2.1 Borne supérieure du crible linéaire

Dans ce paragraphe nous rappelons un résultat d’Iwaniec sur le crible linéaire. Nous énonçons ici seulement la majoration car seule celle-ci sera utilisée dans cet article.

Soient ${\mathcal{A}}$ une suite finie d’entiers, ${\mathcal{P}}$ un ensemble de nombres premiers, $z\geqslant 2$ un nombre réel, $d$ un entier sans facteur carré dont les facteurs premiers appartiennent à ${\mathcal{P}}$ . Notons

$$\begin{eqnarray}{\mathcal{A}}_{d}:=\{a\in {\mathcal{A}}:d\mid a\},\qquad P_{{\mathcal{P}}}(z):=\mathop{\prod }_{p<z,p\in {\mathcal{P}}}p.\end{eqnarray}$$

On souhaite évaluer

$$\begin{eqnarray}S({\mathcal{A}};{\mathcal{P}},z):=|\{a\in {\mathcal{A}}:(a,P_{{\mathcal{P}}}(z))=1\}|.\end{eqnarray}$$

On suppose que $|{\mathcal{A}}_{d}|$ vérifie une formule de la forme

$$\begin{eqnarray}|{\mathcal{A}}_{d}|=\frac{w(d)}{d}X+r({\mathcal{A}},d)\quad \text{pour}~d\mid P_{{\mathcal{P}}}(z),\end{eqnarray}$$

où $X$ est une approximation de $|{\mathcal{A}}|$ indépendante de $d$ , $w$ une fonction multiplicative vérifiant $0<w(p)<p$ pour $p\in {\mathcal{P}}$ , $w(d)d^{-1}X$ un terme principal et $r({\mathcal{A}},d)$ un terme d’erreur que l’on espère petit en moyenne sur  $d$ . De plus, on définit

$$\begin{eqnarray}V(z):=\mathop{\prod }_{p<z,p\in {\mathcal{P}}}\biggl(1-\frac{w(p)}{p}\biggr).\end{eqnarray}$$

On a ainsi [Reference Iwaniec16]

Lemme 2.1. On suppose qu’il existe une constante $K\geqslant 2$ telle que

$$\begin{eqnarray}\mathop{\prod }_{u\leqslant p<v}\biggl(1-\frac{w(p)}{p}\biggr)^{-1}\leqslant \frac{\log v}{\log u}\biggl(1+\frac{K}{\log u}\biggr)\end{eqnarray}$$

pour tout $v>u\geqslant 2$ . Alors pour tout $\unicode[STIX]{x1D700}>0$ et $D^{1/2}\geqslant z\geqslant 2$ , on a

$$\begin{eqnarray}S({\mathcal{A}};{\mathcal{P}},z)\leqslant XV(z)\biggl\{F\biggl(\frac{\log D}{\log z}\biggr)+E\biggr\}+\mathop{\sum }_{\ell <\exp (8/\unicode[STIX]{x1D700}^{3})}\,\mathop{\sum }_{d\mid P_{{\mathcal{P}}}(z)}\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d)r({\mathcal{A}},d),\end{eqnarray}$$

où $F(s)=2\text{e}^{\unicode[STIX]{x1D6FE}}s^{-1}\;(0<s\leqslant 3)$ , $\unicode[STIX]{x1D6FE}$ est une constante d’Euler, $\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d)$ désigne un coefficient bien factorisable de niveau $D$ et d’ordre 1. Le terme d’erreur $E$ satisfait

$$\begin{eqnarray}E=O(\unicode[STIX]{x1D700}+\unicode[STIX]{x1D700}^{-8}\text{e}^{K}(\log D)^{-1/3}).\end{eqnarray}$$

Les $\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d)$ sont les poids de Rosser–Iwaniec. On pourra trouver une définition précise dans [Reference Iwaniec16]. Ici nous indiquons simplement que $|\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d)|\leqslant 1$ . La notion de fonction bien factorisable est définie au début du paragraphe 3.2.

2.2 Entiers sans facteur premier dans un intervalle donné

Soit

(2.1) $$\begin{eqnarray}P(y,z):=\mathop{\prod }_{z<p\leqslant y}p.\end{eqnarray}$$

On désigne pour $z<y\leqslant x$

(2.2) $$\begin{eqnarray}S(x;y,z):=\{n\leqslant x:(n,P(y,z))=1\}\end{eqnarray}$$

l’ensemble des entiers sans facteur premier dans l’intervalle $]\!z,y\!]$ et n’excédant pas $x$ . On note le cardinal

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F9}_{0}(x;\,y,z):=|S(x;y,z)|.\end{eqnarray}$$

Alors $\unicode[STIX]{x1D6F9}_{0}(x;y,z)$ est évaluée par le lemme suivant (voir [Reference Tenenbaum20, Exercice 299] ou [Reference Tenenbaum and Wu22] pour la correction).

Lemme 2.2. On a

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F9}_{0}(x;y,z)=\unicode[STIX]{x1D717}_{0}(\unicode[STIX]{x1D706},u)x\{1+O(1/\log \,z)\}\end{eqnarray}$$

uniformément pour $y\geqslant z\geqslant 2$ et $x\geqslant yz$ , où

$$\begin{eqnarray}u:=\frac{\log x}{\log y},\qquad \unicode[STIX]{x1D706}:=\frac{\log z}{\log y}\end{eqnarray}$$

et

(2.3) $$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D717}_{0}(\unicode[STIX]{x1D706},u):=\unicode[STIX]{x1D70C}(u/\unicode[STIX]{x1D706})+\int _{0}^{u}\unicode[STIX]{x1D70C}(t/\unicode[STIX]{x1D706})\unicode[STIX]{x1D714}(u-t)\,dt\end{eqnarray}$$

avec la convention $\unicode[STIX]{x1D717}_{0}(0,u)=0$ . La fonction de Buchstab $\unicode[STIX]{x1D714}(u)$ est définie comme la solution continue du système

$$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}u\unicode[STIX]{x1D714}(u)=1\quad & \text{si}~1\leqslant u\leqslant 2,\\ (u\unicode[STIX]{x1D714}(u))^{\prime }=\unicode[STIX]{x1D714}(u-1)\quad & \text{si}~u>2.\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

De plus, nous prolongeons $\unicode[STIX]{x1D714}(u)$ par $0$ pour $u<1$ . La fonction de Dickman $\unicode[STIX]{x1D70C}(u)$ est définie par l’unique solution continue de l’équation différentielle aux différences

(2.4) $$\begin{eqnarray}\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}\unicode[STIX]{x1D70C}(u)=1\quad & \text{si}~0\leqslant u\leqslant 1,\\ u\unicode[STIX]{x1D70C}^{\prime }(u)=-\unicode[STIX]{x1D70C}(u-1)\quad & \text{si}~u>1.\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

2.3 Entiers friables

Posons

(2.5) $$\begin{eqnarray}S(x,y):=\{n\leqslant x:P^{+}(n)\leqslant y\},\qquad \unicode[STIX]{x1D6F9}(x,y):=|S(x,y)|\end{eqnarray}$$

et

(2.6) $$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F9}(x,y;a,q):=\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x,y) \\ n\equiv a(\text{mod}~q)}}1,\qquad \unicode[STIX]{x1D6F9}_{q}(x,y):=\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x,y) \\ (n,q)=1}}1.\end{eqnarray}$$

Les deux lemmes respectivement suivants, dus à Hildebrand [Reference Hildebrand15, Theorem 1] et à Fouvry et Tenenbaum [Reference Fouvry and Tenenbaum12, Théorème 1], serviront dans la démonstration du Théorème 1.

Lemme 2.3. Soit $\unicode[STIX]{x1D700}>0$ . Alors on a

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F9}(x,y)=x\unicode[STIX]{x1D70C}(u)\biggl\{1+O_{\unicode[STIX]{x1D700}}\biggl(\frac{\log (u+1)}{\log y}\biggr)\biggr\}\end{eqnarray}$$

uniformément pour

(H_𝜀) $$\begin{eqnarray}x\geqslant x_{0}(\unicode[STIX]{x1D700}),\qquad \exp \{(\log _{2}x)^{5/3+\unicode[STIX]{x1D700}}\}\leqslant y\leqslant x,\end{eqnarray}$$

où $u=\log x/\log \,y$ et $\unicode[STIX]{x1D70C}(u)$ est définie par (2.4).

