième ne sont pas inférieures à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient inférieures à la troisième grandeur, et que les parties de la deuxième ne sont pas égales à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient égales à la troisième grandeur; alors, tous les équimultiples que l'on prend de la première et de la troisième et tous les équimultiples que l'on prend de la deuxième et de la quatrième ne peuvent qu'être tels, que si le multiple de la première est supérieur au multiple de la deuxième, le multiple de la troisième est supérieur au multiple de la quatrième; et que si le multiple de la première est égal au multiple de la deuxième, le multiple de la troisième est égal au multiple de la quatrième; et que si le multiple de la première est inférieur au multiple de la deuxième, le multiple de la troisième est inférieur au multiple de la quatrième. Et je dis aussi, que lorsque les multiples sont selon cette condition, les parties seront selon la condition précédente; et qu'aussi longtemps que l'une de ces deux conditions se trouve être vraie, l'autre se trouve être vraie, et par suite la proportion dans les grandeurs est vraie, et le rapport de la première à la deuxième est comme le rapport de la troisième à la quatrième.

Exemple. Soient les grandeurs A, B, C, D, et que la condition que nous avons mentionnée concernant les parties y existe: je veux dire que toutes les parties semblables prises de B et D sont telles, que [78^v] les parties de B ne seront pas supérieures à A sans que les parties de D soient supérieures à C, et que les parties de B ne seront pas égales à A sans que les parties de D soient égales à C, et que les parties de B ne seront pas inférieures à A sans que les parties de D soient inférieures à C. Je dis alors que tous les équimultiples pris de la première et troisième et tous les équimultiples pris de la deuxième et quatrième sont tels, que le multiple de la première ne sera pas supérieur au multiple de la deuxième sans que le multiple de la troisième soit supérieur au multiple de la quatrième, et que le multiple de la première ne sera pas égal au multiple de la deuxième sans que le multiple de la troisième soit égal au multiple de la quatrième, et que le multiple de la première ne sera pas inférieur au multiple de la deuxième sans que le multiple de la troisième soit inférieur au multiple de la quatrième.

Démonstration. Il ne peut pas en être autrement. Car sinon, que soient pris de A et C des équimultiples, soit E, F; et de B et D des équimultiples, soit G, H; et que l'état de E avec G soit autre que l'état de F avec H quant à l'égalité, à l'excès ou au défaut: que E soit plus grand que G et que F ne soit pas plus grand que H, si cela est possible. Nous prenons de B la partie homonyme du multiple que E est de A et du multiple que F est de C, puisque les deux sont égaux, soit IJ; et de <D> cette même partie, soit KL. Et nous posons que le multiple que IM est de IJ est le même multiple que G l'est de B et le même multiple que H l'est de D, puisque les deux sont égaux; et de même nous posons que le multiple que KN est de KL est ce même multiple. Donc IM est des parties de B, et KN est ces mêmes parties de D. Donc A, B sont deux grandeurs différentes, et l'on a pris de l'une d'elles, à savoir B, des parties, à savoir IM; et l'on a pris de B un multiple, à savoir G, égal au nombre de parties qu'il y a dans IM; et l'on a pris de A un multiple, à savoir E, égal au nombre homonyme des parties; sur quoi il a été démontré dans la proposition qui précède ceci, que l'état de E avec G est comme l'état de A avec IM quant à l'égalité, à l'excès ou au défaut. Mais nous avons supposé E être plus grand que G; donc A est plus grande que IM. Et l'on procède de même avec les grandeurs C, D, leur multiple et leurs parties; donc l'état de F avec H est comme l'état de C avec KN quant à l'égalité, à l'excès ou au défaut. Mais F n'était pas plus grand que H; donc C n'est pas plus grande que KN. Mais A est plus grande que IM, et IM et KN sont des parties semblables en nombre et en noms de B et D; et les parties de B, qui sont IM, sont plus petites que A, tandis que les parties de D, qui sont KN, ne sont pas plus petites que C. Ceci est absurde et impossible; car nous avions supposé les grandeurs telles, que leurs parties peuvent seulement être selon la condition que nous avons mentionnée quant à l'égalité, à l'excès ou au défaut. On a donc démontré que quand la condition des parties mentionnée existe, la condition des multiples existe et la proportion existe. Et c'est ce que nous voulions démontrer. [79^r] Et l'on démontrerait par la même procédure que lorsque nous supposons que la condition des multiples existe dans ces grandeurs, la condition des parties existe et la proportion existe.

Et dès lors qu'on a montré clairement que la définition du rapport à l'aide des multiples est vraie, que tout ce qui existe dans le cas des parties existe de même dans le cas des multiples, que les deux sont identiques pour atteindre la vérité et connaître le vrai, l'un ne contredisant pas l'autre, et l'un n'affirmant pas ce que l'autre avait dit être absurde et ne disant pas être absurde ce qu'il avait affirmé, nous disons: Chercher les démonstrations relatives au rapport et à ce qui y advient en fait de caractères adjoints et d'accidents à l'aide des multiples est plus élégant qu'à l'aide des parties et plus aisé pour plusieurs raisons. Notamment, le fait de prendre les multiples de chacune des grandeurs n'est pas difficile, qu'ils soient petits ou grands. Mais quant à prendre les parties d'une certaine grandeur de sorte que les parties dépassent cette grandeur, et nommer ce qui est plus grand que la chose des parties d'elle, voilà qui est difficile puisque cela ne suit pas l'usage: on nomme parties d'une chose que ce qui est plus petit qu'elle. (Nous avions déjà avancé cela au début de cet ouvrage.) Donc si nous évitons cette manière de faire et que nous projetions de ne prendre les parties que du plus grand des conjoints (l'antécédent ou le conséquent), il ne nous sera pas permis de le faire jusqu'au moment où nous savons lequel, de l'antécédent et du conséquent, est le plus grand dans chacune des circonstances du rapport; mais avec les multiples nous n'avons aucun besoin de cela. (Seul celui qui aura cherché à expliquer la définition du rapport à l'aide des parties et l'aura cherché à l'aide des multiples reconnaîtra à quel point l'un est aisé et l'autre difficile; car il y a entre les deux une très grande différence quant à la difficulté de la recherche et l'inélégance de l'explication.) De plus si nous mettions les définitions du rapport en pratique à l'aide des parties, nous renverserions les propositions nécessaires présentées dans le cinquième Livre et les ramènerions des multiples aux parties. Mais prendre les parties est plus long à pratiquer et plus difficile à chercher; car le multiple ne fait que de multiplier la grandeur par un certain nombre, tandis qu'avec les parties on a besoin du nombre des parties et des noms de ces parties, et en plus de la [grandeur] entière. En effet la connaissance du grand dans le calcul est plus facile et plus aisée que la connaissance du petit.

Et c'est ainsi que nous avons vu faire les savants anciens dans chacun des domaines de la science. En effet les calculateurs, dans le chapitre dénommé fractions, évitaient de chercher à opérer à l'aide des parties lorsqu'ils les additionnaient et les soustrayaient, et se tournaient vers les nombres entiers. L'artifice qu'ils utilisaient pour parvenir à cela était de remplacer les parties par des nombres qu'ils dérivaient des noms des parties, et ils multipliaient les parties par ces nombres homonymes d'elles afin qu'elles fussent comme entières pour le débutant. Et c'est également ainsi que nous voyons faire les maîtres d'entre les habiles savants. [79^v] En effet ceux qui étudient le calcul des astres – notamment Ptolémée et les autres – n'ont pas confirmé les parties et se sont détournés d'elles et de leur genre vers des noms qu'ils inventaient. Ils divisaient donc l'unité en soixante divisions pour qu'ils n'aient pas à s'attacher au demi, au tiers, à ce qui est encore plus ardu que cela, et à trouver leur produit, leur somme, etc., mais à des nombres entiers. Et de même lorsqu'ils avaient besoin de ces parties, ils les divisaient aussi par des nombres entiers, chacune par soixante, et ils créaient pour elles les noms de minutes, secondes, tierces, etc.

Et dès lors que nous avons mentionné ceci, mentionnons la prémisse conditionnelle contenant les multiples qu'Euclide a appliquée. Nous l'exprimerons dans un ordre qui peut-être sera différent de celui d'Euclide, parce que nous pensons que cela convient au but que l'on se propose; nous disons donc: Lorsque le rapport de la première à la deuxième est comme le rapport de la troisième à la quatrième, chaque équimultiple de la première et de la troisième et chaque équimultiple de la deuxième et de la quatrième seront tels, que si le multiple de la première est supérieur au multiple de la deuxième, le multiple de la troisième est supérieur au multiple de la quatrième; que si le multiple de la première est égal au multiple de la deuxième, le multiple de la troisième est égal au multiple de la quatrième; et que si le multiple de la première est inférieur au multiple de la deuxième, le multiple de la troisième est inférieur au multiple de la quatrième. De plus nous la convertissons; nous disons donc: Lorsqu'on a quatre grandeurs, et que chaque équimultiple de la première et de la troisième et chaque équimultiple de la deuxième et de la quatrième sont tels, que si le multiple de la première est supérieur au multiple de la deuxième, le multiple de la troisième est supérieur au multiple de la quatrième; que si le multiple de la première est égal au multiple de la deuxième, le multiple de la troisième est égal au multiple de la quatrième; et que si le multiple de la première est inférieur au multiple de la deuxième, le multiple de la troisième est inférieur au multiple de la quatrième; alors le rapport de la première à la deuxième sera comme le rapport de la troisième à la quatrième.

Il nous reste dans cet ouvrage à mentionner le rapport qui est plus grand qu'un autre rapport. Je dis donc: Lorsque l'on a quatre grandeurs, et qu'il y a dans la première, des parties de la deuxième, plus que ce qu'il y a dans la troisième, de ces parties de la quatrième, la mesure de la première relativement à la deuxième sera plus grande que la mesure de la troisième relativement à la quatrième. Et ceci est une chose qui n'a pas besoin d'une démonstration; car ce qui contient plus de parties est plus grand de rapport que ce qui contient moins de parties. Et je dis aussi que cette proposition est elle aussi convertible; c'est-à-dire que lorsque la mesure de la première relativement à la deuxième est plus grande que la mesure de la troisième relativement à la quatrième, il existera de la deuxième et de la quatrième certaines parties telles, qu'il y a dans la première, [80 ^r] des parties de la deuxième, plus que ce qu'il y a dans la troisième, des parties de la quatrième.