Lemme 2.4. Soit $\unicode[STIX]{x1D700}>0$ . Alors on a

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F9}_{q}(x,y)=\frac{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}{q}\unicode[STIX]{x1D6F9}(x,y)\biggl\{1+O\biggl(\frac{\log _{2}(qy)\log _{2}x}{\log y}\biggr)\biggr\}\end{eqnarray}$$

uniformément pour

(H_𝜀) $$\begin{eqnarray}x\geqslant x_{0}(\unicode[STIX]{x1D700}),\qquad \exp \{(\log _{2}x)^{5/3+\unicode[STIX]{x1D700}}\}\leqslant y\leqslant x\end{eqnarray}$$

et

(Q_𝜀) $$\begin{eqnarray}\log _{2}(q+2)\leqslant \biggl(\frac{\log y}{\log (u+1)}\biggr)^{1-\unicode[STIX]{x1D700}}.\end{eqnarray}$$

Pour l’évaluation de la fonction $\unicode[STIX]{x1D6F9}_{q}(x,y)$ , on peut aussi voir les travaux de La Bretèche et Tenenbaum [Reference De La Bretèche and Tenenbaum5, Corollary 2.2] avec un domaine plus large de  $y$ .

3.1 Théorème de type Bombieri–Vinogradov pour $S(x;y,z)$

Soit $S(x;y,z)$ l’ensemble défini comme dans (2.2). Notre théorème de type Bombieri–Vinogradov pour $S(x;y,z)$ est le suivant.

Proposition 3.1. Pour tout $A>0$ et tout $\unicode[STIX]{x1D700}>0$ , il existe une constante $B=B(A)>0$ telle que l’on ait

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{q\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}\max _{t\leqslant x}\max _{(a,q)=1}\biggl|\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(t;\,y,z) \\ n\equiv a(\text{mod}~q)}}1-\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(t;\,y,z) \\ (n,q)=1}}1\biggr|\ll _{A,\unicode[STIX]{x1D700}}\frac{x}{(\log x)^{A}}\end{eqnarray}$$

uniformement pour

(3.1) $$\begin{eqnarray}2\leqslant z\leqslant y\leqslant x\quad \text{et}\quad \exp \{(\log \,x)^{2/5+\unicode[STIX]{x1D700}}\}\leqslant y\leqslant x,\end{eqnarray}$$

où $\unicode[STIX]{x1D711}(q)$ est la fonction d’Euler.

Pour démontrer cette proposition, rappelons d’abord un résultat général de Motoshashi [Reference Motohashi17]. Soit $f$ une fonction arithmétique vérifiant les propriétés suivantes :

( $\mathscr{A}$ )

$f(n)\ll \unicode[STIX]{x1D70F}(n)^{C}$ , où $\unicode[STIX]{x1D70F}(n)$ désigne la fonction diviseur et $C$ est une constante.

( $\mathscr{B}$ )

Si le conducteur d’un caractère de Dirichlet non principal $\unicode[STIX]{x1D712}$ est $O((\log x)^{D})$ , alors

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{n\leqslant x}f(n)\unicode[STIX]{x1D712}(n)\ll x(\log x)^{-3D}\quad (x\geqslant 2),\end{eqnarray}$$

où $D$ est une constante positive.

( $\mathscr{C}$ )

Soit

$$\begin{eqnarray}E_{f}(y;q,a):=\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant y \\ n\equiv a(\text{mod}~q)}}f(n)-\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant y \\ (n,q)=1}}f(n),\end{eqnarray}$$

alors pour tout $A>0$ , il existe une constante $B=B(A)>0$ telle que

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{q\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}\max _{y\leqslant x}\max _{(a,q)=1}|E_{f}(y;q,a)|\ll \frac{x}{(\log x)^{A}}\quad (x\geqslant 2).\end{eqnarray}$$

Les constantes $A,B,C,D$ ne dépendent que la fonction $f$ .

Le résultat suivant est dû à Motohashi [Reference Motohashi17, Theorem 1].

De manière analogue à $P^{+}(n)$ , désignons par $P^{-}(n)$ le plus petit facteur premier d’un entier $n\geqslant 1$ avec la convention $P^{-}(1)=\infty$ . Posons

(3.2) $$\begin{eqnarray}\widetilde{S}(x,y):=\{n\leqslant x:P^{-}(n)>y\},\qquad \unicode[STIX]{x1D6F7}(x,y):=|\widetilde{S}(x,y)|\end{eqnarray}$$

et

(3.3) $$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6F7}(x,y;a,q):=\mathop{\sum }_{\substack{ n\in \widetilde{S}(x,y) \\ n\equiv a(\text{mod}~q)}}1,\qquad \unicode[STIX]{x1D6F7}_{q}(x,y):=\mathop{\sum }_{\substack{ n\in \widetilde{S}(x,y) \\ (n,q)=1}}1.\end{eqnarray}$$

Nous utilisons des théorèmes de type Bombieri–Vinogradov pour les entiers criblés et pour les entiers friables.

Lemme 3.2. Pour tout $A>0$ , il existe une constante $B=B(A)>0$ telle que l’on ait

(3.4) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\sum }_{q\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}\max _{z\leqslant x}\max _{(a,q)=1}\biggl|\unicode[STIX]{x1D6F9}(z,y;a,q)-\frac{\unicode[STIX]{x1D6F9}_{q}(z,y)}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\biggr| & \ll _{A} & \displaystyle \frac{x}{(\log x)^{A}}\end{eqnarray}$$

(3.5) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\sum }_{q\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}\max _{z\leqslant x}\max _{(a,q)=1}\biggl|\unicode[STIX]{x1D6F7}(z,y;a,q)-\frac{\unicode[STIX]{x1D6F7}_{q}(z,y)}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\biggr| & \ll _{A} & \displaystyle \frac{x}{(\log x)^{A}}\end{eqnarray}$$

uniformément pour $x\geqslant y\geqslant 2$ .

La formule (3.5) a été démontrée par Wolke [Reference Wolke26], qui dans le même article annonce une formule équivalente pour les friables. La formule (3.4) a été démontrée par Fouvry et Tenenbaum [Reference Fouvry and Tenenbaum12]. On trouvera dans l’article [Reference Fouvry and Tenenbaum13] de Fouvry–Tenenbaum (voir également les travaux récents de Drappeau [Reference Drappeau7]) une formule avec une majoration en $\unicode[STIX]{x1D6F9}(x,y)(\log x)^{-A}$ à la place de $x(\log x)^{-A}$ lorsque $y>\exp \{(\log x)^{2/3+\unicode[STIX]{x1D700}}\}$ et dans l’article [Reference Harper14] d’Harper une formule avec une majoration de niveau $\unicode[STIX]{x1D6F9}(x,y)^{1/2}(\log x)^{-B}$ , en $\unicode[STIX]{x1D6F9}(x,y)(\log x)^{-A}$ à la place de $x(\log x)^{-A}$ lorsque $y>(\log x)^{K},K$ est une constante fixée. Cependant, dans nos preuves, l’inégalité (3.4) sera suffisante. En particulier, nous exploitons l’uniformité en “ $\max _{z\leqslant x}$ ” dans (3.4) et qui n’apparaît pas dans [Reference Fouvry and Tenenbaum13].

Nous somme maintenant prêts pour la preuve de la Proposition 3.1.

Démonstration.