Mais nous allons faire précéder cela de choses d'une grande utilité dans ce dont on aura besoin à cause de cela. Je dis donc: Lorsqu'on a quatre grandeurs, et que toutes les parties de la deuxième et de la quatrième sont telles, que si les parties de la deuxième sont supérieures à la première grandeur, les parties de la quatrième sont supérieures à la troisième grandeur; et que si les parties de la deuxième sont inférieures à la première grandeur, les parties de la quatrième sont inférieures à la troisième grandeur; alors les grandeurs sont proportionnelles, même si nous n'avons pas mentionné la condition de l'égalité. (En effet mentionner l'égalité ou l'omettre est égal; car lorsqu'elles sont limitées par excès et par défaut simultanément, la condition de l'égalité existe nécessairement, et la proportion des grandeurs existe.)

Exemple. Nous fixons quatre grandeurs AB, C, DE et F; et nous supposons que toutes les parties semblables en nombre et en noms prises de C et F sont telles, que si les parties de C sont supérieures à AB, les parties de F sont supérieures à DE; et que si les parties de C sont inférieures à AB, les parties de F sont inférieures à DE; et qu'il n'y a pas de mention de l'égalité. Je dis alors que les parties de C ne seront pas égales à AB sans que les parties de F soient égales à DE.

Démonstration. Ce n'est pas possible autrement. Car sinon, que AB soit des parties achevées de C; et qu'il y ait dans DE moins, ou plus, de ces parties <de F>. Que DE soit donc plus grande; et qu'il y ait dans DG, des parties de F, autant que ce qu'il y a dans AB, des parties de C. Tu ne cesses de diviser F jusqu'à ce que tu arrives à la première partie d'elle qui soit plus petite que EG; et que cette partie soit H: elle est donc plus petite que EG. Et nous prenons la même partie de C, soit I. Nous séparons ensuite de DE les [grandeurs] égales à H qui y sont contenues; il n'y a aucun doute que l'une des séparations tombera entre G et E, car GE est plus grande que H; et que ces séparations soient DJ, JK, KL. Nous séparons ensuite AB en les [grandeurs] égales à I qui y sont contenues; on la séparera donc [un nombre de fois] égal au nombre de [grandeurs] égales à H que l'on avait séparées de DG, car nous avions posé que le rapport de AB relativement à C était comme le rapport de DG relativement à F, puisqu'il y a dans chacune des deux un nombre égal de parties de son conjoint; les divisions seront donc AM, MN et NO. Donc AO sera plus grande que AB comme DL était plus grande que DG. Donc AO est des parties de C, et DL ces mêmes parties de F et selon leur nombre. Mais AO est plus grande que AB, et DL est plus petite que DE. Il existe donc de C et F des parties égales telles, que les parties de C sont supérieures à AB tandis que les parties de F sont inférieures à DE. Mais l'on avait posé qu'il n'existait pas, de C et de F, des parties égales telles que les parties de C sont supérieures à AB sans que les parties de F soient supérieures à DE. Ceci est absurde et impossible. Par conséquent il n'existe pas des parties de C qui égalent AB sans que ces mêmes parties de F égalent DE. Donc l'existence des trois conditions quant à l'égalité, à l'excès et au défaut est vraie; et avec leur existence, la proportion est vraie. [80^v] Et c'est ce que nous voulions démontrer.

Je dis aussi: Lorsque le rapport de la première à la deuxième est plus grand que le rapport de la troisième à la quatrième, les parties égales de la deuxième et de la quatrième sont telles que les parties de la deuxième ne seront pas supérieures à la première grandeur sans que les parties de la quatrième soient supérieures à la troisième grandeur.

Exemple. Le rapport de AB à C est plus grand que le rapport de DE à F. Je dis alors que chaque fois que l'on a des parties égales de C et de F et que les parties de C sont supérieures à AB, alors les parties de F seront supérieures à DE.

Démonstration. Ce n'est pas possible autrement que ce que nous avons mentionné. Si donc il était possible qu'il existât de C et de F des parties égales telles, que les parties de C sont supérieures à AB tandis que les parties de F ne sont pas supérieures à DE, que les parties de C supérieures à AB soient AG, et ces parties de F qui ne sont pas supérieures à DE DH. Donc DH et AG sont des parties égales de F et C. Donc ce qu'il y a dans DE, des parties de F, est plus grand que ce qu'il y a dans AB, des parties de C. Donc le rapport de DE à F est par conséquent plus grand que le rapport de AB à C. Mais c'est le rapport de AB à C qui était le plus grand. Ceci est absurde et impossible. Donc les parties de C ne seront pas supérieures à AB sans que ces parties de F soient supérieures à DE. Et c'est ce que nous voulions démontrer.

Et dès lors que nous avons mis tout ceci en avant, je dis: Lorsque l'on a quatre grandeurs, le rapport de la première à la deuxième étant plus grand que le rapport de la troisième à la quatrième, il existera de la deuxième et de la quatrième certaines parties telles, que les parties de la deuxième sont inférieures à la première grandeur, tandis que les parties de la quatrième ne sont pas inférieures à la troisième grandeur.

Exemple. Le rapport de A à B est plus grand que le rapport de C à D. Je dis alors qu'il existera de B et de D certaines parties égales telles, que les parties de B sont inférieures à A tandis que les parties de D ne sont pas inférieures à C.

Démonstration. Cela aura lieu dans le cas de certaines de leurs parties que l'on prend de B et de D. <Sinon> les parties de B ne seront pas inférieures à A sans que les parties de D soient inférieures à C. De plus du fait que nous avions posé que le rapport de A à B était plus grand que le rapport de C à D, toutes les parties égales de B et de D sont telles, que les parties de B ne sont pas supérieures à A sans que les parties de D soient supérieures à C, selon ce que nous avons démontré dans la proposition qui précède ceci. Donc A, B, C et D sont quatre grandeurs, et toutes les parties prises de B et de D sont telles, que si les parties de B sont supérieures à A, les parties de D sont supérieures à C; et que si les parties de B sont inférieures à A, les parties de D sont inférieures à C; donc le rapport de A à B est comme le rapport de C à D. Mais nous avions posé le rapport de A à B plus grand que le rapport de C à D. Ceci est absurde et impossible. Donc il n'est pas vrai que chaque fois que les parties prises de B sont inférieures [81^r] à A, les parties prises de D sont nécessairement inférieures à C; au contraire il existe des parties de B qui sont inférieures à A tandis que les parties de D ne sont pas inférieures à C. Et c'est ce que nous voulions démontrer.

Là, il est avéré concernant les multiples que lorsque le rapport de la première à la deuxième est autreFootnote ⁷⁰ que le rapport de la troisième à la quatrième, il existe des équimultiples de la première et de la troisième et des équimultiples de la deuxième et de la quatrième tels, que le multiple de la deuxième est inférieur au multiple de la première tandis que le multiple de la quatrième n'est pas inférieur au multiple de la troisième: comme les parties de la deuxième étaient inférieures à la première tandis que les parties de la quatrième n'étaient pas inférieures à la troisième. Et c'est la même chose de dire que le multiple de la deuxième est inférieur au multiple de la première tandis que le multiple de la quatrième n'est pas inférieur au multiple de la troisième, et de dire que le multiple de la première est supérieur au multiple de la deuxième tandis que le multiple de la troisième n'est pas supérieur au multiple de la quatrième. Mentionnons-laFootnote ⁷¹ donc abstraitement comme Euclide l'avait mentionnée; nous disons donc: <Lorsque> l'on a quatre grandeurs, et qu'il existe des équimultiples de la première et de la troisième et des équimultiples de la deuxième et de la quatrième tels, que le multiple de la première est supérieur au multiple de la deuxième tandis que le multiple de la troisième n'est pas supérieur au multiple de la quatrième, alors le rapport de la première à la deuxième est plus grand que le rapport de la troisième à la quatrième. Quant à sa conversion dont nous avons démontré l'existence, la voici: Lorsque le rapport de la première à la deuxième est plus grand que le rapport de la troisième à la quatrième, il existe des équimultiples de la première et de la troisième et des équimultiples de la deuxième et de la quatrième tels, que le multiple de la première est supérieur au multiple de la deuxième tandis que le multiple de la troisième n'est pas supérieur au multiple de la quatrième.

Nous avons donc montré dans ces pages que ce qu'Euclide a mentionné au sujet des multiples est vrai, et qu'il n'a pas préféré expliquer le rapport par les multiples sans une cause qui les lie vraiment au rapport; au contraire il n'y a aucun moyen de trouver une chose qui ait un lien plus vrai avec le rapport, et qui délimite et saisisse mieux ses différences et ses propriétés, que les multiples. En effet personne ne doutera que le rapport soit uniquement la comparaison d'une grandeur avec une autre grandeur afin de connaître la mesure de l'une des deux relativement à l'autre. Et l'on ne connaît la comparaison de la petite à la grande qu'à l'aide des parties de la grande. Mais le multiple est uniquement l'agrandissement des parties; et le multiple est commun à la comparaison de la petite à la grande et à la comparaison de la grande à la petite, alors que les parties ne sont habituellement employées que dans le cas où l'on compare la petite à la grande. (Même si dans cet ouvrage nous n'avons pas tenu compte de la mention des parties en quelque situation que ce soit; puisque nous en sommes arrivés [81^v] là afin de rendre le propos aisé et de l'alléger du fait que nous avions souvent besoin de la répéter et de l'utiliser;Footnote ⁷² et chaque fois qu'on l'utilisait souvent dans le propos, il était apte à être allégé et abrégé.)

Quant à [connaître] comment l'on trouve, dans le cas du rapport plus grand, et l'équimultiple pris de la première et de la troisième, et l'équimultiple pris de la deuxième et de la quatrième qui sont tels, que le multiple de la première est supérieur au multiple de la deuxième tandis que le multiple de la troisième n'est pas supérieur au multiple de la quatrième; quelle est la méthode pour déterminer ces multiples, puisque cette condition n'existe pas nécessairement dans le cas de tous les multiples, mais qu'elle ne peut exister que dans le cas de certains multiples selon ce que nous avons mentionné; nous connaissons une manière pour les déterminer une fois que nous connaissons comment l'on détermine une quatrième grandeur qui ait un rapport à trois grandeurs proportionnelles données [et] connues: nous voulons trouver une quatrième [et] autre grandeur qui soit une quatrième pour elles et comprise avec elles, de sorte que le rapport de la première donnée à la deuxième donnée soit comme le rapport de la troisième donnée à la quatrième cherchée. Et lorsque nous ne connaissons pas comment l'on détermine cette grandeur quatrième pour les trois données, nous ne connaissons pas une manière par laquelle nous arrivons à trouver les multiples selon la condition mentionnée.

On voit dans le sixième Livre comment il [i.e. Euclide] détermine pour deux grandeurs une troisième grandeur proportionnelle à elles, et le Livre permet de voir comment il détermine une quatrième [proportionnelle] à trois; mais cela uniquement lorsque les grandeurs sont toutes des lignes [droites]. Quant aux angles [rectilignes] ou aux surfaces ou aux solides, nous n'avons pas vu cela. Et nous avons vu des personnes qui ont déterminé ces multiples mentionnés, concédant à eux-mêmes l'existence de cette quatrième grandeur sans une méthode constructive qui leur permette de la trouver. Mais pour moi il n'y a aucune différence entre quelqu'un qui concède l'existence de cette quatrième grandeur ou qui concède l'existence des multiples selon la condition mentionnée; et c'est pour cette raison que nous voyons (mais Dieu est plus savant) Euclide utiliser ces multiples dans la douzième proposition du cinquième LivreFootnote ⁷³ sans avoir présenté avant cela quelle est la manière de les déterminer. Et une telle chose ne porte pas atteinte ni préjudice à la démonstration; car dès lors qu'il est vrai que la chose existe nécessairement, il n'y aura aucun mal à alléguer son existence et à démontrer par elle une autre chose. En effet si cela n'était pas admis dans la démonstration, il ne nous serait pas permis par exemple de croire fermement que le côté de l'heptagone inscrit dans le cercle est plus petit que le côté de l'hexagone et plus grand que le côté de l'octogone inscrits dans un même cercle; ni que le côté de l'hendécagone est plus petit que le côté du décagone et plus grand que le côté du dodécagone qui sont dans un même cercle; puisque déterminer la corde de l'heptagone n'est pas possible selon la méthode géométrique.Footnote ⁷⁴ Mais lorsque nous voulons démontrer qu'elle est plus grande que [82^r] le côté de l'octogone, nous exemplifions une corde et nous posons qu'elle sous-tend le septième du cercle comme exemple, non comme détermination exacte; ensuite nous disposons la démonstration comme il se doit; et l'inexistence de la constructibilité ne porte pas atteinte pas à la scientificité. On aurait uniquement porté atteinte à la constructibilité elle-même si par exemple nous voulions déterminer le côté du polygone équilatéral à quatorze côtés inscrit dans le cercle; il ne nous aurait pas été permis d'exemplifier une corde et de poser qu'elle sous-tend le septième du cercle sans une détermination exacte, ensuite de diviser l'arc en deux moitiés et d'achever la figure: une telle chose n'est pas permise. Et la distinction est claire: car qu'une telle chose soit permise pour mettre sur pied la démonstration et interdite pour déterminer en acte une construction est clair et évident (si Dieu le Très-Haut le veut).

Et dès lors que le discours nous a amenés à cet endroit, et que nous avons mentionné ce que nous avions espéré mentionner, le moment est venu pour nous d'interrompre le propos et de le conclure en glorifiant Dieu: qu'Il soit grandement loué et que Ses Noms soient sanctifiés. Nous Lui demandons la rémission et le pardon du péché et de l'erreur, et Son assistance pour réussir ce qui Le satisfait quant à la vérité en parole et en acte.

APPENDICE II: ÉDITION

Nous ne connaissons qu'une seule copie du Commentaire sur le rapport, le MS Alger 1446, 3°, fols. 74^r–82^r.Footnote ⁷⁵ Cette copie a été reproduite en facsimile dans l'ouvrage de E.B. Plooij déjà mentionné;Footnote ⁷⁶ à notre connaissance, la seule édition de ce texte est celle que nous avions présentée dans notre thèse de doctorat.Footnote ⁷⁷

Le manuscrit comporte 25 lignes par page, en tenant compte pour certaines pages de l'espace prévu pour les figures, qui n'ont cependant pas été reproduites; le texte, rédigé en caractères nasḫī, est très aisé à lire; la plupart des points diacritiques sont indiqués; mais le texte n'est pas du tout vocalisé: il ne comporte donc ni hamza, ni šadda, ni voyelles brèves.

Nous avons reconstitué les figures selon l'usage consacré dans ce genre de traité, où les grandeurs sont représentées par des segments de droites; nous avons cependant essayé de les reproduire à l'échelle, comme Plooij avant nous, bien que les grandeurs soient habituellement représentées par des segments de même longueur. Nous avons également ajouté tous les hamzas, quelques voyelles brèves et šaddas, ainsi que les signes de ponctuation; nous avons de plus subdivisé le texte en paragraphes. Les chiffres entre crochets [ ] indiquent le début d'un folio; les crochets <> comprennent ce que nous considérons être des omissions du copiste; enfin les quelques changements que nous avons faits dans le texte sont indiqués dans les notes de bas de page.

Plooij avait indiqué un certain nombre d'amendements au texte du manuscrit;Footnote ⁷⁸ nous avons adopté la plupart d'entre eux.

[-٧٤و]

مقالة في شرح النسبة من كلام القا

أبي عبد محمد بن معاذ الجيا

رحمه اللّه تعالى

[-٧٤ظ]

قال القاضي أبو عبد اللّه محمد بن معاذ الجيّاني، رضي اللّه عنه: نريد أن نبيّن ما عسى أن يُشْكِل في المقالة الخامسة من كتاب أوقليدس على من لم يرتَضْ فيه؛ وإن كنتُ معتقداً في كلام أقليدس وأغراضه ومقاصده، أنها أبينُ وأوضحُ مقاطع - عند من نظر فيه بعينِ الحقيقة وانقاد لزمامِ - مِن كثيرٍ مَن حُوول به تبيُّنه و ريم به إيضاحه؛ إلا أشياء تركها، لما في كلامه وسردِ كتابه من القوة على إدراكها وإخراجها إلى حدّ الفعل.

وأما ما تعرّض إليه مما ظنّ قومٌ أنه غير تامّ أو غير فتمّموه أو بيّنوه بزعمهم، فإن كلامهم في ذلك أَوْلى بالتبيين وأفقرُ إلى البرهان من كتاب أقليدس؛ كالذي رأينا في الكتاب المنسوب إلى سيندوس، فإنه مَن تأمّل برهانه على ما أتى به أقليدس غير مبرهن - مثل قوله إذا أخرج خطان مستقيمان على أقلّ من زاويتين قائمتين فلا بدّ وأن يلتقيا، والقطر يقسم الدائرة بنصفين، وخطان مستقيمان لا يحيطان بسطح – رأى فيه من الوَهن والاحتياج إلى الإقرار بأعظم مما ادّعى أقليدس إلى الإقرار به، مما لا خفاء به.

ولعلّ قائلاً يقول: إذا كان كلامُ أقليدس في كتابه على ما ذكرتَ ولم يبيّنه أحدٌ بأوضح مما أتى هو به، فكيف تروم تبيينَ كلامه في المقالة الخامسة وكشفَ ما غمض منها؟ فنقول: لم نأتِ بهذا الكتاب إلا لنبيّن أن كلام أقليدس في هذه المقالة هو الصحيح ومنهاجَه هو الواضح، فإن كثيراً يظنّون أن أقليدس ولج إلى تبيين النسبة من غير وأتى من غير سبيلها في حدِّه لها بأحد الأضعاف وتنكيبِه عن المفهوم من معنى النسبة، ويحسبون أن ليس بين النسبة وأحد الأضعاف ارتباطٌ ظاهرٌ؛ ولعمري، ما ترتبط النسبة بشيء أشدّ ارتباطاً منها بأحد الأضعاف للقدر المنسوب والمنسوب إليه.

وبالجملة أقول: إن في المقالة الخامسة غموضاً وفي النظر فيها أتعاباً، لكن على قدرِ جلالةِ قدر المطلوب يكون الطلب، ومَن ينكحِ الحسناء يعطِ مهرها؛ فإن الكتاب من هنالك كالأرواح وما قبله كالأشباح؛ ونحن نقول في ذلك ما أرجو أن ينفع اللّه به مطالعه ويُعين على فكِّ ما استغلق منها؛ وإليه تعالى المنفرد بالفضل أقدّم الضراعة في التوفيق إلى الصواب والعصمة من الخطأ والإعجاب؛ وهو القدير، لا غيره.

أقول، وباللّه التوفيق: إن الأشياء الواقعة تحت الكمّيّة المستعملةَ في صناعة الهندسة خمسةٌ: العدد [-٧٥و] – أوّلها وأبسطها – والخط والسطح والزاوية ولنجعل الاسم الجامع لهذه الأشياء الذي هو لها كالجنس الواقع عليها المقدار؛ وإذا كانت المقادير من جنسٍ واحدٍ من هذه الأجناس الخمسة، فلتُسم المتجانسة؛ وهي التي يمكن بكثرةِ تضاعيفِ الأصغر منها أن يبلغ إلى الأكبر أو يزيد عليه، ويمكن أيضاً بكثرة تجزئةِ الأكبر أن يكون مثلَ الأصغر أو ينقص عنه.

وإذا كان مقداران متجانسان وكان الصغير يعدّ الكبير، فإن الصغير يقال له جزءٌ من الكبير، ويقال للكبير ذو الأضعاف ويقال له أيضـاً لذلك الجزء؛ وإذا كان أصغرُ المقدارين المتجانسين يعدّ أكبرَهما أو كان لهما مقدارٌ ثالثٌ من جنسهما يعدّ واحد منهما، فإنه يقال لهما مشتركان؛ وإذا لم يعدّ الأصغر الأكبرَ ولا وُجد لهما مقدار ثالث يعدّهما يقال المتباينان.