Soient $\unicode[STIX]{x1D706}$ la fonction caractéristique de l’ensemble $S(x;y,z)$ , c’est-à-dire,

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D706}(n):=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}1\quad & \text{si}~n\in S(x;y,z),\\ 0\quad & \text{sinon}.\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

Définissons deux fonctions arithmétiques $v_{z}$ et $u_{y}$ par

$$\begin{eqnarray}v_{z}(n):=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}1\quad & \text{si}~P^{+}(n)\leqslant z,\\ 0\quad & \text{sinon},\end{array}\right.\qquad u_{y}(n):=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}1\quad & \text{si}~P^{-}(n)>y,\\ 0\quad & \text{sinon}.\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

Alors $v_{z}$ et $u_{y}$ sont multiplicatives et on a

(3.6) $$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D706}=v_{z}\ast u_{y}.\end{eqnarray}$$

En fait, si $n\not \in S(x;y,z)$ , il existe un premier $p$ tel que $p\mid n$ et $z\leqslant p<y$ . D’où

$$\begin{eqnarray}v_{z}\ast u_{y}(n)=\mathop{\sum }_{\substack{ d_{1}d_{2}=n \\ p|d_{1}~\text{ou}~p|d_{2}}}v_{z}(d_{1})u_{y}(d_{2})=0=\unicode[STIX]{x1D706}(n).\end{eqnarray}$$

Si $n\in S(x;y,z)$ , alors cet entier peut être écrit de manière unique sous la forme

$$\begin{eqnarray}n=n_{1}n_{2},\qquad P^{+}(n_{1})\leqslant z,\qquad P^{-}(n_{2})>y.\end{eqnarray}$$

Ainsi

$$\begin{eqnarray}v_{z}\ast u_{y}(n)=\mathop{\sum }_{d_{1}d_{2}=n}v_{z}(d_{1})u_{y}(d_{2})=v_{z}(n_{1})u_{y}(n_{2})=1=\unicode[STIX]{x1D706}(n).\end{eqnarray}$$

Donc pour démontrer le résultat souhaité, grâce au Lemme 3.1, il suffit de vérifier que les deux fonctions $v_{z}$ et $u_{y}$ possèdent les propriétés $(\mathscr{A})$ , $(\mathscr{B})$ et $(\mathscr{C})$ .

La première est triviale.

Soient $D>0$ , $1<q\leqslant (\log x)^{D}$ et $c_{0},c_{1},c_{2}$ des constantes strictement positives, alors pour tout caractère de Dirichlet $\unicode[STIX]{x1D712}$ non principal modulo $q$ , on a, d’après le Théorème 4 de [Reference Fouvry and Tenenbaum12]

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant x \\ P^{+}(n)\leqslant z}}\unicode[STIX]{x1D712}(n)\ll \unicode[STIX]{x1D6F9}(x,z)\text{e}^{-c_{1}\sqrt{\log z}}\ll x(\log x)^{-3D}\end{eqnarray}$$

sous la condition

$$\begin{eqnarray}x\geqslant 3,\qquad \exp \{c_{0}(\log _{2}x)^{2}\}\leqslant z\leqslant x.\end{eqnarray}$$

De plus, si $2\leqslant z<\exp \{c_{0}(\log _{2}x)^{2}\}$ , le Théorème III.5.1 de [Reference Tenenbaum20] implique trivialement que

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant x \\ P^{+}(n)\leqslant z}}\unicode[STIX]{x1D712}(n)\ll \unicode[STIX]{x1D6F9}(x,z)\ll x\text{e}^{-(\log x)/(2\log z)}\ll x(\log x)^{-3D}.\end{eqnarray}$$

Cela montre que $v_{z}$ possède la propriété $(\mathscr{B})$ pour $2\leqslant z\leqslant x$ . De manière similaire, par le résultat de [Reference Xuan27, Theorem 1], $u_{y}$ satisfait $(\mathscr{B})$ pour $\exp \{(\log x)^{2/5+\unicode[STIX]{x1D700}}\}\leqslant y\leqslant x^{1/2}.$ Si $y>x^{1/2}$ , $m$ est premier et on sait que $u_{y}(m)$ satisfait $(\mathscr{B})$ (voir [Reference Tenenbaum20]). Donc $u_{y}$ satisfait $(\mathscr{B})$ pour

$$\begin{eqnarray}\exp \{(\log x)^{2/5+\unicode[STIX]{x1D700}}\}\leqslant y\leqslant x.\end{eqnarray}$$

On en déduit ensuite que $v_{z}$ et $u_{y}$ satisfont $(\mathscr{C})$ en utilisant (3.4) et (3.5) du Lemme 3.2 respectivement. Finalement, à l’aide du Lemme 3.1 on déduit que $\unicode[STIX]{x1D706}=v_{z}\ast u_{y}$ satisfait des propriétés $(\mathscr{A})$ , $(\mathscr{B})$ et $(\mathscr{C})$ sous la condition

$$\begin{eqnarray}2\leqslant z\leqslant y\leqslant x,\qquad \exp \{(\log x)^{2/5+\unicode[STIX]{x1D700}}\}\leqslant y\leqslant x.\end{eqnarray}$$

La Proposition 3.1 est ainsi démontrée. ◻

3.2 Théorème de type Bombieri–Vinogradov avec une fonction bien factorisable

Pour un entier positif $k$ , on définit $\unicode[STIX]{x1D70F}_{k}(n)$ par

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D70F}_{k}(n)=\mathop{\sum }_{n=n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}1.\end{eqnarray}$$

Une fonction arithmétique $\unicode[STIX]{x1D706}(q)$ est dite de niveau $Q$ et d’ordre $k$ si

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D706}(q)=0\quad (q>Q)\quad \text{et}\quad |\unicode[STIX]{x1D706}(q)|\leqslant \unicode[STIX]{x1D70F}_{k}(q)\quad (q\leqslant Q).\end{eqnarray}$$

On dit que $\unicode[STIX]{x1D706}$ est bien factorisable de niveau $Q$ si pour toute décomposition $Q=Q_{1}Q_{2}$ avec $Q_{1},Q_{2}\geqslant 1$ , il existe deux fonctions arithmétiques $\unicode[STIX]{x1D706}_{1},\unicode[STIX]{x1D706}_{2}$ de niveaux $Q_{1},Q_{2}$ et d’ordre $k$ telles que

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D706}=\unicode[STIX]{x1D706}_{1}\ast \unicode[STIX]{x1D706}_{2}.\end{eqnarray}$$

Pour $q\in \mathbb{N}^{\ast }$ et $(a,q)=1$ , on définit

(3.7) $$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D70B}(x;\ell ,a,q):=\mathop{\sum }_{\substack{ \ell p\leqslant x \\ \ell p\equiv a(\text{mod}~q)}}1,\end{eqnarray}$$

pour $\ell =1$ , on retrouve $\unicode[STIX]{x1D70B}(x;a,q)$ la fonction de compte des nombres premiers dans les progressions arithmétiques.

Le théorème de Bombieri–Vinogradov assure que $\unicode[STIX]{x1D70B}(x;a,q)$ est proche de $\text{li}(x)/\unicode[STIX]{x1D711}(q)$ en moyenne pour $q\leqslant x^{1/2}=(\log x)^{A}$ . Fouvry et Iwaniec [Reference Fouvry and Iwaniec11] puis Fouvry [Reference Fouvry10] montrent que la borne $q\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{A}$ peut être remplacée par $x^{\unicode[STIX]{x1D703}-\unicode[STIX]{x1D700}}$ (avec $\unicode[STIX]{x1D703}=9/17$ dans [Reference Fouvry and Iwaniec11] puis $\unicode[STIX]{x1D703}=17/32$ dans [Reference Fouvry10]), si on insère un poids bien factorisable. C’est la première fois que la barrière $q\leqslant x^{1/2}=(\log x)^{A}$ est franchie. Bombieri, Friedlander et Iwaniec [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3] obtiennent ensuite un tel résultat avec une borne $q\leqslant x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}}$ . Nous présentons ici une légère généralisation du résultat de [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3].

Proposition 3.2. Soient $a\in \mathbb{Z}^{\ast }$ , $A>0$ et $\unicode[STIX]{x1D700}>0$ . Alors pour toute fonction bien factorisable $\unicode[STIX]{x1D706}(q)$ de niveau $Q$ , la majoration suivante

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{(a,q)=1}\unicode[STIX]{x1D706}(q)\mathop{\sum }_{\substack{ L_{1}\leqslant \ell \leqslant L_{2} \\ (\ell ,q)=1}}\biggl(\unicode[STIX]{x1D70B}(x;\ell ,a,q)-\frac{\text{li}(x/\ell )}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\biggr)\ll _{a,A,\unicode[STIX]{x1D700}}\frac{x}{(\log x)^{A}}\end{eqnarray}$$

ait lieu pour

$$\begin{eqnarray}Q=x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}},\quad 1\leqslant L_{1}\leqslant L_{2}\leqslant x^{1-\unicode[STIX]{x1D700}}.\end{eqnarray}$$

La constante implicite dépend au plus de $a$ , $A$ et $\unicode[STIX]{x1D700}$ .

Démonstration.

On remplace d’abord $\unicode[STIX]{x1D70B}(t)$ par $\sum _{m\leqslant t}\unicode[STIX]{x1D6EC}(m)$ en utilisant une intégration par parties. Puis en observant que la contribution des $n$ tels que $(n,qP(z))\neq 1$ est négligeable, on vérifie qu’il suffit de montrer

(3.8) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \mathop{\sum }_{(a,q)=1}\unicode[STIX]{x1D706}(q)\mathop{\sum }_{\substack{ L_{1}\leqslant \ell \leqslant L_{2} \\ (\ell ,q)=1}}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ \ell n\leqslant x \\ \ell n\equiv a(\text{ mod}~q) \\ (n,P(z))=1}}\unicode[STIX]{x1D6EC}(n)-\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\mathop{\sum }_{\substack{ \ell n\leqslant x \\ (n,qP(z))=1}}\unicode[STIX]{x1D6EC}(n)\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad \ll _{a,A,\unicode[STIX]{x1D700}}\frac{x}{(\log x)^{A}}\end{eqnarray}$$

avec $z=\exp (\log x/\log _{2}x)$ .

Puisque la démonstration est très proche de celle de [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3, Theorem 10], nous indiquons les points essentiels et les différences entre les deux démonstrations. Pour cela, on introduit

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6E5}(L\mid M_{1},\ldots ,M_{j}\mid N_{1},\ldots ,N_{j};q,a)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad :=\sum _{\substack{ \ell m_{1}\cdots m_{j}n_{1}\cdots n_{j}\equiv a(\text{mod}~q) \\ \ell \in \mathscr{L},m_{i}\in \mathscr{M}_{i},n_{i}\in \mathscr{N}_{i}}}\unicode[STIX]{x1D707}(m_{1})\cdots \unicode[STIX]{x1D707}(m_{j})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \qquad -\,\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\sum _{\substack{ (\ell m_{1}\cdots m_{j}n_{1}\cdots n_{j},q)=1 \\ \ell \in \mathscr{L},m_{i}\in \mathscr{M}_{i},n_{i}\in \mathscr{N}_{i}}}\unicode[STIX]{x1D707}(m_{1})\cdots \unicode[STIX]{x1D707}(m_{j}),\nonumber\end{eqnarray}$$

où $\sum ^{\ast }$ désigne que la somme est restreinte à des entiers $m_{1},\ldots ,m_{j},n_{1},\ldots ,n_{j}$ sans facteur premier ${<}z$ , et $\mathscr{L},\mathscr{M}_{i},\mathscr{N}_{i}$ sont les intervalles suivants

$$\begin{eqnarray}\mathscr{L}:=[(1-\unicode[STIX]{x1D6E5})L,L\![,\qquad \!\mathscr{M}_{i}:=[(1-\unicode[STIX]{x1D6E5})M_{i},M_{i}\! [,\qquad \!N_{i}=[(1-\unicode[STIX]{x1D6E5})N_{i},N_{i}\! [\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}LM_{1}\cdots M_{j}N_{1}\cdots N_{j}=x,\qquad \max (M_{1},\ldots ,M_{j})<x^{1/7}\end{eqnarray}$$

et $\unicode[STIX]{x1D6E5}=(\log x)^{-A_{1}}$ ( $A_{1}$ est une constante assez grande dépendant de  $A$ ).

Dans la démonstration de [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3, Theorem 10], on remplace, pour $j\leqslant J=7$ ,

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \mathscr{E}(M_{1},\ldots ,M_{j}\mid N_{1},\ldots ,N_{j})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad :=\sum _{(a,q_{1}q_{2})=1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{q_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{q_{2}}\,\unicode[STIX]{x1D6E5}(M_{1},\ldots ,M_{j}\mid N_{1},\ldots ,N_{j};q_{1}q_{2},a)\nonumber\end{eqnarray}$$

par

$$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \mathscr{E}(L\mid M_{1},\ldots ,M_{j}\mid N_{1},\ldots ,N_{j})\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad :=\sum _{(a,q_{1}q_{2})=1}\unicode[STIX]{x1D6FE}_{q_{1}}\unicode[STIX]{x1D6FF}_{q_{2}}\,\unicode[STIX]{x1D6E5}(L\mid M_{1},\ldots ,M_{j}\mid N_{1},\ldots ,N_{j};q_{1}q_{2},a).\nonumber\end{eqnarray}$$

On va montrer que

(3.9) $$\begin{eqnarray}\mathscr{E}(L\mid M_{1},\ldots ,M_{j}\mid N_{1},\ldots ,N_{j})\ll x(\log x)^{-A_{2}}\end{eqnarray}$$

pour tout $A_{2}$ . Notons

$$\begin{eqnarray}L=x^{\unicode[STIX]{x1D708}_{0}},\qquad M_{i}=x^{\unicode[STIX]{x1D707}_{i}},\qquad N_{i}=x^{\unicode[STIX]{x1D708}_{i}}\end{eqnarray}$$

avec

(3.10) $$\begin{eqnarray}\hspace{-3.0pt}\begin{array}{@{}c@{}}0\leqslant \unicode[STIX]{x1D707}_{j}\leqslant \cdots \leqslant \unicode[STIX]{x1D707}_{1}\leqslant {\textstyle \frac{1}{7}},\qquad \!0\leqslant \unicode[STIX]{x1D708}_{j}\leqslant \cdots \leqslant \unicode[STIX]{x1D708}_{1},\qquad \!0\leqslant \unicode[STIX]{x1D708}_{0}<1-\unicode[STIX]{x1D700},\\ \unicode[STIX]{x1D707}_{1}+\cdots +\unicode[STIX]{x1D707}_{j}+\unicode[STIX]{x1D708}_{1}+\cdots +\unicode[STIX]{x1D708}_{j}+\unicode[STIX]{x1D708}_{0}=1.\end{array}\end{eqnarray}$$

On utilise ensuite un argument combinatoire similaire à [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3, Theorem 10]. La différence est qu’on ne peut pas appliquer [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3, Theorem 1] et [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3, Theorem 2] à $L=x^{\unicode[STIX]{x1D708}_{0}}$ , car on n’a pas toujours $(\ell ,P(z))=1$ lorsque $\ell \in \mathscr{L}$ . Pour surmonter cette difficulté, nous observons tout d’abord que, si $\unicode[STIX]{x1D708}_{0}\geqslant {\textstyle \frac{3}{7}}$ , on peut appliquer le théorème 5 de [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3] avec

$$\begin{eqnarray}M=L=x^{\unicode[STIX]{x1D708}_{0}}\geqslant x^{3/7},\qquad \max (Q,R)\leqslant x^{2/7-2\unicode[STIX]{x1D700}}\end{eqnarray}$$

pour obtenir (3.9). Sinon, c’est-à-dire, dans le cas où $\unicode[STIX]{x1D708}_{0}<{\textstyle \frac{3}{7}}$ , on utilise le théorème 1 ou 2 de [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3] avec

$$\begin{eqnarray}R=x^{-\unicode[STIX]{x1D700}}N,\qquad Q\leqslant x^{4/7-4\unicode[STIX]{x1D700}}N^{-1}\end{eqnarray}$$

selon

(3.11) $$\begin{eqnarray}x^{2/7-\unicode[STIX]{x1D700}}<N<x^{3/7+\unicode[STIX]{x1D700}}\end{eqnarray}$$

ou

(3.12) $$\begin{eqnarray}x^{1/7-\unicode[STIX]{x1D700}}<N<x^{2/7+\unicode[STIX]{x1D700}}.\end{eqnarray}$$