والنسبة هي قدرُ مقدار من مقدارٍ آخر مجانس له، وذلك أن يُقاس بين مقدارين ليُعلم قدرُ أحدهما من الآخر؛ والمناسبة تَساوي النسب؛ ومتى نُسب مقدار إلى مقدار آخر المقدار المنسوب إليه تالياً والمقدارُ المنسوب مقدماً، ويسمّى واحد من المقدم والتالي قرينَ صاحبه.

والكلّ أكبر من الجزء؛ وكذلك جرى التعارف والعادة أن يكون الجزء أصغر من الكل ولا يؤخذَ من الكل إلا أجزاء لا تنتهي إلى الكل، فإذا زاد على الكل يسمّى أكبر منه أو أضعافه وارتفع عنه اسمُ التجزئة؛ لكنّا نُنزل في كتابنا هذا أنّا متى أخذنا أجزاءً من مقدارٍ ما، لم نُبالِ بتلك الأجزاء انتهتْ إلى ذلك المقدار المأخوذة منه أو قصرتْ عنه أو جاوزَتْه؛ لما في ذلك من اطّراحِ المؤنة في تكرار القول وإطالتِه فيما نريد تبيينه بعدُ إن شاء ولأن ذلك غيرُ قادح في شيء من البرهان ولا مخالف لأصلٍ موضوعٍ ولا مناقض له؛ وإنما ذلك لتسهيل الكلام وإيجازِه ونسقط عن أنفسنا أن نتعرّف في كل موضع أيّ مقدار هو الأكبر فنأخذ منه الأجزاء.

وإن كان المقداران مشتركين فإن في أحدهما من الآخر أجزاءً تامّةً مستوفيةً له؛ لأنه إذا أخرج المقدار الثالث الذي يعدّهما كان الثالث جزءاً من كل واحد منهما، فإذا قسمتَ أحد المقدارين بذلك المقدار الثالث، عدّه واستوفاه عدّاً، فقد صار المَقيس منهما أجزاءً للآخر؛ وإذا كان المقداران متباينين لم يكن في كل واحد منهما أجزاءٌ تامّةٌ لصاحبه.

وأما الأقدار المتناسبة فهي التي يكون في الأول منها من أجزاء الثاني مثلُ ما يكون في الثالث من تلك الأجزاء للرابع؛ فهذا ظاهر لا خفاء به ولا يحتاج إلى برهان، وكذلك استعمل [-٧٥ظ] أقليدس هذا في القول السابع؛ إلا أن هذا لا ينتهي إلا إذا كان المقدار الأول مشاركاً للثاني ويكون الثالث مشاركاً للرابع، فتكون في كل واحد من قرينه أجزاءٌ تامّةٌ.

وأما إذا كان القرينان متباينين، ولم يمكن المَنْطِق بقدرِ مقدم عند تاليه وإخراجُه إلى الجزء والملفوظُ به من الأجزاء، فإن من البيِّن – وإن عدم ذلك الوجه المعروف أعني النُطْق بالأجزاء وارتفع، ولم يستوف أجزاء التوالي واحد من المقدّمَيْن استيفاءً كاملاً تامّاً من غير أن تفضل منه فضلةٌ – فإنه لا محالة لا يمكن أن تكون نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع ويكون في الأول من أجزاء الثاني أكثرُ مما في الثالث من <تلك> الأجزاء للرابع، ولا منه؛ وهذا مما لا يحتاج فيه إلى برهان لقبول العقل إيّاه دون واسطة؛ لأنه إذا كان في مقدار من أجزاء مقدارٍ ثان أكثرُ مما في مقدارٍ ثالث من تلك الأجزاء للمقدار الرابع، فليس قدر الأول عند الثاني كقدر الثالث عند الرابع؛ وهذا مما لا خفاء به ولا يزداد بكثرة الكلام فيه تبييناً؛ وكذلك الأشياء البيّنة الظاهرة للعقل من غير احتياج إلى برهان، ولا تزداد بكثرة التبيين لها إيضاحاً، لأنه لا سبيل إلى تبيين ما تبيّن منها.

ولا المقدّمة غير ملفوظ فيها بأجزاء واقعة على كل واحد من المقدمين وإنما هي بالأقلّ والأكثر، والأقلّ من الشيء غير محدود وكذلك الأكثر وإنما المحدود المساوي، فإنّا قد نجد مثل ذلك كثيراً في هذه الصناعة؛ من ذلك محيطُ الدائرة؛ إذا أردنا أن نعلم مبلغه وقدرَه من القطر، فإنا نعلمه بالأقلّ والأكثرِ إذا عدم التماثُل فيه والتساوي، لأنه لا يقع أبداً تساوٍ بين مستدير و مستقيم من غير نوع واحد؛ وكذلك المتباينُ والمشترك في المقادير من غير نوع واحد؛ إذ لا سبيل إلى أن يُلفظ في المتباينات بأجزاء، ولا في المحيط والقطرِ بقدرٍ مخصوص بعينه مسمّىً بنفسه؛ وإنما يقال في المحيط إنه أكبر من أضلاعِ كلِّ شكل واقع في الدائرة، وأصغرُ من أضلاع كل شكل واقع على الدائرة؛ وكذلك نقول: إذا نسبنا مقداراً ما إلى مقدارٍ مباين له واضطررنا إلى النطق بها أو تقريبِها من نسبةٍ منطوق لغرضٍ ما، فإنا نقول إنه أكبر من كذا وكذا من أجزائه وأصغرُ من كذا وكذا من أجزائه؛ وكذلك الأجذارُ الصُمُّ؛ إن اضطررنا إلى إيجادها أجزاءً، فإنا نقول إنّ جذر العدد المفروض غير المربّع هو أكبر من جذرِ كل مربعٍ أصغر من العدد المفروض، وأصغرُ من جذر كل مربع أكبر من العدد المفروض؛ وتركُ النطق بها وامتناعُه لا يدخل داخله فيما يُقصد إليه من ذلك، ولا [-٧٦و] ينقض أصلاً صحيحاً ولا

فإذا صحّ ما ذكرنا من ذلك، فإنما نمدّه ونؤصّله ونثبت ذكره ليكون أصلاً يُعتمد عليه فيما يأتي بعدُ، إن شاء اللّه؛ وذلك إذا كانت نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع، فإنه لا يجوز أن يكون في الأول من أيّةِ أجزاءِ الثاني شيءٌ أكثرُ مما في الثالث من تلك الأجزاء المأخوذة من الرابع، ولا أقلُّ؛ ولا ينكرنّ منكرٌ قولَنا ”من أية أجزاء الثاني شيء“، لأنه إذا وقع الخلاف بين أسماءِ الأجزاء التي في الأول من الثاني وبين أسماء الأجزاء التي في الثالث من الرابع، فقد وقع التغايُر في النسبتين وارتفع تساويهما، لا نبالي بأيّ الأجزاء وقع ذلك؛ ونريد في هذا الموضع بياناً ونمثّل له أمثلةً من أشخاص المسائل، لأن في ذلك من المعونة ما لا يدفعه أحدٌ وإن كنّا قد أثبتنا من الكلام العامّ الواقع على جميع أشخاص المسائل بما فيه كفاية، ولكنا نريد أن نزيد ذلك إيضاحاً.

فنقول: إنه إذا وضع واضعٌ أن نسبة مقدار ا؟ب عند ﺟ؟د كنسبة ه؟ز عند ح؟ط، فإنه إذا كان ا؟ب وﺟ؟د مشتركين فقد وضح الكلام في ذلك، أعني أنه يكون في ا؟ب من أجزاء ﺟ؟د مثلُ ما يكون في ه؟ز من أجزاء ح؟ط تلك؛ وإن كانا متباينين، فإنه وإن عدمنا اللفظُ بما في ا؟ب من أجزاء ﺟ؟د، فإنه ليس يسوغ لواضعِ هذه الأقدار متناسبة أن يقول مثلاً إن ا؟ب أكبر من ثُلْثَي ﺟ؟د وإن ه؟ز أقلّ من ثلثي ح؟ط أو ثلثاه، ولا يقولَ إن ا؟ب ثلثا ﺟ؟د وه؟ز أكثر من ثلثي ح؟ط أو أقلّ، ولا إن ا؟ب أقلّ من ثلثي ﺟ؟د وه؟ز أكثر من ثلثي ح؟ط أو ثلثاه؛ هذا هو عينُ المحال.

وكذلك إذا سائر الأجزاء واستقرأناها، فإنه من الوجه الذي يستحيل فيما سمّيناه من الأجزاء يستحيل في غيرها، وإن دقّت الأجزاء؛ فإنه مَن زعم أن هذه الأقدار متناسبة وقال إن ا؟ب مثلاً أكثر من ثلاثمائة وسبعة وستّين جزءًا من عشرة آلاف جزءٍ من ﺟ؟د وإن ه؟ز أقلّ من تلك الأجزاء المحدودة من ح؟ط أو مثلُها، فلا فرق بينه وبين ما تقدّم.

وإنما أتينا وإن كان كلامنا مستغنىً عن أكثره، ليتبيّن أن القضية كلّية حتى يكون الشرط واقعاً على جميع الأجزاء، دقيقها وجليلها، لا يُخصّ به أجزاءٌ دون أجزاء؛ وذلك أنه إذا كانت الأقدار متناسبةً، نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع، فلا يجوز أن يؤخذ للثاني والرابع أجزاءٌ متساويةُ العدد والتسمية، أيّ الأجزاء كانت، فتوجد أجزاء الثاني زائدةً على المقدار الأول إلا إذا كانت أجزاء الرابع زائدةً على المقدار [-٧٦ظ] الثالث، أو توجد أجزاء الثاني مساويةً للمقدار الأول إلا وكانت أجزاء الرابع مساويةً للمقدار الثالث، أو توجد أجزاء الثاني ناقصةً عن المقدار الأول إلا إذا كانت أجزاء الرابع ناقصةً عن المقدار الثالث؛ لو وُجدت أجزاء الثاني تزيد على الأول وأجزاءُ الرابع مساوية للثالث أو ناقصة، لَكان في الأول من أجزاء الثاني أقلُّ مما في الثالث من أجزاء الرابع؛ وقد بيّنا استحالة هذا؛ وكذلك لو وجدت أجزاء الثاني مساويةً للمقدار الأول وأجزاءُ الرابع ناقصة أو زائدة عن المقدار الثالث، لكان في الأول من أجزاء الثاني أقلُّ أو أكثرُ <مما في الثالث> من أجزاء الرابع؛ وكذلك لو وجدت أجزاء الثاني ناقصةً عن المقدار الأول وأجزاءُ الرابع مساوية للمقدار الثالث أو زائدة عليه، لكان في الأول من أجزاء الثاني أكثرُ مما في الثالث من أجزاء الرابع؛ وهذا محال.