Si (3.10) a une somme partielle $\unicode[STIX]{x1D706}$ de $\unicode[STIX]{x1D707}_{1},\ldots ,\unicode[STIX]{x1D707}_{j},\unicode[STIX]{x1D708}_{1},\ldots ,\unicode[STIX]{x1D708}_{j}$ avec

(3.13) $$\begin{eqnarray}{\textstyle \frac{1}{7}}\leqslant \unicode[STIX]{x1D706}\leqslant {\textstyle \frac{3}{7}},\end{eqnarray}$$

on complète la preuve d’après (3.11) ou (3.12). Sinon, on peut supposer qu’il n’y a pas de somme partielle de $\unicode[STIX]{x1D707}_{1},\ldots ,\unicode[STIX]{x1D707}_{j},\unicode[STIX]{x1D708}_{1},\ldots ,\unicode[STIX]{x1D708}_{j}$ de (3.10) dans (3.11) ou (3.12). Ainsi, toutes les $\unicode[STIX]{x1D707}_{i}$ et $\unicode[STIX]{x1D708}_{i}$ avec $\unicode[STIX]{x1D708}_{i}\leqslant {\textstyle \frac{1}{7}}$ donnent un produit $\unicode[STIX]{x1D702}$ avec

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D702}<{\textstyle \frac{1}{7}},\end{eqnarray}$$

d’où l’on peut déduire que

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D702}+\unicode[STIX]{x1D708}_{0}<{\textstyle \frac{4}{7}}\cdot\end{eqnarray}$$

On a ainsi $\unicode[STIX]{x1D708}_{1}\geqslant {\textstyle \frac{3}{7}}$ . En utilisant [Reference Bombieri, Friedlander and Iwaniec3, Theorem  $5^{\ast }$ ] avec

$$\begin{eqnarray}M=N_{1}=x^{\unicode[STIX]{x1D708}_{1}}\geqslant x^{3/7},\qquad \max (Q,R)\leqslant x^{2/7-2\unicode[STIX]{x1D700}},\end{eqnarray}$$

nous terminons la démonstration de la Proposition 3.2. ◻

Le lemme suivant, dû à Pan et al [Reference Pan, Ding and Wang18], sera aussi utile dans la démonstration du Théorème 2.

Lemme 3.3. Soient $\unicode[STIX]{x1D6FC}\in ]\!0,1\![$ et $f(\ell )$ une fonction arithmétique vérifiant $|f(\ell )|\leqslant 1$ . Alors pour tout $A>0$ , il existe une constante $B=B(A)>0$ telle que l’on ait

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{q\leqslant Q}\,\max _{(a,q)=1}\,\max _{y\leqslant x}\,\biggl|\mathop{\sum }_{\substack{ L_{1}<\ell \leqslant L_{2} \\ (\ell ,q)=1}}f(\ell )\biggl(\unicode[STIX]{x1D70B}(y;\ell ,a,q)-\frac{\text{li}(y/\ell )}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\biggr)\biggr|\ll _{\unicode[STIX]{x1D6FC},A}\frac{x}{(\log x)^{A}}\end{eqnarray}$$

uniformément pour

$$\begin{eqnarray}Q=x^{1/2}/(\log x)^{B},\qquad (\log x)^{2B}\leqslant L_{1}\leqslant L_{2}\leqslant x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},\end{eqnarray}$$

où la constante implicite ne dépend que de $\unicode[STIX]{x1D6FC}$ et  $A$ .

9.1 Point de départ

Pour $y=x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}}$ avec $\frac{1}{2}<\unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1$ et $1-\unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant c\leqslant \frac{1}{2}$ , on peut écrire

(9.1) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant x \\ P_{y}^{+}(n)<P_{y}^{+}(n+1)}}1 & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant x \\ y\geqslant P^{+}(n+1)>x^{1-c}}}1\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle -\,\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant x \\ y\geqslant P^{+}(n)>P^{+}(n+1)>x^{1-c}}}1+\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant x \\ P_{y}^{+}(n)<P_{y}^{+}(n+1)\leqslant x^{1-c}}}1\nonumber\\ \displaystyle & =: & \displaystyle \mathscr{S}_{A}-\mathscr{S}_{B}+\mathscr{S}_{C}.\end{eqnarray}$$

Il reste à maintenant minorer $\mathscr{S}_{A}$ , $\mathscr{S}_{C}$ et majorer  $\mathscr{S}_{B}$ .

9.2 Estimation de la somme $\mathscr{S}_{A}$

Pour $\mathscr{S}_{A}$ , d’après le Lemme 2.3, on a

(9.2) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{A} & = & \displaystyle x\biggl\{\unicode[STIX]{x1D70C}\biggl(\frac{\log x}{\log y}\biggr)-\unicode[STIX]{x1D70C}\biggl(\frac{\log x}{\log x^{1-c}}\biggr)\biggr\}+o(x)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle x\biggl\{\unicode[STIX]{x1D70C}\biggl(\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D6FC}}\biggr)-\unicode[STIX]{x1D70C}\biggl(\frac{1}{1-c}\biggr)\biggr\}+o(x)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle x\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}}{1-c}\biggr)+o(x)\end{eqnarray}$$

pour $\frac{1}{2}\leqslant 1-c\leqslant \unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1$ , où on a utilisé le fait que $\unicode[STIX]{x1D70C}(u)=1-\log u\;(1\leqslant u\leqslant 2)$ .

9.3 Estimation de la somme $\mathscr{S}_{B}$

Pour $\mathscr{S}_{B}$ , on utilise le crible de Rosser–Iwaniec comme l’auteur l’a fait dans [Reference Wang25]. On observe tout d’abord que, $\mathscr{S}_{B}$ compte le nombre des entiers $n$ tels que $n=ap=bp^{\prime }-1$ , avec $x^{1-c}<p^{\prime }<p\leqslant y.$ On a ainsi

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{B} & {\leqslant} & \displaystyle |\{n\leqslant x:n=ap=bp^{\prime }-1,x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b\leqslant x^{c}\}|+o(x)\nonumber\\ \displaystyle & {\leqslant} & \displaystyle \mathop{\sum }_{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<b\leqslant x^{c}}|\{n\in \mathscr{A}(b):n~\text{est premier}\}|+o(x),\nonumber\end{eqnarray}$$

où

$$\begin{eqnarray}\mathscr{A}(b):=\biggl\{\frac{ap+1}{b}:ap\leqslant x,x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b,ap+1\equiv 0\,(\text{mod}~b)\biggr\}.\end{eqnarray}$$

On prend ${\mathcal{P}}=\{p:p~\text{est premier}\}$ , et on déduit que, pour $b\leqslant x^{c}$ et $d\mid P(z):=\prod _{p<z}p$ , où $z$ sera explicité plus tard,

(9.3) $$\begin{eqnarray}\displaystyle |\mathscr{A}_{d}(b)| & = & \displaystyle \biggl|\biggl\{\frac{ap+1}{b}:ap\leqslant x,x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b,ap+1\equiv 0\,(\text{mod}~bd)\biggr\}\biggr|\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b \\ (a,bd)=1}}~\frac{\text{li}(x/a)}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)}+\mathop{\sum }_{\substack{ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b \\ (a,bd)=1}}E(x/a;-\overline{a},bd),\end{eqnarray}$$

où

$$\begin{eqnarray}E(x;a,q):=\unicode[STIX]{x1D70B}(x;a,q)-\frac{\text{li}\,x}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)},\qquad a\overline{a}\equiv 1\,(\text{mod}~bd).\end{eqnarray}$$

Pour la première somme du membre de droite de (9.3), en utilisant le théorème des nombres premiers et la formule d’inversion de Möbius, on a