والذي بقي علينا من هذه المقدّمة أن نعلم إن كانت منعكسةً على نفسها أم لا؛ فنقول إنها منعكسة، وذلك أن نقول: إذا كانت أربعة مقادير، وكانت كل الأجزاء المتساوية العدّة والأسماء المأخوذة للثاني والرابع، لا توجد أجزاء الثاني تزيد على المقدار الأول إلا <إذا> كانت أجزاء الرابع تزيد على المقدار الثالث، ولا توجد أجزاء الثاني تساوي المقدار الأول إلا إذا كانت أجزاء الرابع تساوي المقدار الثالث، ولا توجد أجزاء الثاني تنقص عن المقدار الأول إلا وأجزاء الرابع تنقص عن المقدار الثالث، فإن نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع.

مثاله أنّا نضع أربعة مقادير ا؟ب وﺟ ود؟ه وز، ونفرضها على أن كل الأجزاء المتساوية التي توجد للجيم والزاي لا توجد أجزاء ﺟ أكثر من ا؟ب إلا وأجزاء ز أكثر من د؟ه، ولا توجد أجزاء ﺟ مساويةً ﻟ ا؟ب إلا وأجزاء الزاي مساوية ﻟ د؟ه، ولا توجد أجزاء ﺟ ناقصةً عن ا؟ب إلا وأجزاء ز ناقصة عن د؟ه؛ فأقول إن نسبة ا؟ب إلى ﺟ كنسبة د؟ه إلى ز.

برهانه أنه لا يجوز غير ذلك؛ فإن جاز، فليكن نسبة ا؟ب إلى ﺟ كنسبة د؟ح إلى ز، <ولنفرض أن د؟ح أكبر من د؟ه؛> فإن كان أصغر من ز قلنا: نجزئ الزاي جزءًا فجزءًا، نبدأ بالنصف ثم بما يليه في التجزئة من الثُلث فما دونه، حتى يُنتهى إلى أوّلِ جزء الزاي يكون أصغر من ح؟ه، ونجعل ذلك الجزء ط؛ فهو أقلّ من ح؟ه؛ ونأخذ من الجيم مثل ذلك الجزء، وهو ﻛ؛ ثم نفصّل د؟ه بأمثال ط، ونبدأ بالتفصيل من جهة د، حتى يُنتهى إلى أول فصل يجاوز الهاءَ وليس ينتهي إلى الحاء، لأن ح؟ه أكبر من ط؛ ولتكن تلك الفصول د؟لل؟م <م؟ن > ؛ ثم نفصّل ا؟ب بأمثال ﻛ؛ فسيكون فيه من أمثال ﻛ مثلُ ما كان في د؟ه من أمثال ط؛ ويكون المثال لذلك خارجاً عن الباء زائداً على ا؟ب كما كان د؟ن زائداً على د؟ه، لأنا كذلك فرضنا مقادير [٧٧-و] ا؟بﺟ ود؟ه وز؛ ولتكن تلك الأقسام ا؟سس؟عع؟ف؛ ﻓ ا؟ف أجزاء من ﺟ ود؟ن مثل تلك الأجزاء من ز وعلى عدّتها، لكن ا؟ف أكبر من ا؟ب ود؟ن أصغر من د؟ح؛ فما في ا؟ب من أجزاء ﺟ أقلّ مما في د؟ح من أجزاء ز؛ وقد كانت نسبة ا؟ب إلى ﺟ كنسبة د؟ح إلى ز؛ هذا خلف لا يمكن؛ فليس تكون نسبة ا؟ب إلى ﺟ كنسبةِ أكثر من د؟ه إلى ز، وبمثل ذلك تبيّن أنه ولا كنسبة أصغر من د؟ه إلى ز؛ فليس تكون نسبة ا؟ب إلى ﺟ إلا كنسبة د؟ه إلى ز؛ وذلك ما أردنا أن نبيّن.

وإذ قد تبيّن ما قدّمنا وأمعنّا القول فيه، وضح لنا معنى المناسبة في المقادير المشتركة الممكن فيها النطق بالأجزاء على حقيقةِ مبلغها، وفي المقادير المتباينة وإن لم يوصل إلى النطق بحقيقة أجزائها؛ ففيما ذكرناه كفايةٌ إن شاء اللّه تعالى؛ فلنقل الذي كان غرضنا في هذا الكتاب، وهو الوجه الذي حدا أوقليدس على حدّ النسبة بأحد الأضعاف، واقتصارِه على ذلك دون تتميم أعراضِ النسبة ولواحقِها وكيفيّةِ ونقصانها، وإضرابِه عن ذلك جملةً، واكتفائه بأحد الأضعاف.

فأقول، الموفّق للصواب: إن المناسبة لما كانت على ما ذكرنا من الاعتبار بالأجزاء ومقايساتِها، وكان كل شيء يعرض في الأجزاء المأخوذة فمثل ذلك يعرض في الأضعاف من زيادة أو نقصان أو تساوٍ، وكل ما امتنع في الأجزاء فممتنعٌ في الأضعاف، لأن التضعيف والتجزئة من باب واحد؛ لأن ابتداءهما من واحد، غير أن التضعيف يبدأ منه ذاهباً إلى والتزايُد، والتجزئة يبدأ منه راجعاً إلى التقليل والنقص، وكلاهما حكمُه واحد؛ ألا ترى أن المقدارين، إذا أمكن فيهما أن يوجد لأحدهما أجزاءٌ فتساوي أجزاءً ما للآخر، أمكن أن يؤخذ لأحدهما أضعافٌ ما تساوي أضعافاً ما للآخر، وذلك يكون في المقدارين المشتركين؛ فإذا امتنع أن يوجد لأحدهما البتّةَ أجزاءٌ تساوي أجزاءً للآخر، امتنع أن يكون لأحدهما أضعافٌ ما تساوي أضعافاً ما للآخر، وذلك يكون في المقدارين المتباينين؛ وكذلك إذا وُجد للمقدارين المختلفين قدرٌ ثالثٌ أصغر منهما يعدّ واحد منهما ويكون له جزءًا، كذلك يوجد لهما ولكل واحد منهما ذو أضعاف.

ونزيد تشابُه أحوال الأضعاف بأحوال الأجزاء بياناً، وأقدّم <ما> يُحتاج إليه؛ مثاله أن ا أضعاف ما ﻟ ب، وقد أُخذ ﻟ ا وﻟ ب أضعافٌ متساويةُ المرّات وهي ﺟ؟د وه؟ز؛ فأقول [-٧٧ظ] إن ما في ﺟ؟د من أضعاف ه؟ز مثلُ ما في ا من أضعاف ب.

برهانه أن نقسم ﺟ؟د بعددِ أضعاف ا، وهي ﺟ؟ح وح؟د؛ ونقسم ه؟ز بعدد أضعاف ب، وهي ه؟طط؟ز؛ ﻓ ﺟ؟ح مثل ا وه؟ط مثل ب، وكذلك ح؟د مثل ا وط؟ز مثل ب؛ فما في ا من أضعاف ب كذلك في ﺟ؟ح من أضعاف ه؟ط، وكذلك في ح؟د من أضعاف ط؟ز؛ فما في كل ﺟ؟د من أضعاف ه؟ز مثلُ ما في ا من أضعاف ب؛ وتمّ بيانُه.

فنقول إنه إذا كان مقداران مختلفان وأُخذ لأحدهما أجزاءٌ وقيست تلك الأجزاء إلى المقدار الآخر، فإن حالهما من الزيادة والنقصان والتساوي كحال الأضعاف المأخوذة للمقدار المجزّأ مع الأضعاف المأخوذة للمقدار الآخر، إذا كانت أضعاف المقدار المجزأ مثلَ عدة الأجزاء وكذلك أضعاف المقدار الآخر مثلَ العدد المسمي للأجزاء.

مثال ذلك أن مقداري اب مختلفان؛ وقد أُخذ ﻟ ا عدّةُ أجزاء وهي ﺟ؟د، وأحد تلك الأجزاء ﺟ؟ه؛ وقد أُخذ لمقدار ا من الأضعاف مثلُ ما في ﺟ؟د من عدّة ﺟ؟ه، وهو ز؛ وقد أُخذ ﻟ ب من الأضعاف مثلُ ما في ا من أضعافِ جزء ﺟ؟ه، وهو ح؛ فأقول إن حال ﺟ؟د مع ب من مساواة أو زيادة أو نقصان هي حال ز مع ح – ﻓ ز الذي هو أضعاف ا مشابه الحال ﻟ ﺟ؟د الذي هو أجزاء ا، وح مشابه الحال ﻟ ب الذي هو أضعافه – إن كان ﺟ؟د مساوياً ﻟ ب ﻓ ز مساوٍ ﻟ ح، وإن كان ﺟ؟د أكبر من ب ﻓ ز أكبر من ح، وإن كان ﺟ؟د أصغر من ب ﻓ ز أصغر من ح.