(9.4) $$\begin{eqnarray}\displaystyle & & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b \\ (a,bd)=1}}~\frac{\text{li}(x/a)}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)}\mathop{\sum }_{\substack{ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b \\ (a,bd)=1}}~\frac{x}{a\log (x/a)}\biggl\{1+O\biggl(\frac{1}{\log x}\biggr)\biggr\}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\{1+o(1)\}\frac{x}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)}\mathop{\sum }_{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b}\frac{1}{a\log (x/a)}\mathop{\sum }_{q\mid (a,bd)}\unicode[STIX]{x1D707}(q)\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\{1+o(1)\}\frac{x}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)}\mathop{\sum }_{q\mid bd}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\mathop{\sum }_{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<aq<b}\frac{1}{a\log (x/aq)}\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle \quad =\{1+o(1)\}\frac{x}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)}\mathop{\sum }_{q\mid bd}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\mathop{\sum }_{\max \{1,x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}/q\}<a<b/q}\frac{1}{a\log (x/aq)}.\end{eqnarray}$$

Désignons par $\mathscr{S}(bd)$ la double somme de droite. Pour le cas $\unicode[STIX]{x1D6FC}>1-(9\log \log x)/\log \,x$ , i.e. $\unicode[STIX]{x1D6FC}$ proche de 1, on a $x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<(\log x)^{9}$ et on découpe la somme sur $q$ dans (9.4) en trois parties :

(9.5) $$\begin{eqnarray}\mathscr{S}(bd)=\mathscr{S}_{1}(bd)+\mathscr{S}_{2}(bd)+O\biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}(bd)}{(\log x)^{9}}\biggr),\end{eqnarray}$$

où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{1}(bd) & := & \displaystyle \mathop{\sum }_{q\mid bd,q\leqslant x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\mathop{\sum }_{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}/q<a<b/q}\frac{1}{a\log (x/aq)},\nonumber\\ \displaystyle \mathscr{S}_{2}(bd) & := & \displaystyle \mathop{\sum }_{q\mid bd,x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<q\leqslant (\log x)^{9}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\mathop{\sum }_{1<a<b/q}\frac{1}{a\log (x/aq)},\nonumber\end{eqnarray}$$

et nous avons déjà utilisé l’estimation triviale :

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{q\mid bd,q>(\log x)^{9}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\mathop{\sum }_{1<a<b/q}\frac{1}{a\log (x/aq)}\ll \frac{\unicode[STIX]{x1D70F}(bd)}{(\log x)^{9}}.\end{eqnarray}$$

Pour $\mathscr{S}_{1}(bd)$ et $\mathscr{S}_{2}(bd)$ , on utilise une intégration par parties,

(9.6) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{1}(bd) & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ q\mid bd \\ q\leqslant x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\biggl\{\int _{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}/q}^{b/q}\,\frac{dt}{t\log (x/tq)}+O\biggl(\frac{1}{\log x}\biggr)\biggr\}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ q\mid bd \\ q\leqslant x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/b)}\biggr)+O\biggl(\frac{\log \log x}{\log x}\biggr)\end{eqnarray}$$

compte tenu de la condition $x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<(\log x)^{9}$ . On a ensuite pour $\mathscr{S}_{2}(bd)$

(9.7) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{2}(bd) & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ q\mid bd \\ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<q\leqslant (\log x)^{9}}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\biggl\{\int _{1}^{b/q}\,\frac{dt}{t\log (x/tq)}+O\biggl(\frac{1}{\log x}\biggr)\biggr\}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ q\mid bd \\ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<q\leqslant (\log x)^{9}}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\biggl\{\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log (x/q)}{\log (x/b)}\biggr)+\log \biggl(\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D6FC}}\biggr)+O\biggl(\frac{1}{\log x}\biggr)\biggr\}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ q\mid bd \\ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<q\leqslant (\log x)^{9}}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\biggl\{\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/b)}\biggr)+O\biggl(\frac{\log \log x}{\log x}\biggr)\biggr\}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ q\mid bd \\ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<q\leqslant (\log x)^{9}}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/b)}\biggr)+O\biggl(\frac{(\log \log x)^{2}}{\log x}\biggr).\end{eqnarray}$$

En reportant (9.6) et (9.7) dans (9.5), on obtient pour $\unicode[STIX]{x1D6FC}>1-(9\log \log x)/\log \,x$

(9.8) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}(bd) & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ q\mid bd \\ q\leqslant (\log x)^{9}}}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/b)}\biggr)+O\biggl(\frac{(\log \log x)^{2}}{\log x}+\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}(bd)}{(\log x)^{9}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{q\mid bd}\frac{\unicode[STIX]{x1D707}(q)}{q}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/b)}\biggr)+O\biggl(\frac{(\log \log x)^{2}}{\log x}+\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}(bd)}{(\log x)^{9}}\biggr)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)}{bd}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/b)}\biggr)+O\biggl(\frac{(\log \log x)^{2}}{\log x}+\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}(bd)}{(\log x)^{9}}\biggr).\end{eqnarray}$$

De façon similaire, on a la même estimation pour $\unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1-(9\log \log x)/\log \,x$ .

Ainsi, la formule (9.4) est estimée par

(9.9) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b \\ (a,bd)=1}}~\frac{\text{li}(x/a)}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)} & = & \displaystyle \{1+o(1)\}\frac{x}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)}\mathscr{S}(bd)\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \frac{x}{bd}\biggl\{\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/b)}\biggr)+o(1)\biggr\}+O\biggl(\frac{x\unicode[STIX]{x1D70F}(bd)}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)(\log x)^{9}}\biggr).\nonumber\\ \displaystyle & & \displaystyle\end{eqnarray}$$

Compte tenu de (9.3) et (9.9), on en déduit que

$$\begin{eqnarray}|\mathscr{A}_{d}(b)|=\frac{w(d)}{d}X+r(\mathscr{A}(b),d)\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle w(d) & = & \displaystyle 1,\qquad X=\frac{x}{b}\,\biggl\{\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/b)}\biggr)+o(1)\biggr\},\nonumber\\ \displaystyle r(\mathscr{A}(b),d) & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b \\ (a,bd)=1}}E(x/a;-\overline{a},bd)+O\biggl(\frac{x\unicode[STIX]{x1D70F}(bd)}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)(\log x)^{9}}\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

On peut donc appliquer le Lemme 2.1 avec $D=z^{2}=x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}}/b$ et obtenir

$$\begin{eqnarray}S(\mathscr{A}(b);{\mathcal{P}},z)\leqslant \{1+o(1)\}\frac{2X}{\log (x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}}/b)}+\mathop{\sum }_{\ell <L}\,\mathop{\sum }_{d<D,d\mid P(z)}\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d)\,r(\mathscr{A}(b),d),\end{eqnarray}$$

où $L:=\exp (8/\unicode[STIX]{x1D700}^{3})$ et on a utilisé la formule de Mertens

$$\begin{eqnarray}V(z)=\mathop{\prod }_{p<z}\biggl(1-\frac{1}{p}\biggr)=\frac{2\text{e}^{-\unicode[STIX]{x1D6FE}}}{\log (x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}}/b)}\{1+o(1)\}.\end{eqnarray}$$

Compte tenu de l’évaluation

$$\begin{eqnarray}|\{n\in \mathscr{A}(b):n~\text{est premier}\}|\leqslant S(\mathscr{A}(b);{\mathcal{P}},z)+z,\end{eqnarray}$$

on obtient

(9.10) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{B} & {\leqslant} & \displaystyle \mathop{\sum }_{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<b\leqslant x^{c}}(S(\mathscr{A}(b);{\mathcal{P}},z)+z)\nonumber\\ \displaystyle & {\leqslant} & \displaystyle \{1+o(1)\}\mathscr{S}_{B1}+\mathscr{S}_{B2}+\mathscr{S}_{B3}+O(x(\log x)^{-1}),\end{eqnarray}$$

où

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{B1} & := & \displaystyle \mathop{\sum }_{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<b\leqslant x^{c}}\frac{2x}{b\log (x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}}/b)}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/b)}\biggr),\nonumber\\ \displaystyle \mathscr{S}_{B2} & := & \displaystyle \mathop{\sum }_{\ell <L}\,\mathop{\sum }_{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<b\leqslant x^{c}}\,\mathop{\sum }_{\substack{ d<D \\ d\mid P(z)}}\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d)\mathop{\sum }_{\substack{ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b \\ (a,bd)=1}}E(x/a;-\overline{a},bd),\nonumber\\ \displaystyle \mathscr{S}_{B3} & := & \displaystyle \mathop{\sum }_{\ell <L}\,\mathop{\sum }_{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<b\leqslant x^{c}}\,\mathop{\sum }_{\substack{ d<D \\ d\mid P(z)}}\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d)\cdot O\biggl(\frac{x\unicode[STIX]{x1D70F}(bd)}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)(\log x)^{9}}\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Pour évaluer $\mathscr{S}_{B3}$ , on utilise l’estimation standard $\sum _{m\leqslant x}\unicode[STIX]{x1D70F}(m)^{2}/\unicode[STIX]{x1D711}(m)\ll (\log x)^{4}$ et on obtient