برهانه أن في ح من أضعاف ب مثلَ ما في ا من أضعاف ﺟ؟ه، وأيضاً في ز من أضعاف ا مثلَ ما في ﺟ؟د من أضعاف ﺟ؟ه؛ ﻓ ا فيه أضعاف ﺟ؟ه، وقد أُخذ ﻟ ا وﺟ؟ه أضعافٌ متساويةٌ وهي ز وﺟ؟د؛ فما في ز من أضعاف ﺟ؟د مثلُ ما في ا من أضعاف ﺟ؟ه؛ وقد كان في ا من أضعاف ﺟ؟ه مثلُ ما في ح من أضعاف ب؛ فما في ز من أضعاف ﺟ؟د مثل ما في ح من أضعاف ب؛ فإن كان ﺟ؟د مثل ب فأضعافه التي هي ز مثل ح التي هي أضعاف ب، وإن كان ﺟ؟د أصغر من ب ﻓ ز أصغر من ح، وإن كان ﺟ؟د أكبر من ب ﻓ ز أكبر من ح؛ وذلك ما أردنا أن نبين.

وإذ قد تبيّن هذا فإنا نقول: إذا أردنا أن نقيس مقداراً ما إلى مقدار آخر بأجزائه، وأقَمْنا أضعافَ كل واحد منهما مقامَ الأجزاء على مثل ما بيّنّا في هذه الصورة، ظهر لنا في الأضعاف كلُّ ما يظهر بالأجزاء من التساوي والزيادة والنقصان؛ وكذلك إذا عكسنا هذا الشكل [-٧٨و] قلنا: إذا كان مقداران مختلفين وأُخذ لكل واحد منهما أضعافٌ مختلفةٌ للأخرى، فإن حالَ أضعاف المقدار الواحد مع أضعافِ المقدار الآخر <من> التساوي أو الزيادة أو النقصان كحال أجزاء أحد المقدارين مع المقدار الآخر نفسه، إذا كانت الأجزاء سميّةً لعدّة الأضعاف المأخوذة للمقدار الذي وكانت عدّةُ الأجزاء مثل عدة الأضعاف المأخوذة للمقدار المجزأ؛ فقد صحّ ما قلنا وقدّمنا ذكره أنّ الأضعاف تقوم مقامَ الأجزاء لا تغادر منها شيئًا ولا تخالفه.

فأقليدس إنما جعل بدلاً عن أخذ الأجزاء للثاني والرابع وقياسِ كل واحد من تلك الأجزاء إلى قرينه، أعني قياسَ أجزاء <المقدار> الثاني إلى المقدار الأول وقياسَ أجزاء المقدار الرابع إلى المقدار الثالث، وجعل عوضَ ذلك أن أخذ للثاني والرابع أضعافاً متساويةً فقامت أضعافُ كل واحد منهما مقامَ أجزائه، وأخذ للأول والثالث أضعافاً متساويةً فقامت أضعاف كل واحد منهما مقامَ نفسه؛ وكلُّما يظهر في الأضعاف ويعرض فيها مع الأضعاف الأخر يظهر في الأجزاء ويعرض فيها مع المقدارين الآخرين.

ونزيد ذلك بياناً في شكل ممثل، فنقول: إذا كانت أربعة مقادير، وكانت الأجزاء العدة والأسماء المأخوذة للثاني والرابع لا توجد أجزاءُ الثاني تزيد على المقدار الأول إلا وُجدت أجزاء الرابع تزيد على المقدار الثالث، ولا توجد أجزاء الثاني ناقصةً عن المقدار الأول إلا وجدت أجزاء الرابع ناقصةً عن المقدار الثالث، ولا توجد أجزاء الثاني مساويةً للمقدار الأول إلا وجدت أجزاء الرابع مساويةً للمقدار الثالث، فإن كل الأضعاف المتساوية المأخوذة للأول والثالث الأضعاف المتساوية المأخوذة للثاني والرابع لا توجد إلا إن كانت أضعاف الأول زائدةً على أضعاف الثاني فأضعاف الثالث زائدة على أضعاف الرابع، وإن كانت أضعاف الأول مساويةً لأضعاف الثاني فأضعاف الثالث مساوية لأضعاف الرابع، وإن كانت أضعاف الأول ناقصةً عن أضعاف الثاني كانت أضعاف الثالث ناقصةً عن أضعاف الرابع؛ وأقول أيضاً إنه إذا كانت الأضعاف على هذه الشريطة فإن الأجزاء تكون على الشريطة المتقدمة، وأنّ هاتين الشريطتين ما وجد لإحداهما وصحّ وجد للأخرى وصحّ، وصحّت المناسبةُ في المقادير على الولاء، وتكون نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع.

مثاله أن مقادير ابﺟد والشريطة التي ذكرنا في الأجزاء موجودةٌ فيها، أعني أن كل الأجزاء المتشابهة المأخوذة من ب ود لا توجد [٧٨-ظ] أجزاء ب زائدةً على ا إلا وأجزاء د زائدة على ﺟ، ولا توجد أجزاء ب مساويةً ﻟ ا إلا وأجزاء د مساوية ﻟ ﺟ، ولا توجد أجزاء ب ناقصةً عن ا إلا وأجزاء د ناقصة عن ﺟ؛ فأقول إنه الأضعاف المتساوية المأخوذة للأول والثالث، وكلُّ الأضعاف المتساوية المأخوذة للثاني والرابع، لا توجد أضعاف الأول زائدةً على أضعاف الثاني إلا وُجدت أضعاف الثالث زائدةً على أضعاف الرابع، ولا توجد أضعاف الأول مساويةً لأضعاف الثاني إلا وأضعاف الثالث مساوية لأضعاف الرابع، ولا توجد أضعاف الأول ناقصةً عن أضعاف الثاني إلا وأضعاف الثالث ناقصة عن أضعاف الرابع.

برهانه أنه لا يمكن غير ذلك؛ فإن أمكن، فليؤخذ ﻟ ا وﺟ أضعافٌ متساويةٌ وهي ه ز، وﻟ ب ود أضعافٌ متساويةٌ وهي حط، ويكون حال ه مع ح غير حال ز مع ط من التساوي أو الزيادة أوالنقصان، تكون ه أعظم من ح وز ليس بأعظم من ط، إن كان يمكن ذلك؛ ونأخذ من ب الجزءَ لما في ه من أضعاف في ز من أضعاف ﺟ، إذْ هما سواءٌ، وهو ﻛ؟ل، ومن <د> ذلك الجزءَ بعينه، وهو م؟ن؛ ونجعل في ﻛ؟س من أضعاف ﻛ؟ل مثلَ ما في ح من أضعاف ب ومثلَ ما في ط من أضعاف د، إذ هما سواء؛ وكذلك نجعل في م؟ع من أضعاف م؟ن مثلَ تلك الأضعاف؛ ﻓ ﻛ؟س أجزاء ب وم؟ع مثل تلك الأجزاء من د؛ ﻓ اب مقداران مختلفان، وقد أُخذ لأحدهما وهو ب أجزاءٌ وهي ﻛ؟س، وقد أُخذ ﻟ ب من الأضعاف وهي ح مثلُ ما في ﻛ؟س من عدّة الأجزاء؛ وأُخذ ﻟ ا من الأضعاف وهي ه مثلُ العدد السميّ للأجزاء؛ فيما تبيّن في الشكل الذي قبل هذا أنّ حال ه مع ح كحال ا مع ﻛ؟س من التساوي أو الزيادة أو النقصان؛ وه فرضناها أعظم من ح، ﻓ ا أعظم من ﻛ؟س؛ وكذلك التدبير في قدري ﺟ د وأضعافِهما وأجزائهما؛ فحال ز مع ط كحال ﺟ مع م؟ع من التساوي أو الزيادة أو النقصان؛ وقد كان ز ليس بأعظم من ط، ﻓ ﺟ ليس بأعظم من م؟ع؛ وا أعظم من ﻛ؟س، وﻛ؟س وم؟ع أجزاءٌ متشا العدة والأسماءِ ﻟ ب ود، وقد وُجدت أجزاء ب التي هي ﻛ؟س أصغرَ من ا، ووجدت أجزاء د التي هي م؟ع ليست بأصغر من ﺟ؛ هذا خلفٌ لا يمكن، لأنا قد كنّا فرضنا المقادير لا توجد لها أجزاءٌ إلا على الشريطة التي ذكرنا من التساوي أو الزيادة أو النقصان؛ فقد تبيّن أنه متى كانت شريطةُ الأجزاء المذكورةُ موجودةً، فإن شريطة الأضعاف موجودة والمناسبةَ موجودة؛ وذلك ما أردنا بيانه؛ [-٧٩و] وبمثل هذا التدبير تبيّن لنا إذا فرضنا في هذه المقادير شريطة الأضعاف موجودة، فإن شريطة الأجزاء موجودة والمناسبة موجودة.

فإذ قد تبيّن بياناً شافياً أنّ حدّ النسبة بالأضعاف صحيح، وأنّ كلّما يوجد في الأجزاء فمثلُه يوجد في الأضعاف، وأنهما في بلوغ الحقيقة والوقوفِ على الصحّة سواءٌ لا يناقض أحدُهما صاحبه ولا يوجب أحدهما ما أحاله الآخرُ ولا يُحيل ما أوجبه، فإنا نقول: إن محاولة البراهين للنسبة وما يعرض فيها من اللواحق والأعراضِ ورَوْمَ ذلك بالأضعاف أحسنُ منه بالأجزاء وأسهلُ لوجوه كثيرة؛ منها أنّ أخذ الأضعاف لكل واحد من المقادير لا يتعذّر، قلّت أو كثرت؛ وأما أخذُ الأجزاء لمقدارٍ ما حتى تتجاوز الأجزاء ذلك المقدار وتسميةُ ما هو أكبر من الشيء أجزاء له، فإن ذلك مما يتعذر إذ لم يجرِ بذلك تعارفٌ، وإنما يُسمّى بالأجزاء من الشيء ما كان منه؛ وقد قدّمنا ذلك في صدر هذا الكتاب؛ فإن اجتنبنا هذا الوجه وتو أن لا نأخذ الأجزاء إلا من أكبر القرينين – أو التالي – لم يَسَعْنا ذلك ولا استطعناه حتى نعلم الأكبر من المقدم والتالي في كل موضع من أوضاع النسبة؛ وفي الأضعاف لا نحتاج إلى شيء من ذلك؛ وإنما يعلم سهولةَ ذلك من صعوبته مَن رام العبارة عن حدِّ النسبة بالأجزاء ورامها بالأضعاف، فإنّ بينهما بوناً عظيماً في عسرِ المرام وقبحِ العبارة؛ وأيضاً لو أجرينا حدود النسبة على العمل بالأجزاء، لقلبنا الأشكال المحتاج إليها المقدمة في الخامسة من المقالات، ولَرددناها من الأضعاف إلى الأجزاء؛ وأخذُ الأجزاء أطول عملاً وأشقُّ مراماً، لأن الأضعاف إنما هي أن تضعّف المقدار بعدّةٍ ما؛ وفي الأجزاء يُحتاج إلى عدّة الأجزاء ومن أسماء الأجزاء هي ومع هذا كلّه؛ فإن معرفة الجليل من الحساب أيسر وأسهل من معرفة الدقيق.