(9.11) $$\begin{eqnarray}\mathscr{S}_{B3}\ll \frac{x}{(\log x)^{9}}\mathop{\sum }_{m\leqslant x^{4/7}}\frac{\unicode[STIX]{x1D70F}(m)^{2}}{\unicode[STIX]{x1D711}(m)}\ll \frac{x}{(\log x)^{5}}\end{eqnarray}$$

qui est admissible.

Nous allons majorer $\mathscr{S}_{B2}$ à l’aide de la Proposition 3.2. Pour cela, écrivons d’abord,

$$\begin{eqnarray}\mathscr{S}_{B2}=\mathop{\sum }_{\ell <L}\mathop{\sum }_{{\mathcal{B}}}\mathop{\sum }_{{\mathcal{B}}/2<b\leqslant {\mathcal{B}}}\mathop{\sum }_{\substack{ d<D \\ d\mid P(z)}}\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d)\,\biggl\{\mathop{\sum }_{\substack{ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b \\ (a,bd)=1}}\biggl(\unicode[STIX]{x1D70B}(x;a,-1,bd)-\frac{\text{li}(x/a)}{\unicode[STIX]{x1D711}(bd)}\biggr)\biggr\}.\end{eqnarray}$$

De plus, on impose une condition sur $c$

$$\begin{eqnarray}c\leqslant 2/7-\unicode[STIX]{x1D700}\end{eqnarray}$$

telle que

$$\begin{eqnarray}x^{c}<D=x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}}/b.\end{eqnarray}$$

Désignons la fonction $\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }$ par

(9.12) $$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }(q):=\sum _{bd=q}\unicode[STIX]{x1D7D9}_{]\!{\mathcal{B}}/2,{\mathcal{B}}\! ]}(b)\,\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d),\end{eqnarray}$$

où

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D7D9}_{]\!{\mathcal{B}}/2,{\mathcal{B}}\! ]}(b)=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}1\quad & \text{si}~{\mathcal{B}}/2<b\leqslant {\mathcal{B}},\\ 0\quad & \text{sinon}.\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

Pour utiliser la Proposition 3.2, il faut démontrer que $\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }(q)$ est bien factorisable de niveau $Q={\mathcal{B}}D.$ Pour toute décomposition $x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}}={\mathcal{B}}D=Q_{1}Q_{2}$ , $Q_{1},Q_{2}\geqslant 1$ , compte tenu de ${\mathcal{B}}\leqslant D,$ il existe un $i\in \{1,2\}$ tel que $Q_{i}\leqslant x^{2/7-\unicode[STIX]{x1D700}}\leqslant D$ . Sans perte de la généralité, on peut supposer que $Q_{1}\leqslant D$ . Puisque $\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}$ est une fonction bien factorisable de niveau $D$ , il existe deux fonctions arithmétiques $\unicode[STIX]{x1D706}_{1}^{+}$ de niveau $Q_{1}$ et $\unicode[STIX]{x1D706}_{2}^{+}$ de niveau $D/Q_{1}$ telles que

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}=\unicode[STIX]{x1D706}_{1}^{+}\ast \unicode[STIX]{x1D706}_{2}^{+}.\end{eqnarray}$$

Ainsi, on peut trouver deux fonctions arithmétiques $\unicode[STIX]{x1D706}_{1}^{+}$ de niveau $Q_{1}$ et $\unicode[STIX]{x1D706}_{2}^{+}\ast \unicode[STIX]{x1D7D9}_{]\!{\mathcal{B}}/2,{\mathcal{B}}\! ]}$ de niveau $Q_{2}=(D/Q_{1})\cdot {\mathcal{B}}$ telles que

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D706}=\unicode[STIX]{x1D706}_{1}^{+}\ast (\unicode[STIX]{x1D706}_{2}^{+}\ast \unicode[STIX]{x1D7D9}_{ ]\!{\mathcal{B}}/2,{\mathcal{B}}\! ]}).\end{eqnarray}$$

Cela montre que $\unicode[STIX]{x1D706}$ est une fonction bien factorisable de niveau ${\mathcal{B}}D=x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}}$ . En appliquant la Proposition 3.2 avec $\unicode[STIX]{x1D706}(q)$ définie par (9.12) et $(L_{1},L_{2},a,\ell )=(x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}},b,-1,a)$ , on obtient

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{{\mathcal{B}}/2<b\leqslant {\mathcal{B}}}\,\mathop{\sum }_{\substack{ d<D \\ d\mid P(z)}}\unicode[STIX]{x1D706}_{\ell }^{+}(d)\,\biggl\{\mathop{\sum }_{\substack{ x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}<a<b \\ (a,bd)=1}}\biggl(\unicode[STIX]{x1D70B}(x;a,-1,bd)-\frac{\text{li}(x/a)}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\biggr)\biggr\}\ll \frac{x}{(\log x)^{2}}.\end{eqnarray}$$

D’où

(9.13) $$\begin{eqnarray}\mathscr{S}_{B2}\ll \frac{x}{\log x}.\end{eqnarray}$$

Pour $\mathscr{S}_{B1}$ , en utilisant une intégration par parties on a

(9.14) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{B1} & = & \displaystyle 2x\{1+o(1)\}\int _{x^{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}}^{x^{c}}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}\log x}{\log (x/t)}\biggr)\frac{dt}{t\log (x^{4/7-\unicode[STIX]{x1D700}}/t)}\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle x\biggl\{2\int _{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}^{c}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}}{1-t}\biggr)\frac{dt}{4/7-t}+o_{c,\unicode[STIX]{x1D700},\unicode[STIX]{x1D6FC}}(1)\biggr\}.\end{eqnarray}$$

En reportant (9.13) et (9.14) dans (9.10), on arrive à l’inégalité

(9.15) $$\begin{eqnarray}\mathscr{S}_{B}\leqslant x\biggl\{2\int _{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}^{c}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}}{1-t}\biggr)\frac{dt}{4/7-t}+o_{c,\unicode[STIX]{x1D700},\unicode[STIX]{x1D6FC}}(1)\biggr\}\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}0<c\leqslant {\textstyle \frac{2}{7}}-\unicode[STIX]{x1D700},\qquad 1-c\leqslant \unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1.\end{eqnarray}$$

De manière similaire, en utilisant le Lemme 3.3 à la place de la Proposition 3.2, on peut montrer

(9.16) $$\begin{eqnarray}\mathscr{S}_{B}\leqslant x\biggl\{2\int _{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}^{c}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}}{1-t}\biggr)\frac{dt}{1/2-t}+o_{c,\unicode[STIX]{x1D700},\unicode[STIX]{x1D6FC}}(1)\biggr\}\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}{\textstyle \frac{2}{7}}-\unicode[STIX]{x1D700}<c<{\textstyle \frac{1}{2}},\qquad 1-c\leqslant \unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1.\end{eqnarray}$$

9.4 Estimation de la somme $\mathscr{S}_{C}$

En vue de traiter $\mathscr{S}_{C}$ , on a tout d’abord pour $B$ assez grand

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{C}:=\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant x \\ P_{y}^{+}(n)<P_{y}^{+}(n+1)\leqslant x^{1-c}}}1 & {\geqslant} & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x;y,x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}) \\ (n+1,P(x^{1-c},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}))>1}}1\nonumber\\ \displaystyle & {\geqslant} & \displaystyle \mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}) \\ (n+1,P(x^{1/2}/(\log x)^{B},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}))>1}}1\nonumber\end{eqnarray}$$

où $\frac{1}{2}\leqslant 1-c<\unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1$ , $\unicode[STIX]{x1D6FF}$ est un paramètre satisfaisant $c\leqslant \unicode[STIX]{x1D6FF}\leqslant \frac{1}{2}$ . On rappelle la définition de $\unicode[STIX]{x1D714}(n+1;y,y_{1})$ dans (4.2) et obtient

$$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D714}(n+1;x^{1/2}/(\log x)^{B},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}})\leqslant \frac{\log x}{\log x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}}=\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D6FF}},\end{eqnarray}$$

d’où

(9.17) $$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D6FF}\unicode[STIX]{x1D714}(n+1;x^{1/2}/(\log x)^{B},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}})\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}{\leqslant}1\quad & \displaystyle \text{si}~\biggl(n+1,\mathop{\prod }_{x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}<p\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}p\biggr)>1,\\ =0\quad & \text{sinon}.\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

On a donc

(9.18) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{C} & {\geqslant} & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}\mathop{\sum }_{n\in S(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}})}\unicode[STIX]{x1D714}(n+1;x^{1/2}/(\log x)^{B},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}\mathop{\sum }_{n\in S(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}})}\mathop{\sum }_{\substack{ p\mid n+1 \\ x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}<p\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}}1\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}\mathop{\sum }_{x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}<p\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}) \\ n\equiv -1(\text{mod}~p)}}1\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle \unicode[STIX]{x1D6FF}(\mathscr{S}_{C1}+\mathscr{S}_{C2}),\end{eqnarray}$$

avec

$$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{C1} & := & \displaystyle \mathop{\sum }_{x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}<p\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D711}(p)}\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}) \\ (n,p)=1}}1,\nonumber\\ \displaystyle \mathscr{S}_{C2} & := & \displaystyle \mathop{\sum }_{x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}<p\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}\biggl(\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}) \\ n\equiv -1\,(\text{mod}~p)}}1-\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D711}(p)}\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}) \\ (n,p)=1}}1\biggr).\nonumber\end{eqnarray}$$

Pour évaluer $\mathscr{S}_{C2}$ , on déduit de la Proposition 3.1 que

(9.19) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{C2} & \ll & \displaystyle \mathop{\sum }_{q\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}\biggl|\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}) \\ n\equiv -1\,(\text{mod}~q)}}1-\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D711}(q)}\mathop{\sum }_{\substack{ n\in S(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}) \\ (n,q)=1}}1\biggr|\nonumber\\ \displaystyle & \ll & \displaystyle x(\log x)^{-A}\end{eqnarray}$$

pour tout $A>0$ .

Il reste à évaluer $\mathscr{S}_{C1}$ . On utilise le Lemme 2.2 sur les entiers sans facteur premier dans un intervalle donné.

(9.20) $$\begin{eqnarray}\displaystyle \mathscr{S}_{C1} & = & \displaystyle \mathop{\sum }_{x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}}<p\leqslant x^{1/2}/(\log x)^{B}}\frac{1}{p-1}\cdot \unicode[STIX]{x1D6F9}_{0}(x;x^{\unicode[STIX]{x1D6FC}},x^{\unicode[STIX]{x1D6FF}})\nonumber\\ \displaystyle & = & \displaystyle x\unicode[STIX]{x1D717}_{0}\biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FF}}{\unicode[STIX]{x1D6FC}},\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D6FC}}\biggr)\log \frac{1}{2\unicode[STIX]{x1D6FF}}+o(x).\end{eqnarray}$$

D’après (9.18), (9.19) et (9.20), on a ainsi pour $c\leqslant \unicode[STIX]{x1D6FF}\leqslant 1/2$

(9.21) $$\begin{eqnarray}\mathscr{S}_{C}\geqslant x\unicode[STIX]{x1D717}_{0}\biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FF}}{\unicode[STIX]{x1D6FC}},\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D6FC}}\biggr)\unicode[STIX]{x1D6FF}\log \frac{1}{2\unicode[STIX]{x1D6FF}}+o(x).\end{eqnarray}$$

En reportant (9.2), (9.15), (9.16) et (9.21) dans (9.1), on obtient finalement pour $\frac{1}{2}<\unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1$

$$\begin{eqnarray}\mathop{\sum }_{\substack{ n\leqslant x \\ P_{y}^{+}(n)<P_{y}^{+}(n+1)}}1\geqslant g(\unicode[STIX]{x1D6FC};c,\unicode[STIX]{x1D6FF})x+o(x)\end{eqnarray}$$

où $g(\unicode[STIX]{x1D6FC};c,\unicode[STIX]{x1D6FF})$ est définie par

(9.22) $$\begin{eqnarray}g(\unicode[STIX]{x1D6FC};c,\unicode[STIX]{x1D6FF}):=\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}}{1-c}\biggr)-2\int _{1-\unicode[STIX]{x1D6FC}}^{c}\log \biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FC}}{1-t}\biggr)\frac{dt}{\unicode[STIX]{x1D708}(c)-t}+\unicode[STIX]{x1D717}_{0}\biggl(\frac{\unicode[STIX]{x1D6FF}}{\unicode[STIX]{x1D6FC}},\frac{1}{\unicode[STIX]{x1D6FC}}\biggr)\unicode[STIX]{x1D6FF}\log \frac{1}{2\unicode[STIX]{x1D6FF}}\end{eqnarray}$$

et

(9.23) $$\begin{eqnarray}\unicode[STIX]{x1D708}(c):=\left\{\begin{array}{@{}ll@{}}{\textstyle \frac{4}{7}}\quad & \text{si}~0<c\leqslant {\textstyle \frac{2}{7}}-\unicode[STIX]{x1D700},\\ {\textstyle \frac{1}{2}}\quad & \text{si}~{\textstyle \frac{2}{7}}-\unicode[STIX]{x1D700}<c<{\textstyle \frac{1}{2}}.\end{array}\right.\end{eqnarray}$$

Il est clair que $g(\unicode[STIX]{x1D6FC};c,\unicode[STIX]{x1D6FF})>0$ pour $1/2<\unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1$ . On peut vérifier de la même manière que lors de la preuve du Théorème 3, qu’il existe des $c_{0}$ , $\unicode[STIX]{x1D6FF}_{0}$ satisfaisant les conditions ci-dessus telles que pour $\frac{1}{2}<\unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1$

(9.24) $$\begin{eqnarray}C(\unicode[STIX]{x1D6FC}):=\max _{\frac{1}{2}\leqslant 1-c<\unicode[STIX]{x1D6FC}}\,\max _{c\leqslant \unicode[STIX]{x1D6FF}\leqslant \frac{1}{2}}g(\unicode[STIX]{x1D6FC};c,\unicode[STIX]{x1D6FF})=g(\unicode[STIX]{x1D6FC};c_{0},\unicode[STIX]{x1D6FF}_{0})>0\quad (1/2<\unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1),\end{eqnarray}$$

ce qui achève la démonstration du Théorème 2 avec $1/2<\unicode[STIX]{x1D6FC}\leqslant 1$ .

On a pu prendre ici le niveau $\unicode[STIX]{x1D708}(c)=4/7$ avec $c\leqslant 2/7-\unicode[STIX]{x1D700}$ dans la somme $\mathscr{S}_{B}$ de (9.1) et on peut donner une minoration de $\mathscr{S}_{C}$ , tandis que dans [Reference Wang25] le niveau était $1/2$ et le terme $\mathscr{S}_{C}$ minoré par 0. C’est pourquoi on peut améliorer le résultat de [Reference Wang25] et obtenir le Corollaire 1 suivant. Ces deux changements sont à l’origine de l’amélioration du résultat de [Reference Wang25], donnée dans le Corollaire 1.