وكذلك وجدنا العلماء المتقدّمين في كل من فنون العلم فعلوا؛ فإن أهل الحساب في الباب المسمّى بالكسور عندهم فرّوا من محاولة العمل بالأجزاء في جمعها وطرحها، وصرفوها إلى الأعداد الصِحاح؛ لذلك بأن أقاموا للأجزاء أعداداً اشتقُّوها من أسماء الأجزاء، وضاعفوا الأجزاء تلك الأعداد السميّة لها، حتى صحّت تقريباً على المبتدئ؛ وكذلك نجد الأستاذين من المَهَرة العالمين فعلوا أيضاً؛ [-٧٩ظ] فإن الناظرين في حساب الكواكب – منهم بطلميوس وغيره – لم يثبتوا الأجزاء وفرّوا منها ومن جنسها إلى أسماءٍ استنبطوها؛ فقسموا الواحد بستّين قسماً ليعوّضوا من التعلُّق بالنصف والثلثِ وما هو أعسر من ذلك ومحاولةِ ضربه وجمعِه وغير ذلك بأعداد صحاح؛ وكذلك حين احتاجوا إلى تلك الأجزاء قسموها أيضاً بأعداد صحاح، كل واحد بستّين، وأحدثوا لها أسماءً من الدقائق والثواني والثوالث وغيرها.

وإذ قد ذكرنا هذا، فلنذكر المقدّمة الشرطيّة ذاتَ الأضعاف التي استعملها أوقليدس؛ ونلخّصها وربما خالفنا نسق أقليدس لها لما نظنّ في ذلك من موافقة الغرض المقصود، فنقول: إذا كانت نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع، فإن كل أضعاف متساويةٍ توجد للأول والثالث أضعاف متساوية توجد للثاني والرابع، لا توجد إلا إن كانت أضعاف الأول زائدةً على أضعاف الثاني فإن أضعاف الثالث زائدة على أضعاف الرابع، وإن كانت أضعاف الأول مساويةً لأضعاف الثاني فإن أضعاف الثالث مساوية لأضعاف الرابع، وإن كانت أضعاف الأول ناقصةً عن أضعاف الثاني فإن أضعاف الثالث ناقصة عن أضعاف الرابع؛ وأيضاً فإنا نعكسها فنقول: إذا كانت أربعة مقادير، وكانت كل أضعاف متساوية توجد للأول والثالث وكلُّ أضعاف متساوية توجد للثاني والرابع، فإنها لا توجد إلا إن كانت أضعاف الأول زائدةً على أضعاف الثاني فإن أضعاف الثالث تزيد على أضعاف الرابع، وإن كانت أضعاف الأول مساويةً لأضعاف الثاني فإن أضعاف الثالث مساوية لأضعاف الرابع، وإن كانت أضعاف الأول ناقصةً عن أضعاف الثاني فإن أضعاف الثالث ناقصة عن أضعاف الرابع، فإن نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثالث إلى الرابع.

والذي بقي علينا في هذا الكتاب ذكرُ النسبة التي هي أعظم من نسبة أخرى؛ فأقول: إذا كانت أربعة مقادير، وكان في الأول من أجزاء الثاني أكثرُ مما في الثالث من أجزاء الرابع تلك، فإنّ قدر الأول عند الثاني أعظم من قدر الثالث عند الرابع؛ وهذا مما لا يحتاج فيه إلى برهان، لأن ما فيه أجزاء أكثر هو أعظم نسبةً من الذي فيه أجزاء أقلّ؛ وأقول أيضاً إن هذه القضية أيضاً منعكسة، وذلك أنه إذا كان قدر الأول من الثاني أعظمَ من قدر الثالث من الرابع، فإنه قد يوجد للثاني والرابع أجزاءٌ ما ويكون في الأول [-٨٠و] من أجزاء الثاني أكثرُ مما يكون في الثالث من أجزاء الرابع.

ونقدّم لذلك أشياء كثيرة الغناء فيما يحتاج إليه من ذلك؛ فأقول إنه: إذا كانت أربعة مقادير، وكانت كل الأجزاء الذي توجد للثاني والرابع لا توجد إلا إن كانت أجزاء الثاني تزيد على المقدار الأول فإن أجزاء الرابع تزيد على المقدار الثالث، وإن كانت أجزاء الثاني تنقص عن المقدار الأول فإن أجزاء الرابع تنقص عن المقدار الثالث، فإن المقادير متناسبة وإن لم نذكر شريطة التساوي، فإنّ ذكر التساوي وتركَه سواءٌ؛ فإنها إذا حُصرت بالزيادة والنقصان معاً، كانت شريطة التساوي واجبةَ الوجود ضرورةً، وكانت المناسبة في المقادير موجودةً.

مثاله أنّا نفرض أربعة مقادير ا؟ب وﺟ ود؟ه وز؛ ونجعل أن كل الأجزاء المتشابهة العدّة والأسماء المأخوذة من ﺟ وز لا توجد إلا إن كانت أجزاء ﺟ زائدةً على ا؟ب فإن أجزاء ز زائدة على د؟ه، وإن كانت أجزاء ﺟ ناقصةً عن ا؟ب فأجزاء ز ناقصة عن د؟ه، وليس للتساوي ذكرٌ؛ فأقول إنه لا توجد أجزاء ﺟ مساويةً ﻟ ا؟ب إلا وأجزاء ز مساوية ﻟ د؟ه.

برهان ذلك أنه لا يجوز غيره؛ فإن جاز، فليكن ا؟ب أجزاءً تامّةً من ﺟ، وليكن في د؟ه من تلك الأجزاء <من ز> أقلُّ أو أكثرُ، فليكن د؟ه أكثر؛ وليكن في د؟ح من أجزاء ز مثلُ ما في ا؟ب من أجزاء ﺟ؛ ولا تزال تجزئ ز حتى تبلغ إلى أول جزء له يكون أصغرَ من ه؟ح، وليكن ذلك الجزء ط؛ فهو أصغر من ه؟ح؛ ونأخذ مثل ذلك الجزء من ﺟ، وهو ﻛ؛ ثم نفصل من د؟ه ما فيه من أمثال ط؛ ولا بدّ أن يقع فصلٌ منها بين ح وه، لأن ح؟ه أكبر من ط؛ ولتكن تلك الفصول د؟لل؟مم؟ن؛ ثم نفصل ا؟ب بما فيه من أمثال ﻛ؛ فينفصل منه مثلُ عدّة ما انفصل من د؟ح من أمثال ط، لأنا قد كنّا وضعنا أن نسبة ا؟ب من ﺟ كنسبة د؟ح من ز، إذْ في كل واحد منهما من أجزاءِ قرينه عدّةٌ سواءٌ؛ فتكون الأقسام ا؟س وس؟ع وع؟ف؛ فيكون ا؟ف أكبر من ا؟ب كما أن د؟ن أكبر من د؟ح؛ ﻓ ا؟ف أجزاء من ﺟ ود؟ن مثل تلك الأجزاء من ز وعلى عدّتها؛ لكن ا؟ف أكبر من ا؟ب ود؟ن أصغر من د؟ه؛ فقد وُجد ﻟ ﺟ وز أجزاءٌ متساويةٌ، ووُجدت أجزاء ﺟ زائدةً على ا؟ب وأجزاء <ز> ناقصة عن د؟ه؛ وقد كانت وضعت على أن لا توجد ﻟ ﺟ وز أجزاءٌ متساويةٌ فتوجد أجزاء ﺟ زائدةً على ا؟ب إلا وجدت أجزاء ز زائدةً على د؟ه؛ هذا خلفٌ لا يمكن، فإذاً لا توجد ﻟ ﺟ أجزاءٌ تساوي ا؟ب إلا وُجدت مثل تلك الأجزاء ﻟ ز تساوي د؟ه؛ فقد صحّ وجودُ الشروط الثلاثة من التساوي والزيادة والنقصان، وبوجودها تصحّ [-٨٠ظ] المناسبة؛ وذلك ما أردنا أن نبين.

وأقول أيضاً إنه: إذا كانت نسبة الأول إلى الثاني أعظمَ من نسبة الثالث إلى الرابع، فإنه لا يوجد للثاني والرابع أجزاءٌ متساويةٌ فتوجد أجزاء الثاني زائدةً على المقدار الأول إلا وُجدت أجزاء الرابع زائدةً على المقدار الثالث.

مثاله أن نسبة ا؟ب إلى ﺟ أعظم من نسبة د؟ه إلى ز؛ فأقول إن كل واحد من الأجزاء المتساوية التي توجد ﻟ ﺟ وز فتوجد أجزاء ﺟ زائدةً على ا؟ب، فإن أجزاء ز زائدة على د؟ه.

برهانه أنه لا يجوز غير ما ذكرنا؛ فإن جاز أن تكون ﻟ ﺟ وز أجزاءٌ متساويةٌ، فتوجد أجزاء ﺟ زائدةً على ا؟ب وأجزاء ز ليست بزائدة على د؟ه، فلتكن أجزاء ﺟ الزائدة على ا؟با؟ح، وتلك الأجزاء من ز التي ليست بزائدة على د؟هد؟ط؛ ﻓ د؟ط وا؟ح أجزاء متساوية من ز وﺟ؛ فما في د؟ه من أجزاء ز أكبرُ مما في ا؟ب من أجزاء ﺟ، فنسبة د؟ه إلى ز إذاً أعظم من نسبة ا؟ب إلى ﺟ؛ وقد كانت نسبة ا؟ب إلى ﺟ هي العظمى؛ هذا خلفٌ لا يمكن؛ فليس يوجد ﻟ ﺟ أجزاءٌ زائدةً على ا؟ب إلا وتلك الأجزاء من ز زائدة على د؟ه؛ وذلك ما أردنا أن نبين.

وإذ قدّمنا ذكر هذا كلّه، فأقول إنه: إذا كانت أربعة مقادير، نسبة الأول إلى الثاني أعظم من نسبة الثالث إلى الرابع، فإنه قد يوجد للثاني والرابع أجزاءٌ ما توجد أجزاء الثاني ناقصةً عن المقدار الأول وأجزاء الرابع غير ناقصة عن المقدار الثالث.

مثال ذلك أن نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ﺟ إلى د؛ فأقول إنه قد يمكن أن يوجد ﻟ ب ود أجزاءٌ ما متساويةٌ وتكون أجزاء ب ناقصةً عن ا وأجزاء د ليست بناقصة عن ﺟ.

برهانه أن ذلك قد يوجد في بعض الأجزاء لهما المأخوذة من ب ود؛ <وإلا> لا توجد أجزاء ب ناقصةً عن ا إلا وُجدت أجزاء د ناقصةً عن ﺟ؛ وأيضاً من أجلِ أنّا كنّا وضعنا أن نسبة الألف إلى ب أعظم من نسبة ﺟ إلى د، فإنه كل الأجزاء المتساوية التي توجد ﻟ ب ود لا توجد أجزاء ب زائدةً على ا إلا وُجدت أجزاء د زائدةً على ﺟ، على ما بيّنا في الشكل الذي قبل هذا؛ ﻓ ا وب وﺟ ود أربعة مقادير، وكل الأجزاء المأخوذة ﻟ ب ود لا توجد إلا إن كانت أجزاء ب زائدةً على ا فأجزاء د زائدة على ﺟ، وإن كانت أجزاء ب ناقصةً عن ا فأجزاء د ناقصة عن ﺟ؛ فنسبة ا إلى ب كنسبة ﺟ إلى د؛ وقد كنّا فرضنا نسبة ا إلى ب أعظم من نسبة ﺟ إلى د؛ هذا خلف لا يمكن؛ فليست كل الأجزاء المأخوذة من ب الموجودة أصغر [-٨١و] من ا وتكون الأجزاء المأخوذة من د أصغرَ من ﺟ ضرورةً؛ بل قد يوجد للباء أجزاءٌ تنقص عن ا ولا تنقص أجزاء د عن ﺟ؛ وذلك ما أردنا أن نبين.

وهنالك يصحّ من جهة الأضعاف أنه إذا كانت نسبة الأول إلى الثاني في غير نسبة الثالث إلى الرابع، فإنه يمكن أن يوجد للأول والثالث أضعافٌ متساويةٌ وللثاني والرابع أضعافٌ متساويةٌ، فتوجد أضعاف الثاني ناقصةً عن أضعاف الأول وأضعافُ الرابع ليست بناقصة عن أضعاف الثالث، كما وجدنا أجزاء الثاني ناقصة عن الأول وأجزاءُ الرابع ليست بناقصة عن الثالث؛ وسواءٌ قلنا إن أضعاف الثاني ناقصة عن أضعاف الأول وأضعاف الرابع ليست بناقصة عن أضعاف الثالث، وقلنا إن أضعاف الأول زائدة على أضعاف الثاني وأضعاف الثالث ليست بزائدة على أضعاف الرابع؛ فلنذكرها على ما ذكرها أقليدس، فنقول إنه: <إذا> كانت أربعة مقادير، وأمكن أن يوجد للأول والثالث أضعافٌ متساويةٌ وللثاني والرابع أضعافٌ متساويةٌ، فتوجد أضعاف الأول زائدةً على أضعاف الثاني وأضعاف الثالث غير زائدة على أضعاف الرابع، فإن نسبة الأول إلى الثاني أعظم من نسبة الثالث إلى الرابع؛ وأما عكسها الذي بيّنا وجوده فهو: إذا كانت نسبة الأول إلى الثاني أعظم من نسبة الثالث إلى الرابع، فإنه قد يوجد للأول والثالث أضعافٌ متساويةٌ وللثاني والرابع أضعافٌ متساويةٌ، فتوجد أضعاف الأول زائدةً على أضعاف الثاني وأضعاف الثالث غير زائدة على أضعاف الرابع.

فقد بيّنّا في هذه الكتب صحّةَ ما ذكره أقليدس من الأضعاف، وأنه لم يؤْثِر تفسيرَ النسبة بالأضعاف عن غير علّةٍ رابطة لها بالنسبة ربطاً صحيحاً؛ بل لا سبيل إلى أن يوجد شيءٌ أصحُّ ارتباطاً بالنسبة ولا أشدُّ حصراً وضبطاً لفصولها وخو من الأضعاف؛ لأنه لا يمتري أحدٌ أن النسبة إنما هي مقايسةُ مقدار بمقدار آخر ليُعلم قدرُ أحدهما من الآخر؛ ولا يُعلم قياسُ الصغير إلى الكبير إلا بأجزاء الكبير؛ وإنما الأضعاف تكبير الأجزاء، والأضعاف تعمّ قياسَ الصغير إلى الكبير وقياسَ الكبير إلى الصغير، والأجزاء إنما جرت العادة بطريقها في قياس الصغير إلى الكبير؛ وإن كنّا في هذا الكتاب لم نبالِ بذكرنا الأجزاءَ أيّ موقع أوقعناها، لما ذهبنا [-٨١ظ] إليه من تسهيل الكلام وتخفيفِه من أجل حاجتِنا إلى كثرة تكراره واستعمالِه، كان استعماله في الكلام كثيراً كان جديراً بالتخفيف والحذف.

وأما كيف توجد في النسبة العظمى والأضعافُ المتساوية المأخوذة للأول والثالث والأضعافُ المتساوية المأخوذة للثاني والرابع، وتكون أضعاف الأول زائدةً على أضعاف الثاني وأضعاف الثالث غير زائدة على أضعاف الرابع، كيف الطريق إلى استخراجِ تلك الأضعاف إذْ هذه الشريطة لا توجد في كل الأضعاف ضرورةً، إنما هي قد توجد في بعض الأضعاف على ما ذكرنا، فإنا نعلم لها وجهاً يُستخرج به إلا بعد أن نعلم كيف يُستخرج مقدار رابع تكون له نسبة إلى ثلاثة مقادير متناسبة مفروضة معلومة، ونريد أن نجد مقداراً رابعاً آخر يكون رابعاً لها ومتضمّناً معها، حتى تكون نسبة الأول المفروض إلى الثاني المفروض كنسبة الثالث المفروض إلى الرابع المطلوب؛ فإنا إذا لم نعلم كيف يُستخرج هذا المقدار الرابع للثلاثة المفروضة، فإنا لا نعلم وجهاً نصل به إلى وجود الأضعاف على الشريطة المذكورة.

وفي المقالة السادسة كيف يستخرج لمقدارين مقداراً ثالثاً مناسباً لهما، وفي قوة المقالة كيف يستخرج رابعاً لثلاثة، لكن إنما ذلك إذا كانت المقادير خطوطاً كلّها؛ فأما في الزوايا أو السطوح أو الأجسام فلم نَرَ ذلك؛ وقد رأينا أقواماً استخرجوا هذه الأضعاف المذكورة وسامحوا أنفسهم بوجود هذا المقدار الرابع دون طريقة في العمل توجِدُهم إياه؛ ولا فرق عندي بين من سامح في وجود هذا المقدار الرابع أو سامح في وجود الأضعاف على الشريطة المذكورة؛ ولهذه العلّة نرى - واللّه أعلم - أن أقليدس استعمل هذه الأضعاف في الشكل الثاني عشر من المقالة االخامسة دون أن تقدّم قبل ذلك كيف السبيل إلى استخراجها؛ ولا يقدح مثلُ هذا في البرهان ولا يخلّ به، لأنه إذا صحّ أن الشيء موجود واجب فلا بأس أن يُحتجّ بوجوده ويُبرهن به على شيء آخر؛ لأنه لو لم يسُغْ هذا في البرهان لَما جاز لنا مثلاً أن نعتقد أنّ ضلع الواقع في الدائرة أصغرُ من ضلع وأكبرُ من ضلع الواقعين في دائرة واحدة، ولا أنّ ضلع ذي الإحدى عشرة قاعدةً أصغرُ من ضلع وأكبرُ من ضلع ذي الاثنتي عشرة قاعدةً الذين في دائرة واحدة؛ إذْ إخراجُ وترِ المسبّع لا يمكن على طريق الهندسة؛ لكنا إذا أردنا أن نبين أنه أكبر من [٨٢-و] ضلع المثمّن، مثّلنا وتراً وجعلناه أنه يوتّر سُبع الدائرة على التمثيل لا على التحقيق، ثم نسقنا البرهان على ما يجب؛ فليست تقدح عدم العملية في العلمية؛ وإنما يقدح في العملية مثلها مثلُ لو أردنا أن نستخرج ضلع ذي الأربع عشرة قاعدةً المتساوي الأضلاع الواقع في الدائرة؛ لم يجُزْ لنا أن نمثّل وتراً ونجعله يوتّر سُبع الدائرة على غير تحقيق، ثم نقسم القوس بنصفين ونتمّم الشكل؛ فمثل هذا لا يجوز؛ والفرقان بيّن، فإن جوازَ مثل هذا في إقامة البرهان وامتناعَه في إخراجِ عمل إلى حدّ الفعل ظاهرٌ بينٌ، إن شاء تعالى.

وإذ قد انتهى بنا القولُ إلى هذا المكان وذكرنا ما كنّا أملنا ذكره، فقد آن لنا أن نقطع الكلام ونختمه بحمد ، جلّ ثناؤه وتقدّست أسماؤه؛ ونسأله مغفرةً وصفحاً عن الخطأ والزلل والتوفيق لما يرضاه من الحقّ في القول والعمل.

كملت المقالة في شرح النسبة من كلام الفقيه

أبي عبد محمد بن معاذ الجياني

رحمه